专题03 三角函数中求ω、φ的取值范围（专项训练）高一数学人教B版必修第三册

专题03 三角函数中有关的范围问题 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型一：三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，求出的取值范围。 1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 因为函数在区间上单调递增， 所以，所以. 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 因为函数在区间上单调递增， 所以，所以. 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】ACD 【详解】当，时，， 由于在上单调递减，故应有， 故，且， 解得，故只能为0，则． 故选：ACD 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 解得，所以的取值范围是. 5．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， 设的最小正周期为，则，即，即，解得， 当，则， 又，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型二：三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，得到满足的不等式（组），求出的取值范围。 1．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增， 则的取值范围. 故选：B. 2．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的最大值为______ 【答案】 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 所以，当，， 因为，所以，因为在上单调递增， 故在上递增， 而在上递减，在上递增，在上递减， 所以，解得，所以的最大值为. 3．（24-25高一下·四川成都·月考）已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有在上是增函数，所以，所以， 又在上有最小值，所以，所以，解得，所以的取值范围是， 故选：B. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型三：三角函数的最值与的关系 常见题型：已知函数在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 函数在区间内既有最大值又有最小值， 则函数的最大值为，最小值为或函数的最大值为1，最小值为， 故或， 所以或， 所以的值不可能为. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，由题意可得，解得. 当时，令，解得，易知， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得，则，即， 化简可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，在区间上不存在最值， 若，则区间的长度大于函数半个周期，此时函数在区间内必然存在最值，故必有， 又函数的最值满足，即， 若，则， 因为，故，则时，， 时，，结合得， 由于在区间上不存在最值， 故在的范围内去除和， 则， 故选：D 4．（多选）（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在区间有且只有一个最大值点，则的取值可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，当时，， 所以，，解得，， 由，解得，且， 当时，由可得，A选项合乎要求； 当且时，，则， 由可得，，CD选项合乎要求. 故选：ACD. 5．（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知函数满足恒成立，则最小值为_____． 【答案】2 【详解】由，可知， 因为恒成立，所以，即， 因为，所以，因为，所以， 此时，即，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，，则， 由，可得， 解得，又，所以. 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为________ 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最值的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为函数在区间上恰有2个最大值点， 所以， 因此实数的所有取值构成的集合为. --------------------------------------------------------------------------------------------------------题型四：三角函数的最值与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 1．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 2．（2025·湖南·一模）已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，是函数的最大值， ,得， ，又． 故选：A 3．（多选）（25-26高三上·辽宁·月考）若函数在上有最小值而没有最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得． 因为，所以，， 作出在上的图象，如图所示，      依题意可得，，解得． 故选：BCD 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】令，当时，， 由函数在上有且仅有一个最大值，可转化为在上有且仅有一个最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 5．（25-26高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. 【答案】 ； 【详解】的最小正周期， 令，当时，， 由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值， 只需满足，所以的取值范围为. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型五：三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的图像上恰有一条对称轴和一个对称中心，求实数的取值范围. 解题步骤： 第一步：分析区间的长度不小于四分之一个周期，且小于四分之三个周期，即； 第二步：由，得； 第三步：确定区间左端点对应的直线或点是否为对称轴或对称中心，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值为. 故选：A 2．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得，且， 由，而时，时， 又在上恰有四个对称中心，则该区间内取值为， 所以，可得，则. 故选：B 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，图象关于对称， ， ，解得， ， ，故A正确． 故选：A． 4．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数，若曲线的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由正切函数的性质可知，的对称中心为，， 因为曲线的图象关于点中心对称， 所以，即，， 由得，解得， 因为，所以，所以，即的最小值为， 故选：C -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型六：三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的一条对称轴或一个对称中心，求. 解题步骤： 第一步：将代入； 第二步：若已知对称轴，则；若已知一个对称中心，则； 第三步：求出的所有值，根据的范围求出的值。 1．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 故选：C 2．（25-26高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由得到的函数图象关于直线对称，则， 所以的可能取值为， 故选：A. 3．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 4．（25-26高一上·福建厦门·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，令， 解得， 即的对称中心为； 因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又函数的最小正周期，所以，所以， 则， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：C． 5．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 【答案】 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，，所以，． 又因为，所以． 6．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，在区间上单调递减，直线和为的图象的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：， 所以周期 ，又因为 ，解得 ， 令 （），代入 得： ，， 当时， ， ， ， 由，及， 不在区间上单调递减，故不符合题意，舍去； 当时， ， 令， 解得：， 当时，的单调递减区间为， 又，故满足题意； 故， . 故选：D -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型七：三角函数的奇偶性与的关系 函数是奇函数； 函数是偶函数； 函数是奇函数； 函数是偶函数 1．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，为偶函数，则的值为（   ） A． B．π C． D．或 【答案】A 【详解】∵函数，为偶函数， ∴，，即， 故选:A. 2．（25-26高三上·河南·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，则， 又，则当时，， 故的最小值为. 故选：B． 3．（25-26高三上·山东滨州·期末）将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象．当函数为奇函数时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 因为函数为奇函数， 所以，所以， 由于，所以的最小值为. 故选：B. 4．（24-25高二上·云南楚雄·月考）将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 当是奇函数时，，解得， 因为，则时，． 故选：C． 5．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图像向右平移个单位， 所得图象对应的解析式为， 因为所得图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数， 因此， 解得，故的最小正值是． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 7．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型八：三角函数的零点与的关系 常见题型：已知函数的图像内有2个零点，求实数的取值范围.. 解题步骤： 第一步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭； 第二步：由，得； 第三步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭。 1．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由函数的零点等价于的零点 结合正弦函数在区间上恰有3个零点， 则，解得， 2．（多选）（25-26高三下·江西·开学考试）若函数在上恰有3个零点，则的值可能为（   ） A．32 B．34 C．40 D．45 【答案】BCD 【详解】由及＞0，得， 因为在上恰有3个零点，所以，解得． 选项中满足条件的有. 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为，所以, 由函数零点等价于函数的零点， 再结合正弦函数在区间上恰有3个零点， 则，解得， 4．（24-25高一下·四川广安·月考）已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是. 5．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是______. 【答案】 【详解】函数零点满足，，即，， 因为且，所以为正整数， 因为函数在区间上至少有2个零点， 所以即至少有两个正整数解， 为保证区间至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数和， 所以，即，为使该不等式有解，须满足， 得，又，所以，当时，所以，即的最小值为. 6．（25-26高三上·江西景德镇·期末）若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】，在该区间内恰好有两个零点的一个必要条件是，解得. 因为，所以， 所以原问题等价于函数在区间内恰有两个零点， 注意到，, 所以函数在区间内两个零点为和， 所以，解得. 7．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间有且仅有6个零点，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】由题意，即在区间有且仅有6个解， 由于为偶函数，即在区间有且仅有3个解， 由于，则， 结合图像可得， 则， -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型九：三角函数的综合性质与的关系 常见题型：已知函数在区间上单调且给出对称中心或对称轴或零点，求实数的最值。 解题步骤： 第一步：分析区间的长度不大于半个周期，即； 第二步：由给出对称中心或对称轴或零点求出所有的（或）； 第三步：根据第一步求出的（或）的范围确定的最值 1．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，解得， 又因为函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值，所以, 所以,解得，解得. 又因为. 故选：B. 2．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵满足， ∴，即，而， ∵在上单调，∴，即， 而，且，解得，即， 当时，，当时，， 故当时，ω最大，最大值为. 3．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得， 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上所述，得到，即，故D正确. 故选：D 4．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于的图象关于对称， 所以， 因为，所以或. 若，则， 所以在上单调递减，不合题意； 若，则， 所以在上单调递增，符合题意. 故选：C 5．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上单调递增，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 令，解得， 令，由题意可得，则，解得， 当时，，不合题意；当时，，不合题意. 故选：B. 6．（24-25高三下·云南·期中）已知函数 的一个对称中心为 ，一条对称轴为 ，且 在 上单增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因在单增，可知函数的周期满足，即； 又，所以有，则，所以，则； 又因一条对称轴为，则，故有()， 解得()，由于，所以. 所以. 故选：D． 7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______． 【答案】2或 【详解】是上的偶函数，， 又，，. 又图象关于点对称， ，. 又在区间上单调，， ，. ，又， 或. 当时，；当时，. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以在处取到最值， 所以（）， 故选：C． 2．（24-25高一下·江西·期末）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到 ， 又是奇函数，所以， 得，，当时，. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，又， 则， 因为在上单调递增， 则，解得， 所以，故的取值范围是． 故选：B 4．（25-26高二上·山西·开学考试）已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在区间上的最小值为， 当时，，则有，解得； 当时，，则有，解得， 的取值范围是. 故选：D 5．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值， 令，结合图象， ∴，解得． 故选：B． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象经过点， 所以，由于，则，则． 由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则， 所以. 故选：A 7．（25-26高三上·福建莆田·月考）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数， 所以，而，则， 此时， 由是图象的一条对称轴， 所以，则， 又在区间上单调，则，即，则或6， 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意； 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意. 综上所述，或6. 故选：B. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 9．（24-25高一下·安徽·月考）若函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，令， 解得， 即函数的递增区间为， 因为函数在区间上单调递增， 可得 则满足且，解得且， 由，可得， 因为在区间上有唯一的实数解，可得，解得， 综上可得，当时，，所以的取值范围为. 故选：C. 10．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 11．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，， 当时，. 正弦函数的对称轴满足（）， 要使在内恰有三条对称轴， ，，，， 因此， 正弦函数的零点满足（）， 要使在内恰有两个零点， 则，，， 因此， 联立两式：， 解得. 故选：C 12．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为. 故选：C． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知.若是函数的零点，直线是函数图象的对称轴，在区间上单调，则的最大值是（    ）. A．14 B．9 C．10 D．6 【答案】B 【详解】【解法一：】由得，则. 当时，只能取，则，， 从而，是图象的对称轴. 当时，，这个区间不含中的任何一个， 故函数在上单调，符合题意. 当时，只能取，则，， 从而，是图象的对称轴.当时，， 这个区间含有，则函数在上不单调，不符合题意. 当时，只能取，则，， 从而，是图象的对称轴. 当时，，这个区间不含有中的任何一个， 函数在上单调，符合题意. 当时，只能取，则，， 从而，是图象的对称轴.当时，， 这个区间含有，则函数在上不单调，不符合题意. 综上，的最大值为9. 【解法二：】根据函数的图象特征知，它的一个零点和一条对称轴之间的最近距离为周期的四分之一， 所以，即，可得，其中. 所以函数的极值点为. 由于在上单调，所以对于任意的， 都有， 即. 当时，，存在，不合题意； 当时，，对任意的，符合题意. 【解法三：】从，入手来思考，要取最大值， 可以结合选项，从取值最大的选项开始，一一验证. 当时，，从单调区间的一个端点往前推算， 靠近的单调区间为，，容易看出，不合题意. 当时，，从单调区间的一个端点往前推算， 靠近的单调区间为，，容易看出，符合题意. 【解法四：】：由得，则， 从而其中. 由，即，可知为正奇数. 由得 又由于，所以只能取. 当时，；当时，；当时，； 当时，. 因为是正奇数且不超过12，所以. 当时，，， 该区间含有，则在上不单调，不符合题意. 当时，，， 该区间不含有中的任何一个，则在上单调，符合题意. 综上，的最大值为9. 【解法五：】由题意知，得，即，从而①. 又由题意可得其中，则. 又因为，所以. 当时，，②. 由①②可得，的最大值为9. 故选：B. 14．（多选）（25-26高三上·重庆渝北·月考）设函数，若在上单调递增，则ω的取值集合的子集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为在上单调递增，所以，则， 由于，所以，解得：， 令，解得：， 所以函数的增区间为， 若在上单调递增，所以， 则，解得：， 由于，且， 当时，，则，故A正确； 当时，，则，故C正确； 当时，，不满足条件； 综上：ω的取值集合的子集可能是和； 故选：AC 15．（多选）（25-26高三上·四川遂宁·期中）设函数，若在上单调递增，则的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，解得， 即函数的单调增区间为， 因为在上单调递增，所以，且区间长度小于等于周期的一半， 所以有，解得， 取，； 取，； 取，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去. 综上所述，的取值范围为. 故选：AC 16．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 【答案】6 【详解】函数的最小正周期，由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是， 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，函数在上不单调，不符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意， 因此或，所以的最大值为6. 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数中有关的范围问题 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型一：三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，求出的取值范围。 1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 5．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 6．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型二：三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，得到满足的不等式（组），求出的取值范围。 1．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的最大值为______ 3．（24-25高一下·四川成都·月考）已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型三：三角函数的最值与的关系 常见题型：已知函数在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在区间有且只有一个最大值点，则的取值可以是（       ） A． B． C． D． 5．（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知函数满足恒成立，则最小值为_____． 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为________ --------------------------------------------------------------------------------------------------------题型四：三角函数的最值与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 1．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·一模）已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·辽宁·月考）若函数在上有最小值而没有最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为_______． 5．（25-26高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型五：三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的图像上恰有一条对称轴和一个对称中心，求实数的取值范围. 解题步骤： 第一步：分析区间的长度不小于四分之一个周期，且小于四分之三个周期，即； 第二步：由，得； 第三步：确定区间左端点对应的直线或点是否为对称轴或对称中心，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 2．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 （     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数，若曲线的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 题型六：三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的一条对称轴或一个对称中心，求. 解题步骤： 第一步：将代入； 第二步：若已知对称轴，则；若已知一个对称中心，则； 第三步：求出的所有值，根据的范围求出的值。 1．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建厦门·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 6．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，在区间上单调递减，直线和为的图象的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型七：三角函数的奇偶性与的关系 函数是奇函数； 函数是偶函数； 函数是奇函数； 函数是偶函数 1．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，为偶函数，则的值为（   ） A． B．π C． D．或 2．（25-26高三上·河南·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东滨州·期末）将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象．当函数为奇函数时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南楚雄·月考）将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型八：三角函数的零点与的关系 常见题型：已知函数的图像内有2个零点，求实数的取值范围.. 解题步骤： 第一步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭； 第二步：由，得； 第三步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭。 1．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高三下·江西·开学考试）若函数在上恰有3个零点，则的值可能为（   ） A．32 B．34 C．40 D．45 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是_________. 4．（24-25高一下·四川广安·月考）已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是__________. 5．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是______. 6．（25-26高三上·江西景德镇·期末）若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 7．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间有且仅有6个零点，则的取值范围是________. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 题型九：三角函数的综合性质与的关系 常见题型：已知函数在区间上单调且给出对称中心或对称轴或零点，求实数的最值。 解题步骤： 第一步：分析区间的长度不大于半个周期，即； 第二步：由给出对称中心或对称轴或零点求出所有的（或）； 第三步：根据第一步求出的（或）的范围确定的最值 1．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 2．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上单调递增，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高三下·云南·期中）已知函数 的一个对称中心为 ，一条对称轴为 ，且 在 上单增，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______． -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·期末）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西·开学考试）已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建莆田·月考）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 8．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·安徽·月考）若函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．（2025高三·全国·专题练习）已知.若是函数的零点，直线是函数图象的对称轴，在区间上单调，则的最大值是（    ）. A．14 B．9 C．10 D．6 14．（多选）（25-26高三上·重庆渝北·月考）设函数，若在上单调递增，则ω的取值集合的子集可能是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（25-26高三上·四川遂宁·期中）设函数，若在上单调递增，则的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $