专题04 三角形与四边形（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 三角形与四边形 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新情境 新设问 新考法 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型 1：特殊三角形性质与判定 题型 2：三角形全等证明与计算 题型 3：三角形相似判定与比例计算 题型 4：解直角三角形（三角函数综合） 题型 5：三角形多结论判断题 题型 6：三角形线段 / 周长 / 面积最值问题 题型 7：三角形新定义几何问题 题型 8：三角形尺规作图与计算证明 题型 9：三角形动点与存在性问题 题型 10：三角形手拉手模型 题型 11：三角形与圆综合 题型 12：平行四边形的判定与性质综合 题型 13：矩形折叠与计算 题型 14：菱形性质与面积、对角线综合 题型 15：正方形旋转、全等、相似综合 题型 16：特殊四边形的多结论判断 题型 17：四边形中的动点问题 题型 18：四边形线段、周长、面积最值 题型 19：中点四边形模型应用 题型 20：四边形与坐标系综合 题型 21：特殊四边形存在性问题 题型 22：四边形与三角形综合证明 题型 23：四边形新定义与阅读理解题型 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新情境凸透镜成像规律问题】（考查相似三角形、全等三角形判定与性质，及跨学科数学建模能力） 1．（2025·广东广州·模拟预测）综合与实践 [项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘 [项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． [项目素材] 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折 射后光线经过焦点． 素材二：设物距为，像距为和焦距为，小明在研究的过程中发现了物距，像距和焦距之间在成实像时存在着一定的数量关系． 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明取物距，然后画出光路图（如图①，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴（即图中的点斜线），折射光线经过焦点为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； (2)小明取物距．当时，，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角形全等的知识解释； (3)小明取物距，探究一般情况下物距，像距和焦距之间在成实像时存在的数量关系．如图③，为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点为所成的像，主光轴，主光轴．焦距，物距，像距．求证：；         【新设问抛物线与菱形存在性问题】（考查抛物线性质、菱形判定、坐标与图形综合，及分类讨论思想） 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【新考法矩形轨迹探究最值问题】（考查矩形性质、相似三角形、轴对称性质，及轨迹分析与最值求解） 3．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图①，在矩形中，，，点E在边上，点F在射线上，且，连结、交于点M，若点P是边上的一个动点，连结、，试探究的最小值． 【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线的对称点，连结、PM，由对称性可知，利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当、P、M三点共线时，，进而问题转化为探究的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题． 其次，小明发现可通过证明，得出，进而可知，即可确定点M的轨迹． 以下是证明的部分过程 证明：在矩形中， ， 证明过程缺失 请你补全上述缺失的证明过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M，使的值最小，此时的最小值为________．（保留作图痕迹） 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 特殊三角形性质与判定 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点． (1)求证：； (2)当为等腰三角形时，请直接写出的长； 2．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，，则________； （3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值． 题型02 三角形全等证明与计算 4．（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 5．（2026·浙江·模拟预测）正方形中对角线相交于，为上一点，交于，交于． (1)说明的道理； (2)在（）中，若为延长线上，交的延长线于，的延长线交于，其他条件不变，如图，则结论：“”还成立吗？请说明理由． 6．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ； （2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 题型03 三角形相似判定与比例计算 7．（2026·湖南衡阳·一模）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】（1）求证：； 【模型应用】（2）若，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 8．（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，满足． (1)若射线交于点，求证：； (2)若，求的长； (3)若，求点在边上的位置． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形，连接，作的角平分线交于，过作，分别交线段、于点、． (1)求证：； (2)当时，是___________三角形，求的值； (3)当时，求的值．（请用表示）． 题型04 解直角三角形（三角函数综合） 10．（2026·陕西西安·二模）如图①是我市路政部门正在维修路灯的实物图片，图②是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂，下折臂端点到地面的距离是．求路灯的高． 11．（2026·重庆·模拟预测）期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：） (1)求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）； (2)小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数） 12．（2026·山东·一模）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： (1)探究原理： 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角，请说明这两个角相等． (2)实地测量： ①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，测得旗杆底部B处的俯角为，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为12米． 请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 题型05 三角形多结论判断题 13．（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 14．（2025·北京·模拟预测）已知的两条中线与交于点，连接．若，，下列四个结论正确的是（   ） ①；②的最小值是；③的面积最大值是3；④； A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 15．（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，，点分别在上，且均不与各顶点重合，的面积分别为．给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型06 三角形线段 / 周长 / 面积最值问题 16．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 17．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有______．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    题型07 三角形新定义几何问题 18．（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 19．（2025·河南驻马店·三模）定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 20．（2025·上海金山·模拟预测）如图1，我们定义：在中，，的三角形成为“对等三角形”，在“对等三角形”的边上，有一动点，使“对等三角形”分为和四边形．将沿着直线翻折，记的对应点为． 已知为“对等三角形”． (1)如图2，当点与点重合时，求证： (2)当点在线段的延长线上时，连接，交于点F，直线经过的重心，求的值； 题型08 三角形尺规作图与计算证明 21．（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 22．（2026·山东滨州·一模）如图，直线，被所截，． (1)请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式． 23．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型09 三角形动点与存在性问题 24．（2025·山西太原·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 25．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型10 三角形手拉手模型 27．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型． 如图①，和中，，，且，连接，． 请找出图中的一对全等三角形：________． 【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若 求的长． 某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程： 如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以．又 过点A作于点．又…… 请将上述过程补充完整． 【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________． 28．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】（1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】（3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】（4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 29．（2024·甘肃陇南·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，求证：． 【模型应用】（2）如图 2，在等边中，点M是延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【模型迁移】（3）如图3，在等腰中，，，，点M是上的任意一点（不含端点B、C），连结，以为边作等腰，使顶角．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． 题型11 三角形与圆综合 30．（2026·陕西西安·一模）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】（）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 31．（2025·广东东莞·二模）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法． 【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务． 【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，现测得，求出该圆的半径． 【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得 ①判断直线与的位置关系，并说明理由； ②直接写出的半径为______ 32．（2025·浙江宁波·二模）已知内接于圆，作外角的角平分线交圆于点A，连结，． (1)如图1，求证：为等腰三角形． (2)如图2，若过圆心，、交于点F，，，求． (3)如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆的半径． 题型12 平行四边形的判定与性质综合 33．（2025·安徽·一模）在四边形中，，，点在边上，连接，，交于点． (1)若，如图1．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若点是的中点． ①求证：； ②若，，，求，的长． 34．（2025·湖北·模拟预测）已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 35．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 题型13 矩形折叠与计算 36．（2025·安徽亳州·二模）如图，矩形，，，点H为上一点，将沿着翻折至，与交于点E，连接交于点F，．则_______；的长为_______． 37．（2025·新疆·模拟预测）如图，矩形，点在射线上，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点． (1)求证：． (2)如图，若点落在边上，且，求的长． (3)如图，点为中点，连接，，点在射线上运动过程中，求长的最大值． 38．（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E； (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 题型14 菱形性质与面积、对角线综合 39．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 40．（2025·广东深圳·一模）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 41．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 题型15 正方形旋转、全等、相似综合 42．（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】（1）如图1，当时，________； 【类比探究】（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 43．（2025·江西·模拟预测）如图，在矩形中，E为对角线上的一个动点，以D为直角顶点，向右作 ，使得 ，且 ，连接． 【特例感知】(1)如图(1)，若 ，则 ，是 三角形(填“直角”，“等腰”或“等腰直角”)． 【类比迁移】(2)如图(2)，猜想，，的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】(3)若，． ①求的最大面积； ②当面积最小时，求的长． 44．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出： (1)如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，连接，当，请直接写出线段之间的数量关系______． (2)如图2，在现代化智能农场中，有一四边形试验田，，，，．为实现精准施肥，走走决定在边上设置施肥装置E，连接，在点C关于的对称点F处设置一智能控制中心．连接并延长与交于M，连接并延长与交于G，其中为肥料输送管道，为输水管道．为避免干扰其他区域，点M、G均在线段上．因农场的小型机器人在运输时需穿行边，为确保安全、顺畅通行，走走现需了解管道间距的最大值．请问是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请帮走走求出的最大值． 题型16 特殊四边形的多结论判断 45．（2025·北京朝阳·二模）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．给出下面四个结论：①平分；②；③； ④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 46．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，，连接，交对角线于点．以下结论：①是等腰三角形；②；③；⑤．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（2025·四川眉山·一模）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 题型17 四边形中的动点问题 48．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； (2)【深入探究】E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 49．（2025·宁夏吴忠·一模）综合与实践 【问题提出】（1）如图1，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，求证：； 【类比探究】（2）如图2，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交于点H．若，点H为的中点，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交直线于点H．当时，求的长 50．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践． 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 题型18 四边形线段、周长、面积最值 51．（2026·江苏南通·模拟预测）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 52．（2025·广东揭阳·一模）综合应用 【问题感知】（1）如图①，在等边中，，点、分别在边、上，若是中点，则线段长度的最小值为________． 【问题呈现】若图①中“是中点”改为“”，再求线段长度的最小值． 【问题解决】（2）如图②，若把等边中“是中点”改为“”，如何求线段的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．则为________度，线段长度的最小值为________． 【应用迁移】（3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，．若点在上，点在上，．求钢丝绳的最小值． 53．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值； 问题解决 （3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 54．（2025·山东日照·三模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 题型19 中点四边形模型应用 55．（2025·河南南阳·二模）（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 56．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，，，，…… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 57．（2025·山东聊城·一模）综合与实践 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作：第一步，任意画出一个四边形．第二步，取四边形四条边的中点．第三步，顺次连接四个中点，得到一个新的四边形．（叫做中点四边形）根据以上操作，老师展示了四位同学的四个图形，并共同进行了探究，请你根据这四位同学作出的图形解决下列问题． (1)通过作图、测量，猜想：中点四边形的形状与原四边形对角线的数量关系和位置关系有关．请你根据图形填写下表． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 图形 不相等、不垂直 平行四边形 图① 图② 图③ 图④ (2)请你根据图④写出已知、求证、证明． 题型20 四边形与坐标系综合 58．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当 秒时，； (3)设的面积为，求与的函数关系式； (4)在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 59．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 60．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，点是抛物线与轴正半轴的交点，点在这条抛物线上，且点的横坐标为2．连接并延长交轴于点，抛物线的对称轴交于点，交轴于点．点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求直线对应的函数解析式． (2)当四边形为矩形时，求点Q的坐标． (3)设线段的长为． ①求关于的函数解析式； ②请直接写出当随着的增大而减小时，的取值范围． 题型21 特殊四边形存在性问题 61．（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 63．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 题型22 四边形与三角形综合证明 64．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 65．（2025·湖北襄阳·一模）在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． (1)如图1，求证：； (2)连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 66．（2025·西藏日喀则·三模）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，． (1)填空：_____．（填“＞”或“＜”或“＝”） (2)线段，，什么关系？请说明理由． (3)设，的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值． (4)请直接写出使是等腰三角形的m值． 题型23 四边形新定义与阅读理解题型 67．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合． 【研究对象】 如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________； 【性质探究】 （2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在筝形中，，求对角线，的长． 68．（2025·山东淄博·一模）东汉末年，我国古代数学家赵爽在《周髀算经》注中用一幅“弦图”巧妙证明了勾股定理．这幅图（如图）由四个全等的直角三角形（称为“朱实”）和一个小正方形（称为“黄实”）拼成一个大正方形．其中，，四边形恰为正方形，体现了“数形相生”的思想．今年月日，恰逢学校数学文化节，数学社的同学们接到了一项实践探究任务：仿照赵爽弦图，探究图形的分解与再生． (1)任务一：弦图生变，形解三角 某数学探究小组受赵爽弦图的启发，将正方形变成三角形，如图所示，在正的内部，构造，，，，两两相交于，，三点（，，三点不重合）．①请探究，，是否全等？②是否为等边三角形？请说明理由． (2)任务二：弦图拓新，巧构六合 该数学探究小组仿照赵爽弦图，利用个全等的三角形和一个小的正六边形，拼成一个大正六边形，如图所示，若点为的中点，求大正六边形与小正六边形的面积比． (3)任务三：弦图妙用，面积探究 该数学探究小组又尝试将正方形变成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形，请探究与是否相似？并说明理由．若，，连结，，求矩形的面积． 69．（2025·广西·一模）【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】（1）请直接写出的值，_____； 【类比探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 70．（2025·山东济南·模拟预测）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1），在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们完善证明过程． 证明：∵四边形是矩形，则， ∴________°， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（________）， ∴， ∴， ∴_____________（请写比例式）， ∵， ∴________． 【深入探究】同学们分组进行探究，明志组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． 【拓展提升】致远组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，请你帮助致远组求出的长． 二阶·素养进阶练 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知正方形的边长为4，是对角线，点E在线段上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，点G在线段上运动． （ⅰ）当点G为线段的中点时，求的最大值； （ⅱ）如图3，当时，求的最小值． 2．（2026·山东滨州·一模）【问题情境】 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】(1)请求出图③中圆心到的距离； (2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 3．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 问题情境：如图1，是等腰直角三角形纸片，将边对折，折痕交边于点，交边于点，再沿过点且平行于边的直线将向右折叠，折痕交边于点，连接、． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，将展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图2，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，在旋转的过程中，连接，取中点，连接，则的最小值是______； 问题解决： （4）在（2）（3）的条件下，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 5．（2026·江苏南通·一模）如图所示，边长为的正方形两对角线相交于点O，，绕着点自逆时针方向旋转，交直线于点、． (1)如图1所示，当绕着点旋转到恰好平分时，试证明； (2)如图2所示，当绕着点旋转，边、恰好位于两侧，且，计算三角形的面积； (3)如图3所示，射线旋转到正方形外侧，与直线相交于点F，令，令，请写出与的关系． 6．（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，满足． (1)若射线交于点，求证：； (2)若，求的长； (3)若，求点在边上的位置． 7．（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】（1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】（3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且． ①求证：． ②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 8．（2026·江西·模拟预测）图（1）是一个简易挂钩，图（2）是其侧面抽象平面示意图（忽略挂钩材料的厚度），其中，．部分粘贴至墙面固定，部分可绕点A向上旋转，最大旋转角度为． (1)当部分旋转至最大角度时，点B，A，C共线． ①此时点B，C之间的距离是 ； ②求点F运动的路径长． (2)如图（3），连接，当部分旋转至时，求点F到的距离（参考数据：，，，结果精确到）． 9．（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 10．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）    (1)直接写出C、F两点的坐标． (2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式． (3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值． 真●题●验●证 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（   ） A．2 B． C．4 D． 8．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 9．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 10．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 11．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 12．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 13．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 14．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 16．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 17．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 19．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 20．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形与四边形 目 录 第部分风向速递洞察考向，感知前沿 ☑新情境 ☑新设问 了新考法 第二部分分层突破固本培优，精准提分 一阶题型靶向练 题型1：特殊三角形性质与判定 题型2：三角形全等证明与计算 题型3：三角形相似判定与比例计算 题型4：解直角三角形（三角函数综合） 题型5：三角形多结论判断题 题型6：三角形线段/周长/面积最值问题 题型7：三角形新定义几何问题 题型8：三角形尺规作图与计算证明 题型9：三角形动点与存在性问题 题型10：三角形手拉手模型 题型11：三角形与圆综合 题型12：平行四边形的判定与性质综合 题型13：矩形折叠与计算 题型14：菱形性质与面积、对角线综合 题型15：正方形旋转、全等、相似综合 题型16：特殊四边形的多结论判断 题型17：四边形中的动点问题 题型18：四边形线段、周长、面积最值 题型19：中点四边形模型应用 题型20：四边形与坐标系综合 题型21：特殊四边形存在性问题 题型22：四边形与三角形综合证明 题型23：四边形新定义与阅读理解题型 二阶素养进阶练 第三部分真题测验证对标中考，感悟考法 风●向●速●递 >【新情境凸透镜成像规律问题】（考查相似三角形、全等三角形判定与性质，及跨学科数学建模能力） 1.（2025广东广州模拟预测)综合与实践 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘 [项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律。 [项目素材] 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折 射后光线经过焦点 素材二：设物距为4，像距为v和焦距为∫，小明在研究的过程中发现了物距4，像距v和焦距∫之间在成 实像时存在着一定的数量关系. 图① 图② 图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明取物距u=1.5f,然后画出光路图（如图①，其中AB为物体，0为凸透镜MN的光心，入射光线 AC∥主光轴（即图中的点斜线），折射光线CA'经过焦点F,A'B'为AB所成的像.根据光路图①可知，当 u=1.5f时，物体经凸透镜折射后成 (填“放大”或“缩小“或“等大”)的倒立实像； (2)小明取物距4=2f.当u=2f时，v=2f，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三 角形全等的知识解释： (3)小明取物距u>f,探究一般情况下物距，像距v和焦距∫之间在成实像时存在的数量关系.如图③， AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC∥主光轴，折射光线CA经过焦点F',A'B'为AB所成的 像，AB⊥主光轴，AB⊥主光轴.焦距OF=OF'=f,物距OB=AC=u,像距OB'=v.求证： 1+11 【答案】(1)放大 (2)解释证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三 角形的判定和性质是解题的关键， (1)根据题意证明△ABO∽△AB'O,△COC'∽△A'B'C',得到OB'=3f,继而得到A'B'=2AB,即可得到答 案； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明△AOB≌△AOB'(ASA)即可得到结论： (3)证明a0A'Pn△AA'C,得到”-2+1，证明△A0B∽△A'0B'得到=”，即可得到结论. f b 【详解】(1)解：由图①可知，ABI0CIA'B',AB=OC, AAB0n△A'B'0,△COC'∽△A'B'C', A'B'OB'A'B'B'C" AB OB CO OCT' 即4R、OB A'B'B'C' AB-1.5'AB OB'B'C' 1.5f f, 0B'=1.5B'C',即0B'=1.50B'-f)）, ..OB'=3f, A'B'OB' 3f AB OB 1.5f =2, ∴.A'B'=2AB, 物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像， 故答案为：放大； (2)证明：：u=2f,v=2f, A F 2F.u=v=2f,即OB=OB. 图② AB⊥主光轴，AB⊥主光轴， ∠AB0=∠A'B'0=90°. 「∠ABO=∠AB'O 在AOB和△A'OB'中， OB=OB' ∠AOB=∠AOB ∴△AOB≌AA'OB'(ASA), :AB A B', :物高等于像高，即物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明：如图，设OA=a,OA=b. :AC与主光轴平行， △OA'F'∽△AA'C, OF OA u a+b' 整理得： ”=0+1.① f b AB⊥主光轴，A'B⊥主光轴， ·LAB0=LA'B'0=90°. 又：∠AOB=∠A'OB', △A0B∽△A'0B', OA OB OA'OB' 即=“.② M N 图③ 把②代入①得： =“+1, f v 1,11 整理得十了 ●【新设问抛物线与菱形存在性问题】（考查抛物线性质、菱形判定、坐标与图形综合，及分类讨论思想） 2.(2025江苏常州模拟预测)如图，抛物线y=x2+2x-6与X轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 与y轴交于点C,连接AC,BC. 备用图 (1)点B的坐标是-，点C的坐标是- (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线I交线段AC于点D. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①试探究：在直线l上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线I交于点M,与直线AC交于点N.当SADMN=S△4oc时，请求出DM的长. 【答案】(1)(2,0)；(0,6) 2①存在，点E的坐标为-6，-8)或(2-25,25)：②30 【分析】(1)解方程)x2+2x-6=0可求得A、B的坐标，令x=0,可求得点C的坐标，即可得解： (2)①设点D的坐标为m,-m-6),其中-6<m<0,可得BD2=(m-22+(m+6)2,BC2=22+62=40, DC2=m2+(-m-6+6=2m2,分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点D的坐标为m,-m-6),其中-6<m<0,由直线1∥BC可设直线1的解析式为y=3x+b,由点D的 坐标可得b=-4m-6,则M(-2,-4m-12),根据AC的函数表达式可得N(-2,4,求出MN,根据 S△DMw=SA4oc可求得m,求出点D,点M的坐标，即可得DM的长。 【详解】(1)解：当y=0时，。x2+2x-6=0,解得：x=-6,3=2, :点A在点B的左侧 A-6,0),B2,0), 当x=0时，y=6,即C(0,-6) 故答案为：(2,0)，(0，-6). (2)解：①存在，理由如下： :A-6,0),C0,-6, :直线AC的函数表达式为y=-x-6, 设点D的坐标为m,-m-6,其中-6<m<0, :B2,0,C(0,-6), BD2=(m-2+m+6)2,BC2=2+62=40,DC2=m2+(-m-6+6)=2m2, :DE∥CB, “当DE=BC时，以点D,C,B,E为顶点的四边形为平行四边形， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分两种情况： 如图，当BD=BC时，四边形BDEC为菱形， E :BD2=BC2, ÷(m-2)+(m+6)=40,解得：m,=-4,m2=0（舍去)， “点D的坐标为-4，-2)， :点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E, .点E的坐标为-6，-8)： 如图，当CD=CB时，四边形CBED为菱形， B .CD2=CB2, 2m2=40,解得：m1=-2V5,m2=2V5(舍去)， ∴点D的坐标为-2V5,2V5-6), :点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E, :点E的坐标为2-2V5,25): 综上，存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为-6，-8或2-2V5,2V5 ②设点D的坐标为m,-m-6),其中-6<m<0, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②设抛物线的对称轴与直线I交于点M,与直线AC交于点N,当S△DMw=S△4oc时，请求出DM的长. A-6,0),B(2,0, ·.抛物线的对称轴为直线x=-2, :B(2,0,C(0,-6), 直线BC的函数表达式为y=3x-6; :直线l∥BC, .设直线1的解析式为y=3x+b, :点D的坐标m,-m-6, .b=-4m-6, .y=3x-4m-6 M-2,-4m-12), :抛物线的对称轴与直线AC交于点N, .N(-2,-4, MN=-4m-12+4=-4m-8, :S△DMw=S△4oc, -4m-8-2-m-×6x6,整理得：㎡+4m-5=0,解得：m=-5,m:=1(不符合题意，舍去)， 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 点D的坐标为(-5，-1， ∴点M的坐标为(-2,8)， DM=V-2+5)2+8+1)2=30 【点晴】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾 股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键 >【新考法矩形轨迹探究最值问题】（考查矩形性质、相似三角形、轴对称性质，及轨迹分析与最值求解） 3.(2025·吉林长春.三模)【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2、√2，点E在边AD上， 点F在射线DC上，且DF=√2AE,连结BE、AF交于点M,若点P是AD边上的一个动点，连结PC、 PM,试探究PC+PM的最小值 【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线AD的对称点C,连结PC'、PM,由对称性可知PC'=PC ,利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当C、P、M三点共线时，PC+PM=PC'+PM=C'M,进 而问题转化为探究C'M的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题. 其次，小明发现可通过证明△DAF∽△ABE,得出AF⊥BE,进而可知∠AMB=90°，即可确定点M的轨迹. 以下是证明∠AMB=90°的部分过程 证明：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90 :AB=2,AD=2√2 AD =√2 AB 证明过程缺 失 请你补全上述缺失的证明过程 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M,使 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PC+PM的值最小，此时PC+PM的最小值为 (保留作图痕迹) C' B 图① 图② 图③ 【答案】问题分析：见解析；问题解决：图见解析，√7-1 【分析】问题分析：由题意可得D5=4D=V2,结合∠EAB=∠FDA=90°，即可得证： AE AB 问题解决：证明出点M再以AB为直径的圆上，作线段AB的垂直平分线，交CD于G,交AB于O,以O为 圆心，OA为半径画圆，则点M的轨迹即为所求，结合题意可得DG=A0=OM=1,G0=AD=2√2， ∠DG0=90°，作点C关于直线AD的对称点C,连结OC'交AD于P,交⊙O于M,连接BM并延长交 AD于E,连接AM并延长交CD于F,则C'D=CD=2,再结合勾股定理计算即可得解. 【详解】问题分析：证明：在矩形ABCD中，LBAD=∠ADC=90° :AB=2,AD=2√2 AD=2, AB :DF=√2AE, DF -2, A DF AD= AE AB :∠EAB=∠FDA=90°， △DAF∽△ABE; :△DAF∽△ABE, ∠ABE=∠DAF, :∠BAF+LDAF=90°， ∠BAF+∠ABE=90°， ∴.∠AMB=180°-（∠BAF+∠ABE)=90°， 点M再以AB为直径的圆上， 问题解决：作线段AB的垂直平分线，交CD于G,交AB于O,以O为圆心，OA为半径画圆，则点M的轨 迹如图所示： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D GF E 则结合题意可得：DG=A0=0M=1,G0=AD=2V2,LDG0=90°， 作点C关于直线AD的对称点C,连结OC'交AD于P,交⊙O于M,连接BM并延长交AD于E,连接 AM并延长交CD于F,则C'D=CD=2, .C'G=C'D+DG=3,PC+PM=PC'+PM =C'M, ∴0C'=C'G2+0G2=32+(22=7, .C'M=0C'-0M=V17-1, ∴PC+PM的最小值为√17-1. 【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆周角定理、轴对称的性质等知 识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 分●层●突●破 ◆阶·题型靶向练< 题型01特殊三角形性质与判定 1.(2026黑龙江哈尔滨.一模)在ABC中，AB=AC=5,BC=6,将ABC绕点A按逆时针方向旋转， 得到ADE,旋转角为a(0°<a<I80),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E.如图所示，设边 AD与BC交于点M,边DE分别交BC,AC于点F,N. 备用图 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10