空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题复习讲义——2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题复习讲义 空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题复习讲义 考点目录 与坐标轴平行或重合直线上的动点问题 与坐标轴不平行也不重合直线上的动点问题 边长缺失问题 知识点解析 1. 若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. 2. 若动点所在直线与坐标轴不平行，可利用共线向量表示动点坐标. 已知点，，动点在直线上运动. ①表示向量. ②利用三点共线得，所以，得的坐标. ③利用的坐标求出点坐标，直接利用表示出目标向量. 3.立体几何边长缺失问题解题思路： （1）找依托：依托已知边 / 面 / 角（垂线、平行面、特殊角 / 形），锁定含缺失边的直角三角形、平行四边形、相似三角形等可解图形； （2）用定理：借线面垂直 / 平行、面面垂直性质找直角，用勾股定理、相似比、三角函数直接求边；或用空间向量，设缺失边为参数，结合向量垂直 / 平行、模长公式列方程求解； （3）验关联：结合几何体棱长、面的约束关系，验证所求边长符合图形存在性，无矛盾。 （4）核心：抓垂直 / 平行找可解图形，用几何定理或向量建方程补缺失边。 考点一 与坐标轴平行或重合直线上的动点问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，． (1)求证：平面平面； (2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由． 例2．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【变式训练】 变式1．（2026·河北·模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． (1)求三棱锥的外接球球心的位置． (2)线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 变式3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点二 与坐标轴不平行也不重合直线上的动点问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·浙江衢州·月考）如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高三上·辽宁大连·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点． (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练】 变式1．（2026·河北·一模）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·贵州遵义·模拟预测）在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 变式3．（24-25高三上·河南·期末）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 考点三 边长缺失问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，是的中点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度． 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）图，已知四棱台的底面为正方形，平面，，为的中点. (1)证明:平面; (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 变式2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，点分别是棱的中点． (1)证明：平面; (2)若二面角的余弦值为，求． 变式3．（25-26高三上·河北沧州·期中）在直三棱柱中，. (1)证明：； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题复习讲义 空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题复习讲义 考点目录 与坐标轴平行或重合直线上的动点问题 与坐标轴不平行也不重合直线上的动点问题 边长缺失问题 知识点解析 1. 若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. 2. 若动点所在直线与坐标轴不平行，可利用共线向量表示动点坐标. 已知点，，动点在直线上运动. ①表示向量. ②利用三点共线得，所以，得的坐标. ③利用的坐标求出点坐标，直接利用表示出目标向量. 3.立体几何边长缺失问题解题思路： （1）找依托：依托已知边 / 面 / 角（垂线、平行面、特殊角 / 形），锁定含缺失边的直角三角形、平行四边形、相似三角形等可解图形； （2）用定理：借线面垂直 / 平行、面面垂直性质找直角，用勾股定理、相似比、三角函数直接求边；或用空间向量，设缺失边为参数，结合向量垂直 / 平行、模长公式列方程求解； （3）验关联：结合几何体棱长、面的约束关系，验证所求边长符合图形存在性，无矛盾。 （4）核心：抓垂直 / 平行找可解图形，用几何定理或向量建方程补缺失边。 考点一 与坐标轴平行或重合直线上的动点问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，． (1)求证：平面平面； (2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【详解】（1）因底面底面，则， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图． 由，设，于是， 其中， 则． 由，可得． 假设存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等， 则，由， 可得． 又， 其判别式，故方程无解， 即线段上不存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等． 例2．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【详解】（1）由题知， 由余弦定理得， ∴，∴，∴， 又，平面，， ∴平面； （2）如图，过作的垂线，垂足为，则， ∵四边形为等腰梯形，∴. 由（1）知，平面， ∴，又，平面，， ∴平面，∴，∴两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 故与平面夹角的正弦值为； （3）存在. 假设存在，设， 则， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 由题知，解得. 综上，存在点符合，且． 例3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 【变式训练】 变式1．（2026·河北·模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． (1)求三棱锥的外接球球心的位置． (2)线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的中点 (2)存在，M为上靠近点的四等分点 【详解】（1）因为，，，平面ABCD， ，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 由题可得，，则，，又， 在中，由余弦定理可得， 由，可得，因为，平面，， 所以平面，又平面，所以， 取的中点，由和是直角三角形， 知到，，，四点的距离相等， 所以三棱锥的外接球球心为的中点. （2）由题可得，，两两垂直，故以为坐标原点， 分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 假设存在点M满足题意，设，，则， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 设平面的法向量， 则，故可取. 因为二面角为直二面角，所以， 即，解得，所以M为上靠近点的四等分点. 故存在一点M，使得二面角为直二面角， 此时M为上靠近点的四等分点. 变式2．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【详解】（1） 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 变式3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在，. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以中，，. 底面中，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）取的中点，连接， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，， 因为，， 所以，所以， 所以两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）设线段上是存在点，使得平面，， 设平面的法向量为， 又，， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 因为平面， 所以，又， 所以， 所以， 所以存在点，使得平面，此时. 考点二 与坐标轴不平行也不重合直线上的动点问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·浙江衢州·月考）如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）取中点N，∵M为中点，∴，且. 又∵，，∴，且， ∴四边形为平行四边形，所以 . ∵平面，平面 ∴平面. （2）∵平面，且，所以两两垂直. 以点A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. ∴，，，，，. 假设存在点Q满足题意，设， . 设平面的法向量为 则，令，则 设直线与平面所成的角为，则 ， 化简得，解得或. 因为，所以，即. 例2．（25-26高三上·辽宁大连·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点． (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，2 【详解】（1）由平面且四边形为矩形可得两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令得，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以，， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （2）假设存在满足题意的点， 因为在线段上，有，即， 所以，则， 因为，所以， 解得， 即存在满足题意的点． 例3．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在, 或 【详解】（1）若∥，平面，平面，所以∥平面； 若∥，平面，平面，所以∥平面. 因为平面，所以平面∥平面. 又平面平面，平面平面， 所以∥. （2）因为，所以，所以. 因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面. 过作，垂足为，则. 所以. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ， 则，所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则. 所以平面的法向量为. 由平面，知平面的一个法向量为. 所以， 即，化简得，解得或. 故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或. 【变式训练】 变式1．（2026·河北·一模）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)存在， 【详解】（1） 由题意得，过作， 因为底面为等腰梯形，且，所以， 所以， 所以，进而得出， 又，平面. 所以平面，又平面， 所以． 所以. （2） 取的中点为，连接，，， 所以平面，又平面， ，平面. 所以平面，过E作平行于， 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 假设存在点，设， ， 设平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， ，解得或（舍）. 在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 变式2．（2025·贵州遵义·模拟预测）在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为四边形为正方形， 所以为的中点，又为线段的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，且平面， 所以. （2）在正方形中，， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又，，所以， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又，为线段的中点， 所以， 则， 设，，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 由平面平面，则，解得，即， 所以在线段上存在一点，使得平面平面，且. 变式3．（24-25高三上·河南·期末）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【详解】（1）证明：因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以 设平面的法向量为，则 令，得，所以. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 , 解得或. 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 考点三 边长缺失问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，是的中点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）如下图，连接交于点，可得点是的中点， 因为四边形是边长为1的正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 由，平面， 得平面； （2）设（），以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ， ， ， 设平面的法向量为，则且， 即：，两式相减得，令，则，所以可取， 设直线与平面所成角为，则， 因，，， 则，又，则， 两边平方后整理可得：， 令（），则，解得或，即或，因为， 所以或，即或. 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则. 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故. （2）因，，则， 又得，即两两垂直， 故以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则，于是， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 依题意，， 解得或，则或. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）图，已知四棱台的底面为正方形，平面，，为的中点. (1)证明:平面; (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，如图， 因为，且四棱台的底面为正方形， 所以，易得，所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面. （2）以为原点，正方向为轴建立空间直角坐标系，如图： 设，则， 易得平面的法向量可取，设平面的法向量为， ，，则有，设，则， 则平面与平面夹角的余弦值为 ， 解得，则，，则. 变式2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，点分别是棱的中点． (1)证明：平面; (2)若二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）证明：在中，由，为的中点，， 平面，平面，. 又,,且平面，平面， 平面, 平面，, 又，且平面，平面， 平面. （2）由题可知,,,以为坐标原点， 以方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示， 不妨设,则,,,,,, ,,, 设平面的一个法向量为,则,, 令,则,,, 由（1）可知，平面的一个法向量可取为, 二面角的余弦值为, ,即,解得, . 变式3．（25-26高三上·河北沧州·期中）在直三棱柱中，. (1)证明：； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以由直三棱柱的性质知四边形为正方形，所以， 而，平面，所以平面， 而平面，所以； （2）由题意知，平面， 所以平面，而平面， 所以，故两两垂直， 以为坐标原点，方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设， 则， 从而， 设平面的一个法向量为， 则，即，可取， 设平面的一个法向量为， 则，即，可取， 故， 平方化简得，又，所以，故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $