第32讲 投影与视图（复习讲义，2考点4题型3重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第32讲 投影与视图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 投影 题型01 投影 命题点二 三视图 题型01 判断几何体的三视图 题型02 由三视图还原几何体 题型03 三视图的相关计算 05·重难突破·思维进阶 14 突破一 根据三视图求最多或最少的小正方体个数 突破二 添加小正方体使得三视图不变 突破三 投影与相似及函数综合 06·优题精选·练能提分 20 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 投影 / / / 通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念，区分不同投影类型。掌握中心投影和平行投影下物体与投影的对应关系，能绘制简单图形的投影。 三视图 辽宁省卷 T1 辽宁省卷 T1 沈阳卷T2 鞍山卷T2 丹东卷T2 盘锦卷T2 锦州卷T2 营口卷T2 阜新卷T2 抚顺、葫芦岛T4 本溪、铁岭、辽阳卷T3 能判断简单几何体的三视图，识别组合体的三视图，并会根据三视图描述简单的几何体，判断几何体的大致形状。能根据三视图计算几何体的表面积或体积。 命题预测 投影与视图考点为每年中考的必考基础考点，以选择题为主，属于基础题型，难度不大，题型与难度都具有稳定性，做题时注意审题、提升做题速度即可，是中考得分中的必拿分。 考点一 投影 1. 投影的定义 一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。 照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2. 平行投影的定义 由平行光线形成的投影叫做平行投影。（例如：太阳光） 3. 平行投影的特征 （1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长。 （2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度。 图1 图2 4. 中心投影的定义 由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。（例如：手电筒、路灯、台灯等） 5. 中心投影的特征 （1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长。 （2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短。 　　　　　　　　　　　 图3 图4 6. 正投影的定义 当平行光线垂直投影面时叫正投影。 7. 正投影的分类 （1）线段的正投影分为三种情况：如图所示。 　　　　　　　　　　　　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. （2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似； ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线。 （3）立体图形的正投影 物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。 8. 投影的判断方法 （1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影． （2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影． 1．（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B． C． D． 考点二 三视图 1. 三视图的定义 从正面观察物体得到的视图叫做主视图； 从左面观察物体得到的视图叫做左视图； 从上面观察物体得到的视图叫做俯视图。 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图。 2. 三视图之间的关系 （1）位置关系：主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边。 （2）数量关系：主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。 注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线。 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下面是由几个相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图为 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·一模）斗拱是中国古代建筑特有的一种部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，它的主视图为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 命题点一 投影 ►题型01 投影 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． (1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 命题点二 三视图 ►题型01 判断几何体的三视图 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（   ） A．图①和图②主视图相同 B．图①和图③主视图相同 C．图①和图③左视图相同 D．图①和图④俯视图不相同 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示物体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． ►题型02 由三视图还原几何体 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）下图中三视图描述的几何体是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ）    A．   B．     C．   D．   【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示的三视图对应的几何体是（    ） A． B． C． D． ►题型03 三视图的相关计算 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·三模）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·一模）一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（  ） A． B． C． D． 突破一 根据三视图求最多或最少的小正方体个数 【典例】1．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例】2．已知一个几何体是由若干个小正方体所构成的，从不同的角度看这个几何体，得到了以下几副不同的平面图形，则构成该几何体的小正方体的个数是______个． 【变式】1．用小立方体搭一个几何体，分别从它的正面、上面看到的形状如图所示．这样的几何体最少需___________个小立方体；最多需要___________个小立方体． 【变式】2．用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要_____块小立方体，最多需要_____块小立方体． 【变式】3．用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要个立方块，最多要个立方块． (1)则_______，_______； (2)若有理数，满足，，且，求的值． (3)画出几何体最多时的左视图． 突破二 添加小正方体使得三视图不变 【典例】1．如图是由12个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若从正面看和从左面看形状图与（1）中保持不变，直接写出最多可以添加几个小立方块． 【典例】2．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【变式】1．把边长为个单位的个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)直接写出该几何体的表面积为______________； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______________个小正方体 【变式】2．某几何体由棱长均为1的小立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别在网格中画出从正面、左面看到的该几何体的形状图（用签字笔将对应的虚线描为实线即可）； (2)如果在该几何体上添加若干同样大小的小立方块得到一个新几何体，且新几何体与原几何体从上面、正面、左面看到的形状图分别相同，那么最多可以再添加几个小立方块？在这样的条件下，当添加最多的小立方块时，求新几何体的体积． 【变式】3．如下图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有___________个小正方体； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加___________个小正方体． 突破三 投影与相似及函数综合 【典例】1．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少______米． 【典例】2．小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 【变式】1．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【变式】2．学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【变式】3．双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】 如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】 ①视差：物体目标点在左、右相机的视差． ②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区． ③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】 如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】 (1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm． ①当刚进入感光区，目标物到基线的距离m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为． ③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 1．如图所示，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　） A． B． C． D． 5．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是(   ) A． B． C． D． 6．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是______（填写“平行投影”或“中心投影”） 7．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（    ）    A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④① 8．如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（    ） A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图和俯视图 9．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”如图是其中一种卯，其主视图是（ ） A． B． C． D． 10．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个有编号的小正方体后，余下几何体的左视图不会改变，则移走编号为（    ）的小正方体． A．①或③ B．②或④ C．③或④ D．②、③、④、⑤中的任何一个 11．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 12．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 13．如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为____． 14．在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字形几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)请从下列①，②两题中任选一题作答，我选择______题． ①已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积； ②已知这些四棱柱木条的高为3m，底面正方形的边长为a，求这个鲁班锁的表面积．（用含a的代数式表示） 16．用小立方体搭一个几何体，分别从它的正面、上面看到的形状如图所示．搭这样的几何体最少、最多需要的小立方体个数分别为（    ） A．6，9 B．5，7 C．6，8 D．7，8 17．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由_____个这样的正方体组成． 18．如图1，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．    (1)共有__________个小正方体． (2)请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图； (3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形图都不变，最多可以再添加__________个小正方体； (4)图1中个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是__________． 19．在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量山坡上的一棵大树的高度，如下图．已知大树与地面垂直，山坡与地面的夹角为，站立在水平地面上身高1.7m的小明（看作）在地面上的影长为1.2m，此刻大树在斜坡上的影长为5m．求大树的高度． 20．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，若，试求点的坐标； (3)教材中对投影是这样描述的：一般的，用光线照射物体，在某平面上得到的影子，叫做物体的投影．同样，我们也可以得到图象在直线上的投影．如图，用光线沿水平方向左右照射，抛物线，两点之间的部分在轴上的投影就是线段．如图，点是抛物线上两点．设抛物线上，两点间的部分在轴上的投影为， ①当线段时，试求的值：②当线段时，直接写出的取值范围． 1．（2025·湖南长沙·中考真题）下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 3．（2025·安徽·中考真题）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   7．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川广元·中考真题）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东东营·中考真题）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 13．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 15．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第32讲 投影与视图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 投影 题型01 投影 命题点二 三视图 题型01 判断几何体的三视图 题型02 由三视图还原几何体 题型03 三视图的相关计算 05·重难突破·思维进阶 21 突破一 根据三视图求最多或最少的小正方体个数 突破二 添加小正方体使得三视图不变 突破三 投影与相似及函数综合 06·优题精选·练能提分 44 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 投影 / / / 通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念，区分不同投影类型。掌握中心投影和平行投影下物体与投影的对应关系，能绘制简单图形的投影。 三视图 辽宁省卷 T1 辽宁省卷 T1 沈阳卷T2 鞍山卷T2 丹东卷T2 盘锦卷T2 锦州卷T2 营口卷T2 阜新卷T2 抚顺、葫芦岛T4 本溪、铁岭、辽阳卷T3 能判断简单几何体的三视图，识别组合体的三视图，并会根据三视图描述简单的几何体，判断几何体的大致形状。能根据三视图计算几何体的表面积或体积。 命题预测 投影与视图考点为每年中考的必考基础考点，以选择题为主，属于基础题型，难度不大，题型与难度都具有稳定性，做题时注意审题、提升做题速度即可，是中考得分中的必拿分。 考点一 投影 1. 投影的定义 一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。 照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2. 平行投影的定义 由平行光线形成的投影叫做平行投影。（例如：太阳光） 3. 平行投影的特征 （1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长。 （2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度。 图1 图2 4. 中心投影的定义 由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。（例如：手电筒、路灯、台灯等） 5. 中心投影的特征 （1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长。 （2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短。 　　　　　　　　　　　 图3 图4 6. 正投影的定义 当平行光线垂直投影面时叫正投影。 7. 正投影的分类 （1）线段的正投影分为三种情况：如图所示。 　　　　　　　　　　　　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. （2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似； ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线。 （3）立体图形的正投影 物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。 8. 投影的判断方法 （1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影． （2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影． 1．（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 【答案】A 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握投影与视图是解题的关键．根据投影和视图的定义进行判断即可． 【详解】解：生活中，由灯泡发出的光线形成的投影不叫做正投影，故选项A错误，符合题意； 正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形，故选项B正确，不符合题意； 日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影，故选项C正确，不符合题意； 三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理，故选项D正确，不符合题意； 故选A． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 考点二 三视图 1. 三视图的定义 从正面观察物体得到的视图叫做主视图； 从左面观察物体得到的视图叫做左视图； 从上面观察物体得到的视图叫做俯视图。 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图。 2. 三视图之间的关系 （1）位置关系：主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边。 （2）数量关系：主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。 注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线。 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下面是由几个相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可知这个几何体的主视图为 ． 故选：B． 2．（2025·辽宁大连·一模）斗拱是中国古代建筑特有的一种部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，它的主视图为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：A、是构件的主视图，符合题意； B、不是构件的视图，不符合题意； C、不是构件的视图，不符合题意； D、是构件的左视图，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形上部分是一个五边形，下部分是一个三角形，即看到的图形如下： 故选：B． 命题点一 投影 ►题型01 投影 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【答案】B 【分析】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）． 根据平行投影的定义判断即可． 【详解】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影； 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影的判断，根据中心投影是指光线从一个点（投影中心）发散形成的投影逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 中心投影的光线需从一点发散， 而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散， ∴ A不是中心投影， B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影， 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． (1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 【答案】(1)见解析 (2)小亮影子的长度为 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段． （1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端； （2）根据中心投影的特点可知，利用相似比即可求解． 【详解】（1）解：连接并延长交地面于点C，线段就是小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， 小亮影子的长度为． 命题点二 三视图 ►题型01 判断几何体的三视图 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查判断几何体的三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】 解：由图可知，俯视图为： 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】 解：根据俯视图的意义，得．故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（   ） A．图①和图②主视图相同 B．图①和图③主视图相同 C．图①和图③左视图相同 D．图①和图④俯视图不相同 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，根据三视图的相关概念解答即可，解题的关键是正确理解几何体三种视图． 【详解】 解：图①的主视图、左视图、俯视图为：； 图②的主视图为：， 故错，不符合题意； 图③的主视图和左视图为：， 故B正确，符合题意；C错误，不符合题意； 图④：俯视图为：， 故错误，不符合题意； 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示物体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了三视图，俯视图是从上面观察几何体而画出的图形．根据得到俯视图为，即可得到答案． 【详解】 解：， 俯视图为， 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图的概念即从正面看物体得到的图形求解可得． 【详解】解：该几何体的主视图是 故选：B． ►题型02 由三视图还原几何体 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）下图中三视图描述的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义． 认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可． 【详解】 解：结合三视图发现：该几何体为， 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，根据三视图的知识，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 【详解】解：观察图形可知，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 故选∶C． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题易得此几何体有二行，二列，判断出各行各列可能有几个正方体组成即可． 【详解】解：底层正方体可能的个数应是3个，第二层正方体可能的个数应该是1个， 因此这个几何体可能的图示如图所示， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图，掌握知识点是解题关键． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ）    A．   B．     C．   D．   【答案】B 【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示的三视图对应的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键． 由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：图中三视图对应的几何体是圆锥， 故选：C． ►题型03 三视图的相关计算 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·三模）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体． 【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2． 故选A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·一模）一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥体的表面积．根据题意可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，先求出圆锥的母线长，即可求出物体的表面积． 【详解】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆， ∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴这个物体的表面积为． 故答案为： 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______． 【答案】55cm2 【分析】由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm, ∴表面积=π×5×6+π×52=55πcm2， 故答案为: 55πcm2. 【点睛】本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想.如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的表面积=πrl+πr2. 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积=6××62×2=． 故选C． 考点：由三视图判断几何体． 突破一 根据三视图求最多或最少的小正方体个数 【典例】1．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案. 【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示： 所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”． 【典例】2．已知一个几何体是由若干个小正方体所构成的，从不同的角度看这个几何体，得到了以下几副不同的平面图形，则构成该几何体的小正方体的个数是______个． 【答案】10或11或12 【分析】根据三视图的定义，分三种情况逐层判断即可． 【详解】解：根据三视图的知识，该几何体有三层， 如图1， 底面有7个小正方体，第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体， 所以至少共有7+2+1=10个； 如图2， 底面有7个小正方体，第二层有3个小正方体，第三层有1个小正方体， 所以至少共有7+3+1=11个； 如图3， 底面有7个小正方体，第二层有4个小正方体，第三层有1个小正方体， 所以至少共有7+4+1=12个； 故答案为：10或11或12． 【点睛】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能容易得到答案了． 【变式】1．用小立方体搭一个几何体，分别从它的正面、上面看到的形状如图所示．这样的几何体最少需___________个小立方体；最多需要___________个小立方体． 【答案】 6 8 【分析】从上面看可以看出最底层小正方体的个数及形状，从前面看可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：∵从上面看有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， 从前面看可得第2层最少有1个正方体；最多有3个正方体， ∴该组合几何体最少有个正方体，最多有个正方体． 故答案为：6，8． 【点睛】此题主要考查了不同方向看几何体，关键是掌握口诀“上面看打地基，前面看疯狂盖，左面看拆违章”就很容易得到答案． 【变式】2．用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要_____块小立方体，最多需要_____块小立方体． 【答案】 6 8 【分析】根据左视图可得这个几何体共有2层，再分最少和最多两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】最少分布个数如下所示，共需6块； 最多分布个数如下所示，共需8块． 故答案为：6，8． 【点睛】此题主要考查对三视图的理解，已知三视图求正方体的最多和最少块数. 【变式】3．用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要个立方块，最多要个立方块． (1)则_______，_______； (2)若有理数，满足，，且，求的值． (3)画出几何体最多时的左视图． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】题主要考查三视图和有理数的运算： （1）由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图左起第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个立方块，最少一个正方体所在位置有2个立方块，其余2个所在位置各有1个立方块；主视图左起第二列1个正方形所在位置只能有2个立方块；主视图左起第三列每个正方形所在位置最多均可有3个立方块，最少一个正方体所在位置有3个立方块，另外一个所在位置有1个立方块． （2）根据题意可知，，结合，可得，异号． （3）根据左视图的定义可知，左视图左起第一列共个正方形，左起第二列共个正方形，左起第三列共个正方形． 【详解】（1）由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图左起第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个立方块，最少一个正方体所在位置有2个立方块，其余2个所在位置各有1个立方块；主视图左起第二列1个正方形所在位置只能有2个立方块；主视图左起第三列每个正方形所在位置最多均可有3个立方块，最少一个正方体所在位置有3个立方块，另外一个所在位置有1个立方块． 这样的几何体最少需要：(个)． 这样的几何体最多需要：（个）． 所以，． 故答案为：，． （2）∵，，，， ∴，． ∵， ∴，． ∴． （3）根据左视图的定义可知，左视图左起第一列共个正方形，左起第二列共个正方形，左起第三列共个正方形． 突破二 添加小正方体使得三视图不变 【典例】1．如图是由12个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若从正面看和从左面看形状图与（1）中保持不变，直接写出最多可以添加几个小立方块． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的三视图以及保持部分视图不变的情况下添加小立方块的问题，准确分析作图是解题的关键． （1）根据几何体的特征，作图即可； （2）要保证左面和正面看到的形状不变的前提下，分析每个位置最多能添加的小立方块数量，进而得出结论； 【详解】（1）从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示： （2）根据分析判断，若从正面看和从左面看形状图不变，则最多可添加如图所示的小立方块，图中黑色数字为原图中原有的小立方块个数，红色数字表示新增加的小立方块个数， 个数为个． 【典例】2．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【答案】(1)8，图形见解析 (2)200 (3)3 【分析】本题考查作图—三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积是组成几何体的表面面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，3，左视图有2列，每列小正方体数目分别为3，1，俯视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持从上面看和从左面看到的图形不变，可往第一列上面的几何体上放2个小正方体， 第二列上面的几何体上放1个小正方体，即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由个小正方体组成， 这个几何体从三个方向看的图形，如下图： 故答案为：8 （2）解：克， 即共需200克漆； 故答案为：200 （3）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加个小正方体． 【点睛】故答案为：3． 【变式】1．把边长为个单位的个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)直接写出该几何体的表面积为______________； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______________个小正方体 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查作图—三视图、几何体的表面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． （）利用三视图的画法画图即可； （）利用几何体的形状计算其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：几何体的表面积为：， 故答案为：； （3）解：如图，最多可以再添加个正方体， 故答案为：． 【变式】2．某几何体由棱长均为1的小立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别在网格中画出从正面、左面看到的该几何体的形状图（用签字笔将对应的虚线描为实线即可）； (2)如果在该几何体上添加若干同样大小的小立方块得到一个新几何体，且新几何体与原几何体从上面、正面、左面看到的形状图分别相同，那么最多可以再添加几个小立方块？在这样的条件下，当添加最多的小立方块时，求新几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)最多添加2个小立方块；此时新几何体的体积为12 【分析】本题考查从不同方向看几何体．由从上面看及小正方形内的数字，可知从正面看的列数与从上面看的列数相同，且每列小正方形数目为从上面看中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与从上面看的行数相同，且每列小正方形数目为从上面看中相应行中正方形数字中的最大数字． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，3；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，3，2．据此可画出图形； （2）根据从正面看和从上面看的定义可得答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示， 如果在该几何体上添加若干同样大小的小立方块得到一个新几何体，且新几何体与原几何体从上面、正面、左面看到的形状图分别相同，最多可以再添加2个小立方块．此时新几何体的体积为：． 【变式】3．如下图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有___________个小正方体； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加___________个小正方体． 【答案】(1)10 (2) (3)5 【分析】（1）根据拼图可直接得出答案； （2）求出主视图、主视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行计算即可； （3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体 （2） 解：分析这个图形的三视图可得： 主视图面积为， 左视图为， 俯视图的面积为2×， 该组合体的表面积为 （3）解：在俯视图的相应位置摆放相应数量的小正方体，使其俯视图和左视图都不变，如图所示， 所以最多可以添加5个． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． 突破三 投影与相似及函数综合 【典例】1．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少______米． 【答案】 【分析】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，    即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故答案为：． 【典例】2．小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 【答案】(1)圆心O到地面的距离为 (2)小明的说法正确，理由见解析 (3)或； (4) 【分析】（1）由题意可得：，，设，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，设光线的延长线交于，证明，可得，从而可得结论； （3）当重合时，过作交于，过作于，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，，如图，当光线时，可得，如图，当时，光线时，求解，结合，可得：，如图，当时，结合，可得，从而可得答案； （4）当时，，此时：，当时，，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得：，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； （2）解：小明的说法正确。理由如下： 如图，设光线的延长线交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确. （3）解：当重合时，过作交于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵，结合题意可得四边形为矩形， ∴，， 如图，当光线时， 同理可得：， ∴，解得：， 如图，当时，光线时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， 综上：或； （4）解：当时，， ∴， 此时：， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米时，. 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，平行投影，本题的难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 【变式】1．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 【变式】2．学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（）图，图；（）画图见解析；（）；（）米 【分析】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （）根据中心投影的定义画出图形； （）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：（）反映平行投影的情形图是图，反映中心投影的情形图是图， 故答案为：图，图； （）如图所示，线段和点即为所求； （）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：； （）如图，过点作于点，设米，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴米，米， 又同理可得：， 即， 解得， 答：的影长为米． 【变式】3．双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】 如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】 ①视差：物体目标点在左、右相机的视差． ②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区． ③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】 如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】 (1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm． ①当刚进入感光区，目标物到基线的距离m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为． ③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)①B；②见解析； (2)；；； (3)①25；②；③． 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）①根据“盲区”的定义作答即可； ②利用感应区的定义作图即可； （2）根据题意用表示即可；根据【原理感知】找出相关量即可； （3）①先求出再根据计算即可； ②先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ③由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）①画出投影面边界如图所示： 由图可知除点外，盲区内还有点B， 故答案为：B ②如图所示∶ （2）如图3可知，同理可得用表示为，则与的关系为； 由图可知， ∴， ∵ ∴ 即 即； 故答案为：；；； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 则，必有一个为0 ∵ ∴ 此时 此时， 故答案为：25； ②， ， 可得，所在直线解析式为： ， 令， 得， 即 ． 当经过点的正上方时， 视差，此时， ， ∴抛物线与轴交点的坐标为， 即抛物线对称轴为直线， 当d出现最小值mm时， ∴抛物线顶点坐标为 设该抛物线的表达式为， 则 解得： 所以，抛物线解析式为； ③由， ，可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 1．如图所示，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的定义判断即可． 【详解】俯视图即从上往下看的视图,因此题中的几何体从上往下看是左右对称的两个矩形． 故选B． 【点睛】本题考查俯视图的定义,关键在于牢记定义． 2．下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看可得第一列有1个正方形，第二列有2个正方形，第三列有1个正方形，如图所示：       故选C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图的定义是解题的关键． 3．下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投影为中心投影， 故选：C． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键．根据所给的三视图逐一判断即可． 【详解】解：由几何体的三视图看，主视图是两个矩形，左视图是一个矩形，俯视图是三角形，不难看出这个几何体是三棱柱， 故选：B． 5．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可． 【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误； B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体． 6．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是______（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可． 【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案是中心投影． 【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 7．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（    ）    A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④① 【答案】C 【分析】太阳光线下的影子是平行投影，就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，于是即可得到答案． 【详解】根据平行投影的规律以及电线杆从早到晚影子的指向规律，可知：俯视图的顺序为：④③①②， 故选C． 【点睛】本题主要考查平行投影的规律，掌握“就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东”，是解题的关键． 8．如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（    ） A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图和俯视图 【答案】A 【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可． 【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化； 在滚动过程俯视图会发生变化； 在滚动过程左视图不会发生变化； 故选：A． 【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识． 9．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”如图是其中一种卯，其主视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】 解：从正面看，卯的主视图是故选：A． 10．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个有编号的小正方体后，余下几何体的左视图不会改变，则移走编号为（    ）的小正方体． A．①或③ B．②或④ C．③或④ D．②、③、④、⑤中的任何一个 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：单独移开②、③、④、⑤中的任何一个， 从左边看得到的图形可得： 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．利用中心投影，过点作于点交于点，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点交于点， 根据题意得：， ， ，，． ，，， ， ，即， 解得：． 故选：C． 12．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】 解：A、取走①时，左视图为  ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 13．如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为____． 【答案】3.24 m2 【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．，再利用面积比等于相似比的平方，求地面上阴影部分的面积即可. 【详解】 解：根据题意由图可知， ， 由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为 ×1.2×1.2=3.24m2． 【点睛】解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 14．在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 【答案】（1）敏敏的影长为公分；（2）高圆柱的高度为公分． 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接，作．分别求出，的长即可解决问题． 【详解】解：（1）设敏敏的影长为公分． 由题意：， 解得（公分）， 经检验：是分式方程的解． ∴敏敏的影长为公分． （2）如图，连接，作． ， ∴四边形是平行四边形， 公分， 设公分，由题意落在地面上的影从为公分． ， （公分）， （公分）， 答：高圆柱的高度为公分． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字形几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)请从下列①，②两题中任选一题作答，我选择______题． ①已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积； ②已知这些四棱柱木条的高为3m，底面正方形的边长为a，求这个鲁班锁的表面积．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①，这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为20；②，这个鲁班锁的表面积为 【分析】本题主要考查的是三视图，主视图的面积和组合体的表面积， （1）按照主视图、左视图和俯视图的定义补充完整即可． （2）①由两个长方形的面积减去重叠部分的正方形的面积即可； ②先求解从正面看到的图形的面积，再乘以6即可得到表面积， 【详解】（1）解：如图； （2）选择① 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为20． ②这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为； 这个鲁班锁的表面积为：． 16．用小立方体搭一个几何体，分别从它的正面、上面看到的形状如图所示．搭这样的几何体最少、最多需要的小立方体个数分别为（    ） A．6，9 B．5，7 C．6，8 D．7，8 【答案】C 【分析】此题主要考查了不同方向看几何体，关键是掌握从上面看可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面看可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：∵从上面看有个正方形， ∴最底层有个正方体， 从正面看可得第层最少有个正方体； 最多有个正方体， ∴该组合几何体最少有个正方体，最多有个正方体． 故选：C． 17．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由_____个这样的正方体组成． 【答案】8 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是要有空间想象能力． 由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，可得最底层几何体最多正方体的个数；由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，相加可得所求． 【详解】解：∵由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行， ∴最底层几何体最多正方体的个数为：， ∵由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体， ∴第二层共有2个正方体， ∴该组合几何体最多共有个正方体． 故答案为：8 18．如图1，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．    (1)共有__________个小正方体． (2)请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图； (3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形图都不变，最多可以再添加__________个小正方体； (4)图1中个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是__________． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)． 【分析】( )根据图形可以得到答案； ()根据三视图的定义画出图形即可； ()根据主视图，左视图的定义解答即可； ()分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可． 【详解】（1）几何体共有列，从左到右每一列分别有个，个，个， ∴几何体共有：个， 故答案为：； （2）如图所示：    （3）要保持从上面和左面看到的形图都不变，最多可以再添加个小正方体， 故答案为：； （4）表面积， 故答案为：． 【点睛】此题考查了作三视图，几何体的表面积等知识，熟练掌握三视图和几何体的基本知识是解题的关键． 19．在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量山坡上的一棵大树的高度，如下图．已知大树与地面垂直，山坡与地面的夹角为，站立在水平地面上身高1.7m的小明（看作）在地面上的影长为1.2m，此刻大树在斜坡上的影长为5m．求大树的高度． 【答案】大树的高度为 【分析】此题主要考查了平行投影的应用，根据题意得出的长是解题关键． 根据题意过点作于点．由题意可得：，进而得出，，的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点． 由题意，得， ． 大树与地面垂直，， ， ． ， ，， ， 解得， ． 故大树的高度为． 20．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，若，试求点的坐标； (3)教材中对投影是这样描述的：一般的，用光线照射物体，在某平面上得到的影子，叫做物体的投影．同样，我们也可以得到图象在直线上的投影．如图，用光线沿水平方向左右照射，抛物线，两点之间的部分在轴上的投影就是线段．如图，点是抛物线上两点．设抛物线上，两点间的部分在轴上的投影为， ①当线段时，试求的值：②当线段时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，投影的定义；理解物体的投影、熟练利用二次函数的性质进行求解是解题关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）①根据投影的定义结合题意，分别求得的表达式，根据，建立方程，解方程，即可求解； ②同①可得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ 解得： ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴ 如图，设交轴于点， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，则 ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： 直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）①∵点在抛物线上， ∴， ∵ ∴顶点坐标为 情形一，当即时，当时，随的增大而减小， ∴ ∵ ∴，解得： 情形二，当时，则时，随的增大而增大， ∴ 解得： 情形三，当时，即，，同理解得： （舍去）（舍去）， 综上所述，或 ②同①可得 ∵ ∴ 解不等式或或 解得：或 综上所述：或 1．（2025·湖南长沙·中考真题）下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】 解：它的左视图是． 故选：A． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 3．（2025·安徽·中考真题）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图，熟练掌握主视图的定义（从物体正面观察得到的平面图形）是解题的关键．主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，据此分析该“阳马”正面看到的形状 ． 【详解】解：主视图是从物体正面看所得到的图形．观察水平放置的“阳马”，从正面看，看到的是一个三角形．对比四个选项，只有选项符合从正面看到的图形特征，其他三项都不符合题意． 故选：． 4．（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键． 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得． 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同． 故选：C． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图．根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：题中几何体的主视图为： 故选：D． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三视图．根据左视图的定义作答即可． 【详解】 解：该物体的左视图是  ， 故选：D． 7．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 8．（2025·四川广元·中考真题）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的概念并能准确判断其主视图与左视图的形状是解答此题的关键．找到从几何体主视图和左视图得到的是不同图形即可． 【详解】解：A．主视图是三角形，左视图是矩形，符合题意； B．主视图和左视图都是两个共底的三角形，不符合题意； C．主视图和左视图都是长方形，不符合题意； D．主视图和左视图都是等底等宽的三角形和矩形，不符合题意； 故选：A． 9．（2025·山东东营·中考真题）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是： 故选：C． 10．（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 12．（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 13．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】 解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 14．（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体． 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 如图：（其中一种情形） 故选：A． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $