重难点09 四边形的动态问题分类训练（复习讲义，1大重点5种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 图形的性质 重难点09 四边形的动态问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 19 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 四边形的动态问题 1. 特殊四边形判定 ◦ 平行四边形：两组对边平行/相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分 ◦ 矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等的平行四边形 ◦ 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直的平行四边形 ◦ 正方形：矩形+菱形条件同时满足 2. 动点常见背景 ◦ 点在线段、射线、直线上运动 ◦ 速度、时间、路程：路程 = 速度 × 时间 ◦ 边长、面积、周长随时间变化 3. 几何量计算 ◦ 距离、坐标、勾股定理 ◦ 面积：底×高、分割法、补形法 ◦ 相似、全等（压轴常考） 四边形动态题解题步骤 1. 设时间 t，写出所有能用 t 表示的线段 ◦ 动点走过的路程：如 AP = vt ◦ 剩下线段：PB = AB - AP 2. 分类讨论 ◦ 点在线段上 / 延长线上 ◦ 四边形是哪种特殊图形（平行、矩形、菱形、等腰梯形） 3. 列方程 根据：边相等，边平行，对角线相等 / 垂直 / 平分，列出含 t 的方程，解方程。 4. 检验 ◦ 时间是否合理 ◦ 点是否在规定范围内 ◦ 图形是否存在 题型01 求值问题 【典例1】（2025·山东潍坊·二模）如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______． 【典例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【典例3】（2025·山东临沂·二模）如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【变式1】（2025·山东·模拟预测）【问题背景】在数学活动课上，张老师带领同学们研究图形旋转时给出如下问题：如图1，在四边形中，，当点O为的中点时，则易证． 【类比分析】 （1）小青同学将两个等腰直角三角形卡片与（其中），拼摆成点C ，B， E共线时，如图2，连接，取的中点O，连接，请直接写出与的数量关系； （2）小阳同学在小青同学摆放的基础上，又将绕点B逆时针旋转角度α（），如图3，小阳得到的结论与小青是否相同？若相同，请写出证明过程；若不同，请说明理由； 【拓展应用】 （3）张老师带领学生在小青、小阳的基础上做进一步探究，将绕点B逆时针旋转α（），若，，当时，请求出线段的长． 【变式2】（2025·山东·二模）如图①，点的坐标为，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置． (1)①请直接写出点的坐标为（_____，_____）； ②若反比例函数的图象与线段有且只有一个交点时，请确定的取值范围并说明理由； (2)如图②，当时，以为一边的平行四边形的另外两个顶点与均在反比例函数的图象上．请求出的面积． 【变式3】（2025·山东德州·模拟预测）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点叠在折痕线上，得到，过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：∽． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图的基础上，将纸片按图所示翻折，点恰好落在直线上，得到．若，则的长为______． 【变式4】（2025·山东菏泽·二模）（1）如图1，在矩形中，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．求及的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至三点共线时，请直接写出的长． 题型02 定值问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在等腰中，，点D为延长线上一点，且．现有一动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点D作，交的延长线于点E，连接．设运动时间为t（s）．（） (1)试猜想与的位置关系，并证明． (2)当t为何值时，？ (3)直接写出四边形的面积与之间的函数关系式． (4)取中点M，连接并延长，交于点N，随着时间t的变化，N点位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值． 【典例2】（2025·山东青岛·二模）如图，在矩形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，作，交于点，以为邻边作矩形．设运动时间为． (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)在动点运动的过程中，的值是否为定值？请说明理由； (3)设矩形的面积为，求与之间的关系式． 【典例3】（2025·山东聊城·二模）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【变式1】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【变式2】（2025·山东泰安·一模）在正方形纸片中，取边中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，若的度数是个定值．请说出度数并证明； （2）如图2、图3，连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请直接写出这个特殊关系． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．当，时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求的长． 题型03 最值问题 【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为___________． 【典例2】（2025·山东济南·三模）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A重合），连接，以为边在的上方作矩形，且，连接，则面积的最大值为_____ ． 【典例3】（2025·山东枣庄·三模）综合与实践 【问题情境】 在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【变式1】（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【变式2】（2025·山东济宁·一模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【变式3】（2025·山东泰安·三模）如图，在矩形中，，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于________．    【变式4】（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【变式5】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型04 存在性问题 【典例1】（2025·山东青岛·三模）已知，如图①，在中，，，，沿AC的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为（），连接，解答下列问题． (1)当t为何值时，； (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【典例2】（2025·山东青岛·一模）如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时四边形是平行四边形？ (2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ (3)求的面积与的关系式； (4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【典例3】（2025·山东青岛·一模）如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形和中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，与交于点M，与交于点F，连接．设时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式4】（2025·山东青岛·二模）已知：把和矩形ACBN按如图（1）摆放(点A与点Q重合)，点G、A(Q)、C在同一条直线上．．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿匀速移动，在移动的同时，点P从矩形的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动．当的顶点Q移动到边上时，停止移动，点P也随之停止移动．设移动时间为t()． 解答下列问题： (1)为何值时，？ (2)为何值时，在的中垂线上？ (3)连接与，是否存在某一时刻，使得在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式5】（2025·山东青岛·模拟预测）如图1，在矩形中，，，点为线段上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度从点向点运动，过点作的平行线交于点，将沿折叠，点落在点处，连接，，如图2，设运动的时间为秒． (1)①当点运动时，的大小是否发生变化？若发生变化，求的变化范围，若不发生变化，直接写出的值； ②在点运动过程中，线段的最小值为______（直接写出答案）； (2)设与的重叠部分的面积为，请你直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图3，延长交直线于，交直线于，在运动过程中，是否存在某一时刻使点恰好为的中点？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 题型05 数量关系的探究 【典例1】（2025·山东济宁·二模）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，求的长． 【典例2】（2025·山东聊城·二模）在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． (1)如图 1，若，，求的度数； (2)若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 【典例3】（2025·山东枣庄·二模）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）问题情境：如图1，在矩形中，，延长至点，使得、点是边上一点，且，连接，． 操作发现： （1）若，则的长为_____，的长为_____； 拓展探索： （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若分别与相交于点． ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上，请直接写出的长． 【变式2】（2025·山东济宁·二模）如图1，将矩形绕点A旋转到矩形的位置，直线和直线相交于点P． (1)直线和直线的位置关系为___________； (2)将矩形绕点A旋转至图2所示的位置，点E落在对角线上，点D与点P重合，连接交于点Q，连接，（1）中直线和直线的位置关系是否仍然成立？四边形是什么图形？请证明你的猜想； (3)利用图1求证：点P是线段的中点． 【变式3】（2025·山东威海·一模）已知点为矩形边的中点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，连接并延长，交直线于点． (1)如图，点落在矩形内部时，试判断线段，，之间的数量关系，直接写出结论________________； (2)如图，点落在矩形外部时，请用尺规作出图形（不写作法，保留作图痕迹），（）中的结论仍然成立吗？请说明理由； (3)如图3，若，，求的长． 【变式4】（2025·山东济宁·三模）综合探究 在平面内，已知，在射线上分别取点，同时点（与点不重合）为射线上一动点，连接绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，当．且点在线段上运动时，试判断线段与有什么样的位置关系． (2)如图2，若，且点在线段上运动，则（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，当时，点在线段上运动．在点运动的过程中，在上方作正方形，直线与直线相交于点．若，求线段的最大值． 【变式5】（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 1．（2025·山东聊城·三模）如图，，点A在直线上，点B，C在直线上，于点B，，动点P从点A出发沿直线以的速度向右运动，运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长为； ②在点P运动过程中，的面积随着t的增大而增大； ③若点M，N分别是线段，的中点，在点P运动过程中，线段的长度不可能为． 其中正确的是________． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（2025·山东德州·二模）在中，，，点D在边上（点D不与点A，点C重合），连接，并将绕点D逆时针旋转得到. (1)如图，连接. ①与的位置关系为 ， ； ②请用等式表示和的数量关系，并说明理由； (2)如图，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长. 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 4．（2025·山东威海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段的中点．点是直线上一动点，以为边作等边交轴于点，连接，分别交，轴于点，． (1)求点坐标；（提示：，的中点坐标） (2)若点位于线段上（不与点，重合），判断与轴的位置关系，并说明理由； (3)已知点是第一象限一动点（不与点重合），当最小时，连接，．将沿直线折叠，点的对应点为点．连接，取中点，连接，则取值范围为___________． 5．（2025·山东聊城·三模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是_________；位置关系是__________．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 1．（2025·山东济南·三模）如图，在矩形纸片中，，是的中点．将沿翻折，使点落在边的处，为折痕，再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，则_____． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）探索发现： （1）如图，在中，是边上的中线，若的面积为，则的面积为____________． 联系拓展： （2）在图中，、分别是的边、的中点，若的面积为，则四边形的面积为____________． （3）在图中，、分别是的边、上的点，且，，若的面积为，则四边形的面积为__________． 解决问题： （4）如图中，矩形中，（为常数，且）．是边上的一个动点，是边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形的面积始终等于矩形面积的，则线段、的数量关系为_____________． 3．（2025·山东青岛·二模）如图，在四边形中，，，，．动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，动点E从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，，，交于点F．当一个点停止运动时，另两个点也随之停止运动．设运动时间为． 回答下列问题： (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设的面积为，求y与t的函数关系式，并求出y的最小值； (3)连接，请直接写出线段的最小值． 4．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2025·山东日照·三模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的性质 重难点09 四边形的动态问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 93 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 四边形的动态问题 1. 特殊四边形判定 ◦ 平行四边形：两组对边平行/相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分 ◦ 矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等的平行四边形 ◦ 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直的平行四边形 ◦ 正方形：矩形+菱形条件同时满足 2. 动点常见背景 ◦ 点在线段、射线、直线上运动 ◦ 速度、时间、路程：路程 = 速度 × 时间 ◦ 边长、面积、周长随时间变化 3. 几何量计算 ◦ 距离、坐标、勾股定理 ◦ 面积：底×高、分割法、补形法 ◦ 相似、全等（压轴常考） 四边形动态题解题步骤 1. 设时间 t，写出所有能用 t 表示的线段 ◦ 动点走过的路程：如 AP = vt ◦ 剩下线段：PB = AB - AP 2. 分类讨论 ◦ 点在线段上 / 延长线上 ◦ 四边形是哪种特殊图形（平行、矩形、菱形、等腰梯形） 3. 列方程 根据：边相等，边平行，对角线相等 / 垂直 / 平分，列出含 t 的方程，解方程。 4. 检验 ◦ 时间是否合理 ◦ 点是否在规定范围内 ◦ 图形是否存在 题型01 求值问题 【典例1】（2025·山东潍坊·二模）如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分的对应点落在和上，分别画出图形，根据折叠的性质，勾股定理分别求解，即可． 【详解】解：正方形的边长为2，为边的中点， ∴，， ∴ 如图，当的对应点落在上时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当落在上时，如图，， ∴， ∴ 设，则， 在中， 在中， ∴ 解得： 即 综上所述，的长为或 故答案为：或． 【典例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点代入一次函数，求出，求出，即可解答． （2）联立和，则，求出，再求出，设，根据轴，得出，结合，列方程求出，得出点F纵坐标，再代入即可求解． （3）根据题意得出，，设，则，根据以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，得出．分为当点M在轴上方时，当点M在轴下方时，列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 则， ∴， 将代入，则，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则， 解得；或， 将代入得， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 将代入，得，解得， ∴． （3）解：∵轴， ， ∴轴， ∵，，， ∴，， 设， 则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴． 当点M在轴上方时，如图， 则， 解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图， 则， 解得：或（舍去）； 或， 解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【典例3】（2025·山东临沂·二模）如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 【变式1】（2025·山东·模拟预测）【问题背景】在数学活动课上，张老师带领同学们研究图形旋转时给出如下问题：如图1，在四边形中，，当点O为的中点时，则易证． 【类比分析】 （1）小青同学将两个等腰直角三角形卡片与（其中），拼摆成点C ，B， E共线时，如图2，连接，取的中点O，连接，请直接写出与的数量关系； （2）小阳同学在小青同学摆放的基础上，又将绕点B逆时针旋转角度α（），如图3，小阳得到的结论与小青是否相同？若相同，请写出证明过程；若不同，请说明理由； 【拓展应用】 （3）张老师带领学生在小青、小阳的基础上做进一步探究，将绕点B逆时针旋转α（），若，，当时，请求出线段的长． 【答案】（1） （2）相同，证明见解析 （3）线段的长为或3 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可； （2）设M，N分别是的中点，连接，证明，，，可得，即得； （3）当E在右侧时，设M是的中点，连接，作交的延长线于点P，求出， ，得，得，，即得；当点E在左侧时，设M是的中点，连接，作， 求出，得，，即得． 【详解】解：（1）． 理由：如图2，在和中，O是的中点， ∴， ∴； （2）小阳得到的结论与小青相同． 证明：如图3，设M，N分别是的中点，连接， ∵与都是等腰直角三角形，， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）当点E在右侧时，如图4，设M是的中点，连接，作交的延长线于点P， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理， 由（2）可得， 在中， ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在左侧时，如图5，设M是的中点，连接，作，垂足为点P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或3． 【变式2】（2025·山东·二模）如图①，点的坐标为，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置． (1)①请直接写出点的坐标为（_____，_____）； ②若反比例函数的图象与线段有且只有一个交点时，请确定的取值范围并说明理由； (2)如图②，当时，以为一边的平行四边形的另外两个顶点与均在反比例函数的图象上．请求出的面积． 【答案】(1)①1，3；②或，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据平移的性质求解即可；②先利用待定系数法求出直线的解析式，再分两种情况分析：当反比例函数的图象与线段有且只有一个交点，根据一元二次方程根和系数的关系求解；当反比例函数的图象经过点时，求出的值，再结合反比例函数图象求解即可； （2）根据平行四边形的性质和平移的性质可得，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置．设点坐标为，则点坐标为，进而求出，确定、两点坐标，再利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置， 则点的坐标为，即； 故答案为：1，3． ②的取值范围为或，理由如下： 由①知，点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为． 如答图①，当反比例函数的图象与线段有且只有一个交点， 则， 去分母化简整理得， ， 解得：． 当反比例函数的图象经过点时，得，则． 如答图②，当时，反比例函数的图象与线段也是有且只有一个交点． 综上所述，若反比例函数的图象与线段有且只有一个交点时，的取值范围为或． （2）解：四边形是平行四边形， ， 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点的位置， 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，也可以平移到点的位置． 点、均在的图象上， 设点坐标为，则点坐标为， ． 解得，（舍去）， ，， 点坐标为，点坐标为． 如答图③，． 的面积为． 【变式3】（2025·山东德州·模拟预测）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点叠在折痕线上，得到，过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：∽． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图的基础上，将纸片按图所示翻折，点恰好落在直线上，得到．若，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）相似，证明见解析；（3） 【分析】由余角的性质可得，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 作的斜边上的中线，可证为等边三角形，可得，可求，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 由“”可证≌，可得，由折叠的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】证明：四边形为矩形， ． ． 点、、共线， ． ． ． ， ∽． ∽． 证明：作的斜边上的中线，如图所示，则． 由题意得， ． 为等边三角形， ， ， ， 由翻折可知．， ，， ， ， 又， ∽． 解：， ， 又，， ≌， ， ， 由折叠可得， ， ，， ， 故答案为：． 【变式4】（2025·山东菏泽·二模）（1）如图1，在矩形中，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．求及的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）1；（3）或 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）求出的长，平移的性质求出，进而求出，证明，列出比例式求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可； （3）分旋转到左侧和旋转到右侧两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，，折叠， ，， ； 设长为则：， ，解得：， 的长为3，的长为． （2）解：由（1）知 由题意得：平移距离为2，故， ． 为平移后的图形 ， ， ， ； （3）或． 解：将绕点旋转至三点共线， 分以下两种情况：①当旋转到左侧时，如图所示： 作，交的延长线于点，由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ②当旋转到右侧时，如图所示：作，交的延长线于点， 由（2）可知，由旋转性质可知，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 题型02 定值问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在等腰中，，点D为延长线上一点，且．现有一动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点D作，交的延长线于点E，连接．设运动时间为t（s）．（） (1)试猜想与的位置关系，并证明． (2)当t为何值时，？ (3)直接写出四边形的面积与之间的函数关系式． (4)取中点M，连接并延长，交于点N，随着时间t的变化，N点位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)当t值为1时， (3) (4)N点位置不发生变化，，理由见解析 【分析】（1）证明，得出即可证明结论； （2）先求出，证明四边形是平行四边形，得出，进而列方程求出结论； （3）根据即可求出； （4）证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：， 当t值为1时，； （3）解：，，， ； （4）解：N点位置不发生变化，，理由如下： 如下图： ， ， 是中点， ， ， ， 随着时间t的变化，N点位置不发生变化，． 【典例2】（2025·山东青岛·二模）如图，在矩形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，作，交于点，以为邻边作矩形．设运动时间为． (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)在动点运动的过程中，的值是否为定值？请说明理由； (3)设矩形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】(1)2 (2)在动点P运动的过程中，的值为定值 (3) 【分析】（1）解直角三角形，可求出，根据余弦定义可求出，然后结合D是中点求解即可； （2）过点P作于点M，延长交BC于点N．证明，得出 ，解直角三角形，求出，，则，然后代入计算即可； （3）由（2）中，可求，在中，根据勾股定理可求出，然后代入化简即可． 【详解】（1）解：过点P作于点G， 点P在线段的垂直平分线上， ， ， ，， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， 在中，，， 由题意得：， ， ， ， ， 答：当t的值为2时，点P在线段的垂直平分线上． （2）解：在动点P运动的过程中，的值为定值． 过点P作于点M，延长交于点N． ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， 在中，，，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 答：在动点P运动的过程中，的值为． （3）解：由（2）知： ， 四边形是矩形， ， 在中， ，由勾股定理得， ， 答：y与t之间的关系式为． 【典例3】（2025·山东聊城·二模）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），12；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． （3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且； 【变式1】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 【变式2】（2025·山东泰安·一模）在正方形纸片中，取边中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，若的度数是个定值．请说出度数并证明； （2）如图2、图3，连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请直接写出这个特殊关系． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．当，时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求的长． 【答案】（1）是定值，，证明见解析；（2），；（3）或 【分析】（1）利用证明得，可得，即可求证； （2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以，继而可知，再由，E为中点，即可求证； （3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”证明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二种情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可． 【详解】（1）证明：∵正方形 ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）， 选择图2进行证明． 将沿折叠， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而E为中点， ∴， ∴； 选择图3进行证明． 将沿折叠， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而E为中点， ∴， ∴； （3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2， ∵，E为中点， ∴，而 ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点P在点H右侧，如图3， 同理可求，此时， ∵， ∴ ， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，或． 题型03 最值问题 【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，过E作于F，过A作于H，证明得，则是等边三角形，再证明得，则是等边三角形，，，根据“两点之间线段最短”，当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接、， ∴，， ∵， ∴， 过E作交的延长线于F，过A作于H， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”，得最短， ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， ∵交的延长线于F， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中， ∵，即， 解得． 故答案为：． 【典例2】（2025·山东济南·三模）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A重合），连接，以为边在的上方作矩形，且，连接，则面积的最大值为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，二次函数的应用．作点关于点的对称点，连接，，则，作于点，作交延长线于点，设，证明，求得，求得，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：作点关于点的对称点，连接，，则面积等于面积， ∵菱形，，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， 作于点，作交延长线于点，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【典例3】（2025·山东枣庄·三模）综合与实践 【问题情境】 在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，，得出，利用全等三角形的判定证出，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）由旋转的性质得，，得出，再利用等腰直角三角形的性质得出，推出，通过证明，得到，再根据直角三角形的性质得出，得出，最后利用平行四边形的判定即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，作交延长线于点，连接、，根据旋转和等腰直角三角形的性质证明，得出，利用两点之间线段最短的性质，分析可得当三点共线时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：，证明如下： 由旋转的性质得，，， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得，，， ，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （3）解：将绕点逆时针旋转得到，作交延长线于点，连接、，如图所示： ，， ，， 由旋转的性质得，，， ，， 又， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，即有最小值； ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 的最小值为． 【变式1】（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【答案】（1）①②；（2）最小值为；（3）见解析 【分析】（1）①在直角三角形中，求斜边上一点到直角顶点线段的最小值，需根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一原理，利用三角形面积公式求解； ②先确定点绕点旋转后的轨迹，再根据“点到圆的距离”相关原理求最小值； （2）通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值； （3）先通过三角形全等证明四边形是平行四边形，再利用“将军饮马”模型或勾股定理结合几何直观求其周长最小值． 【详解】解：（1）①在中，当时，最短， 由三角形面积公式， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：； ②∵点为中点，， ∴， 线段绕点顺时针旋转，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．当，，三点共线且在线段上时，最小， 此时，由①知最小值为， ∴最小值为； 故答案为： （2）过点作轴，交直线于点， 由题意得，点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴，当时，取最小值为， 此时，取最小值，值为． （3）∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形周长为邻边之和的2倍， ∴平行四边形周长最小时，即是邻边之和最小． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，取最小值， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形周长最小值为20． 【变式2】（2025·山东济宁·一模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线，进而得到当P在中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 【变式3】（2025·山东泰安·三模）如图，在矩形中，，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于________．    【答案】9.6 【分析】此题主要考查了矩形的性质，轴对称图形的性质，理解矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 连接，过点B作于点H，先由勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，根据轴对称的性质得，再根据经过点B得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为4.8，进而即可得出的最小值． 【详解】解：连接，过点作于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据轴对称的性质得：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵经过点B， .∴， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式4】（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 【变式5】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 题型04 存在性问题 【典例1】（2025·山东青岛·三模）已知，如图①，在中，，，，沿AC的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为（），连接，解答下列问题． (1)当t为何值时，； (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2) (3)当时， 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据，得出关于t的比例式，求解即可； （2）过点 作 于点 ，根据，列出关于t的比例式，表示出 的长，再根据 ，进行计算即可； （3）过点 作 的延长线于点，根据，得出 ， ，再根据，得到 ，，进而得到方程，求得 或（舍去），即可得出当时，. 【详解】（1）解：如图所示， ∴在中，根据勾股定理得， 若，则有 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得 ， 当时，； （2）如图所示，过点作 于点 ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∵ ∴ ∵ ∴（） （3）存在时刻，使，理由如下：如图所示，过点 作 的延长线于点 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ，即 ∵ ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ 或（舍去） ∴当时， 【典例2】（2025·山东青岛·一模）如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时四边形是平行四边形？ (2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ (3)求的面积与的关系式； (4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， (4)不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上 【分析】（1）根据平行四边形的性质，列方程求解即可； （2）当点M在的垂直平分线上时，，过Q点作于H点，则四边形为矩形，利用勾股定理，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，点M在上；②当时，点M在上，利用相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，即可解答； （4）根据相似三角形的判定与性质，得到当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用旋转的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， 即， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：当点M在的垂直平分线上时，， 如图，过Q点作于H点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 得（不合题意，舍去），， ∴当时，点M在的垂直平分线上； （3）解：①当时，点M在上，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②当时，点M在上，如图， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 综上，当时，；当时，； （4）解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上． 【典例3】（2025·山东青岛·一模）如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）首先证明出，然后证明出当时，此时四边形为矩形，得到，，表示出，，然后代入求解即可； （2）如图所示，连接，过点P作交于点H，证明出，得到，表示出，，同理表示出，然后根据代入表示即可； （3）如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F，勾股定理求出，表示出，由角平分线的性质得到，然后根据等面积得到，代数求出，得到，然后证明出，得到，代数求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ 当时，四边形四边形为平行四边形 又∵ ∴此时四边形为矩形 ∴此时 ∴， ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为，设运动时间为， ∴， ∴， ∴代入得， 解得 ∴当时，四边形为矩形； （2）如图所示，连接，过点P作交于点H    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴S与t的函数关系式为； （3）存在，，理由如下： 如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F，    ∵四边形为平行四边形，，，， ∴ ∴ ∴ 当点N在的平分线上时 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． ∴当时，点N在的平分线上． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4)存在，的值为 【分析】（）由矩形的性质可得，即得，解方程即可求解； （）根据的面积梯形的面积的面积的面积解答即可求解； （）求出四边形的面积，根据题意得到，解方程即可求解； （）设为的中点，作于于，由是的中位线，得到，，求出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则， 当四边形为矩形，， ∴， 解得， 即当为时，四边形为矩形； （2）解：∵， ， ∵， ， ∵的面积梯形的面积的面积的面积， ∴， 即； （3）解：存在，理由如下： 四边形的面积， 若的面积等于四边形的面积的三分之一， 则， 解得或， 即存在某一时刻或，使得的面积等于四边形的面积的三分之一； （4）解：存在，理由如下： 设为的中点，作于于，如图所示，则， ∵， ∴四边形是矩形， ， 为的中点，， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ， ， ， 即， 解得或， 当时，， ∴不合题意，舍去， ， 存在某一时刻，使经过的中点，此时的值为． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形和中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，与交于点M，与交于点F，连接．设时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在这个时刻，使在的平分线上 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数、勾股定理、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作交于，证明是等腰三角形，得到的三角函数值，当时，，证明是等腰三角形，根据解直角三角形求解； （2）根据化简即可； （3）过点作交于，连接，当点在的平分线上时，，根据求出代数式，再结合（2）中的式子列方程即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于， 由题意知，，， ∴， ∴是等腰三角形，， ，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，； 当时，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴点运动到点就停止运动； 由（1）知，，，，，，， ∴， ， ∴； （3）解：如图，过点作交于，连接， 当点在的平分线上时，； 由（2）知，，，，，， ∴，， ∴， 而 ， ∴ ， 结合（2）中的结果，有： ， 解得：； ∵， ∴不存在这个时刻，使在的平分线上． 【变式4】（2025·山东青岛·二模）已知：把和矩形ACBN按如图（1）摆放(点A与点Q重合)，点G、A(Q)、C在同一条直线上．．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿匀速移动，在移动的同时，点P从矩形的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动．当的顶点Q移动到边上时，停止移动，点P也随之停止移动．设移动时间为t()． 解答下列问题： (1)为何值时，？ (2)为何值时，在的中垂线上？ (3)连接与，是否存在某一时刻，使得在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）作于，作于，当时，，此时，根据∽得出，从而表示出，进而列出方程，进一步得出结果； （2）以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，作于，作，可得出，直线的解析式为：，，将点坐标代入直线的解析式，进一步得出结果； （3）以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，则，，，求出直线的解析式，再把点P的坐标代入，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， 当时，， 此时， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ∽， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，作于，作，则， 在的中垂线上， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 由（1）知，， ， ， ； （3） 解：如图，以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，则， 由（2）得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 在上， ∴把点代入得： ， 舍去， ． 【变式5】（2025·山东青岛·模拟预测）如图1，在矩形中，，，点为线段上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度从点向点运动，过点作的平行线交于点，将沿折叠，点落在点处，连接，，如图2，设运动的时间为秒． (1)①当点运动时，的大小是否发生变化？若发生变化，求的变化范围，若不发生变化，直接写出的值； ②在点运动过程中，线段的最小值为______（直接写出答案）； (2)设与的重叠部分的面积为，请你直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图3，延长交直线于，交直线于，在运动过程中，是否存在某一时刻使点恰好为的中点？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①的大小不变，；② (2) (3)存在， 【分析】（1）①根据矩形的性质得，，由折叠得和，则，即可判定点共圆，有，结合平行线可得和，由解直角三角形得，则； ②由和折叠的性质可得点在过点且垂直的直线上运动，由时，； （2）利用解直角三角形得，当点E位于直线AC下方时，由三角形中位线定理可得时间，结合折叠得性质可知；当时，连接交于，交于点，则，根据折叠得，进一步求得和，由平行证明得，可求得，则即可； （3）如图2，作交于，作于，作于，于，则和，可得，则，设，则，求得和，由得，，求得，可得，和，在中，，求得和，，，在中，，则和，在中利用即可． 【详解】（1）解：①的大小不变，，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠得，， ， 点共圆， ， ， ， ， ， ； ②由， ，， 点在过点且垂直的直线上运动， 当时，， 故答案为：； （2）解：， ， 当时，， 如图1，当时， 连接交于，交于点， ， ， ， ， 由得，， ， ， （3）解：如图2，作交于，作于，作于，于， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， 由得，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 题型05 数量关系的探究 【典例1】（2025·山东济宁·二模）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用矩形的性质，折叠的性质，证明即可． （2）连接，利用平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，证明即可． （3）利用矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图所示，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， ， 点是的中点， ， ， 又， ， ； （2）证明：，证明如下： 如图所示，连接， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可得， 点是的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ． 【典例2】（2025·山东聊城·二模）在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． (1)如图 1，若，，求的度数； (2)若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 【答案】(1) (2)菱形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】对于（1），根据旋转的性质得，，可得，再根据周角可知，进而得，即，可得答案； 对于（2），先根据外心的性质得点P是三边垂直平分线的交点，即可，再根据旋转的性质得，然后根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案； 对于（3），延长至E，使，连接，根据旋转可得，根据“边角边”证明，可得，然后说明，接下来根据“边角边”证明，可得答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵点P是的外心， ∴点P是三边垂直平分线的交点， ∴． 由旋转得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）证明：延长至E，使，连接， 根据旋转可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 【典例3】（2025·山东枣庄·二模）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论； （3）由得到，则，得到，则，，由折叠得：，，由，，得到，则，即可证明结论成立； （4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． （2）证明：四边形是矩形，，，， ，，， ， ， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， 点，，在同一条直线上． （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点， ∵， ∴ ， 四边形是矩形， ，， ， ∴， 由折叠得：，， ，， ， ∴ ∴； （4），理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：，，， 设，， 由（3）得：， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）问题情境：如图1，在矩形中，，延长至点，使得、点是边上一点，且，连接，． 操作发现： （1）若，则的长为_____，的长为_____； 拓展探索： （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若分别与相交于点． ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①和的数量关系为，理由见解析；②理由见解析 【分析】（1）利用矩形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； （2）①连接，利用旋转的性质，矩形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； ②连接，过点作于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得，可得为等边三角形，于是；设，则，利用（1）的条件求得x值，进而求得． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；； （2）①和的数量关系为，理由： 连接，如图， ∵将绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，使点F在矩形内部， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ②连接，过点M作于点H，如图， 由（2）①知：， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． ∴． ∴． 【变式2】（2025·山东济宁·二模）如图1，将矩形绕点A旋转到矩形的位置，直线和直线相交于点P． (1)直线和直线的位置关系为___________； (2)将矩形绕点A旋转至图2所示的位置，点E落在对角线上，点D与点P重合，连接交于点Q，连接，（1）中直线和直线的位置关系是否仍然成立？四边形是什么图形？请证明你的猜想； (3)利用图1求证：点P是线段的中点． 【答案】(1) (2)仍然成立，四边形是平行四边形，证明见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）设相交于点，证明，即可得到结论； （2）证明，则，证明，则，进一步即可证明，得到且，即可证明结论成立； （3）连接和相交于点O，连接，证明 同理，，证明点P在线段上，则，即可证明结论． 【详解】（1）， 证明：设相交于点， ∵将矩形绕点A旋转到矩形的位置， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 （2）仍然成立，四边形是平行四边形. 证明：∵四边形和都是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴且 ∴四边形是平行四边形； （3）连接和相交于点O，连接， ∵四边形是矩形，和相交于点O ∴ 由（1）可知， ∴ ∴点P，A，B，C，D都在以O为圆心，以为半径的圆上 ∴ 同理， ∴点P在线段上 又∵ ∴点P是线段的中点 【变式3】（2025·山东威海·一模）已知点为矩形边的中点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，连接并延长，交直线于点． (1)如图，点落在矩形内部时，试判断线段，，之间的数量关系，直接写出结论________________； (2)如图，点落在矩形外部时，请用尺规作出图形（不写作法，保留作图痕迹），（）中的结论仍然成立吗？请说明理由； (3)如图3，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)作图见解析，（）中的结论仍然成立，理由见解析； (3)； 【分析】（1）连接，根据矩形的性质及折叠得，，进而证明（）得，从而得解； （2）过作于，在的延长线上取一点，使得，连接，，延长交直线于，则点的对应点为点， （3）由矩形的性质得，，，，由（）得， ，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为点， ∴，，， ∴， ∵ ∴（） ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：尺规作图如图所示， （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为点， ∴，，， ∴， ∵ ∴（） ∴， ∴， （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由（）得， ∴ 在中，， ∴， 解得． 【变式4】（2025·山东济宁·三模）综合探究 在平面内，已知，在射线上分别取点，同时点（与点不重合）为射线上一动点，连接绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，当．且点在线段上运动时，试判断线段与有什么样的位置关系． (2)如图2，若，且点在线段上运动，则（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，当时，点在线段上运动．在点运动的过程中，在上方作正方形，直线与直线相交于点．若，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)（1）中结论还成立；理由见解析； (3) 【分析】（1）证明得到，即可得证； （2）利用第（1）问的思路构造全等三角形，作交于点，证，即可得证； （3）由前面的思路构造手拉手全等，，再利用得到关于的二次函数表达式即可求出最大值． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解∶ 依然成立，理由如下： 如图，作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图，过作交于点，作交于点， 由（1）中方法可得， ， ，即， 在中，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，即， ， ， 当时，最大． 【变式5】（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 1．（2025·山东聊城·三模）如图，，点A在直线上，点B，C在直线上，于点B，，动点P从点A出发沿直线以的速度向右运动，运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长为； ②在点P运动过程中，的面积随着t的增大而增大； ③若点M，N分别是线段，的中点，在点P运动过程中，线段的长度不可能为． 其中正确的是________． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线性质，根据平行四边形的性质可判断①；根据平行线间的距离处处相等可判断②；根据三角形的中位线性质可判断③，进而可得出答案． 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为，故①正确； ②∵，， ∴， ∴在点P运动过程中，的面积是定值6，故②错误； ③∵点M，N分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴线段的长度不可能为，故③正确， 综上，正确的是①③， 故选：C． 2．（2025·山东德州·二模）在中，，，点D在边上（点D不与点A，点C重合），连接，并将绕点D逆时针旋转得到. (1)如图，连接. ①与的位置关系为 ， ； ②请用等式表示和的数量关系，并说明理由； (2)如图，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长. 【答案】(1)①，；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①连接，证明，即可得出结论；②由，得到，再根据，即可得出结论； （2）连接，将沿着翻折得到，连接，作，得到，推出四边形为正方形，进而得到点为定点，当点与重合时，最小，此时，进而求出的长，即可． 【详解】（1）解：①连接， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； ②，理由如下： 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，将沿着翻折得到，连接，作，如图，则：，，， ∵将沿翻折，得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴为定点，，； 由（1）知，， ∴点在射线上运动，， ∴当点与点重合时，，值最小，此时最小， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，证明四边形为平行四边形，得到，设，在中，根据勾股定理进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，根据题意，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可； （3）作于点，于点，易得四边形为矩形，根据三角函数求出的长，根据，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）作于点，于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（2）可知：，，， ∴，， ∴ ． 4．（2025·山东威海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段的中点．点是直线上一动点，以为边作等边交轴于点，连接，分别交，轴于点，． (1)求点坐标；（提示：，的中点坐标） (2)若点位于线段上（不与点，重合），判断与轴的位置关系，并说明理由； (3)已知点是第一象限一动点（不与点重合），当最小时，连接，．将沿直线折叠，点的对应点为点．连接，取中点，连接，则取值范围为___________． 【答案】(1) (2)轴，理由见详解 (3) 【分析】（1）先利用二次函数的图像和性质求出点A，点B的坐标，然后根据中点公式求出点C的坐标即可． （2）连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据正切的定义得出，进而可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，即轴． （3）当时，最小，根据题意，，故M在以B为圆心，半径为1的圆上，作出，作和A关于y轴对称，与任取一点M，连接，根据三角形中位线定理得出，，由圆外一点到圆的最大以及最小距离求出，再根据点P所在象限，得出的取值范围，进而可得出答案． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴，， ∴， 即 （2）解：轴，理由如下： 连接，如下 ∵，C为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则轴． （3）解：当时，最小， 此时， ∴，， 根据题意，，故M在以B为圆心，半径为1的圆上，作出，作和A关于y轴对称，与任取一点M，连接， ∵O是的中点，是的中点， ∴，， ∴最大值为：，最小值为：， ∵， ∴最大值为：，最小值为：， ∵P在第一象限，不能落在y轴， ∴， 即， ∴． 5．（2025·山东聊城·三模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是_________；位置关系是__________．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)依然成立，见解析 【分析】（1）根据在直角三角形中，两条直角边对应边成比例可得，再由相似即可得与的数量关系，再延长根据即可得到与的位置关系． （2）根据两边对应成比例及其夹角相等可得，再根据相似三角形的性质可得与的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：因为点F，H恰好为边，的中点，且，， 所以，， 又因为在和中， ，， 所以， 所以，， 延长交于点M，如图， 因为中，， 又因为， 所以， 所以在中，，即， 所以． （2）解：当时，且， 因为四边形和为矩形， 所以， 所以， 即， 由（1）知，，， ，， 所以， 所以， ，， 记与交于点P，与交于点N，如图， 因为，， 所以， 所以． 1．（2025·山东济南·三模）如图，在矩形纸片中，，是的中点．将沿翻折，使点落在边的处，为折痕，再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，则_____． 【答案】 【分析】延长交于点H，连接，由翻折可得：四边形是正方形，，四边形是正方形；通过说明，得到是的中位线，可得，进而能证明，设，则，，由勾股定理可求，在中利用正切的意义可得结论． 【详解】解：延长交于点H，连接，如图， ∵矩形纸片中，，E是的中点， ∴． ∵将沿翻折，使点B落在边的处，为折痕， ∴， ∴四边形是正方形． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∵将沿翻折，使点D恰好落在线段上的点F处，为折痕， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 设，则，， 在中，， ∴． 解得：． ∴． ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）探索发现： （1）如图，在中，是边上的中线，若的面积为，则的面积为____________． 联系拓展： （2）在图中，、分别是的边、的中点，若的面积为，则四边形的面积为____________． （3）在图中，、分别是的边、上的点，且，，若的面积为，则四边形的面积为__________． 解决问题： （4）如图中，矩形中，（为常数，且）．是边上的一个动点，是边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形的面积始终等于矩形面积的，则线段、的数量关系为_____________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形面积，矩形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）从阴影部分底边是三角形底边的一半而解得； （）同（）即可求解； （）由，则,故有，，由即可求解； （）由四边形的面积始终等于矩形面积的，四边形是矩形，则，，然后分别代入即可求解． 【详解】解：（）∵是边上的中线， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，分别为边，的中点， ∴同理（）可得，，， ∴ ， 故答案为：； （）∵，， ∴ ∴，， ∴ ， 故答案为：； （）∵四边形的面积始终等于矩形面积的，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·山东青岛·二模）如图，在四边形中，，，，．动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，动点E从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，，，交于点F．当一个点停止运动时，另两个点也随之停止运动．设运动时间为． 回答下列问题： (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设的面积为，求y与t的函数关系式，并求出y的最小值； (3)连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，列出方程，解方程即可； （2）延长，过点作于点，过点作于点，交的延长线于点，证明四边形为矩形，得出，根据，求出，证明四边形为矩形，得出，根据求出，再求出最小值即可； （3）过点作于点，连接，证明，得出，说明为定值，即点为定点，根据垂线段最短，得出当点在点处时，最小，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵当四边形为平行四边形时，， ， 解得：， 即时，四边形为平行四边形； （2）解：延长，过点作于点，过点作于点，交的延长线于点， 如图所示： 根据题意可知：， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， ， ∴当时，有最小值，即的面积有最小值，且最小值为． （3）解：过点作于点，连接， 根据解析（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ∴为定值，即点为定点， ∵垂线段最短， ∴当点在点处时，最小， ， ， ， ， 即的最小值为． 4．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）作轴于，作轴于，则，证明，求出；将代入可得；同理可得，从而可得，再利用待定系数法求解即可； （3）求得，结合勾股定理可得，设，，根据菱形的性质，分两种情况：当为对角线时，此时；当为边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图：作轴于，作轴于，则， ， ∵在平面直角坐标系中点，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； 将代入可得：，即； 同理可得：， ∴，， ∴，即， 将代入可得：，即； （2）解：∵在平面直角坐标系中点，， ∴垂线为直线， 如图：作点关于垂线的对称点，连接，并延长交垂线于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最大，为， 由（1）可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：存在， 由（1）可得：，，， 当时，，即， ∴， 设，， ∵点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形， ∴当为对角线时，此时， 则， 解得：，即， 当为边时， 同理可得：或， 解得：或， 此时或； 综上所述，点的坐标为或或． 5．（2025·山东日照·三模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 【答案】（1）①；②或；（2）；（3）144平方厘米 【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答； （2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解； （3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值． 【详解】解：（1）①为矩形， 厘米，，， 点，分别为边，的中点， 厘米，厘米， ， ，， 四边形是矩形， 又厘米， 矩形是正方形， ，，厘米， 由平移的性质得，，， ， ， 又， 四边形是矩形， 点与的中点重合， 厘米， ，， 和都是等腰直角三角形，厘米，厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片的面积之比是． 故答案为：． ②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形， 设厘米，则厘米， 厘米，厘米， ， 的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米， ， 解得：，， 平移距离为或． 故答案为：或． （2）纸片为菱形，， ，和为等边三角形， 纸片沿方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ， ， ． （3）如图，过点作于点，   ，厘米，厘米， 厘米， 点，是，的中点， 厘米，厘米，厘米， 由旋转的性质得，厘米，厘米， ， 当上的高线最大时，则面积最大， ， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， 作出示意图如下： ， 此时、、三点共线， 即厘米， 平方厘米， 即面积的最大值为144平方厘米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $