专题7.1 正弦函数的图像与性质（八大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题7.1 正弦函数的图像与性质 题型一：五点法作图 题型二：求正弦型函数的定义域 题型三：求正弦型函数的周期 题型四：求正弦型函数的单调性与值域 题型五：求正弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称对称轴） 题型六：知图求解析式 题型七：根据正弦函数的性质，求ω的取值范围 题型八：综合应用 题型一：五点法作图 1．（25-26高一上·云南德宏·期末）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数，. (1)写出这段曲线的解析式； (2)预测当天12时的温度． （，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）从图中可以得到，结合求出，通过图中信息可知的最大值为，即，的最小值为，即，解出的值，通过图中信息可知时取最小值，则有，结合求出，从而得到这段曲线的解析式. （2）将代入解析式求解即可. 【详解】（1），，，，， 的最大值为，， 的最小值为，， ，， 时取最小值，， ， ，，， 故这段曲线的解析式为； （2），， ， 预测当天12时的温度为. 2．已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【难度】0.65 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、特殊角的三角函数值、求函数的零点 【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果； （2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点； （3）根据五点法作图完善表格. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据“列表描点连线”可作出函数在一个周期上的图象； （2）由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）列表如下： 作出函数在一个周期内的图象如下图所示： （2）因为，且，所以，， 所以，， 因此， . 4．已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 【答案】作图见解析 【难度】0.94 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】根据五点作图法，分别令填写表格，再作出函数图象. 【详解】令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 题型二：求正弦型函数的定义域 1．若函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、已知三角函数值求角、正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】根据函数特征得到，求出的取值范围，得到定义域. 【详解】由题意，得，即， 故， 则. 故选：B 2．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由题意可得，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为的定义域是， 对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 4．函数的定义域是_____________，值域是_____________． 【答案】 【难度】0.77 【知识点】具体函数的定义域、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】①②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】，即，结合正弦函数的图象， 得，． 的定义域为 ，， ，即值域为. 故答案为：①②. 5．已知，则函数的定义域为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、正弦函数图象的应用、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 6．（24-25高一上·天津南开·月考）函数的定义域为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】函数定义域满足，求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为： 题型三：求正弦型函数的周期 1．（2026·浙江·模拟预测）若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，即， 所以. 故选：A 2．若是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】本题考查的三角函数图象的性质，利用最值点之间的间隔求函数周期. 【详解】由题，函数的两个相邻最值点之间隔了半个周期，则，所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先利用正弦函数的周期性得到，进而得出，再利用换元法结合正弦函数性质求解最大值即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，得到， 因为，所以，得到， 令，则可化为， 由正弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减，可得， 即在区间上的最大值为，故B正确. 故选：B 4．（25-26高一下·全国·课后作业）函数，则______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【详解】的周期． 故答案为： 5．若函数的周期为，则_____________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】直接由正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】由函数的周期为，所以，得. 故答案为：2 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的周期性求值、特殊角的三角函数值 【分析】根据最小正周期，可得的值，根据对称轴方程及的范围，可得值，即可得解析式，代入即可得答案. 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 因为图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以令，则， 所以，则. 故答案为： 题型四：求正弦型函数的单调性与值域 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 2．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】令，得，换元得，根据二次函数单调性求得最大值. 【详解】由， 令，，则， 则， 当，即或时，取得最大值. 故选：C. 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）函数，的值域为_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据自变量的范围写出的范围，再写的范围； 【详解】由于，则，， 故答案为：. 4．（25-26高一上·江苏扬州·月考）函数（）的最大值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，，令， ， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，当时，函数有最大值， 即时，取得最大值． 故答案为： 5．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【答案】(1) (2)；． (3) 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）化简，，令，解不等式即可求解； （2）先求的范围，再利用整体法即可求出最大值和最小值； （3）由题可得，，利用结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1） 令， 解得， 的单调减区间是． （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 6．（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)求函数单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据周期得到，即可得解析式； （2）由整体代换即可求解； （3）根据，结合整体代换法求的值域即可. 【详解】（1）由题意得，函数的最小正周期，所以， 所以函数， （2）令， 解得， 即函数单调递增区间为 （3）因为， 所以， 所以， 所以， 即当时， 函数的值域为 题型五：求正弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称轴） 1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用三角函数的周期性与对称性结合题目条件即可求出的最小值. 【详解】由，得，令，则，容易验证当时，最小，此时. 故选：A 2．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 3．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、诱导公式一 【分析】根据正弦函数对称中心性质得，，然后利用诱导公式求值即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，，即，， 所以，所以. 故选：D 4．（2026高三·北京·专题练习）已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用二倍角公式，辅助角公式化简函数，逐一进行分析即可. 【详解】由， 对于A：，所以的图象不关于直线对称，故A错误； 对于B：，所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，所以， 所以，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由，所以， 所以， 所以，或， 所以，或， 可取，此时，， 所以的最小值为，故D错误. 故选：C. 5．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 6．（25-26高三上·天津静海·月考）已知函数图象的最小正周期是，则正确的有______. ①的图象关于点对称 ②将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 ③在上的值域为 ④在上单调递增 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断②；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断④. 【详解】因为， 函数的最小正周期， ∴，， ， ∴关于点对称，故①正确. ， ∴关于轴对称，故②正确. 当时，有，则， 所以，则，故③错误. 由，解得， 所以的一个单调增区间为，而， ∴在上单调递增，故④正确. 故答案为：①②④. 7．已知函数的最小正周期为，给出以下结论： ① ②的对称轴方程为 ③“”是“”的充要条件 ④“”是“为偶函数”的充要条件 则上述结论中正确的结论是___________（写出所有正确结论的编号）． 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、诱导公式五、六、充要条件的证明 【分析】由诱导公式变形判断①；由正弦函数的对称轴求解判断②；根据充要条件的判断③；根据充要条件的定义和偶函数的定义、诱导公式判断④. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，由，得，②错误； 对于③，由，得，反之由，，③正确； 对于④，由①得，当时，是偶函数， 而当时，函数也为偶函数， “”是“为偶函数”的充分不必要条件，④错误． 故答案为：①③ 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）函数的对称轴为_______________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据题意令，解出即可. 【详解】由题意有：令，解得， 故答案为：. 9．（24-25高一下·湖北恩施·期中）写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可） 【答案】（答案符合即可） 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出对称中心. 【详解】函数， 由，解得， 所以对称中心为，取，得. 故答案为： 题型六：知图求解析式 1．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）函数一个周期的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求解即可. 【详解】由图象可知，该函数最小正周期，所以. 结合五点作图法可知，，，所以，， 又，所以. 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数的减区间为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象可以得出振幅和周期，进而求得和，且有取最大值，结合正弦函数的图象性质，结合，可解得，进而求出，以此判断ABD，对于C，将函数的图象向右平移个单位可得，易得为奇函数，故C正确. 【详解】对于AB，由图象，易得，，解得， 则， 因为，则有， 即，因为，所以， 则，故B错误； ，故A错误， 对于C，将函数的图象向右平移个单位，即， 易得为奇函数，故C正确； 对于D，若求的单调递减区间， 则有， 解得， 即的减区间为，故D错误. 故选：C. 3．函数的部分图像如图所示，则（   ） A．的一个对称中心为 B．的图像关于直线对称 C．在上是增函数 D．的周期为 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据最值可得，根据周期可得，代入点可得，从而得到函数解析式，通过正弦型函数对称中心位于函数图像上判定A正确；通过正弦型函数对称轴处取最值判定B错误；通过正弦型函数单调性判定C错误；通过周期判定D错误. 【详解】根据函数的部分图像， 可得，所以，再根据点是五点作图法中第三个点可得，所以， 所以，显然，它的周期为，故排除D； 当时，函数，故函数的图像关于点对称，故A正确； 当时，，不是最值，故的图像不关于直线对称，故排除B． 在上，不是增函数，故排除C． 4．（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试数学试题）若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可. 【详解】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，所以，， 由，得，则， 解得， 即关于的不等式的解集为. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则_____________，_____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求函数值 【分析】根据函数的图象和性质求出，周期和，，进而求出函数解析式，再求出． 【详解】解析：由题图可知，， ，． 又，． 又图象过点，． 由题图可知，． ，． ，． ． 故． 故答案为：； 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示，则______，______． 【答案】 0 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据正弦型函数的图象，结合正弦型函数的周期公式和特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】由图可知，， 即， 将代入上式． ，则， 因为，所以令，得， 即， ． 故答案为：；0 7．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 【答案】4 【难度】0.66 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】将代入，得，，求解即可. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，， 解得，， 则的最小值为4． 故答案为：4 题型七：根据正弦函数的性质，求ω的取值范围 1．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据和可知两点分别为函数的最大值点和零点，利用两点间的距离与周期  的关系，建立关于整数的表达式；再利用函数在上单调的性质确定的范围，从而筛选出符合条件的值，并求出的最大值. 【详解】∵满足， ∴，即，而， ∵在上单调，∴，即， 而，且，解得，即， 当时，，当时，， 故当时，ω最大，最大值为. 2．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据三角恒等变换得，再由周期性条件得，，再结合函数的零点得即可得答案. 【详解】函数． 设函数的最小正周期为，由，得，， 所以，，即，． 又因为函数在上存在零点，且当时，， 所以，即． 综上，的最小值为4． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】先根据函数经过的点确定的值，然后由的范围结合正弦函数的单调性求解. 【详解】由条件，因为，则， 又在上单调递增，于是， 则，解得. 故选：A. 4．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、辅助角公式 【分析】通过辅助角公式变形解析式，函数的单调性，建立方程组求解. 【详解】， 令，，当时，， 由于在区间上单调递减，所以， 即解得，所以或． 当时，，不符合题意； 当时，满足．故． 故选： 5．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据正弦函数的单调性列出参数的不等式，求出不等式的解集. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 题型八：综合应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用三角恒等变换把三角函数化为标准形式，再利用正弦函数单调性求单调区间； （2）把不等式恒成立问题转化为最值问题，分情况讨论求出最值，进而得出的取值范围； （3）把函数零点问题转化为方程解的问题，再利用正弦函数对称性求解． 【详解】（1） ， 正弦型函数的单调递减区间为， 则，解得， 的单调减区间为． （2）不等式在时恒成立，即，在内恒成立； 当时，， ，则， 当时，恒成立，； 当时，，的最小值为，故； 当时，，的最大值为，故； 综上，的取值范围是． （3）函数在区间上有两个零点，即， 当时，， 方程有两个解，则，即， 两解关于对称轴对称，故， ． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最大值为1. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若将函数的图像向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数，若方程在内有唯一解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）用二倍角公式和辅助角公式将化为形式，结合最大值求的值，最后利用正弦函数的周期公式求解即可. （2）利用正弦函数的单调性条件求解即可. （3）按 “平移→伸缩” 顺序得到，分析其在区间内的单调性与值域，将方程解的个数转化为函数图像交点个数，结合图像求的取值范围即可. 【详解】（1）根据已知，，又的最大值为1，而的最大值为1， 因此，解得，所以，故函数的最小正周期. （2）由（1）知，函数， 取，解得， 故函数的单调递减区间为. （3）由（1）知，函数， 将函数的图像向右平移个单位可得， 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得，又方程在内有唯一解， 即在内的图象与的图象有唯一交点，作函数图象如下，在上单调递增，在上单调递减， 又，，，， 所以或，故或. 3．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的周期及图象的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 令，解得：， 所以图象的对称中心的坐标为. （2）因为，所以， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，； 所以在上的值域是. （3）设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以等价于，记函数在单调递增. 所以，所以， 即的取值范围是. 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知，是函数在上的两个零点，且，求及的值. 【答案】(1)，. (2) (3)， 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先利用二倍角公式及辅助角公式化简，再根据周期公式求最小正周期，最后通过解不等式求单调递增区间. （2）先确定的范围，再根据正弦函数性质确定的范围，进而求解值域. （3）先求出表达式，根据零点得，再结合角得范围求，将转化为,最后利用两角差公式求解即可. 【详解】（1） ， ∴的最小正周期为， 令，， 解得，. 函数的单调递增区间为，. （2）当时，， 所以，所以. 所以的值域为； （3）由（1）可知， ， ∴， 当时，， 因为，是函数在上的两个零点， 则， ，且， 所以， 又因为， 所以， . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 正弦函数的图像与性质 题型一：五点法作图 题型二：求正弦型函数的定义域 题型三：求正弦型函数的周期 题型四：求正弦型函数的单调性与值域 题型五：求正弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称对称轴） 题型六：知图求解析式 题型七：根据正弦函数的性质，求ω的取值范围 题型八：综合应用 题型一：五点法作图 1．（25-26高一上·云南德宏·期末）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数，. (1)写出这段曲线的解析式； (2)预测当天12时的温度． （，结果保留整数） 2．已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 4．已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 题型二：求正弦型函数的定义域 1．若函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是_____________，值域是_____________． 5．已知，则函数的定义域为_____． 6．（24-25高一上·天津南开·月考）函数的定义域为______. 题型三：求正弦型函数的周期 1．（2026·浙江·模拟预测）若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．若是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）函数，则______． 5．若函数的周期为，则_____________． 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则__________． 题型四：求正弦型函数的单调性与值域 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）函数，的值域为_____. 4．（25-26高一上·江苏扬州·月考）函数（）的最大值为________． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 6．（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)求函数单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 题型五：求正弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称轴） 1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 2．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·北京·专题练习）已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 5．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 6．（25-26高三上·天津静海·月考）已知函数图象的最小正周期是，则正确的有______. ①的图象关于点对称 ②将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 ③在上的值域为 ④在上单调递增 7．已知函数的最小正周期为，给出以下结论： ① ②的对称轴方程为 ③“”是“”的充要条件 ④“”是“为偶函数”的充要条件 则上述结论中正确的结论是___________（写出所有正确结论的编号）． 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）函数的对称轴为_______________. 9．（24-25高一下·湖北恩施·期中）写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可） 题型六：知图求解析式 1．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）函数一个周期的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数的减区间为 3．函数的部分图像如图所示，则（   ） A．的一个对称中心为 B．的图像关于直线对称 C．在上是增函数 D．的周期为 4．（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试数学试题）若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则_____________，_____________． 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示，则______，______． 7．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 题型七：根据正弦函数的性质，求ω的取值范围 1．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．5 5．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 题型八：综合应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最大值为1. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若将函数的图像向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数，若方程在内有唯一解，求的取值范围. 3．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的周期及图象的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知，是函数在上的两个零点，且，求及的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $