精品解析：河北张家口市第一中学2025-2026学年高二上学期数学收官考试

张家口市第一中学2025-2026学年第一学期（数学学科）课本核心知识、核心原题“反扫”收官考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 2. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面 的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又 平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面 的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面 所成角为，所以， 所以． 故选B． 3. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 4. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B. 5. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心与半径后，结合外切定义与双曲线的定义可得答案． 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 6. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时， ，当时，，从而可求出取到最小值时的值. 【详解】， 由 ，得，解得或， 因为，所以当或时， ，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为 ， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即 ，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于 ， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 8. 点在抛物线 上，则点到直线 的距离最短为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据点到直线的距离和二次函数的性质可求最小值为. 【详解】根据题意设， 所以点到直线 的距离为： ， 当且仅当 时等号成立，此时， 所以当时，点到直线 的距离最短且为，B正确. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 当变化时，指出方程表示的曲线的形状（ ）． A. 当时，表示轴 B. 当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C. 当 或 时，方程表示双曲线 D. 当且时，方程表示椭圆 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的方程特征，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当 时，，故方程为，表示双曲线； 当 时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. 10. （多选题）已知点A(－3,－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据和到直线的距离相等，利用点和点到直线的距离公式，由求解. 【详解】因为和到直线的距离相等，由点和点到直线的距离公式， 可得， 化简得， 所以， 解得或， 故选：BC. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11. （多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程为，再联立方程并结合二次方程的根求解即可. 【详解】因为的导数为， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即． 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以联立得：①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意; 当 时，则，，解得. 综上，或. 12. 已知等差数列的首项 ，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则下面选项正确的是（ ） A. B. 是数列的第8项 C. 不是数列的项 D. 是数列的第9项 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意及等差数列的基本量法求出的通项公式，得到数列与的关系，进一步判断即可. 【详解】设数列的公差为. 由题意可知，，，于是. 因为，所以，所以，则. 所以，数列的通项公式是，故A正确. 数列的各项依次是数列的第1，5，9，13， 项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列， 则. 令，解得. 所以，是数列的第8项，故B正确，CD错误. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即得切线方程. 【详解】由求导得：， 依题意，， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知函数满足在处导数为__________. 【答案】# 【解析】 【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值. 【详解】, ， ， . 故答案为：. 15. 已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值_________ 【答案】3 【解析】 【分析】利用作差法得，设，再利用作差法可判断的单调性，结合的符号可得的单调性，从而得取得最大值时的n的值. 【详解】, 设， 则 ， 故为递减数列，而，，， 故当时，，当时，， 故当时，即； 当时，即， 故使取得最大值时的n的值为 . 16. 曲线围成的图形的面积是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可. 【详解】将 或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 因此只需求出第一象限的面积即可， 当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆， ∴， 故围成的图形的面积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在棱长为的正方体中，， 分别是，上的动点，且． （1）求证： ； （2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的正切值． 【答案】（1）证明如下： 如下图，构建空间直角坐标系 ，令 且 ， 所以 ， ， ， ， 则 ， ，故 ， 所以，即 . （2） 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，令 且 ，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需△ 面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面 与平面 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得三棱锥 体积取最大，即面积最大， 所以当时，故、 为、上的中点， 所以，， ，故，， 若为平面 的法向量，则，令 ，故 ， 又面 的法向量为 ， 所以， 设平面 与平面 的夹角为，由图可知为锐角，则，所以， 所以， 所以平面 与平面 的夹角正切值为. 18. 已知，． （1）求证：，并求使等式成立的条件． （2）说明上述不等式的几何意义． 【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和. 【解析】 【分析】（1）作图，利用两点间的距离公式可知|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，利用三角不等式可证|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2； （2）根据边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离和与两条对角线的和的大小关系求解即可 【详解】（1）证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图： 则|PO|，|PA|，|PB|，|PC|， ∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC| ∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号）， 即x＝y时取等号． ∴． （2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和. 19. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1）证明见解析 （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【小问1详解】 直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 【小问2详解】 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 20. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程． 【答案】双曲线方程为，抛物线方程为 【解析】 【分析】根据题意，对于双曲线，有，求出，，可得双曲线的方程；求出抛物线的顶点的横坐标，可得抛物线的方程． 【详解】解：对于双曲线，有，，， ， 双曲线的方程为； 抛物线的顶点的横坐标是， 抛物线的方程为． 21. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列 的前项和. 22. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则 ，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由 得. 当时， ；当时， ，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口市第一中学2025-2026学年第一学期（数学学科）课本核心知识、核心原题“反扫”收官考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 2. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 4. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 5. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 6. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 8. 点在抛物线 上，则点到直线 的距离最短为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 当变化时，指出方程表示的曲线的形状（ ）． A. 当时，表示 轴 B. 当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C. 当 或 时，方程表示双曲线 D. 当且时，方程表示椭圆 10. （多选题）已知点A(－3,－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于（ ） A. B. C. D. 11. （多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（ ） A. 0 B. C. D. 2 12. 已知等差数列的首项 ，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则下面选项正确的是（ ） A. B. 是数列的第8项 C. 不是数列的项 D. 是数列的第9项 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 14. 已知函数满足在处导数为__________. 15. 已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值_________ 16. 曲线围成的图形的面积是___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． （1）求证： ； （2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的正切值． 18. 已知，． （1）求证：，并求使等式成立的条件． （2）说明上述不等式的几何意义． 19. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 20. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程． 21. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 22. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $