专题23 概率与统计经典选填题全归纳（含赛制等问题）9大题型（专题专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题23 概率与统计经典选填题全归纳 （含赛制等问题）9大题型 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01概率的基本性质 题型02古典概率 题型03条件概率 题型04全概率 题型05贝叶斯公式 题型06用样本估计总体 题型07样本数字特征 题型08正态分布 题型09赛制问题 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（概率的基本性质）（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 2．（古典概率）（25-26高三上·贵州黔西南·月考）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 3．（条件概率）（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（条件概率）（2025·甘肃白银·二模）在某次环保知识竞赛中，已知小敏答对一题的概率均为，且每次答题是否正确互相独立．若小敏连续回答三题，记事件A为“至少答对两题”，事件B为“第三次答题正确”，则（   ） A． B． C． D． 5．（全概率）（2025·安徽淮北·二模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（贝叶斯公式）（2025高三上·重庆·专题练习）通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 7．（用样本估计总体）（25-26高三上·云南·月考）近几年，人工智能（AI）逐渐走入人们的生活并得到越来越多的使用．为了解某大学大一学生对AI的使用情况，随机抽取了该校100位大一学生，收集了该100位学生在上学期中向AI提问的次数，得到如图1所示的频率分布直方图（60次及以上的称为经常向AI提问），则下列结论正确的是（　　）    A． B．这100位学生中经常向AI提问的人数为75 C．估计大一学生向AI提问的次数的平均数为70 D．按照“经常向AI提问”与“不经常向AI提问”进行分层随机抽样，从这100人中抽取24人，则在经常向AI提问的学生中应抽取16人 8．（样本数字特征）（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（样本数字特征）（2025·四川德阳·一模）随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（   ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27 10．（赛制问题·多选）（2025·河北·模拟预测）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 11．（赛制问题）（24-25高三上·甘肃白银·月考）在2024年巴黎奥运会上，中国乒乓球队取得了极其辉煌的成绩，成功包揽了乒乓球项目的冠军．甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定每回合比赛胜者得1分，负者得0分，哪一方率先获得11分，就可以赢得比赛．10平后，先多得2分的一方为胜方，比赛一直进行到一方比另一方多2分方可分出胜负．已知 每回合比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每回合比赛结果相互独立．已知比赛已经进行到，则两个回合后本局比赛分出胜负的概率为_______，假设比赛不限制回合数，则甲赢得本局比赛的概率为_______． 01概率的基本性质 12．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，，则________． 13．（25-26高三上·河北邯郸·月考）设事件A，B相互独立，，则_________________． 14．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 15．（2026·广东·模拟预测）（多选）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）（多选）已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（    ） A．若、为相互独立事件，则 B．若、为互斥事件，则 C．若、为互斥事件，则 D．若发生时一定发生，则 02古典概率 17．（2026·山东·一模）已知盒中有10张纸条，分别写着1~10共10个数字，随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 18．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·广东肇庆·二模）从分别标有数字，，，，的5张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·河北邢台·月考）仄起平收，是写对联的一种格式，即上联末句的尾字用仄声（三声或四声），下联末句的尾字用平声（一声或二声）．甲写一副对联，计划从“安”“康”“福”“财”“美”“礼”“爱”“梦”这8个字中随机选取2个不同的字分别作为上联和下联末句的尾字，则这副对联符合仄起平收格式的概率为（   ） A． B． C． D． 03条件概率 21．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·河北沧州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·四川南充·月考）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·重庆·模拟预测）重庆某智能汽车研发中心正在测试新一代自动驾驶虚拟仿真系统.该系统可在电脑模拟的车库环境中，让车辆实现前、后、左、右四个方向的精确泊车.在此系统中，模拟车辆每次泊车位置调整会随机在前、后、左、右四个方向中选择一个方向移动1个单位距离.若某次泊车测试时连续进行了4次位置调整，则车辆在最终回到初始位置的条件下，向左移动两次的概率为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图(90后指1990年及以后出生人口，80后指年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口)和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（   ） A．0.61 B．0.56 C．0.34 D．0.28 27．（25-26高三上·河南·月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 28．（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026·重庆·一模）从1，2，3，4，5，6，7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件 ： “第一次抽到的数字是奇数”，事件 ： “第二次抽到的数字是偶数”，则 （    ） A． B． C． D． 04全概率 30．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 32．（2025高三·全国·专题练习）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率为（    ） A．0.0545 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525 33．（2025·四川成都·一模）三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 34．（2026·浙江·模拟预测）一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 05贝叶斯公式 36．（2025·陕西汉中·三模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为1，则发送的信号是0的概率为________. 37．（24-25高二下·天津河西·月考）科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为___________；在大文已经出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为___________. 38．（2025·河南许昌·三模）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，若取到的是合格品，则此合格品由第1车间生产的概率是________. 39．（2025高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过．从数学的角度解释这一现象，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是______． 40．（2025高三·天津·专题练习）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为_____. 06用样本估计总体 41．（2025·湖北孝感·三模）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ） A．2023年第四季度的销售额为280万元 B．2023年上半年的总销售额为500万元 C．2023年2月份的销售额为60万元 D．2023年12个月的月销售额的众数为50万元 42．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 43．（2025·四川成都·一模）三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 44．（2025·四川乐山·模拟预测）（多选）2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D．该场观众年龄平均数的估计值为35 45．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）在乡政府的大力支持下，原贫困村村通过发展养殖业，顺利脱贫致富，村民收入也大幅度提高.为了解该村村民具体收入情况，该村村委会对村民月收入情况进行了抽样调查，并根据收集到的数据绘制了如图所示的月收入频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（   ）    A．样本数据的中位数位于区间内 B．样本数据的第80百分位数约为 C．样本中，该村村民月收入不低于8000元的村民所占比例为45% D．样本中，该村村民的月平均收入为7500元 07样本数字特征 46．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 47．（2025高三上·甘肃嘉峪关·专题练习）已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 48．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 49．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知甲组数据为，，，，，乙组数据为，，，，则甲、乙两组数据的平均数、极差及中位数中相等的是（    ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．都不相等 50．（2025·广东江门·模拟预测）2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 51．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 52．（2025高三·全国·专题练习）若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高三上·重庆·期中）已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 08正态分布 54．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（    ） A． B． C． D． 55．（2026·河南·模拟预测）通常认为服从正态分布的随机变量X的取值几乎总是落在区间内，统计学上称为原则，即，．若，称X服从标准正态分布，则_______． 56．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 57．（2026·江苏·一模）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．16 D．48 58．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．3 59．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 60．（2026·陕西西安·三模）某中学高三年级男生的身高（单位：）可近似看作服从正态分布，且，则________. 61．（2026·重庆·一模）据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 09赛制问题 62．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高三上·河南新乡·期末）甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 64．（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 65．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 66．（2025·江西景德镇·模拟预测）（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最大 D．若，则当时，最大 67．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 68．（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 69．（2025·江苏南通·二模）某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为_________，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为_____________． 70．（2025·江苏泰州·二模）甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________． 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东汕尾·一模）四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建龙岩·二模）甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·福建福州·模拟预测）已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（    ） A．180 B．185 C．190 D．195 6．（2025·广西河池·二模）一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃白银·三模）已知随机事件发生的概率分别为，，若，则（    ） A．0.5 B． C．0.12 D．0.18 9．（2025·重庆·三模）某班有男生25人，女生20人，其中60%的男生和50%的女生都喜欢篮球运动，现从该班级随机抽取一名学生，已知该同学喜欢篮球运动，则该同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 11．（24-25高二下·山东烟台·期中）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 13．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广东·模拟预测）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·四川达州·一模）已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 16．（25-26高二上·四川德阳·期中）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 17．（2025·江西宜春·模拟预测）小胡和小李正在进行乒乓球单打决赛，现在的情形是还剩两局比赛，小胡只要再赢一局就获得冠军，小李需要两局都赢才能获得冠军.若两人每局赢的概率均为，则在此情形下小胡获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 20．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23 概率与统计经典选填题全归纳 （含赛制等问题）9大题型 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01概率的基本性质 题型02古典概率 题型03条件概率 题型04全概率 题型05贝叶斯公式 题型06用样本估计总体 题型07样本数字特征 题型08正态分布 题型09赛制问题 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（概率的基本性质）（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 2．（古典概率）（25-26高三上·贵州黔西南·月考）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算全部书籍的排列数，利用捆绑法计算2本相同的故事书相邻的排列数，再求解概率即可. 【详解】由题意知，4本不同的科普书籍和2本相同的故事书的排列数为， 2本相同的故事书看作一个整体同其他4本书进行排列，排列数为， 所以2本相同的故事书相邻摆放的概率为， 故选：C. 3．（条件概率）（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 4．（条件概率）（2025·甘肃白银·二模）在某次环保知识竞赛中，已知小敏答对一题的概率均为，且每次答题是否正确互相独立．若小敏连续回答三题，记事件A为“至少答对两题”，事件B为“第三次答题正确”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二项分布的概率求法求，再求答对2个题且第三次答题正确的概率，最后应用条件概率公式求概率. 【详解】由题设，小敏答对的个数，则， 对于时，第三次答题正确，则前两个题答对一个，故， 所以， 所以. 故选：C 5．（全概率）（2025·安徽淮北·二模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据从甲箱中取出球的颜色进行分类讨论，再结合条件概率公式分别计算从乙箱中取出两球颜色相同的概率，最后根据全概率公式求出最终结果. 【详解】从甲箱中随机取一个球，甲箱中有个红球和个白球， 那么从甲箱中取出红球的概率；取出白球的概率. 若从甲箱中取出一个红球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球. 从个球中取出个球的组合数为种. 从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种. 所以在从甲箱取出红球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率. 若从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球. 从个球中取出个球的组合数为种. 从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种. 所以在从甲箱取出白球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率. 由全概率公式可得，取出的两球颜色相同的概率为： . 故选：B 6．（贝叶斯公式）（2025高三上·重庆·专题练习）通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 【答案】D 【分析】以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，根据已知信息求得，利用贝叶斯公式可求得. 【详解】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”， 由题意可得，，，， ， ， 根据贝叶斯公式可得， . 故选：D. 7．（用样本估计总体）（25-26高三上·云南·月考）近几年，人工智能（AI）逐渐走入人们的生活并得到越来越多的使用．为了解某大学大一学生对AI的使用情况，随机抽取了该校100位大一学生，收集了该100位学生在上学期中向AI提问的次数，得到如图1所示的频率分布直方图（60次及以上的称为经常向AI提问），则下列结论正确的是（　　）    A． B．这100位学生中经常向AI提问的人数为75 C．估计大一学生向AI提问的次数的平均数为70 D．按照“经常向AI提问”与“不经常向AI提问”进行分层随机抽样，从这100人中抽取24人，则在经常向AI提问的学生中应抽取16人 【答案】AB 【分析】根据频率之和为1即可求解A，由频率的计算即可求解B， 根据平均数的计算公式即可求解C，利用抽样比即可求解D. 【详解】A由频率分布直方图可得，故，A正确； B经常向AI提问的次数不少于60的频率为，故这100位学生中经常向AI提问的人数约为， B正确； C经常向AI提问的次数的平均数为，C错误； D“经常向AI提问”与“不经常向AI提问”的人数之比为，故从这100人中抽取24人，在经常向AI提问的人中应抽（人）.D错误； 故选：AB. 8．（样本数字特征）（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用平均数和方差的公式求解. 【详解】,的平均数为1，方差为0，， ，， ， ， 方差为 故选：B. 9．（样本数字特征）（2025·四川德阳·一模）随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（   ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27 【答案】A 【分析】由分层随机抽样的总体平均数和方差公式直接计算即可得解. 【详解】由题可得总体10人消费的平均数为， 总体10人消费的方差为. 故选：A 10．（赛制问题·多选）（2025·河北·模拟预测）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 【答案】ABD 【分析】由独立重复事件概率计算公式及条件概率计算公式逐个判断即可. 【详解】甲获胜的概率为A正确； 两人比赛4局结束的概率为B正确； 对于C，比赛进入第三局，前两局是平，则在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率为C不正确； 由A知，乙获胜的概率为，在此条件下，乙赢得第二局胜利的概率为D正确， 故选：ABD. 11．（赛制问题）（24-25高三上·甘肃白银·月考）在2024年巴黎奥运会上，中国乒乓球队取得了极其辉煌的成绩，成功包揽了乒乓球项目的冠军．甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定每回合比赛胜者得1分，负者得0分，哪一方率先获得11分，就可以赢得比赛．10平后，先多得2分的一方为胜方，比赛一直进行到一方比另一方多2分方可分出胜负．已知 每回合比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每回合比赛结果相互独立．已知比赛已经进行到，则两个回合后本局比赛分出胜负的概率为_______，假设比赛不限制回合数，则甲赢得本局比赛的概率为_______． 【答案】 / 【分析】记在一个回合比赛中， 甲获胜为事件A，乙获胜为事件 空1：两个回合后本局比赛分出胜负的概率为，然后根据概率的乘法公式进行求解； 空2：根据全概率事件公式将甲赢得本局比赛对应的四种情况用概率表示，然后计算求解. 【详解】记在一个回合比赛中，甲获胜为事件A，乙获胜为事件 后前两回合比赛结果可能有．两个回合后本局比赛分出胜负的概率为． 当甲、乙两人得分总数相同时，甲赢得比赛的概率与比赛进行到时甲赢得比赛的概率相同，记“甲赢得比赛”为事件M，所以， 可得：即. 故答案为：；. 01概率的基本性质 12．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，，则________． 【答案】0.1 【分析】根据概率的加法公式可以解出题目. 【详解】 代入已知条件，， ： 解得： 因为 ，所以 故答案为：0.1 13．（25-26高三上·河北邯郸·月考）设事件A，B相互独立，，则_________________． 【答案】 【分析】由和事件概率公式，独立事件乘法公式可得答案. 【详解】由于事件A，B相互独立，所以事件相互独立， 所以. 故答案为： 14．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 【答案】AC 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 15．（2026·广东·模拟预测）（多选）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据事件相互独立的定义可判断A正确，利用概率加法公式直接计算可得B错误，D正确；利用相互独立事件性质可得C错误. 【详解】对于A：因为事件与事件相互独立，所以，故A正确； 对于B：因为，故B错误； 对于C：因为，所以， 因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立， 于是，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：AD. 16．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）（多选）已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（    ） A．若、为相互独立事件，则 B．若、为互斥事件，则 C．若、为互斥事件，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】ABD 【分析】利用独立事件的概率公式结合并事件的概率公式可判断A选项；利用互斥事件的概率公式可判断B选项；数形结合可判断C选项；利用事件的包含关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、为相互独立事件，则， 故，A对； 对于B选项，若、为互斥事件，则，B对； 对于C选项，如下图所示： 因为、为互斥事件，则，结合图形可知，故，C错； 对于D选项，若发生时一定发生，则，故， 故，D对. 故选：ABD. 02古典概率 17．（2026·山东·一模）已知盒中有10张纸条，分别写着1~10共10个数字，随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】A 【分析】根据古典概率模型直接计算即可. 【详解】随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的数有：，共5张， 所以，根据古典概型，恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是. 故选：A 18．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 19．（2026·广东肇庆·二模）从分别标有数字，，，，的5张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算抽到的2张卡片中数字乘积为负数的概率，再计算抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率即可. 【详解】从5张卡片中抽取2张，共有种可能， 抽到的2张卡片中数字乘积为负数，即一正一负，共种可能， 所以抽到的2张卡片中数字乘积为负数的概率， 则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率． 故选：C. 20．（25-26高三上·河北邢台·月考）仄起平收，是写对联的一种格式，即上联末句的尾字用仄声（三声或四声），下联末句的尾字用平声（一声或二声）．甲写一副对联，计划从“安”“康”“福”“财”“美”“礼”“爱”“梦”这8个字中随机选取2个不同的字分别作为上联和下联末句的尾字，则这副对联符合仄起平收格式的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概型公式求得结果. 【详解】因为“安”“康”“福”“财”是平声，“美”“礼”“爱”“梦”是仄声， 所以这副对联符合仄起平收格式的概率为． 故选：B. 03条件概率 21．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 22．（25-26高三上·河北沧州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 故选：A. 23．（25-26高三上·四川南充·月考）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 24．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（甲参加九连环活动的概率）和（甲和乙都参加九连环活动的概率），再代入公式计算. 【详解】从人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到个活动中，方法数有种. 根据分步乘法计数原理，总情况数为种. 若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有种， 剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 所以甲参加九连环活动的情况数共有种， 则甲参加九连环活动的概率. 若甲和乙都参加九连环活动，则剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 则甲和乙都参加九连环活动的概率. 根据条件概率公式. 故选：B. 25．（2025·重庆·模拟预测）重庆某智能汽车研发中心正在测试新一代自动驾驶虚拟仿真系统.该系统可在电脑模拟的车库环境中，让车辆实现前、后、左、右四个方向的精确泊车.在此系统中，模拟车辆每次泊车位置调整会随机在前、后、左、右四个方向中选择一个方向移动1个单位距离.若某次泊车测试时连续进行了4次位置调整，则车辆在最终回到初始位置的条件下，向左移动两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设“进行4次位置调整后最终回到初始位置”为事件A，“进行4次位置调整中向左移动两次”为事件B.，先确定事件的情况数，再确定，再计算条件概率即可. 【详解】设“进行4次位置调整后最终回到初始位置”为事件A， “进行4次位置调整中向左移动两次”为事件B， 则本题求条件概率.要使最终回到初始位置，可分以下两种情况： （1）一组相同的相反方向移动两次，从前与后、左与右中选1组， 然后在4次移动中安排这两次移动，有种方法； （2）两组不同的相反方向各移动一次，即对这4次不同方向的移动进行全排列， 有种排法，所以种情况. 其中，进行4次位置调整最终回到初始位置中向左移动两次的情况有种排法， 所以种情况，所以. 故选：C. 26．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图(90后指1990年及以后出生人口，80后指年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口)和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（   ） A．0.61 B．0.56 C．0.34 D．0.28 【答案】C 【详解】记从重庆市互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件， 记从重庆市互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件， 由题意可知，， 所以， 所以若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为. 27．（25-26高三上·河南·月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件“取出的2个球的编号之和为奇数”，事件“取出的2个球为1个黑球和1个白球”，利用列举法求，再由条件概率公式求解. 【详解】设事件“取出的2个球的编号之和为奇数”， 事件“取出的2个球为1个黑球和1个白球”， 则从装有2个黑球和3个白球的不透明袋子中随机取出2个球， 有，共10种情况， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共3种， 故， 故所求概率为. 故选：B. 28．（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出和，利用条件概率公式即可求解. 【详解】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为， 再安排给3人，总方法数为， 其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以， 而事件与都发生的所有可能结果有，即， 所以所求概率为． 故选：C． 29．（2026·重庆·一模）从1，2，3，4，5，6，7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件 ： “第一次抽到的数字是奇数”，事件 ： “第二次抽到的数字是偶数”，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概率求出事件,的概率，再用条件概率公式计算即可. 【详解】：第一次抽到奇数的概率，总共有7个数字，奇数4个，故. :第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，分步计算：第一次抽奇数有4种选择，第二次抽偶数有3种选择，总情况数为，故. 根据条件概率公式代入得：. 故选：A. 04全概率 30．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 31．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 32．（2025高三·全国·专题练习）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率为（    ） A．0.0545 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525 【答案】D 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据全概率公式求解. 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工分别为事件A，B，C， 该零件为次品为事件D，则，，， 故，． 任取一个零件是次品的概率． 故选：D. 33．（2025·四川成都·一模）三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式和条件概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 34．（2026·浙江·模拟预测）一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干可列出，，结合全概率公式列出等式即可求解. 【详解】设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件， 根据题意，，，. 根据全概率公式，，代入已知， 得：，解得. 35．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 05贝叶斯公式 36．（2025·陕西汉中·三模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为1，则发送的信号是0的概率为________. 【答案】 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，. 由贝叶斯公式有 . 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 故答案：. 37．（24-25高二下·天津河西·月考）科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为___________；在大文已经出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为___________. 【答案】 【分析】先设事件再利用全概率公式和贝叶斯公式即可计算求解； 【详解】设大文进行有氧运动为事件，进行力量训练为事件， 进行平衡性训练为事件，大文出现运动损伤为事件， 由题意知，，， ，，. 由全概率公式知. 由贝叶斯公式知， ， 故答案为：；. 38．（2025·河南许昌·三模）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，若取到的是合格品，则此合格品由第1车间生产的概率是________. 【答案】 【分析】首先要根据两个车间生产成品的比例确定从两个车间取到产品的概率，再根据各车间的次品率算出各车间生产合格品的概率，然后用全概率公式算出取到合格品的总概率，最后用贝叶斯公式计算在取到合格品的条件下，该合格品是由第1车间生产的概率. 【详解】设{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，{提出的一台是第车间生产的产品}，，2， 则， 由题意可得，， ，， 由全概率公式可得. 则此合格品由第1车间生产的概率是. 故答案为：. 39．（2025高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过．从数学的角度解释这一现象，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是______． 【答案】 【分析】设事件A为“小孩诚实”，事件B为“小孩第一次说谎”，利用全概率公式先求，由条件概率公式即可求解. 【详解】设事件A为“小孩诚实”，事件B为“小孩第一次说谎”， 则，，，． 由全概率公式得． 由贝叶斯公式得， 所以第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是． 故答案为：. 40．（2025高三·天津·专题练习）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为_____. 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解. 【详解】设事件为“取出的小球来自i号箱”，事件B为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且两两互斥， 由题意有， ， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 06用样本估计总体 41．（2025·湖北孝感·三模）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ） A．2023年第四季度的销售额为280万元 B．2023年上半年的总销售额为500万元 C．2023年2月份的销售额为60万元 D．2023年12个月的月销售额的众数为50万元 【答案】A 【分析】根据给定的双层饼状图求出全年总销售额，再逐项计算判断. 【详解】由第二季度的销售额为260万元，第二季度的销售额占全年总销售额的百分比为26%，得全年总销售额为1000万元， 对于A，2023年第四季度的销售额为(万元)，A正确； 对于B，2023年上半年的总销售额为(万元)，B错误； 对于C，2023年2月份的销售额为(万元)，C错误； 对于D，2023年12个月的月销售额(单位：万元)分别是50，50，60，60，90，110，80，100， 120，120，100，60，众数是60，D错误. 故选：A 42．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 43．（2025·四川成都·一模）三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 【答案】B 【分析】选项A，依据表中数据求出2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重，通过数据判断选项A错误；选项B，利用中位数的定义得到结论；选项C，求出平均数得解；选项D，分别求出每个产业的极差，从而得解. 【详解】选项A，年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 从数据上看，2020-2021年第一产业增加值占国内生产总值比重递减，2021-2022年第一产业增加值占国内生产总值比重持平，2022-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重递减， 故选项A错误； 选项B，2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为， 将这个数从小到大排列为，则这个数的中位数为， 故2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9%，故答案B正确； 选项C，2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为， 则这个数的平均数为， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为，故答案C错误； 选项D，2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重依次为， 这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为， 这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为，这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 故2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第三产业， 故选项D不正确. 故选：B. 44．（2025·四川乐山·模拟预测）（多选）2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D．该场观众年龄平均数的估计值为35 【答案】AC 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，众数的估计值为；C选项，先确定50%分位数所在区间，设为，进而得到方程，求出答案；D选项，中间值作代表，求出平均数的估计值. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 故选：AC 45．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）在乡政府的大力支持下，原贫困村村通过发展养殖业，顺利脱贫致富，村民收入也大幅度提高.为了解该村村民具体收入情况，该村村委会对村民月收入情况进行了抽样调查，并根据收集到的数据绘制了如图所示的月收入频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（   ）    A．样本数据的中位数位于区间内 B．样本数据的第80百分位数约为 C．样本中，该村村民月收入不低于8000元的村民所占比例为45% D．样本中，该村村民的月平均收入为7500元 【答案】ABC 【分析】由频率分布直方图估计样本的中位数、第80百分位数、区间内的频率、平均数，即可判断各选项. 【详解】对于A，∵前三个矩形的面积和为 前四个矩形的面积和为， ∴这组数据的中位数位于区间内，故A正确； 对于B，因为前四个矩形的面积和为 前五个矩形的面积和为 所以这组数据的第80百分位数，则第百分位数为，故B正确； 对于C，这组数据中在区间内的频率为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知这组数据的平均数为 （千元），故D不正确. 故选：ABC. 07样本数字特征 46．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由平均数和方差的运算性质即可求解. 【详解】由方差的性质，得的方差为，故， 解得．由，可知. 由平均数的性质，得的平均数为， 故，解得. 故选：A． 47．（2025高三上·甘肃嘉峪关·专题练习）已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据平均数的概念和公式进行求解即可. 【详解】数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10， 数据的平均数为. 故选：D. 48．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】应用平均数、方差的求法，用表示出，即可得. 【详解】由，则， 设的平均数为， 所以. 所以， 而， 因为互不相等， 所以. 故选：C. 49．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知甲组数据为，，，，，乙组数据为，，，，则甲、乙两组数据的平均数、极差及中位数中相等的是（    ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．都不相等 【答案】C 【分析】分别计算出两组数据的平均数、极差与中位数即可得. 【详解】甲组数据的平均数为， 极差为，中位数为， 乙组数据的平均数为， 极差为，中位数为， 故甲、乙两组数据的中位数相等. 故选：C. 50．（2025·广东江门·模拟预测）2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用百分位数的求法求数据的分位数. 【详解】由题设，而数据从小到大为， 所以该组数的分位数为其中第5个数据，即. 故选：B 51．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 52．（2025高三·全国·专题练习）若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】因为一组样本数据的平均数为2，方差为4， 则，可得，方差为，可得， 因此，对于数据， 平均数为， 方差为 ． 故选：A． 53．（25-26高三上·重庆·期中）已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平均数与方差的计算公式进行计算即可求得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：B 08正态分布 54．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 则. 55．（2026·河南·模拟预测）通常认为服从正态分布的随机变量X的取值几乎总是落在区间内，统计学上称为原则，即，．若，称X服从标准正态分布，则_______． 【答案】 【分析】应用正态分布对称性及概率计算求解. 【详解】因为，且． 所以． 56．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布性质求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以，所以， 故选：D 57．（2026·江苏·一模）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．16 D．48 【答案】C 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，正态曲线关于直线对称， 又，所以，解得. 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 58．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的系数和的性质结合条件列方程求参数的值，再根据正态分布的对称性求出的值. 【详解】二项式的展开式中所有项的系数和， 由已知，解得. 因为，所以. 59．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 60．（2026·陕西西安·三模）某中学高三年级男生的身高（单位：）可近似看作服从正态分布，且，则________. 【答案】0.85/ 【分析】由正态分布的对称性可计算. 【详解】因为服从正态分布，且， 故. 故答案为： 61．（2026·重庆·一模）据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，进而求出目标人数. 【详解】由，， 得， 所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有. 故答案为：8 09赛制问题 62．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 63．（25-26高三上·河南新乡·期末）甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的乘法公式，得，再由条件概率公式得，从而，根据期望公式求解. 【详解】根据概率的乘法公式， 得， 根据条件概率公式得， 可得， 由于每场比赛的结果相互独立， 所以甲队获胜的场数，从而． 故选：B． 64．（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 【答案】B 【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为 有 ， 有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， 又由， 可得，可知D选项正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：由题设得到，利用二项式各项系数和的性质判断可得结论. 65．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可判断ABC，由条件概率公式代入计算，即可判断D 【详解】对A：采用3局2胜制，甲获胜分为第一二局胜，第一三局胜，第二三局胜三种情况， 最终甲获胜的概率为，故A正确； 对B：采用5局3胜制，甲以获胜，则甲前三局胜两局，第四局获胜， 故甲获胜的概率为，B错； 对C：因为，结合A项可知若采用3局2胜制，甲获胜的概率为，若采用5局3胜制，甲获胜的概率为，故C正确； 对D：因为，结合C项可知若采用5局3胜制，甲获胜的概率为， 甲获胜的条件下，比赛局数可取值为， 由条件概率公式可得： 故D正确. 故选：ACD. 66．（2025·江西景德镇·模拟预测）（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最大 D．若，则当时，最大 【答案】ABD 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率计数判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断BCD. 【详解】对于A，，，，A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局，所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件，所以， 则 ， 即， 对于B，若，则，当时，即， 即当时，最大，B正确； 对于C，若，则，当时，，即， 即当时，最小，C错误； 对于D，若，则，当时，，当时，， 即当时，，当时，，则当时，最大，D正确. 故选：ABD 67．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 【答案】 / 【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲获胜的概率， 事件表示“甲第一局获胜”，则， 所以. 故答案为：， 68．（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以，再利用导数求解最大值． 【详解】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜， 所以， 则． 令，得； 令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 69．（2025·江苏南通·二模）某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为_________，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为_____________． 【答案】 【分析】甲通过第一轮分甲遇到乙和不遇到乙两种情况求解，当甲乙获冠军时，说明甲乙都晋级第二轮，且第二轮不相遇都获胜即可据此得解. 【详解】甲在首轮遇到乙的概率为，此时甲获胜的概率为， 甲遇到其他6名选手的概率为，此时甲获胜的概率为， 所以甲获胜概率为：； 第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为, 进入第二轮的4人中，甲和乙不相遇的概率为，且两人均击败对手的概率为， 故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为， 所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为. 故答案为：； 70．（2025·江苏泰州·二模）甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________． 【答案】 【分析】根据题意结合全概率公式分析可得数列（）是以为公比的等比数列，然后利用累加法结合等比数列的求和公式求解即可. 【详解】由题意得甲所得分数为时，下一局可能的结果有三种情况： 若甲胜，则甲得分变为，对应概率为， 若乙胜，则甲得分变为，对应概率为， 若平局，则甲得分保持，对应的概率为， 所以由全概率公式可得， 所以，， 所以（）， 所以数列（）是以为公比的等比数列， 所以， 所以，，， ，， 所以 , 所以， 所以， 因为，，所以，解得. 故答案为： 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：先求出事件总数，再利用插空法找到符合题意的事件个数，根据古典概型的概率公式即可求出概率. 方法二：列出所有可能的结果，找到2个1不相邻的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求出概率. 【详解】方法一： 由题意，事件总数有种， 将2个1放入3个2排好后形成的4个空隙中，有种， ， 故选：A. 方法二： 由题意，将3个1和2个2随机排成一行，可以是： ， 共10种排法， 其中2个2不相邻的排列方法为： ， 共6种方法， 故2个2不相邻的概率为， 故选：A. 2．（2025·广东汕尾·一模）四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由排列与组合知识及古典概型求解． 【详解】四只鸽子飞回三个不同的笼子的总方法数为， 其中“至少有一个空笼子”包含两种情况： ① 恰有两个空笼子（即4只鸽子在同一个笼子），有种； ② 恰有一个空笼子（即4只鸽子在两个笼子里），有种， 故所求概率为. 故选：B 3．（2025·福建龙岩·二模）甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件， 则， 解得. 故选：C 4．（2025·福建福州·模拟预测）已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据定义分析：互斥事件：满足，即两事件不能同时发生，对立事件：满足且（样本空间），不仅互斥，还“非此即彼”。 【详解】充分性：若是对立事件，必然满足互斥，即“对立事件”可推出“互斥事件”，充分条件成立， 必要性：互斥事件未必是对立事件，即“互斥事件”推不出“对立事件”，必要条件不成立， 综上，“ A, B  为对立事件”是“ A, B 为互斥事件”的充分不必要条件. 故选： A. 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（    ） A．180 B．185 C．190 D．195 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性求得，进而有，应用二项分布的期望公式求期望. 【详解】由，可得， 则，故. 故选：C 6．（2025·广西河池·二模）一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得，再由条件概率公式即可求解. 【详解】记事件A为“客户是VIP客户”，事件B为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”，则，，，， 由全概率计算公式得， 由条件概率公式得， 故选：A. 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全概率公式计算可得. 【详解】依题意该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 故选：A 8．（2025·甘肃白银·三模）已知随机事件发生的概率分别为，，若，则（    ） A．0.5 B． C．0.12 D．0.18 【答案】C 【分析】根据条件概率公式直接计算即可. 【详解】由，可得． 故选：C 9．（2025·重庆·三模）某班有男生25人，女生20人，其中60%的男生和50%的女生都喜欢篮球运动，现从该班级随机抽取一名学生，已知该同学喜欢篮球运动，则该同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式以及条件概率公式即可求解. 【详解】记“喜欢篮球的同学”，“喜欢篮球是男生”， 故, , 所以, 故选：C 10．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 2 3 5 0分 4 6 10 2分 4 10 6 1分 6 4 10 2分 6 10 4 2分 10 4 6 1分 10 6 4 则， 则. 11．（24-25高二下·山东烟台·期中）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分类求出甲部分员工情况及对应概率，再根据题意求解即可. 【详解】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况： 第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第三种甲部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第四种甲部门有6名经验丰富的员工和1名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为. 故选：C. 12．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 【答案】C 【分析】先利用条件概率公式和全概率公式计算得，然后利用贝叶斯概率公式即可求出. 【详解】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有个红球，5黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，4黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，3黑球，此时． 所以，，， 所以， 所以，即是与无关的定值，且为. 故选：C. 13．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出事件，利用全概率公式和条件概率公式进行求解. 【详解】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占. 记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B， 则，所以. 故选；A. 14．（2025·广东·模拟预测）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 15．（2025·四川达州·一模）已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】利用条件概率的定义式，先通过与求出，再代入的条件概率公式计算结果. 【详解】根据条件概率公式，先求： 由， 得. 再求： 由， 代入，得. 故选：B 16．（25-26高二上·四川德阳·期中）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；     对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 17．（2025·江西宜春·模拟预测）小胡和小李正在进行乒乓球单打决赛，现在的情形是还剩两局比赛，小胡只要再赢一局就获得冠军，小李需要两局都赢才能获得冠军.若两人每局赢的概率均为，则在此情形下小胡获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对立事件求解. 【详解】小胡只要再赢一局就获得冠军，小胡都输的概率为，则小胡获得冠军的概率为. 故选：B. 18．（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【详解】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 19．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 20．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $