四川绵阳南山中学实验学校2026届高三下学期数学周练测试（八）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（八） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是 A． B． C． D． 3．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为 A． B． C． D． 4．已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则 A． B．4 C． D． 5．的展开式中的系数为 A．30 B． C．60 D． 6．已知函数的图象关于原点对称，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则 A． B． C． D． 7．如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为 A． B． C． D． 8．定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则 A．函数是偶函数 B．函数在上单调递减 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）： 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 10．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线过点，且过点的直线与交于两点，为的中点．若直线的斜率为，则下列选项正确的是 A．双曲线的离心率为 B．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为 C．的面积为 D．直线上存在两个点，使得 11．已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则 A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 13．若向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量夹角大小为________． 14．函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 16．（15分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）证明：. （2）若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 17．（15分） 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 18．（17分） 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）求证：； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 19．（17分） 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（八） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B D D A C C BCD ABD ABC 1．A【详解】由，则. 2．B【详解】，复数的共轭复数为. 3．B【详解】由得.设，则，得， 又且点A在第一象限，因此，即. 设直线的倾斜角为，,，得. 4．D【详解】因为，，成等差数列，则， 即，可得，则等比数列公比，且首项，所以. 5．D【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为.故选：D. 6．A【详解】由函数的图像关于原点对称， 可得，即，则可得，因为，所以，所以， 又因为，可得，所以，所以， 将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，可得， 所以所得图像对应的函数为. 7．C【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 8．C【详解】设， 对于A，由题意得，则，所以是奇函数， 即是奇函数，故A错误； 对于B，由题意得，所以在上单增，即函数在上单增，故B错误； 对于C，，所以是奇函数， ，所以是偶函数，所以， 所以原不等式为，即， 由题意得恒成立，所以在R上单调递增， 所以，且有， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，原不等式得证，故C正确. 对于D，，所以原不等式为， 由上得单调递增，且有当时，单调递增，所以， 所以，与原不等式矛盾，故D错误. 9．BCD【详解】零假设为：参加社会实践活动与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于，故A错误. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B正确. 记事件表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则， 记事件表示抽到的学生是男生，，所以，故C正确. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人， 则7人中有男生人，有女生人， 从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有， 所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为， 所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D正确. 10．ABD【详解】直线的方程为，由，得， 由点是直线被曲线所截弦的中点，得，解得， 而双曲线过点，则，此时方程有两个不等实根， 对于A，双曲线的离心率，A正确； 对于B，双曲线的渐近线为，设为双曲线上任意点， 则，，B正确； 对于C，设，则，， 原点到直线的距离，的面积，C错误； 对于D，，以线段为直径的圆，而， 即直线与圆相交，因此直线上存在两个点，使得，D正确. 11．ABC【详解】当为奇数时，有，即； 当为偶数时，有，即． 所以若，，则 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以数列为递增数列，所以正确. 由题可知，，，， 所以，，. 所以的最小值为.所以B正确. 由A项分析知，当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以，，， ，……，. 累加得，， 所以.所以C正确. 若，结合C分析得，当为奇数时， 所以 即.，所以D不正确. 12．8【详解】如图，设正四棱台的高为，上底面的面积为， 因为，所以下底面的面积为， 所以正四棱台的体积，解得， 所以三棱锥的体积． 13．【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以. 又，所以. 所以，又，所以，即向量与向量夹角为. 14．【详解】设为在上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，，所以的最小值为. 15．【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意.所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足，，解得. ，化简得，解得.又因可得. 综上，的取值范围是. 16．【详解】（1）因为，所以，即， 由正弦定理可得，因为，即，所以， 所以，化简可得， 则，即，所以或（舍去） 故成立； （2）若，则，，因为，所以，， 设，则，在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得：，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知，当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 17．【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知,游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为，因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 18．【详解】（1）在中，，， ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）（i）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，，. ，，，，， ，， 为的重心，，， 设平面的法向量为， 则，，， 取，则，即， ，， ， 设与平面所成的角为，则， 故与平面所成角的正弦值为； （ii）由（i）知，，，设，则， ， 由（i）知，平面的法向量为， 则，即，则，解得，即. 19．【详解】（1）因为，又，所以， 又面积取得最大值，所以，在中，，所以，所以， 又，所以，所以，解得， 所以，所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，， 由，得，整理得， 由韦达定理得， 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为，由对称性，直线所过定点一定在轴上， 令，可得 ， 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点； 综上所述：直线过定点； （ⅱ）记直线过定点为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $