四川绵阳南山中学实验学校2026届高三下学期数学周练测试（七）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（七） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是 A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 5．已知向量，，向量满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为 A． B． C． D．3 7．已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则 A．3 B． C．4 D．5 8．已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是 A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则 A． B． C． D． 10．已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则 A．当时， B．当时，直线所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 11．对于函数，下面说法正确的有 A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为___________. 13．若函数在上恰有三个零点，则的可能取值为__________写出一个满足条件的正整数 14．已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的长轴长为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 16．（15分） 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． 17．（15分） 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 19．（17分） 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． （1）求的离心率； （2）是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）若为定值，直线经过，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（七） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D A C A B C C BC ABC BCD 1．A【详解】因为集合，所以，所以. 2．D【详解】因为，所以,所以.故选：D. 3．A【详解】因l是一条直线，，为两个不同平面，， 当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得， 又，所以，又，所以，故充分性成立； 当时，当且时符合，但推不出，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件． 4．C【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确；对于B，差异平均值为，B正确；由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 5．A【详解】设.已知，，所以. 则，即.因表示点到原点的距离，而点是直线上的点，故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大，所以的取值范围是. 6．B【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即,所以， 由，则，因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以，即， 因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为. 7．C【详解】由圆：可知，圆心，半径为. 而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，. 由，得. 因为点在圆上，又有，即， 而，则解得，所以.而点又在抛物线上， 则有，所以，则.所以. 8．C【详解】已知（①），将替换为得 （②）， 由①+②得，则，即函数周期为，且恒成立，又是定义域的偶函数，故，且在单调递增， 因此，结合得. 选项A：（③）， 由得，代入③式得， 而，显然，故A错误； 选项B：时，，，递增， 故在递减； 同时，在上单调递增， 因此，根据单调性运算性质可知递减函数，故B错误； 选项C：因此， 已知，故，故C正确； 选项D：，故D错误. 9．BC【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以，故C正确，D错误. 10．ABC【详解】过B点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，， 若，则，由，此时，所以； 对于A，易知，故A正确； 对于B，，所以直线所成角为，故B正确； 对于C，易知，则点到直线的距离 ，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D错误. 11．BCD【详解】函数的定义域为，， 当时，，解得， 不妨取，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， 易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误； 当时，若，因，则，，则在上单调递增，无极值点； 若，因，则,，则在上单调递减，无极值点； 综上，当时，函数不存在极值点，故B正确； 由A项分析可知，当最小值为时，有， ，即， 令，则，即，令，， 当时，,当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 则，的解为， 即，，此时，即，故C正确； 当时，函数 由，可得，即函数的定义域为， 则，因，则， 故当时，，即在上单调递减，故D正确． 12．【详解】的展开式中，含的项是4个因式中任取3个因式选择，另外1个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含的项为：，所以的系数为. 13．6（或7，答案不唯一）【详解】函数， 当时，，又函数在上恰有3个零点，所以， 解得，所以的可能取值为或7.故答案为：6或7 14．【详解】如图：延长交直线于．由题可知， ； 则，，故答案为：. 15．【详解】（1）记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”，则 （2）①由题意，，. 1 3 2 4 8 5 则， 即， 所以关于的经验回归方程为. ②当时，； 当时，.所以该小组所得经验回归方程是理想的. 16．【详解】（1）令，则，于是，结合已知有， 所以，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得，而在上单调递增， 且，所以，的最大值为． 17．【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2）取中点中点，连接，则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. （3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18．【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点；当时，函数与的图象有1个交点；当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，. 19．【详解】（1）由题意，所以，所以的离心率. （2）①当时，，， 此时，有. ②当时，可得的斜率都存在，设， 则， 因为， 即，其中为锐角， 即，，所以，即. 所以存在常数，使得总成立. （3）由对称性，设直线的方程为，代入， 得，即， 所以， 令，则， 令，则， 所以单调递增，所以的最小值为， 所以，当且仅当“”时，取等号. 由（2）可知， 所以. 所以 ，当且仅当“且”时，取等号．所以的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $