专题24 概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）10大题型（专题专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题24 概率与统计解答题全归纳 （含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）10大题型 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01离散型随机变量的分布列、期望与方差 题型02二项分布与超几何分布 题型03正态分布 题型04条件概率、全概率与贝叶斯公式 题型05独立性检验与线性回归方程 题型06决策性问题 题型07赛制问题 题型08马尔科夫链 题型09概率与数列综合 题型10概率与导数综合 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1. （2026·贵州贵阳·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球. (1)记取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和期望； (2)已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率. 2. （2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 3. （2026·山东烟台·一模）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 4. （2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 5. （2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 6. （25-26高三上·山东菏泽·月考）某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 7. （2026·陕西·模拟预测）甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： (1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； (2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； (3)甲在比赛中获胜的概率. 8. （2025·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 9. （2026·四川攀枝花·一模）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 10. （2026·广东肇庆·二模）学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． (1)当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． (2)若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． (3)当时，证明：期望． 01离散型随机变量的分布列、期望与方差 11. （2026·河北·一模）人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响. (1)当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大? (2)当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 12. （2026·重庆九龙坡·一模）在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 13. （24-25高二下·广西南宁·期中）若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 14. （2024·四川成都·三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 02二项分布与超几何分布 15. （2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 16. （2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. （2026·河南开封·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 18. （2026·浙江·一模）现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. (1)若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； (2)若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 03正态分布 19. （2025·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 20. （2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 21. （2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 04条件概率、全概率与贝叶斯公式 22. （2025·重庆沙坪坝·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为. 甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为; 乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为. 在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响. (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率； (2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止. （i）设事件“甲在第轮活动中答对”，求； （ii）设停止游戏时进行了轮游戏，求. 23. （2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 24. （2025·河南驻马店·模拟预测）2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 25. （24-25高三下·山东聊城·月考）某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. (1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； (2)科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 26. （2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 27. （2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 05独立性检验与线性回归方程 28. （2026·宁夏银川·一模）血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成年人中采用随机抽样的方法抽取了150名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日进行30分钟以上中等强度的运动，且每周运动5天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.统计的部分数据如表. 运动情况 是否得高脂血症 合计 得高脂血症 未得高脂血症 “非运动者” 45 “运动者” 55 75 合计 150 (1)计算，的值，并依据的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？ (2)该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13人，并进行饮食方面的调查，然后从这13人中随机抽取2人作饮食指导，记这2人中“运动者”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 29. （2026·江苏扬州·一模）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 30. （2026·内蒙古包头·模拟预测）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响，用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 06决策性问题 31. （2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 32. （2025·全国·模拟预测）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 33. （2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 07赛制问题 34. （2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 35. （2026·河南南阳·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 36. （2025·四川南充·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式，某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. (1)求比赛结束后甲获胜的概率； (2)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 37. （24-25高二下·广东深圳·期末）是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 38. （2025·海南·模拟预测）甲､乙两种人工智能模型进行某种棋类比赛，已知甲每局获胜的概率是，没有平局，每局比赛相互独立． (1)假设比赛中连胜2局者获胜，比赛随即结束．若4局比赛后比赛结束，且甲获胜的概率等于乙获胜的概率的2倍，求的值； (2)假设甲和乙比赛3局，每局胜者得1分，负者得0分，表示甲的总得分，求的分布列和数学期望；（结果用含的式子表达） (3)设表示甲首次获胜时已比赛的局数，求，并说明其与的关系．（结果用含的式子表达） 08马尔科夫链 39. （2024高三·全国·专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 40. （23-24高三上·贵州黔西·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列（且）； (3)求的期望（用表示，且）. 41. （2024·云南·模拟预测）材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 09概率与数列综合 42. （2025·云南·模拟预测）足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 43. （2025·四川·模拟预测）在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为． (1)若，求队以的比分赢得比赛的概率； (2)若，数列满足，记数列的前项和为，求证：； (3)当时，若，有，求的取值范围． 44. （2025·江西·二模）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷次后，球在乙手中的概率为． (1)求和； (2)求数列的通项； (3)设，数列的前项和为，若，证明：． 45. （2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. (1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 08概率与导数综合 46. （2025·广东广州·模拟预测）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 47. （24-25高二下·山东·期中）2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. (1)求的值； (2)取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 48. （2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 49. （2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 1．（2025·河北·模拟预测）一个袋子中有2个红球，2个白球和1个黑球，从中逐一取球，已知每个球被抽取的可能性相等. (1)若每次抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； (2)若每次抽取后不放回，求抽完红球所需次数的分布列及均值. 2．（2025·陕西咸阳·一模）小明和小王进行乒乓球比赛，其中小明每局赢的概率为，小王每局赢的概率为，且每局比赛之间互不影响． (1)若采用3局2胜制，求小王最终赢得比赛的概率； (2)若采用5局3胜制，在小明赢得比赛的条件下，求比赛需要的局数的期望． 3．（24-25高三上·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 4．（2025·陕西·一模）在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． (1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； (2)若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 5．（24-25高三下·广东·开学考试）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. (1)求程序运行2次小明获奖的概率； (2)若，求小明获奖的概率； (3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 6．（2025·广东·三模）甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 7．（2025·山东聊城·二模）周末双休，四个同学约好一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目．四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目． (1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率； (2)用X，Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数，记，求随机变量的分布列及期望． 8．（2026·河南鹤壁·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 参考数据：，， ． 参考公式：相关系数． 9．（2026·新疆·模拟预测）某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 (2)在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 10．（2026·四川泸州·二模）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 (1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： (2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 11．（2026·云南昭通·模拟预测）互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量. (1)若，求X的分布列以及均值，方差； (2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值. 12．（2026·山东枣庄·模拟预测）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98：如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为X和Y，求X的分布列，并分别求出X与Y的期望和方差． 13．（2026·云南·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)假设我市某区域现有9个充电桩，其中4个为快充桩，现对该地区现有的9个充电桩进行检查，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：，．） 14．（2026·陕西铜川·一模）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 15．（2026·新疆·一模）在正方形轨道的顶点A处有一个机器人，它每次移动会以的概率顺时针移动到轨道上相邻的顶点，或以的概率逆时针移动到轨道上相邻的顶点． (1)若，设机器人移动次后在顶点A的概率为． （i）求； （ii）求． (2)设机器人首次回到顶点A所移动的次数为随机变量，证明：对任意为定值． 16．（2026·湖北荆门·模拟预测）现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为．甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏． (1)甲将游戏币向上抛出4次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望； (2)甲将游戏币，，抛出，用Y表示落下时正面朝上游戏币的个数，求Y的分布列及其期望； (3)将这n枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜.请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 17．（2026·四川泸州·二模）某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 18．（25-26高三上·江西·月考）在正三角形的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为，跳向另外两点的概率均为.假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点处做第一次跳动. (1)求经过2次跳动后，机器蛙在顶点处的概率； (2)求经过次跳动后机器蛙在顶点处的概率； (3)记由前次跳动导致机器蛙在顶点处停留的总时间为随机变量（分钟），求. 19．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 20．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为． (1)求； (2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 概率与统计解答题全归纳 （含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）10大题型 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01离散型随机变量的分布列、期望与方差 题型02二项分布与超几何分布 题型03正态分布 题型04条件概率、全概率与贝叶斯公式 题型05独立性检验与线性回归方程 题型06决策性问题 题型07赛制问题 题型08马尔科夫链 题型09概率与数列综合 题型10概率与导数综合 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1. （2026·贵州贵阳·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球. (1)记取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和期望； (2)已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 【分析】（1）首先确定所有可能的取值，根据概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （2）根据概率乘法公式可求得所需概率，由条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为0，1，2， ； ；     ； 的分布列为： 0 1 2 ∴数学期望. （2）记事件“取到的黑球个数为2”，事件“第2次抽到白球”， 则事件“第1次和第3次抽到黑球，第2次抽到白球”； 因为.     所以， 即在抽取到2个黑球与1个白球的前提下，第2次抽到白球的概率为. 2. （2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 3. （2026·山东烟台·一模）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为19600，. 【分析】（1）因为单件产品检测合格包含真实合格且检测合格、真实不合格但误判合格两个互斥事件，所以用全概率公式计算，将两个事件的概率相加. （2）因为服从二项分布，所以先写出的表达式，将其看作关于的函数，再利用求函数最值的方法，比如求导或者利用组合数的性质分析函数的单调性，找到取最大值时的值. （3）因为近似服从正态分布，所以先将通过正态分布的标准化转化为标准正态分布的概率不等式，结合参考数据得到关于的不等式，再结合与、的关系，进而估计的最小值及相应的值. 【详解】（1）设“单件产品实际为合格品”为事件，“单件合格品检测为合格”为事件，“单件不合格品误判为合格”为事件，则由全概率公式知， ， 即单件产品的检测结果为合格的概率为. （2）因为每件产品的检测结果相互独立， 所以件产品中检测结果为合格的件数服从二项分布. 当时，. 令，其中，则 令，得，且， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值．因此. （3）由于为随机变量，由（2）可设. 且，所以. 因为，所以 所以， 将代入，整理得. 因为，所以， 由题知，近似服从， 所以，故， 由参考数据，故，解得. 又，所以恒成立. 因为时，取得最大值19600. 所以的最小值为19600，此时. 4. （2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 5. （2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)，具有很强的正相关性 (2) 0 1 2 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 6. （25-26高三上·山东菏泽·月考）某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)自研方案、采购方案的期望收益分别为万元、万元； (3)自研方案，理由见解析. 【分析】（1）根据已知及全概率公式分别求出两种方案对应的用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； （2）结合（1）所得概率，及表格数据求两种方案对应的期望收益； （3）由（2）所得并比较大小，即可得结论. 【详解】（1）若事件分别表示“高满意”、“中满意”、“低满意”， 对于自研方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； 对于采购方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； （2）由题设及（1），自研方案期望收益为万元， 采购方案期望收益为万元； （3）选择自研方案，理由如下： 由（2）所得的期望知，故该公司应选择自研方案. 7. （2026·陕西·模拟预测）甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： (1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； (2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； (3)甲在比赛中获胜的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为； (3). 【分析】（1）将所求概率的事件拆成两个互斥事件的和，再结合独立重复试验的概率公式求解. （2）求出的所有可能取值及各个值对应的概率，求出分布列并求出期望. （3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件，再利用条件概率公式及全概率公式计算得解. 【详解】（1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的事件是甲抢到2个题的事件与甲抢到3个题的事件和， 其概率为. （2）依题意，的所有可能取值为， 则， ， 所以的分布列为： 1 3 数学期望. （3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件， 则， ， ， 所以. 8. （2025·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，结合古典概型的概率公式可求得、的值； （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，求出的值，分析可知的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，由此可得出的值； （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，可得，推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【详解】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率， 由题可知：，. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得， 由题易得的所有可能取值为、、、， 且，       ，     ，      ，        所以的分布列为： 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为， 由题，可得，           而， ， ， 于是，， 也即，       首项为， 因此是首项为，公比为等比数列. 9. （2026·四川攀枝花·一模）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题，答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）（i）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明； （ii）根据（i）的结果并结合累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． （3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以. 10. （2026·广东肇庆·二模）学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． (1)当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． (2)若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． (3)当时，证明：期望． 【答案】(1)， (2)①，；②答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率计算即可. （2）根据对立事件、互斥事件等概率计算公式及数学期望计算公式计算即可. （3）求出数学期望的表达式，结合导数与单调性证明即可. 【详解】（1）拿到编号为1的奖品，，即至少有一次抽到1，所以. 拿到编号为2的奖品，，即没有抽到1，且至少有一次抽到2， 没有抽到1的概率为，没有抽到1且全抽到3的概率为， . 所以拿到编号1的盲盒对应奖品的概率是，拿到编号2的盲盒对应奖品的概率是． （2）①拿到编号不小于，，即每次抽到的编号都大于等于. 所以，. ②因为事件与事件互斥，所以， 即 所以随机变量的期望 （3）， 随机变量的期望 . 设，，， 当时，，等号成立； 当时， ，等号成立； 当时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 设， 因为， 所以，所以. 综上所述，. 01离散型随机变量的分布列、期望与方差 11. （2026·河北·一模）人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响. (1)当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大? (2)当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， . 【分析】（1）把老张通过两个环节的概率表示为关于a的函数，利用函数性质求概率最大时a的值； （2）求出三人能进入流片与测试环节的概率，由的可能取值求出对应的概率，列出分布列，由公式求数学期望. 【详解】（1）老张通过两个环节的概率为， 因为，所以当时，取得最大值. 所以当时，老张通过两个环节的概率最大. （2）当 时，老张进入流片与测试环节的概率为， 小李进入的概率，小军进入的概率， 设为能进入的人数，则的可能取值为， ， ， ， . 分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望为 . 12. （2026·重庆九龙坡·一模）在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式列方程，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【详解】（1）记乙、丙各自发现故障为事件，，由于事件相互独立， 则有，，解得，， 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，． （2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 13. （24-25高二下·广西南宁·期中）若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析. (2)， 【分析】（1）根据给定条件，求出X的所有可能取值及对应的概率，再列出分布列即得. （2）利用（1）的分布列计算数学期望和方差即可. 【详解】（1）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， ，或， ，或， ，或， ，或， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）由（1）可得 14. （2024·四川成都·三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3) 【分析】（1）根据频率和为1，即可求解； （2）首先确定高度在和的株数，再按照超几何分布，即可求解； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2. 所以，， 所以的分布列为： 所以 （3）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件， 则，， 所以. 02二项分布与超几何分布 15. （2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 16. （2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）通过列举法，结合古典概型概率公式求解； （2）首先列举幻觉率低于2%的AI模型的个数，以及低于1.3%的模型个数，再根据超几何分布公式求概率和分布列，以及数学期望. 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ，  ， ，  , 故分布列为 0 1 2 3 故. 17. （2026·河南开封·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率. （2）确定的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望. （3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件的概率. 【详解】（1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． （2）的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 18. （2026·浙江·一模）现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. (1)若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； (2)若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先确定每个袋子的装球情况，再结合全概率公式求解即可. （2）（i）先确定取出白球的个数服从二项分布，再结合二项分布的期望公式求解即可，（ii）结合题意得到掷骰子至多次就出现了次偶数，进而得到，再利用二项分布的对称性得到，最后求出即可. 【详解】（1）当时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白. 则由全概率公式得. （2）（i）由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为，则， 由二项分布的期望公式得. （ii）由题意得事件等价于前次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多次就出现了次偶数， 不妨设掷骰子掷满次，用表示其中掷出偶数的次数， 则，由题意得， 因为，所以解得， 故. 03正态分布 19. （2025·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【答案】(1)， (2)0.9545 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本平均数及方差的方法，求出样本均值和方差即可； （2）根据正态分布的性质，由方差和均值，判断结果即可. 【详解】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0. 20. （2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；② (2)28 【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可. （2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果. 【详解】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为 21. （2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为 (2)8186 (3)分布列见解析， 【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 04条件概率、全概率与贝叶斯公式 22. （2025·重庆沙坪坝·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为. 甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为; 乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为. 在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响. (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率； (2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止. （i）设事件“甲在第轮活动中答对”，求； （ii）设停止游戏时进行了轮游戏，求. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）4. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式，结合条件概率公式求解. （2）（i）求出的递推公式，再利用构造法求出通项；（ii）求出分布列函数，再利用期望公式列式，结合错位相减法求和，进而求出极限得解. 【详解】（1）设事件“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”，“甲乙在第轮活动中都答对”，， 则 ， ，， 所以两人第一轮也都答对的概率为. （2）（i）依题意，，而， 则，而，因此为常数列， 所以. （ii）由（i）得，则每一轮游戏可进行下去的概率为， ，， 令，则， 于是， 两式相减得， 因此， 所以. 23. （2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)第次或第次 【分析】（1）分情况列举出所有符合题意的事件，再利用条件概率公式进行求解即可； （2）设该游戏在第次停止的概率为，表示，通过作商确定的最大值. 【详解】（1）记“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “第次摸出红球，并且答题正确”，， “第次摸出黑球，并且答题正确”，， “第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，， 所以，， 因为，， ，， 所以， 又因为， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，， 所以， 所以. （2）设该游戏在第次停止的概率为， 则前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确， 所以， 所以， 令，解得，令，解得， 所以， 所以的最大值是，即该游戏在第次或第次停止的概率最大，最大值为. 24. （2025·河南驻马店·模拟预测）2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分别计算两方案中奖三次和中奖两次的概率，从而求得获得代金券金额的期望，比较期望选择较大的方案； （2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”，利用全概率公式即可求解，再利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）方案一中，中奖三次的概率为， 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为； 方案二中，中奖三次的概率为, 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为， 因为，所以该顾客选择方案一比较合适. （2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”， 由题意得， ，,， , , 所以已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率. 25. （24-25高三下·山东聊城·月考）某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. (1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； (2)科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 【答案】(1)株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，； (2). 【分析】（1）设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”，应用全概率公式求，再应用贝叶斯公式求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率； （2）根据已知分析随机变量的可能取值，并求出对应概率值，进而求期望即可. 【详解】（1）从甲、乙两个品种的杂交水稻中任取一株， 设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”， 则，，，， ∴， ，， 该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，. （2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， ∴的数学期望. 26. （2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【答案】(1) (2)该球取自乙箱的可能性更大 【分析】（1）由条件概率的定义，分别求出从甲箱摸出的球是黑球的概率和从乙箱摸出的球是黑球的概率，然后由全概率公式，即可得答案. （2）根据贝叶斯公式，分别求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比较其大小，即可得到答案. 【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则，，， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率， 该球取自乙箱的概率， 因为，所以该球取自乙箱的可能性更大. 27. （2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 【答案】(1) (2) (3)方案一 【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案； （2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解； （3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案. 【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率 . （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. 05独立性检验与线性回归方程 28. （2026·宁夏银川·一模）血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成年人中采用随机抽样的方法抽取了150名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日进行30分钟以上中等强度的运动，且每周运动5天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.统计的部分数据如表. 运动情况 是否得高脂血症 合计 得高脂血症 未得高脂血症 “非运动者” 45 “运动者” 55 75 合计 150 (1)计算，的值，并依据的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？ (2)该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13人，并进行饮食方面的调查，然后从这13人中随机抽取2人作饮食指导，记这2人中“运动者”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)，，能认为得高脂血症与不运动有关 (2)的分布列为： ，数学期望为 【分析】（1）利用合计数据求出，，再代入公式计算，与临界值比较判断是否有关. （2）先确定得高脂血症总人数，根据分层抽样求出抽样比，进而求解的分布列与期望. 【详解】（1）由题意可知：总样本数为，所以非运动者合计为， 因此，运动者合计为，则， 所以 ， 因为（对应的临界值）， 依据的独立性检验，能认为得高脂血症与不运动有关. （2）由（1）可知：得高脂血症总人数为人， 分层抽样抽取13人，抽样比为， 因此抽取的非运动者高脂血症患者为人， 运动者高脂血症患者为人， 表示抽取2人中运动者的人数，的可能取值为，则 所以的分布列为： 数学期望为：. 29. （2026·江苏扬州·一模）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 30. （2026·内蒙古包头·模拟预测）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响，用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 能认为满意程度与性别有关系 (2). 【分析】（1）利用独立性检验的步骤进行计算和分析； （2）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入总决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可. 【详解】（1）列联表 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 推断犯错误的概率不大于0.001； 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）依题意，设“答对第i道题”（，2，3）；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 依题意，， 所以； 06决策性问题 31. （2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】(1)模型①的小于模型②，模型② (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； （2）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 32. （2025·全国·模拟预测）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 【答案】(1) (2)方案一，理由见解析 【详解】（1），则，，结合正态分布的性质：和 ． 即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为 （2）设方案一的折扣为，则可以取，，， ，，， ． 设方案二的折扣为，则可以取，， 用，表示游客首次在第位置的概率， 则，，． 由题知，游客到达，位置，只有两种途径， 一种是从位置，掷到偶数，其概率为， 另一种是从位置，掷到奇数，其概率为， ，，． 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． ，，，，， 又， ，， ，，且 ，． 第二次到达①位置的概率． ． ，若想要获得最大优惠，游客应选方案一． 33. （2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 【答案】(1) (2) (3)，，选择方案二更合适 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，写出不同的期望，比较后即可判断. 【详解】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体， 亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数. （2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为 故所求概率为 （3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为200，100， 则 ， ， 所以. 若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为300，100. ①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 ； ②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 所以， 则， 所以， 所以， 则， 所以选择方案二更合适. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 07赛制问题 34. （2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)先派出乙． 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 35. （2026·河南南阳·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【详解】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． （2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． （3）时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 36. （2025·四川南充·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式，某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. (1)求比赛结束后甲获胜的概率； (2)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利试验的概率计算式计算即可； （2）由（1）可知甲获胜的概率，只需计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【详解】（1）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， 所以，，， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10,20,30， 所以，，, 所以比赛结束后甲获胜的概率. （2）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”， ， 所以， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 37. （24-25高二下·广东深圳·期末）是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为元． 【分析】（1）由题知的取值为，而甲进入决赛有可能答3或4道题，利用组合数计算概率即可. （2）由题可知的取值为，再利用二项分布计算概率，写出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为， ，， 记甲进入决赛为事件， 则甲进入决赛的概率为． （2）由题可知的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下： （元）， 即甲获得奖金的数学期望为元． 38. （2025·海南·模拟预测）甲､乙两种人工智能模型进行某种棋类比赛，已知甲每局获胜的概率是，没有平局，每局比赛相互独立． (1)假设比赛中连胜2局者获胜，比赛随即结束．若4局比赛后比赛结束，且甲获胜的概率等于乙获胜的概率的2倍，求的值； (2)假设甲和乙比赛3局，每局胜者得1分，负者得0分，表示甲的总得分，求的分布列和数学期望；（结果用含的式子表达） (3)设表示甲首次获胜时已比赛的局数，求，并说明其与的关系．（结果用含的式子表达） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，. 【分析】（1）根据独立事件的概率公式分别求出甲、乙获胜的概率即可； （2）由题意可知，则利用二项分布可求分布列和期望； （3）根据独立事件的概率公式分别计算，，，再利用条件概率概率公式计算. 【详解】（1）4局比赛后比赛结束，这四局获胜者分别为甲乙甲甲时甲获胜，此时概率为， 这四局获胜者分别为乙甲乙乙时乙获胜，此时概率为， 则，得. （2）由题意可知，的可能取值为，则， 则，， ，， 则的分布列为： 则. （3）， ， ， 则， 则， 说明“在首次获胜时已比赛超过两局的条件下，首次获胜时已比赛超过五局”的概率可以看作“从第三局开始算，首次获胜时已比赛超过三局”的概率， 故. 08马尔科夫链 39. （2024高三·全国·专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【详解】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为． 由题意知，， 所以． （2）因为， 所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，． （3）因为①， ②． 所以①②，得． 又因为，所以．所以． 所以的概率分布列为： 0 1 2 p 所以． 所以的数学期望为定值 40. （23-24高三上·贵州黔西·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列（且）； (3)求的期望（用表示，且）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）列举出所有交换的情况，分别求出概率即可求解， （2）由根据独立事件的概率乘法公式，分类逐一讨论，即可求解，，由等比数列的定义即可求证； （3）利用等比数列的通项求解，进而根据期望的计算公式即可求解． 【详解】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为， 所以， ①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为， 若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， 综上可知：，. （2）经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为， ①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为， 若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时： 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 故. ， 因此， 因此为等比数列，且公比为. （3）由（2）知为等比数列，且公比为，首项为， 故，所以， . 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望. （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 41. （2024·云南·模拟预测）材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.根据全概率公式和条件概率公式求解即可； （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，事件表示小球向右走一格.小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，即.证明是以为首项，3为公比的等比数列求解即可. 【详解】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知： 故：. （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子， 此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动， 此时当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于， 即.由题知， 又，故， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 即：， 即：， ， ， 故， ， 则， 故这名顾客获得代金券的概率为. 【点睛】关键点睛：理解题意，根据全概率公式和条件概率公式对实际问题的逻辑理解是关键，本题考查全概率公式和条件概率的实际应用，属于较难题. 09概率与数列综合 42. （2025·云南·模拟预测）足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 【答案】(1)， (2) (3)，经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于 【分析】（1）根据传球规则，逐步计算即可得到，； （2）根据题意找得到X的可能取值，依次求出X在每个取值下的概率，得到分布列，运用期望公式即可求得，随后寻找X与Y的等量关系，进一步计算，最后比较大小； （3）根据传球规则，表示出，，，结合得到的递推关系，从而解出的通项公式，将代入比较与的大小． 【详解】（1），. （2），， ∴， ∴，由已知得B、C控球机会相同，所以，即， 所以. （3）依题意，， 根据传球规则，，，， 所以，， 所以，， 因为， 所以， 该式可以表示为：， 解齐次方程：，特征方程为，所以， 故通解为：， 设，代入递推关系：，即，所以， 故通解为：， 利用初始条件：，解得：， 综上，通项公式为：， ， 因为2025是奇数，所以，，， 即经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于与． 43. （2025·四川·模拟预测）在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为． (1)若，求队以的比分赢得比赛的概率； (2)若，数列满足，记数列的前项和为，求证：； (3)当时，若，有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算可得结果； （2）根据已知有，构造等比数列得，进而有，利用放缩法及等比数列前n项和公式可求的范围； （3）根据题意有，讨论、，结合等比数列的定义得与的关系式，根据条件确定的取值范围． 【详解】（1）由题意得，队以的比分赢得比赛的概率为. （2）由题意得，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 由，得，故， 所以，故， 又因为，且，所以， 所以， 综上，. （3）由题意得，， 若，则，即，满足题意. 若，则，情况如下： 当时，由，得，满足条件. 当且时，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 由得， 因为，所以，， 所以，解得，且，. 综上，的取值范围是. 44. （2025·江西·二模）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷次后，球在乙手中的概率为． (1)求和； (2)求数列的通项； (3)设，数列的前项和为，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据传球游戏的规则，再根据独立事件概率公式，求解概率， （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，利用裂项可得，求和可得，并利用放缩法得，利用错位相减法即可证明不等式. 【详解】（1）当投掷2次骰子后，球在乙手中，共有1种情况：甲甲乙，其概率为，故， 当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况： ①：甲乙甲乙，其概率为 ②：甲乙丙乙，其概率为 ③：甲甲甲乙，其概率为 所以投掷3次后，球在乙手中的概率为. （2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有． 变形为． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以数列的通项公式． （3）,故， 故， 所以，故， 记，其前项和为， 所以， 故， 相减可得， 故， 故， 故， 因此，得证. 【点睛】方法点睛：解决概率与数列知识点交叉题的方法，一般是从概率问题中寻求相关概率间的递推关系，利用转化思想将其化归为等差或等比数列求解；对于利用数列的通项公式证明不等式时，常用到裂项相消法和错位相减法求和. 45. （2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. (1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)1499元. 【分析】（1）①根据事件发生概率，依次分类进行求解即可； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为，所以，结合数列递推关系，即可证明是公比为的等比数列. （2）由（1），运用累加法可求得，进而可求得员工获得二等奖和一等奖的概率，设一等奖的奖金为元，进而可得，解不等式即可. 【详解】（1）①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为； 累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为；累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为. 所以， 则，又 故为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知， 将所有等式相加得， 所以， 所以， 设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元， 由题意知元， 解得，即一等奖的奖金最多不超过1499元. 08概率与导数综合 46. （2025·广东广州·模拟预测）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 【答案】(1)分布列见解析，2 (2)预测该同学不能进入决赛. 【分析】（1）确定X的所有可能取值，结合计数原理求得概率，即可求解； （2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，由获得“巧手奖”的概率结合，构造函数，通过求导确定取得最值，再结合二项分布即可求解. 【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为：1，2，3 所以，，， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望. （2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为： . ，且，，也即，故可得：， 设， ， 所以在上单调递增， . 所以， 该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数， ，故预测该同学不能进入决赛. 47. （24-25高二下·山东·期中）2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. (1)求的值； (2)取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见详解； 【分析】（1）根据题意可得甲通过前两个环节的概率为，构建，利用导数分析最值即可； （2）（ⅰ）根据独立事件概率乘法公式运算求解；（ⅱ）先求甲、乙、丙分析进入决赛的概率，进而求X的分布列与数学期望. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 甲通过前两个环节的概率为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可知当时，取到最大值，即当时，取到最大值， 所以. （2）（ⅰ）由（1）可知：甲通过前两个环节的概率分别为和， 甲、乙、丙仅通过第一个环节的概率分别为 ， 恰有两人仅通过第一个环节的概率为 ； （ⅱ）设甲、乙、丙进入决赛分别为事件， 则，可得， 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3， 则； ； ； ； 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望为. 48. （2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)． 【分析】（1）确定的可能值为，分别求出概率得分布列，然后由期望公式得期望．（也可用二项分布的性质求解）； （2）由独立重复事件的概率公式求得套中的奖品个数为3的概率，然后利用导数求得最大值． 【详解】（1）由题意随机变量的可能值为，， ，．， 的分布列为： 0 1 2 ； （2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为： ， 设，，则， 时，递增，时，，递减， 所以时，， 所以所求最大值为． 49. （2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意乙的观点，理由见解析 【分析】（1）先利用全概率公式求出乙从袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布，利用二项分布的概率公式可得3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为，令，利用导数求最大时，的值即可. 【详解】（1）设“甲从袋中摸球”，“乙从袋中摸球”，“乙摸出的是红球”， 由全概率公式知，乙从袋中摸球的概率， 所以在一轮中，乙从袋中摸出红球的概率为． （2）在一轮中，乙摸出红球的概率． （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布， 则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为， 设，则， 令，解得， 则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点． 1．（2025·河北·模拟预测）一个袋子中有2个红球，2个白球和1个黑球，从中逐一取球，已知每个球被抽取的可能性相等. (1)若每次抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； (2)若每次抽取后不放回，求抽完红球所需次数的分布列及均值. 【答案】(1)恰2次为红球的概率为，抽全三种颜色球的概率为； (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【详解】（1）抽取一次取到红球的概率为，取到白球的概率为，取到黑球的概率为， ∴抽取3次恰2次为红球的概率为； 抽全三种颜色球的概率为， 所以恰2次为红球的概率为，抽全三种颜色球的概率为； （2）因为每次抽取后不放回，所以抽完红球所需次数的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为： 所以. 2．（2025·陕西咸阳·一模）小明和小王进行乒乓球比赛，其中小明每局赢的概率为，小王每局赢的概率为，且每局比赛之间互不影响． (1)若采用3局2胜制，求小王最终赢得比赛的概率； (2)若采用5局3胜制，在小明赢得比赛的条件下，求比赛需要的局数的期望． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题设，分析出小王最终赢得比赛的可能情况，应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率； （2）由题意有并结合条件概率公式求出对应概率，进而求期望. 【详解】（1）小王最终赢得比赛的情况有：小王连续赢2局，小王前2局赢1局输1局且第3局赢， 所以小王最终赢得比赛的概率. （2）由题意，设小明赢得比赛为事件，比赛i场结束为事件 且，，， 则， 在小明赢得比赛的条件下，设比赛场数为， 则, ， ， 所以. 3．（24-25高三上·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 【答案】(1)， (2)1，，，， (3)分布列见解析 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解概率即可. （2）结合题意求出所有符合条件的取值即可. （3）先求出所有情况下的概率，再求解分布列即可. 【详解】（1）由题意可得，， . （2）由题意可得的所有可能取值为1，，，，. （3）， ， ， 故的分布列为 1 2 3 4 5 4．（2025·陕西·一模）在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． (1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； (2)若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 【答案】(1) (2)甲先射击． 【分析】（1）事件A表示“M被击中”，即计算即可； （2）按甲、乙、丙的顺序射击和按丙、乙、甲的顺序射击分别计算射击总次数的数学期望，比较数学期望的大小即可. 【详解】（1）设事件A表示“M被击中”， 则． （2）设射击的总次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3． 若按甲、乙、丙的顺序射击， 则，，， 所以． 若按丙、乙、甲的顺序射击， 同理得． 因为 ， 又因为，，所以， 所以要使射击总次数的数学期望较小，应该让甲先射击． 5．（24-25高三下·广东·开学考试）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. (1)求程序运行2次小明获奖的概率； (2)若，求小明获奖的概率； (3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）分析小明两次获奖的情况有两种求得到结果； （2）根据题意分程序运行2次，小明获奖，程序运行4次，小明获奖，共有五种情况求和计算求解； （3）根据，结合（1）（2）问分析，得到多种情况，分别求出概率得出X的分布列，再求数学期望. 【详解】（1）程序运行2次小明获奖的情况有，这两种， 其概率. （2）当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖. 程序运行4次，小明获奖的情况有，，，，这五种， 其概率， 故当时，小明获奖的概率. （3）当时，的所有可能取值为2，4，5，6. 由（1）可知，由（2）可知， 当时，包含，，，这四种情况， 其概率， . 故X的分布列为 X 2 4 5 6 P 故. 6．（2025·广东·三模）甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式和互斥事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件乘法概率公式和对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B， 则，， 设“甲乙只有一人破译出密码”为事件C，则， 故两人中只有一人破译出密码的概率为. （2）密码未被破译的概率为， 密码被成功破译的概率为． 7．（2025·山东聊城·二模）周末双休，四个同学约好一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目．四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目． (1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率； (2)用X，Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数，记，求随机变量的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）先得到每个人参加甲项目和乙项目的概率，利用二项分布求概率公式得到答案； （2）求出的所有可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望值. 【详解】（1）依题意知，这4个人中，每个人参加甲项目的概率为，参加乙项目的概率为， 设“这4个人中恰有人去参加甲项目”为事件． 则， 故这4个人中恰有2人去参加甲项目的概率为． （2）或时，， 或时，， 时，， 故的所有可能取值为0，2，4． 由于与互斥，与互斥，故， ， ． 所以的分布列是 0 2 4 所以． 8．（2026·河南鹤壁·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 参考数据：，， ． 参考公式：相关系数． 【答案】(1)12亿元，650亿元 (2) (3)710亿元 【分析】（1）根据样本平均数的计算公式求解； （2）将所给数据代入相关系数计算公式求解； （3）根据回归直线经过样本中心点，求出的值，再将13.5代入求出营业额的预测值. 【详解】（1）平均每年的研发投入为 ， 平均每年的营业额为. （2）将所给数据代入相关系数计算公式得 ． 其中， 所以． （3）由题意知，回归直线过样本中心点， 即，解得． 所以回归方程为． 将代入回归方程，得， 故预测该公司今年的营业额为710亿元． 9．（2026·新疆·模拟预测）某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 (2)在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】(1)列联表见表格；有关联 (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据题意分别计算出喜欢，两款书包的男生、女生人数即可完善列联表，再计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即可判断； （2）根据分层随机抽样确定所抽取的5人中，男生1人，女生4人，则从中任选2人，则的可能值有1，2，利用古典概型概率公式和组合数公式求出对应的概率，列出分布列，求得数学期望即可. 【详解】（1）根据题意，，两款书包的受欢迎的程度相同，即在随机抽取的100人中，喜欢，两款书包的人各50人， 又因喜欢款书包的男生与女生人数相等，即喜欢款书包的男生25人，女生25人； 因喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的，故喜欢款书包的女生有人，男生有人. 则可补全列联表如下： 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 10 25 35 女生 40 25 65 总计 50 50 100 由， 因此依据小概率值的独立性检验，可认为更喜欢款书包与性别有关联. （2）因喜欢款书包的目标客户中，男生10人，女生40人，男女生比例为， 故分层抽取5人中，男生1人，女生4人，则从这5人中任选2人，其中女生的人数的可能值有1，2. 则，， 于是的分布列为： 1 2 故数学期望为. 10．（2026·四川泸州·二模）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 (1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： (2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题中公式求出关于的线性回归方程，再运用代入法进行求解即可； （2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可. 【详解】（1）， ， ， ， ， 所以关于的线性回归方程为； 当， 所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. （2）该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率， 所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为， 由题意可知：， 所以， ， ， ， 所以其中线上售出数量的分布列为： 11．（2026·云南昭通·模拟预测）互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量. (1)若，求X的分布列以及均值，方差； (2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)3或4 【分析】（1）分析出服从二项分布，确定的取值，计算各取值概率，求出期望与方差即可. （2）结合已知条件求出的解析式，进而确定最小正整数值. 【详解】（1）由题意知：的所有可能取值为0，1，2，3，4，则， ，， ，， . 所以的分布列为： 4 所以，. （2）每个订单对应个商品，故，又， 所以 令，则， 当时，，所以； 当时，； 当时，恒成立，即恒成立； 所以取最小值时正整数的值为3或4. 12．（2026·山东枣庄·模拟预测）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98：如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为X和Y，求X的分布列，并分别求出X与Y的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是8、9，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望，而Y服从二项分布，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】（1）设小张答对的题数为X，则． （2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 由题意知， 则， ． （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是8、9， 且， 所以X的分布列为： X 8 9 P 则， ， 己知DeepSeek答对的题数为Y，则Y服从二项分布， 则， ． 13．（2026·云南·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)假设我市某区域现有9个充电桩，其中4个为快充桩，现对该地区现有的9个充电桩进行检查，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：，．） 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）首先求出，，再根据公式求解即可； （2）根据题意得到X的可能取值为，分别求出对应的概率，即可得到分布列和均值. 【详解】（1）由题意，得，， 则，， 所以回归直线方程为． （2）由题意，的可能取值为， 则，， ，， 所以分布列为： 故均值． 14．（2026·陕西铜川·一模）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 15．（2026·新疆·一模）在正方形轨道的顶点A处有一个机器人，它每次移动会以的概率顺时针移动到轨道上相邻的顶点，或以的概率逆时针移动到轨道上相邻的顶点． (1)若，设机器人移动次后在顶点A的概率为． （i）求； （ii）求． (2)设机器人首次回到顶点A所移动的次数为随机变量，证明：对任意为定值． 【答案】(1)（i），；（ii） (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）根据题意求出，移动2次回到顶点有两种可能：或者， 从而求出.（ii）求出当为奇数时；当机器人移动偶数次时，只能在顶点或顶点处，因为在顶点处的概率为，所以在顶点处的概率为，想要移动次到达顶点，只有两种方案：①移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点；②移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点．从而求出，利用等比数列的通项公式求出，从而得解； （2）设机器人在顶点时记为状态1，在顶点时记为状态2，在顶点时记为状态3，从状态首次回到顶点的移动次数的数学期望记为．根据题意得到，从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到，从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到，通过计算求出，与无关，从而得到结论. 【详解】（1）假设为顺时针顺序． （i）机器人移动1次只能到顶点或顶点处，所以， 移动2次回到顶点有两种可能：或者， 所以. （ii）注意到机器人移动奇数次，只能在顶点或顶点处，所以当为奇数时，； 当机器人移动偶数次时，只能在顶点或顶点处，因为在顶点处的概率为， 所以在顶点处的概率为，想要移动次到达顶点，只有两种方案： ①移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点； ②移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点． ， ，是等比数列，公比， 首项为，利用等比数列的通项公式得到， 由（i）知，代入得为偶数， 综上，可得. （2）设机器人在顶点时记为状态1，在顶点时记为状态2，在顶点时记为状态3， 从状态首次回到顶点的移动次数的数学期望记为． 初始从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，．① 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．② 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．③ 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．④ ①+②+③+④可得， 得，与无关， 对任意为定值，都等于4. 16．（2026·湖北荆门·模拟预测）现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为．甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏． (1)甲将游戏币向上抛出4次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望； (2)甲将游戏币，，抛出，用Y表示落下时正面朝上游戏币的个数，求Y的分布列及其期望； (3)将这n枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜.请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)分布列见解析， (3)公平，理由见解析 【分析】（1）根据二项分布的期望公式计算即可. （2）先确定的可能取值，然后根据事件的相互独立求出对应的概率值，进而得到的分布列和期望. （3）先根据题意列出正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，记，得到数列为首项是，公差为的等差数列，最后求得. 【详解】（1）依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是． （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，， Y可取0，1，2，3．由事件相互独立，则 ； ； ； 故分布列为： 0 1 2 3 P ． （3）不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币； 记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，； 于是； 即，即， 记，则，， 故数列为首项是，公差为的等差数列；故， 则，故，，则，因此公平． 17．（2026·四川泸州·二模）某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)组采用赛制二更有利于胜出，理由见解析 【分析】（1）求出随机变量的取值及相应的概率，可得分布列，再利用数学期望公式求解即可； （2）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解可得答案； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，求出组取得胜利的概率，按照赛制二，不妨设做完题，求出组取得胜利的概率，再做差比较大小可得答案. 【详解】（1）由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3， ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望； （2）设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为， 则至少有两人做对该题的事件为： ，所以竞赛小组能进入决赛的概率为 ； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则， 组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以， 所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 18．（25-26高三上·江西·月考）在正三角形的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为，跳向另外两点的概率均为.假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点处做第一次跳动. (1)求经过2次跳动后，机器蛙在顶点处的概率； (2)求经过次跳动后机器蛙在顶点处的概率； (3)记由前次跳动导致机器蛙在顶点处停留的总时间为随机变量（分钟），求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出第1次跳动后机器蛙在，，处的概率，再以第1次跳动的结果为基础，分类计算第2次跳到处的所有路径，计算出每种路径的概率相加即可. （2）由跳动规则的对称性得到，，分析出第次跳动后在出的概率，经变量代换后结合等比数列求解即可. （3）计算出，将总停留时间拆分为个独立事件，根据结合等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）记第次跳动后机器蛙在，，处的概率分别为，，. 第1次跳动后的概率为：，，. 经过2次跳动后，机器蛙在顶点处有三种路径： 第1次在，第2次从跳到； 第1次在，第2次在原地跳；第1次在，第2次从跳到； 所以. （2）因为机器蛙从出发，且在任意定点的跳动规则是统一的， 所以跳到的路径与跳到的路径在概率计算上是完全镜像的，即，且. 经过次跳动后机器蛙在顶点有三种路径：第次在，第次从跳到； 第次在，第次从跳到； 第次在，第次在原地跳； 则 . 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）由（2）可知. 由题意可知，当第次跳动后在A处时，，其他情况， 所以停留的总时间， 所以. 而， 所以 . 故. 19．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，C，D），第2秒要回到A，每个方向的概率都是，从而可得，时，质点不可能返回到A，故； （2）（i）由正方体的对称性可知秒后质点到三点的概率相同，都为；质点恰好到三点的概率也相同，都为；从而可得及，进而可证明结论；（ii）由题意可得，进而可得，再进一步可得，再由累乘法可得为偶数时，为奇数时.再通过分组求和可得及所证不等式. 【详解】（1）当时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C）， 第2秒要回到A，必须从这3个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3条棱，返回A的概率是. 所以. 当时，第2秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为. 从这三点出发，第3秒无法回到A（因为它们与A距离为1，第3秒移动后距离为2），所以. 故，. （2）（i）由对称性可知第秒后质点恰好走到三点的概率相同，都为； 第秒后质点恰好走到三点的概率也相同，都为； 第秒后质点恰好走到点的概率为．记第秒后质点的位置为， 则， 即， 再由，即． 于是存在常数，使得． （ii）由可知， 由可知， 于是——①，——②，——③，——④. 由①②得，即——⑤， 再由①③④得——⑥，由⑤得，代入⑥ ，化简得. 因为， 则． 由，于是．所以. 所以当为奇数时，，，……， ，上述个式子相乘得． 又由，即可知． 所以，解得， 即当为奇数时，，所以当为偶数时， 当为偶数时，，， ，上述个式子相乘得,即. 又由可知．解得，即当为奇数时，． 因此，当为奇数时，；当为偶数时，． 当时，， 则． 当时，， 即． 所以存在常数，使得． 20．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为． (1)求； (2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式． 【答案】(1)，，． (2)，． 【分析】（1）根据独立事件乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件乘法公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】（1）小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中， 此概率P（B）＝， 则小球落入A袋中的概率P（A）＝1－P（B）＝， 故，，． （2）游戏过程中累计得n分可以分为两种情况：得到（n－2）分后的一次游戏中小球落入B袋中，或得到（n－1）分后的一次游戏中小球落入A袋中， 故， 即， 故为常数列，且， 故， 即，得， 故为等比数列，且首项为，公比为， 故， 故． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $