第六章 三角（高效培优单元自测·提升卷）数学沪教版高一必修第二册

第六章 三角（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．计算：_____. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】首先利用角的变换，以及两角和差的正弦和余弦公式化简，再利用和差化积公式化简，最后代入求值. 【详解】原式    ①， 又 将代入①式得原式． 故答案为： 2．已知，均为锐角，，，则_____________，则_____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据三角函数的基本公式和性质，分别求解和的值. 【详解】、均为锐角，，， ，． ， 又，， ， ， ． 故答案为：，. 3．已知，则_________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】由和差公式得，再由平方关系可求得，再由倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 又，所以，. 故答案为： 4．已知，则___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先讨论的情况，结合同角三角函数的平方关系排除矛盾，再运用同角三角函数的基本关系（切弦互化），并根据两角差的正切公式化简，最后代入求解即可. 【详解】由题意得，即， （若 ，则 ，与 矛盾，故 .） 所以两边同除以 ：， 所以，即 ， 又因为， 代入 和 ： 所以. 故答案为：. 5．在中，角的对边分别为，若且，则__________． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用三角形内角和的性质推出角，再利用正弦定理化简并求解． 【详解】三角形内角和， ， ， ，故， C是三角形内角，，故，则， ， ， 根据正弦定理得， ， ． 故答案为：4． 6．已知，则___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先对平方求出值，并判断正负，最后求解. 【详解】对两边平方，得， 即， 又因为，所以，，即， 所以. 故答案为：. 7．所对的三边为，则的最小值___________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等式得出值域，构造函数利用函数单调性求最小值． 【详解】， ，故， 由正弦定理得， ，故， 由余弦定理得，又， ，故， ， ，，， （，）， 令，，则，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ． 故答案为：． 8．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】求出正三角形的面积，圆弧的长度，故一个弓形的面积为圆弧所对的扇形的面积减去正三角形的面积，从而得到“莱洛三角形”的面积. 【详解】正三角形的面积为，圆弧的长度为， 故弓形的面积为， 故“莱洛三角形”的面积为. 故答案为：. 9．在锐角中，若，则的最小值是________ 【答案】8 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值. 【详解】由，得， 因为为锐角三角形，所以均大于0， 所以， 又 ， 所以， 解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 10．在中，已知，，则的面积为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用辅助角公式以及正弦、余弦函数的有界性可得出、、的值，利用余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】因为，即， 其中为锐角，且， 由，所以，， 因为，，则， 又因为，故， 因为，则，故，所以， 所以，， 因为，，则， 因为，则，所以，所以， 由余弦定理可得， 可得，故. 故答案为：. 11．已知，则___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】先求，再利用二倍角公式，进而求解即得. 【详解】由题意有：， 所以 ， 故答案为：. 12．设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则______________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理将已知等式进行边化角，再利用两角和差公式和诱导公式即可得解. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为，所以，所以． 故答案为：. 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先通过弧长公式求出小扇形半径，再结合的长度得到大扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧CD的长为， 代入弧长公式可得，解得．所以． 由扇形面积公式可得，， ， 所以此扇面的面积． 故选：C. 14．下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用两角和的正切公式变形后判断①，由正弦定理化边为角后变形求解判断②③，结合诱导公式判断④. 【详解】①， 由得， 所以， 中最多只有一个钝角，中最多只有一个负数， 因此，从而均为锐角，①正确； ②若，则由正弦定理得，从而，而三角形中，所以或,所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，②错； ③若，由正弦定理得， 即，在中，，故恒成立， 因此，条件对任意三角形都成立，不能据此判断是等腰三角形，故③错误； ④若，则， 又由知为锐角，所以或， 即或，则不一定是直角三角形，④错，因此正确的命题有1个， 故选：A. 15．已知，，，则（    ） A．M的最小值为 B．M的最大值为1 C．N的最小值为0 D．N的最大值为 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】整理可得，换元令，可得，，，结合函数单调性分析最值即可. 【详解】因为，即， 若，即，则，显然不成立， 可知，则， 令，则，， 可得，解得， 对于选项AB：因为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 则，且， 可知在内有最小值0，最大值为， 即M有最小值0，最大值为，故AB错误； 对于选项CD：因为， 因为在内单调递增， 则，且， 可知在内有最大值，最小值为， 即N有最大值，最小值为，故C错误，D正确. 16．已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】由得，即， 由于，为锐角，故， 设，则 ， 令，当且仅当时取到等号.故的最大值为. 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）已知，求的值； （2）． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.49 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据题意，利用两角和与差的余弦公式，列出方程组，求得，的值，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）根据两角和的正切公式，求得，代入计算，即可求解. 【详解】解：（1）因为， 可得，解得，， 则． （2）由， 可得， 所以. 18．如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点（不与点，重合），过点引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值． 【答案】当时，的面积取得最大值，最大值为 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】根据求得和，进而在中利用正弦定理求得和，进而利用三角形面积公式表示出，利用两角和公式化简整理后，利用的范围确定三角形面积的最大值． 【详解】因为，所以，． 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，． 所以 ，． 所以当时，的面积取得最大值，最大值为． 19．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】积化和差公式、有条件的恒等式证明、给值求值型问题 【分析】（1）将两角和与差的余弦公式进行相加除以2即可证明； （2）令代入后并利用二倍角公式即可得的值； （3）利用和诱导公式代入计算即可证明. 【详解】（1）利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . （2）已知， 利用（1）的恒等式，令，则： 结合已知条件，得； . （3）， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 20．在中，角，，所对的边分别为，，.满足 (1)求角的大小； (2)设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理结合条件可得，即可求解； （2）根据余弦定理可得；利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， （ⅰ）因为，即， 化简，解得（舍），. 所以. （ⅱ）由， 则， 则，， 所以 . 21．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【难度】0.4 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到，因为为锐角，所以. （2）设，，则，在中和在中，由正弦定理联立得，因为，所以，求出的最小值. 【详解】（1）由，两边平方得，故， 所以的面积， 由余弦定理及， 得， 因为，所以，因为为锐角，所以. （2）设，，则， 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 则①， 在中，由正弦定理得， 则②， 由①②得，， 因为，所以，所以 所以，故的最小值为1. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 三角（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．计算：_____. 2．已知，均为锐角，，，则_____________，则_____________． 3．已知，则_________. 4．已知，则___________． 5．在中，角的对边分别为，若且，则__________． 6．已知，则___________． 7．所对的三边为，则的最小值___________． 8．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为__________. 9．在锐角中，若，则的最小值是________ 10．在中，已知，，则的面积为__________. 11．已知，则___________． 12．设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则______________． 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 14．下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．已知，，，则（    ） A．M的最小值为 B．M的最大值为1 C．N的最小值为0 D．N的最大值为 16．已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）已知，求的值； （2）． 18．如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点（不与点，重合），过点引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值． 19．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 20．在中，角，，所对的边分别为，，.满足 (1)求角的大小； (2)设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 21．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $