专题01 数与式综合运算（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式综合运算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 实数的分类 题型02 相反数、绝对值、倒数的相关概念和计算 题型03 实数的混合运算 题型04 比较大小问题 题型05 科学记数法 题型06 整式的混合运算与化简求值问题 题型07 整式与几何面积的综合运算 题型08 规律探究问题 题型09 因式分解 题型10 分式有/无意义，值为0的条件 题型11 分式的混合运算与化简求值 题型12 二次根式的混合运算 题型13 非负性的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 实数的分类 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【典例02】（2025·广东广州·二模）下列四个实数中，是无理数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式． 【详解】解：、是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：． 方法透视 考向解读 1.判断有理数与无理数，给出一组数，区分哪些有理、哪些无理，是中考最常考题型。 2.辨别带根号的数是否为无理数，开得尽方是有理数，开不尽方才是无理数。 3.区分有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，前两类是有理数，最后一类是无理数。 4.理解非负数、非正数、整数、自然数等概念，非负数含 0 和正数，非正数含 0 和负数；0 是整数、自然数，不是正数也不是负数。 5.易错点判断，π 是无理数；3.14 是有理数，不等于 π。 方法技能 有理有限和循环，无理无限不循环； 根号先算再判断，带 π 一律是无理； 非负非正包含 0，分类看清不丢分。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 【变式02】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式03】（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 题型02 相反数、绝对值、倒数的相关概念和计算 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）2025的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 【典例02】（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 方法透视 考向解读 1. 直接求一个数的相反数/绝对值/倒数，已知具体实数（有理数/无理数），求其相反数、绝对值或倒数。 2. 利用“互为相反数/倒数的性质”求值，知、互为相反数/倒数，求含、的代数式的值。 3. 绝对值的化简，绝对值内是含无理数的式子（如）或字母代数式（如，已知），需先判断正负再去绝对值。 4. 结合“非负性”求值，几个非负数的和为0，求字母的值，常结合：（绝对值、二次根式、平方均为非负数）。 方法技能 相反数：变号就完事，0 仍为 0，多重负号数个数，偶正奇负记清楚； 绝对值：先判正负，再去符号，结果必非负，无理数比大小靠近似； 倒数：0 无倒数，同号不变，小数带分先化整，无理数倒数要有理化； 性质应用：相反数和为 0，倒数积为 1，非负和 0 各为 0，整体代入省时间。 变式演练 【变式01】（2025·青海西宁·中考真题）相反数等于它本身的数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据的相反数是，即可求解． 【详解】解：相反数等于它本身的数是， 故答案为：． 【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）___________． 【答案】 【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案． 【详解】解：， 故答案为： 【变式03】（2025·山东东营·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数． 根据倒数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 题型03 实数的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·西藏·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 方法透视 考向解读 1. 基础型混合运算：融合绝对值+开方+零指数幂+负整数指数幂四大基础模块，无三角函数，数字以整数、简单无理数（√4、√9、√16等能开得尽方的数）为主，计算量小，侧重运算顺序和公式记忆。 2. 三角函数融合型运算，在考向1的基础上，加入30°、45°、60°特殊角的三角函数值，是中考最主流的命题形式，数字会结合简单的无理数（如、），需注意三角函数值与无理数的乘法计算。 3. 立方根融合型运算，在考向1或考向2的基础上，加入立方根的计算，立方根以能开得尽方的数为主（如、、），偶尔出现、，核心考查立方根与算术平方根的区别。 4. 乘方拓展型运算，在基础融合模块中，加入有理数的乘方运算（如、、），侧重考查乘方的符号规律，是易错题的主要来源，计算量略有增加。 方法技能 熟记“常考数值”，直接口答； “先化简，再计算”，减少步骤； 同级运算“凑整计算”，简化加减。 变式演练 【变式01】（2025·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式02】（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式03】（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 题型04 比较大小问题 典例引领 【典例01】（2025·广东惠州·模拟预测）下列实数最大的是（　　） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：． 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值表示数到原点的距离，非负．是解题的关键 计算各选项的绝对值并比较大小． 【详解】A：， B：， C：， D：， 比较得：． 故选：D． 方法透视 考向解读 1. 纯有理数比较：考正负、倒数、乘方的大小判断，直接用“正数＞0＞负数，绝对值大的负数更小”； 2. 有理数与无理数比较：高频考整数和//的比较，用“平方法”或熟记近似值（、、）快速判断； 3. 两个无理数比较：多为含根号的简单数，用“平方法”（被开方数大的根式值大），少数结合绝对值/相反数比较。 方法技能 1. 纯有理数：正数＞0＞负数，负数比绝对值（绝对值大的更小）； 2. 有理vs无理/两无理数：高频用平方法（被开方数大则根式大），或熟记//近似值快速判； 3. 含符号/特殊运算：先化简（如去绝对值、算相反数），再归为上述类型比较。 核心原则：统一形式，化繁为简，优先用平方法/近似值，简单直接。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·三模）小于的无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数大小比较，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是有理数， ∴小于的无理数是 故选：A． 【变式02】（2025·广东广州·二模）下面各数中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正实数大于零，负实数小于零，两个负实数进行比较绝对值大的反而小即可得解，熟练掌握实数的大小比较方法是解此题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故最小的数为， 故选：A． 【变式03】（2025·广东江门·模拟预测）下列实数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较；计算各选项的绝对值，比较后找出最大值，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴绝对值最大的是． 故选：A． 题型05 科学记数法 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·二模）中国的太空空间站离地球大约米，则近似数用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 【典例02】（2025·广东揭阳·三模）华为某型号手机的芯片采用的是水平，，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法．原数的小数点需向右移动9位才能得到5，因此表示为． 【详解】． 故选：A． 方法透视 考向解读 1. 正整数的科学记数法：考大于10的数表示（，，为整数位数减1），是高频考向； 2. 小数的科学记数法：考小于1的正数表示（，，为第一个非0数字前0的个数），为次高频考向。 偶尔结合近似数、有效数字考简单综合，核心仍是正确确定和的取值。 方法技能 1. 大于10的数：取原数首位非0数开头的一位小数，整数位数； 2. 小于1的正数：同上，负的（第一个非0数字前0的总个数）。 关键：先定保范围，再数位数定，注意含单位/近似数的先化简原数再转化。 变式演练 【变式01】（2025·广东·二模）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选A． 【变式02】（2025·广东韶关·二模）韶州体育馆是广东省第十三届中学生运动会主场馆，该体育馆建筑面积约为27360平方米，数据27360用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）年1月日，广东省统计局发布年广东经济运行简况．年，广东全省地区生产总值迈上万亿元新台阶，达万亿元，总量连续年居全国首位．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较大数． 根据用科学记数法表示绝对值较大数方法求解． 【详解】解：万=， 故选：D． 题型06 整式的混合运算与化简求值问题 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 方法透视 考向解读 1.纯整式混合运算：融合幂的运算、整式加减乘除，必考平方差、完全平方公式，考查运算法则和符号把控； 2.整式化简求值：先通过因式分解、公式化简整式，再代入数值计算，偶尔结合整体代入法，考查化简步骤和代入前的条件验证。 常结合同类项、去括号等基础知识点，核心是公式准确应用和运算顺序遵循。 方法技能 先遵运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先），活用幂的运算法则和平方差、完全平方公式，去括号变号、合并同类项；化简求值需先通过因式分解、公式法化到最简，再代入计算，遇整体代换条件直接套，代入前检验取值合理性，全程严控符号错误。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 【变式02】（2025·广东汕头·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算． 先根据整式的运算法则进行化简，再将，代入即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式． 【变式03】（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先由乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 题型07 整式与几何面积的综合运算 典例引领 【典例01】（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是8， 故选：B． 【典例02】（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为、，斜边为， ∵图中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为， ∴， ∵小正方形的面积为， ∴， ∴， ∵将这四个直角三角形拼成图， ∴图2中最大的正方形的面积为：． 故选：A． 方法透视 考向解读 中考整式与几何面积综合运算为基础融合考点，多以选择、填空或解答基础题呈现，核心考向为用整式表示几何图形的周长、面积，结合整式运算、乘法公式化简求值，常考矩形、正方形、拼接 / 分割图形，通过图形边长的整式表达，考查整式乘除、公式活用及几何与代数的转化，侧重用代数方法解决几何量计算问题。 方法技能 整式与几何面积综合运算核心技能：先根据几何图形（矩形、正方形、拼接 / 分割图形）的周长 / 面积公式，用整式表示边长并列出代数式；再活用整式乘除、平方差 / 完全平方公式化简式子；最后结合题意代入数值求值，关键是找准图形边长的整式关系，实现几何量到代数量的转化，化简时严控符号和公式应用。 变式演练 【变式01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式02】（2025·四川宜宾·模拟预测）第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】该题主要考查了勾股定理和完全平方公式，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积， 故选：D． 题型08 规律探究问题 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第个图形中“”的个数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中“”的个数，发现规律即可解决问题．能根据所给图形发现“”的个数依次增加是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图形中“”的个数为：， 第个图形中“”的个数为：， 第个图形中“”的个数为：， ∴第个图形中“”的个数为个． 故答案为：． 【典例02】（2025·广东汕头·一模）如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是______． 5 【答案】 【分析】本题考查了乘方，零指数幂绝对值和数字类规律，找到规律是解决问题的关键： 先化简，，，得到一组常规有理数，计算这组有理数总和，除以得出每行、列、对角线三数之和（幻和），利用幻和，根据第三行已知数求出第三行第三个数，再依据第三列已有的两个数求出的值． 【详解】因为，，， 所以这组数据为，，，，，，，，． 这个数总和为 ． ∵九宫格三行（或三列）和等于这个数总和，且每行、每列、每条对角线三个数和相等， ∴每行、每列、每条对角线三个数和均为， ∴第三行的第三个数为， ∴第三列中间数a为， 故答案为：． 方法透视 考向解读 中考数与式规律探究是基础拓展考点，多以选择、填空压轴小题呈现，核心考向分两类：一是数字规律，围绕有理数、正整数列，考查等差、等比或递推型规律推导；二是代数式 / 等式规律，结合整式、分式、乘方形式，考查式子结构、系数、指数的变化规律。常结合图形、新定义融合考查，侧重观察数式特征、归纳递推关系，核心是从特殊到一般的推导能力。 方法技能 先观察特征（数字 / 系数 / 指数 / 符号的变化、式子结构），标序号找 “项数 n 与对应项” 的关联；再尝试归纳（等差 / 等比直接套公式，递推 / 结构型拆分为数字、符号、代数式部分分别找规律）；最后验证规律（代入前几项检验），结合图形的先转化为数式关系再推导，符号规律优先看奇偶项判定。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示等式的规律是解题的关键．观察前4个等式，并依此类推，第个等式为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 依此类推，第个等式为， 当时，． 故选：A． 【变式02】（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键． 由表格得：第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为，根据此规律即可得到，，即可得到答案． 【详解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止， ， 数字2025出现在第行第列的位置， ， 故选：B． 【变式03】（2025·广东广州·二模）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有个正方形是解题的关键． 根据图形的变化规律得出第n个图形中有个正方形即可． 【详解】解：由题知，第①个图案中有1个正方形， 第②个图案中有3个正方形， 第③个图案中有5个正方形， 第④个图案中有7个正方形， …， 第n个图案中有个正方形， ∴第⑧个图案中正方形的个数为， 故选：C． 题型09 因式分解 典例引领 【典例01】（2025·广东·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【典例02】（2025·广东汕头·一模）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 方法透视 考向解读 中考因式分解为基础工具性考点，少单独命题，多融合在分式化简、整式运算、解方程中考查，核心考向为两类常规分解：一是提公因式法，二是公式法（平方差、完全平方公式），部分考区加考十字相乘法；侧重 “一提二套三查” 的步骤应用，要求分解彻底，核心考查公式活用与因式分解和整式乘法的互逆应用能力。 方法技能 遵循一提二套三查原则，先提公因式（含符号、系数最大公约数、相同字母最低次幂），再套平方差 / 完全平方 / 十字相乘法，最后检查是否分解彻底；熟记公式特征，找准公式适用条件，注意因式分解与整式乘法的互逆验证。 变式演练 【变式01】（2025·广东茂名·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 利用提公因式法和公式法分解因式，对选项一一进行分析，即可得出结论． 【详解】解：A、不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意； C、，因式分解正确，符合题意； D、，故原写法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式02】（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式03】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：______． 【答案】 【分析】观察到与互为相反数，将其统一为后提取公因式，再应用平方差公式分解． 本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型10 分式有/无意义，值为0的条件 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 【典例02】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 方法透视 考向解读 中考分式有/无意义、值为0的条件是基础考点，多以选择/填空小题呈现，极少单独大题考查，常融合在分式化简求值、解方程前置条件中；核心考向为三类条件判断：分式有意义（分母≠0）、无意义（分母=0）、值为0（分子=0且分母≠0，二者缺一不可），部分考区结合整式、二次根式综合考查分母取值范围，侧重概念辨析和细节把控，避免忽略分母不为0的核心前提。 方法技能 分式条件判断核心技能：紧扣分母核心前提，分三类判定： 1. 有意义：直接令分母≠0**求解； 2. 无意义：直接令分母=0**求解； 3. 值为0：需同时满足**分子=0且分母≠0**，两步验证缺一不可。 遇分母含整式/二次根式，先化简再列式，注意结合不等式求解取值范围，杜绝漏验分母不为0。 变式演练 【变式01】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D 【变式02】（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 【变式03】（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是____． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，二次根式有意义的条件；掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”是解本题的关键．根据题意可得且，即可求解． 【详解】解：分式形式的代数式的值为0，即分子为0，分母不为0． 则有且， 解得且． 故． 故答案为： 题型11 分式的混合运算与化简求值 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 【典例02】（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式通分计算括号里的，同时运用把除法转化为乘法并因式分解，进而约分即可，最后把字母的值代入计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 方法透视 考向解读 中考分式混合运算与化简求值是核心基础考点，多以解答题呈现，核心考向分两类：一是分式四则混合运算，融合因式分解、通分约分，考查运算法则应用；二是分式化简求值，先通过因式分解、公式法化简，再代入数值计算，常结合分式有意义条件筛选取值，部分考向会整体代入求值，侧重因式分解与分式运算的结合，以及计算中对分母不为0前提的把控。 方法技能 分式混合运算与化简求值核心技能：先因式分解分子分母，再按“先乘除（约分）后加减（通分）”运算，括号优先；化简求值需化到最简分式，代入前必验分母≠0（排除使分母为0的取值），遇整体代换条件直接套，全程紧扣因式分解约分、最简公分母通分的关键，严控符号与取值前提。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤． 先对分式进行通分，再进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入得，原式． 【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）化简并求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，先化简分式再代入求值． 先对括号内的分式进行通分计算，将减法转化为同分母分式的减法；再把除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，约分后得到最简分式；最后将代入最简分式计算结果． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 【变式03】（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先计算括号内，并对各项分式分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法，通过约分完成化简，再把的值代入化简后的式子计算求值即可． 本题主要考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 题型12 二次根式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘除；根据二次根式的乘除法运算法则进行求解逐一判断即可． 【详解】A． ，故本选项错误； B． ，故本选项错误； C． ，正确； D． ，故本选项错误． 故选： C． 【典例02】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 方法透视 考向解读 中考二次根式混合运算为基础考点，多以选择、填空或解答基础题呈现，常融合实数运算考查；核心考向为二次根式的四则混合运算，含化简、乘除、加减及与乘方、绝对值、幂运算的综合，侧重先将根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式、按实数运算顺序计算，考查根式化简能力与运算顺序的遵循。 方法技能 二次根式混合运算核心技能：先将所有根式化为最简二次根式，再遵循实数运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先），乘除运算化根式为单根式计算后再化简，加减运算仅合并同类二次根式，全程注意被开方数非负，结果需为最简形式。 变式演练 【变式01】（2025·广东东莞·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法，减法，乘法法则，性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、：根据二次根式乘法法则，，则，但选项A结果为，显然A错误； B、 ：直接计算得，，故，而，因此选项B错误； C、 ：合并同类二次根式，系数相减：，与选项C结果一致，故正确； D、 ：先计算被开方数：，则，但选项D结果为，显然D错误； 故选：C 【变式02】（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先计算二次根式的乘法并化简二次根式，再算加减，即可解答． 【详解】解： ． 题型13 非负性的应用 典例引领 【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 【典例02】（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 方法透视 考向解读 中考非负性应用为基础综合考点，多在选择、填空及解答题条件中考查，核心依托绝对值、平方（偶次幂）、二次根式三类非负形式，考向分两类：一是直接利用“非负数和为0则各非负数均为0”求字母值；二是结合整式、方程、几何求值综合应用，侧重非负形式的识别与条件转化，考查多知识点融合运用能力。 方法技能 非负性应用核心技能：先识别绝对值、平方（偶次幂）、二次根式三类非负形式，若和为0则每一项均为0，列方程求解字母值；综合题中先通过变形构造非负和为0的形式，再结合整式、方程、几何条件代值计算，关键是精准识别非负形式，巧用“和为0则各项为0”的核心结论转化条件。 变式演练 【变式01】（2025·广东梅州·一模）已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，几个非负数的和的结果为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【变式02】（2025·广东汕头·一模）已知，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故． 故答案为：． 【变式03】（2025·广东广州·模拟预测）若x、y为实数，且，则的值为 _____． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求算术平方根，由非负数的性质求出，，再代入计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，， 解得：，， 则， 答案为：1． 题●型●训●练 1．（2025·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， 与不是同类项，无法合并，则D不符合题意， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·一模）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：由题可得：方程化为， 即， ∵， ∴方程没有实数根， 故选D． 3．（2025·广东韶关·模拟预测）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 设， ∴， 得：， ∴， 故选：A． 5．（2025·广东揭阳·模拟预测）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． 根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 故选：C． 6．（2025·广东东莞·模拟预测）已知代数式，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是将转化为． 根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 7．（2025·广东潮州·模拟预测）已知，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 8．（2025·广东佛山·模拟预测）若与的和是单项式，则__________． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 9．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 10．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用． 模仿材料中的方法，将 写成一个差的完全平方的形式，然后根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 的算术平方根是 ． 故答案为：． 11．（2025·广东肇庆·一模）已知实数，满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·广东湛江·模拟预测）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可； （2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： ； （2）解：当时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为． 13．（2025·广东茂名·模拟预测）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）①；②见解析，相邻刻度线间的距离是 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、有理数混合运算的运用、列代数式等知识点，根据题意、列出相关代数式成为解题的关键． （1）①②根据弹簧伸长的长度求解即可； （2）根据拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，得出，，结合求解即可； （3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，然后利用不等式的性质求解即可； （4）用最大拉力F除以弹簧最大伸长x，再乘以即可． 【详解】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度； 故答案为：； ②图4中弹簧伸长的长度， 故答案为：． （2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是， ∴， ∴，即， ∴该弹簧测力计的量程为； （4）①∵， ∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加， 故答案为：． ②画出对应的刻度线如图所示： 在弹性限度范围内，拉力增大，弹簧伸长， ∴相邻刻度线间的距离是． 14．（2025·广东惠州·模拟预测）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 【答案】（1）；（2）①一；②去分母时，等号右边的未乘以 【分析】本题考查解分式方程，实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． （2）①根据解分式方程的方法解答即可； ②根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①上述解方程过程中，从第一步开始错误， 故答案为：一； ②错误的原因是去分母时，等号右边的未乘以)， 故答案为：去分母时，等号右边的未乘以． 15．（2025·广东珠海·模拟预测）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可求解； 【详解】解： ． 16．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式综合运算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 实数的分类 题型02 相反数、绝对值、倒数的相关概念和计算 题型03 实数的混合运算 题型04 比较大小问题 题型05 科学记数法 题型06 整式的混合运算与化简求值问题 题型07 整式与几何面积的综合运算 题型08 规律探究问题 题型09 因式分解 题型10 分式有/无意义，值为0的条件 题型11 分式的混合运算与化简求值 题型12 二次根式的混合运算 题型13 非负性的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 实数的分类 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【典例02】（2025·广东广州·二模）下列四个实数中，是无理数的为（ ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 1.判断有理数与无理数，给出一组数，区分哪些有理、哪些无理，是中考最常考题型。 2.辨别带根号的数是否为无理数，开得尽方是有理数，开不尽方才是无理数。 3.区分有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，前两类是有理数，最后一类是无理数。 4.理解非负数、非正数、整数、自然数等概念，非负数含 0 和正数，非正数含 0 和负数；0 是整数、自然数，不是正数也不是负数。 5.易错点判断，π 是无理数；3.14 是有理数，不等于 π。 方法技能 有理有限和循环，无理无限不循环； 根号先算再判断，带 π 一律是无理； 非负非正包含 0，分类看清不丢分。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式02】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 题型02 相反数、绝对值、倒数的相关概念和计算 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）2025的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 【典例02】（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 方法透视 考向解读 1. 直接求一个数的相反数/绝对值/倒数，已知具体实数（有理数/无理数），求其相反数、绝对值或倒数。 2. 利用“互为相反数/倒数的性质”求值，知、互为相反数/倒数，求含、的代数式的值。 3. 绝对值的化简，绝对值内是含无理数的式子（如）或字母代数式（如，已知），需先判断正负再去绝对值。 4. 结合“非负性”求值，几个非负数的和为0，求字母的值，常结合：（绝对值、二次根式、平方均为非负数）。 方法技能 相反数：变号就完事，0 仍为 0，多重负号数个数，偶正奇负记清楚； 绝对值：先判正负，再去符号，结果必非负，无理数比大小靠近似； 倒数：0 无倒数，同号不变，小数带分先化整，无理数倒数要有理化； 性质应用：相反数和为 0，倒数积为 1，非负和 0 各为 0，整体代入省时间。 变式演练 【变式01】（2025·青海西宁·中考真题）相反数等于它本身的数是___________． 【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）___________． 【变式03】（2025·山东东营·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D．2 题型03 实数的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·西藏·中考真题）计算：． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 方法透视 考向解读 1. 基础型混合运算：融合绝对值+开方+零指数幂+负整数指数幂四大基础模块，无三角函数，数字以整数、简单无理数（√4、√9、√16等能开得尽方的数）为主，计算量小，侧重运算顺序和公式记忆。 2. 三角函数融合型运算，在考向1的基础上，加入30°、45°、60°特殊角的三角函数值，是中考最主流的命题形式，数字会结合简单的无理数（如、），需注意三角函数值与无理数的乘法计算。 3. 立方根融合型运算，在考向1或考向2的基础上，加入立方根的计算，立方根以能开得尽方的数为主（如、、），偶尔出现、，核心考查立方根与算术平方根的区别。 4. 乘方拓展型运算，在基础融合模块中，加入有理数的乘方运算（如、、），侧重考查乘方的符号规律，是易错题的主要来源，计算量略有增加。 方法技能 熟记“常考数值”，直接口答； “先化简，再计算”，减少步骤； 同级运算“凑整计算”，简化加减。 变式演练 【变式01】（2025·四川广元·中考真题）计算：． 【变式02】（2025·陕西·中考真题）计算：． 【变式03】（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 题型04 比较大小问题 典例引领 【典例01】（2025·广东惠州·模拟预测）下列实数最大的是（　　） A． B． C．2025 D． 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 1. 纯有理数比较：考正负、倒数、乘方的大小判断，直接用“正数＞0＞负数，绝对值大的负数更小”； 2. 有理数与无理数比较：高频考整数和//的比较，用“平方法”或熟记近似值（、、）快速判断； 3. 两个无理数比较：多为含根号的简单数，用“平方法”（被开方数大的根式值大），少数结合绝对值/相反数比较。 方法技能 1. 纯有理数：正数＞0＞负数，负数比绝对值（绝对值大的更小）； 2. 有理vs无理/两无理数：高频用平方法（被开方数大则根式大），或熟记//近似值快速判； 3. 含符号/特殊运算：先化简（如去绝对值、算相反数），再归为上述类型比较。 核心原则：统一形式，化繁为简，优先用平方法/近似值，简单直接。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·三模）小于的无理数是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东广州·二模）下面各数中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 【变式03】（2025·广东江门·模拟预测）下列实数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 题型05 科学记数法 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·二模）中国的太空空间站离地球大约米，则近似数用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东揭阳·三模）华为某型号手机的芯片采用的是水平，，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 1. 正整数的科学记数法：考大于10的数表示（，，为整数位数减1），是高频考向； 2. 小数的科学记数法：考小于1的正数表示（，，为第一个非0数字前0的个数），为次高频考向。 偶尔结合近似数、有效数字考简单综合，核心仍是正确确定和的取值。 方法技能 1. 大于10的数：取原数首位非0数开头的一位小数，整数位数； 2. 小于1的正数：同上，负的（第一个非0数字前0的总个数）。 关键：先定保范围，再数位数定，注意含单位/近似数的先化简原数再转化。 变式演练 【变式01】（2025·广东·二模）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东韶关·二模）韶州体育馆是广东省第十三届中学生运动会主场馆，该体育馆建筑面积约为27360平方米，数据27360用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）年1月日，广东省统计局发布年广东经济运行简况．年，广东全省地区生产总值迈上万亿元新台阶，达万亿元，总量连续年居全国首位．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型06 整式的混合运算与化简求值问题 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 方法透视 考向解读 1.纯整式混合运算：融合幂的运算、整式加减乘除，必考平方差、完全平方公式，考查运算法则和符号把控； 2.整式化简求值：先通过因式分解、公式化简整式，再代入数值计算，偶尔结合整体代入法，考查化简步骤和代入前的条件验证。 常结合同类项、去括号等基础知识点，核心是公式准确应用和运算顺序遵循。 方法技能 先遵运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先），活用幂的运算法则和平方差、完全平方公式，去括号变号、合并同类项；化简求值需先通过因式分解、公式法化到最简，再代入计算，遇整体代换条件直接套，代入前检验取值合理性，全程严控符号错误。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东汕头·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 【变式03】（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 题型07 整式与几何面积的综合运算 典例引领 【典例01】（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【典例02】（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 中考整式与几何面积综合运算为基础融合考点，多以选择、填空或解答基础题呈现，核心考向为用整式表示几何图形的周长、面积，结合整式运算、乘法公式化简求值，常考矩形、正方形、拼接 / 分割图形，通过图形边长的整式表达，考查整式乘除、公式活用及几何与代数的转化，侧重用代数方法解决几何量计算问题。 方法技能 整式与几何面积综合运算核心技能：先根据几何图形（矩形、正方形、拼接 / 分割图形）的周长 / 面积公式，用整式表示边长并列出代数式；再活用整式乘除、平方差 / 完全平方公式化简式子；最后结合题意代入数值求值，关键是找准图形边长的整式关系，实现几何量到代数量的转化，化简时严控符号和公式应用。 变式演练 【变式01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·四川宜宾·模拟预测）第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 题型08 规律探究问题 典例引领 【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第个图形中“”的个数为______． 【典例02】（2025·广东汕头·一模）如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是______． 5 方法透视 考向解读 中考数与式规律探究是基础拓展考点，多以选择、填空压轴小题呈现，核心考向分两类：一是数字规律，围绕有理数、正整数列，考查等差、等比或递推型规律推导；二是代数式 / 等式规律，结合整式、分式、乘方形式，考查式子结构、系数、指数的变化规律。常结合图形、新定义融合考查，侧重观察数式特征、归纳递推关系，核心是从特殊到一般的推导能力。 方法技能 先观察特征（数字 / 系数 / 指数 / 符号的变化、式子结构），标序号找 “项数 n 与对应项” 的关联；再尝试归纳（等差 / 等比直接套公式，递推 / 结构型拆分为数字、符号、代数式部分分别找规律）；最后验证规律（代入前几项检验），结合图形的先转化为数式关系再推导，符号规律优先看奇偶项判定。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 【变式02】（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 【变式03】（2025·广东广州·二模）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 题型09 因式分解 典例引领 【典例01】（2025·广东·中考真题）因式分解：______． 【典例02】（2025·广东汕头·一模）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 中考因式分解为基础工具性考点，少单独命题，多融合在分式化简、整式运算、解方程中考查，核心考向为两类常规分解：一是提公因式法，二是公式法（平方差、完全平方公式），部分考区加考十字相乘法；侧重 “一提二套三查” 的步骤应用，要求分解彻底，核心考查公式活用与因式分解和整式乘法的互逆应用能力。 方法技能 遵循一提二套三查原则，先提公因式（含符号、系数最大公约数、相同字母最低次幂），再套平方差 / 完全平方 / 十字相乘法，最后检查是否分解彻底；熟记公式特征，找准公式适用条件，注意因式分解与整式乘法的互逆验证。 变式演练 【变式01】（2025·广东茂名·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【变式03】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：______． 题型10 分式有/无意义，值为0的条件 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 方法透视 考向解读 中考分式有/无意义、值为0的条件是基础考点，多以选择/填空小题呈现，极少单独大题考查，常融合在分式化简求值、解方程前置条件中；核心考向为三类条件判断：分式有意义（分母≠0）、无意义（分母=0）、值为0（分子=0且分母≠0，二者缺一不可），部分考区结合整式、二次根式综合考查分母取值范围，侧重概念辨析和细节把控，避免忽略分母不为0的核心前提。 方法技能 分式条件判断核心技能：紧扣分母核心前提，分三类判定： 1. 有意义：直接令分母≠0**求解； 2. 无意义：直接令分母=0**求解； 3. 值为0：需同时满足**分子=0且分母≠0**，两步验证缺一不可。 遇分母含整式/二次根式，先化简再列式，注意结合不等式求解取值范围，杜绝漏验分母不为0。 变式演练 【变式01】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【变式03】（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是____． 题型11 分式的混合运算与化简求值 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【典例02】（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 方法透视 考向解读 中考分式混合运算与化简求值是核心基础考点，多以解答题呈现，核心考向分两类：一是分式四则混合运算，融合因式分解、通分约分，考查运算法则应用；二是分式化简求值，先通过因式分解、公式法化简，再代入数值计算，常结合分式有意义条件筛选取值，部分考向会整体代入求值，侧重因式分解与分式运算的结合，以及计算中对分母不为0前提的把控。 方法技能 分式混合运算与化简求值核心技能：先因式分解分子分母，再按“先乘除（约分）后加减（通分）”运算，括号优先；化简求值需化到最简分式，代入前必验分母≠0（排除使分母为0的取值），遇整体代换条件直接套，全程紧扣因式分解约分、最简公分母通分的关键，严控符号与取值前提。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）化简并求值：，其中． 【变式03】（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中． 题型12 二次根式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 方法透视 考向解读 中考二次根式混合运算为基础考点，多以选择、填空或解答基础题呈现，常融合实数运算考查；核心考向为二次根式的四则混合运算，含化简、乘除、加减及与乘方、绝对值、幂运算的综合，侧重先将根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式、按实数运算顺序计算，考查根式化简能力与运算顺序的遵循。 方法技能 二次根式混合运算核心技能：先将所有根式化为最简二次根式，再遵循实数运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先），乘除运算化根式为单根式计算后再化简，加减运算仅合并同类二次根式，全程注意被开方数非负，结果需为最简形式。 变式演练 【变式01】（2025·广东东莞·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：； 题型13 非负性的应用 典例引领 【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【典例02】（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 方法透视 考向解读 中考非负性应用为基础综合考点，多在选择、填空及解答题条件中考查，核心依托绝对值、平方（偶次幂）、二次根式三类非负形式，考向分两类：一是直接利用“非负数和为0则各非负数均为0”求字母值；二是结合整式、方程、几何求值综合应用，侧重非负形式的识别与条件转化，考查多知识点融合运用能力。 方法技能 非负性应用核心技能：先识别绝对值、平方（偶次幂）、二次根式三类非负形式，若和为0则每一项均为0，列方程求解字母值；综合题中先通过变形构造非负和为0的形式，再结合整式、方程、几何条件代值计算，关键是精准识别非负形式，巧用“和为0则各项为0”的核心结论转化条件。 变式演练 【变式01】（2025·广东梅州·一模）已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 【变式02】（2025·广东汕头·一模）已知，则______． 【变式03】（2025·广东广州·模拟预测）若x、y为实数，且，则的值为 _____． 题●型●训●练 1．（2025·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·一模）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（2025·广东韶关·模拟预测）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 5．（2025·广东揭阳·模拟预测）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东东莞·模拟预测）已知代数式，则代数式的值是______． 7．（2025·广东潮州·模拟预测）已知，则的平方根为______． 8．（2025·广东佛山·模拟预测）若与的和是单项式，则__________． 9．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则_____． 10．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是_______． 11．（2025·广东肇庆·一模）已知实数，满足，则______． 12．（2025·广东湛江·模拟预测）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 13．（2025·广东茂名·模拟预测）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 14．（2025·广东惠州·模拟预测）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 15．（2025·广东珠海·模拟预测）计算：． 16．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $