精品解析：河北秦皇岛市2025-2026学年高二上学期2月联考数学试卷

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列，，，，，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 5. 图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 6. 已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的两条渐近线与直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为8，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 3 D. 5 8. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 10. 若函数存在零点，则实数的取值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 11. 任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（ ） A. 若，则使得需要步“雹程”; B. 若，则; C. 若，则数列的前项和为; D. 若，则m的所有可能取值之和为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 13. 已知函数，则___________． 14. 一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 16. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知函数，的导函数为． （1）求函数的极值； （2）判断经过点的曲线的切线有多少条； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点. （i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由. （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列，，，，，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 得该数列的通项公式可以为． 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D正确． 3. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，则． 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 5. 图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 6. 已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点坐标，根据为的中点，表示出点坐标，根据点在直线上，得到点的轨迹方程. 【详解】设，，因为为的中点，所以，所以 所以，由点在直线上，得， 化简得，故的方程为. 故选：D 7. 已知双曲线的两条渐近线与直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为8，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为，令，得， 不妨设，则， 由的面积为8，得，解得， 所以双曲线的离心率． 8. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】等价变换给定不等式，结合恒成立构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】不等式， 令，由，得函数在上单调递减， 则，于是对任意的，， 令，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，因此，所以整数的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 10. 若函数存在零点，则实数的取值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】存在零点等价于函数与的图象有交点．利用导数法得到的单调性．结合单调性画出的大致图像，在同一坐标系下画出的图像，结合和的的值得到在处的切线方程，从而得到的取值范围． 【详解】存在零点等价于函数与的图象有交点． ，的解为，的解为， 则在上单调递增，在上单调递减． 函数， 令，得； 令，得． ， 在处的切线方程分别为． 两条切线与x轴的交点横坐标分别为， 由图可知，要使函数与的图象有交点， 则，符合题意， 11. 任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（ ） A. 若，则使得需要步“雹程”; B. 若，则; C. 若，则数列的前项和为; D. 若，则m的所有可能取值之和为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接根据“冰雹猜想”的递推关系进行推理可得；对B由“冰雹猜想”的递推关系可得数列的一个周期为3，进而可得；对C同样可得数列是周期为3，从而可得前的和；对D由进行反向推理，分别判断可得. 【详解】对于A：当时，根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， 则使得需要10步“雹程”，A正确． 对于B：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， ，故，B正确． 对于C：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， 故数列的前2025项和为，C错误． 对于D：当时，则或， 当时，则，进一步可得，所以或，所以或，即或； 当时，则，进一步可得或，所以或， 所以或或或，即或或或. 所以m的所有可能取值之和为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量及的模长，再利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为， ， ， ， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 13. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的定义求解． 【详解】因为，所以， 所以 ． 14. 一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反射光线所在直线的方程，然后求出圆心到的距离的表达式，然后根据题意列出不等式，求解不等式的解集即可. 【详解】当时，反射光线所在直线方程为，该直线与圆不相交，不符合题意； 当时，由题可知反射光线所在直线经过点， 则直线的方程为，即． 依题意得圆的圆心到的距离，解得． 故的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 16. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. 【小问2详解】 由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得； （2）先用向量证明与平面的法向量垂直，再结合平面可得； （3）直接用向量的方法计算平面与平面的夹角可得. 【小问1详解】 由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为，所以，即． 【小问2详解】 由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量为． 因为平面的一个法向量为，所以． 设平面与平面的夹角为，则，． 故平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知函数，的导函数为． （1）求函数的极值； （2）判断经过点的曲线的切线有多少条； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）2条 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）根据导数的几何意义求出过曲线上点的切线方程，将点代入得到关于的一元二次方程，判断根的个数即可. （3）通过构造函数求导，讨论的范围及在的单调性与最值求解即可. 【小问1详解】 因为，所以． 则， 所以． 令，得或；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． 【小问2详解】 因为， 所以曲线在点处的切线方程为． 将代入，整理得． 因为，所以. 又，所以方程有两个不同的根，即方程共有2个不同的根， 所以经过点的曲线的切线有2条． 【小问3详解】 由，得． 记，则． ①当时，则，所以在上单调递增， 又，所以不满足题意，舍去． ②当时，，在上单调递增， 显然时，，所以不满足题意，舍去． ③当时，令，得，， 因为，所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增，所以． 由，解得． 因为，所以． ④当时，，所以在上单调递减，所以． 由，解得，所以． 综上，的取值范围是． 19. 在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点. （i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由. （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）且 （2）（i）不存在，理由见解析（ii）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据已知斜率条件，利用过两点的直线斜率公式转化为代数方程，化简即可； （2）（i）先设直线 并与椭圆联立，并利用韦达定理得到根与系数的关系，再通过面积比的几何关系转化为代数等式，推导出 ，最后结合 时 与 的矛盾，得出不存在满足条件的直线 ； （ii）先求出 坐标并写出向量 ，代入点积公式化简，再将 代入，利用韦达定理消去 ，最后通过让表达式与 无关，解得点 的坐标即可. 【小问1详解】 由题意，设，则， 化简得且， 所以的方程为且. 【小问2详解】 （i）设，直线. 由，得， 即，则， ， ， 即，即， 因为点在轴的正半轴上，则，所以， 又，所以不存在直线，使得的面积是面积的4倍. （ii）直线的方程分别为， 令，则， 则， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当点的坐标为或时，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $