专题09 特殊四边形的几何模型专项突破（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题09 特殊四边形的几何模型专项突破 目录 典例详解 类型一、中点四边形模型 类型二、十字架模型 类型三、对角互补模型 压轴专练 类型一、中点四边形模型 1．中点四边形的定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 2．中点四边形的形状规律 ① 任意四边形的中点四边形是平行四边形； ② 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形； ③ 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形； ④ 对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。 【重要性质】 ① 中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系（是否相等）和位置关系（是否垂直）决定，与原四边形的形状无直接关系； ② 证明中点四边形通常利用三角形中位线定理。 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 变式1-1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 变式1-2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 变式1-3．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 类型二、十字架模型 1．模型特征 在正方形中，过顶点或边上的点作两条互相垂直的线段，这两条线段相等。 2．常见形式 ① 正方形内，过顶点作垂线交对边； ② 正方形内，过边上两点作垂线交于内部。 【重要性质】 ① 正方形中的垂直关系常通过构造全等三角形证明线段相等； ② 常用方法：构造直角三角形斜边中线或利用勾股定理。 例2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）在正方形中，点E，F分别是边，上的一点，于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平移至，，垂足为点I． （i）求证：； （ii）如图3，若点I是的中点，与交于点N，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)（i）见解析；（ii）． 【分析】（1）要证，利用正方形性质找全等条件，通过证 即可． （2）（i）作辅助线，结合（1）中全等及平行四边形判定与性质，证 ；（ii）先求长，利用正方形性质、中点及垂直关系，结合全等和等腰直角三角形性质求长 ． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（i）证明：如图1，过点A作交于点H， ∵， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． （ii）解：由（1）和（i）可知， 如图2，连接，，过点N作于点P，交于点Q， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点I是的中点，， ∴垂直平分， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形性质和全等三角形判定是解题的关键． 变式2-1．（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图1，在正方形中，分别是边上的点，，连接交于点． (1)证明：； (2)如图2，在（1）的条件下，连接对角线与相交于点，交于点，交于点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）过点作交的延长线于点，连接交于点，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合，可得，进而证明，推出，可证，即可得出； （2）（Ⅰ）根据正方形的性质，结合（1）中结论，证明，可得；（Ⅱ）作交于点H，连接，，，先证四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，推导出，进而证明四边形是平行四边形，推出．再证四边形是矩形，是等腰直角三角形，通过等量代换可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）（Ⅰ）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ； （Ⅱ）解：．理由如下： 如图，作交于点H，连接，，， ，四边形中， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ． ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，第二问的第二小问难度较大，合理做出辅助线是解题的关键． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 变式2-3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． (1)求证：； (2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握以上知识． （1）证明，得出； （2）①由平移得，，连接、，过作 ，，在正方形对角线上，则，，，证明，得出，则可得出结论； ②求出的长，根据三角形的面积比得出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ； （2）①猜想：， 理由如下：由平移得，，连接、， 为的中点，， ， 过作 ，，在正方形对角线上，则，， ， ， ， 为的中点， ∴ 又∵ ∴ ②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是正方形的对角线， ∴平分 ∴， ∴ ∴ ∵正方形的边长为，且点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 类型三、对角互补模型 1．模型特征 四边形中一对对角互补，常出现在正方形、矩形或等腰梯形中。 2．常见形式 ① 正方形对角线上的点向两边作垂线； ② 等腰梯形底角互补。 【重要性质】 ① 在正方形中，对角线上的点向两边作垂线，常可构造全等三角形； ② 此类问题常用“过点作垂线”或“旋转构造”的方法解决。 例3．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，已知，若四边形的面积为，则长是__________． 【答案】 【分析】由“”可证，可得与的面积相等，由面积关系可求解． 【详解】解：如图，作，交的延长线于点， 则， ， ∴四边形为矩形，， ， ， 在与中， ， ， ∴与的面积相等， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积正方形的面积， 由勾股定理得：， ∵四边形的面积为， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 变式3-1．（22-23八年级下·北京平谷·期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由“完美四边形”定义可求解； （2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论； 想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论； ②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补， 正方形是“完美四边形”． 故答案为：④； （2）解：①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 变式3-2．（20-21八年级上·湖南邵阳·期中）回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 一、填空题 1．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于______． 【答案】24 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则_________，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，能够正确作出辅助线是解题关键． 直接根据点，点即可求出；过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴ 如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角顶点的坐标为，一条直角边与轴的正半轴交于点，另一直角边与轴交于点，三角板绕点在坐标平面内转动的过程中： （1）连接，则是______三角形； （2）当为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点的坐标______． 【答案】 等腰直角 ，， 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）过作轴于，轴于，可知，证明四边形是正方形，得到，进而证明，得到，可知是等腰直角三角形； （2）根据等腰三角形的定义分三种情况作答即可． 【详解】解：（1）过作轴于，轴于， 点的坐标为， ， ， 四边形是正方形， ， ∵三角板的直角顶点的坐标为， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）当时，如图： 的坐标为， 此时， ， ； 当时，如图： 则， ， ， 点与点重合， 即； 当时，过作轴于，作轴于，如图： ， ， ，， ≌， ， ， ， 综上所述，点的坐标是或或． 故答案为：等腰直角；，，． 二、解答题 4．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形； ②；③ 【分析】（1）利用三角形的中位线定理即可论证； （2）①利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ②找到下角标为奇数的中点四边形周长的变化规律即可得出结论； ③利用正方形的判定方法即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①如图，连接，， ∵，，，为四边形各边中点， ∴由（1）得四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵，，，为四边形各边中点， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴为菱形， 故答案为：菱形； ②∵，， ∴四边形的周长， ∵，， ∴四边形的周长， 按规律，四边形为矩形，经计算其周长， 四边形为矩形，经计算其周长， ...． ∴四边形为矩形，其周长为：． 故答案为：； ③已证四边形为矩形， 则当时，矩形为正方形， ∵，， ∴当，即时，满足题意， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，E是上一点，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用正方形性质证明，得到，进而推出，从而证明垂直． 【详解】证明：设交于点G， ∵在正方形中， ∴，， 由题意，， 在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 7．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图1，在正方形中，，垂足为O． (1)求证：； (2)如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②． 【分析】（1）如图1，过点F作于点H，证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）①如图2，延长交于点P，证明点D是的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明结论；②如图3，连接，过O作于M，则于N，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，则，设，则，，由勾股定理得，得出，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，过点F作于点H，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． （2）①证明：如图2，延长交于点P， ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴，即D是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴，即； ②解：如图3，连接，过O作于M，则于N，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∵D、O、B三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明是的中位线． （1）根据正方形的性质证明，得，进而可以解决问题； （2）连接并延长交于点P，连接，证明，是的中位线，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． 又分别是边的中点， ∴，, ． 在和中， ， ， 又， ， 则， ； （2）解：连接并延长交于点，连接，如图． 在中，是的中点， ， ， 又， ， ， 是的中点，又是的中点， 是的中位线，则． 是的中点， ， 又， ， ． 9．（25-26九年级上·江西南昌·月考）背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①等边；② 【分析】（1）根据正方形，得到，，证，得到，由图形得，相加可得，故，根据勾股定理，即可求解． （2）①过点P作于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质，得到，由得，故是等边三角形；②设，先证，得到，再结合，，，列方程，求得，再求出和的长度，运用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）①如图，过点P作于点E，于点F，连接， 平分， ， ， ， 是等边三角形； ②设， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，解得， ， ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（20-21八年级下·福建三明·期中）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证； 探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得，则有，最后问题可求解． 【详解】感知：，理由如下： ∵，， ∴，即， ∵平分， ∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分， ∴DE=DF， ∵，， ∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS）， ∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 11．（2021八年级·全国·专题练习）已知，求证：，． 【答案】见解析 【分析】延长DC至点E使CE=AD，先证明△BAD≌△BCE，再证明△BDE是等边三角形，可证结论成立． 【详解】证明：延长DC至点E使CE=AD， ∵， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠BCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠BCE， 在△BAD和△BCE中 ， ∴△BAD≌△BCE， ∴BD=BE，∠ABD=∠CBE， ∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°， ∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD=DE， ∵DC+CE=DE， ∴； 作BF⊥DE于点F，则∠EBF=30°，EF=DF=DE=BE， ∴BF==， ∴S△DBE=DE×BF=×BE×=， ∴． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是正确作出辅助线，证出△BAD≌△BCE，再证出△BDE是等边三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09 特殊四边形的几何模型专项突破 目录 典例详解 类型一、中点四边形模型 类型二、十字架模型 类型三、对角互补模型 压轴专练 典例详解 类型一、中点四边形模型 1.中点四边形的定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 2.中点四边形的形状规律 ①任意四边形的中点四边形是平行四边形： ②对角线相等的四边形的中点四边形是菱形： ③对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形： ④对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。 【重要性质】 ①中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系（是否相等)和位置关系（是否垂直)决定，与原四 边形的形状无直接关系： ②证明中点四边形通常利用三角形中位线定理。 例1.(25-26八年级下·全国·课后作业)小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用 到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形 的中点四边形)一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点P 是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD,连接AD 和BC,他想到了四边形ABDC的中点四边形一定是菱形.于是，他又进一步探究：如图2，若P是线段 AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,设点 E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点，顺次连接E,F,G,H,请你接着往下解决三个 问题： 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D FP 图1 图2 图3 图4 (I)四边形ABDC的中点四边形EFGH的形状为_： (2)当点P在线段AB的上方时，如图3，在△APB的外部作△APC和△BPD,其他条件不变，(1)中结论还 成立吗？说明理由； (3)如果(2)中，LAPC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形EFGH的形状，并说明理 由. 变式1-1.(25-26八年级下·全国周测)如图，已知E,F,G,H分别是口ABCD各边的中点，则四边形EFGH 是什么四边形？若把条件中的。ABCD依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次 是什么四边形？试说明理由 D 变式1-2.(25-26八年级上山东淄博期末)综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边 形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线 对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究。 原四边形对角线 中点四边形形状 关系 D 不相等，不垂直 平行四边形 图1 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ① ② 图2 ③ ② G 图3 H 10 D ⑤ ⑥ 图4 (I)探究一：如图1，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点，求证：中点四边形EFGH是 平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I:原四边形对角线① 时，中点四边形的形状是 ② ；由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线③ 时，中点四边形的形状是 ④ 由图4，从作图、测量结果得出猜想Ⅲ：原四边形对角线⑤ 时，中点四边形的形状 是⑥ (3)探究三：由图4，在猜想I成立的条件下，若BD=6,求AB+CD的最小值 变式1-3.(25-26九年级上辽宁阜新·期中)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的 新四边形叫做原四边形的中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做 “中方四边形”。 概念理解： 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是_ A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形 性质探究： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD的对角线AC,BD的关 系： 问题解决： (3)如图2，以锐角ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接 BE,EG,GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点， (4)试探索AC与MW的数量关系，并说明理由， y 图1 图2 图3 类型二、十字架模型 1.模型特征 在正方形中，过顶点或边上的点作两条互相垂直的线段，这两条线段相等。 2.常见形式 ①正方形内，过顶点作垂线交对边； ②正方形内，过边上两点作垂线交于内部。 【重要性质】 ①正方形中的垂直关系常通过构造全等三角形证明线段相等： ②常用方法：构造直角三角形斜边中线或利用勾股定理。 例2.(24-25八年级下·安微准南月考)在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的一点， AE⊥BF于点M, 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AG M B E B K B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AE=BF; (2)如图2，平移AE至GK,GK⊥BF,垂足为点I. (1)求证：BK=AG+CF; ()如图3，若点I是BF的中点，AC与GK交于点N,已知CF=2,BC=6,求NM的长， 变式2-1.(25-26九年级上·安徽宣城开学考试)如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的 点，CE=DF,连接AE,BF交于点G. A D M G N B E E 图1 图2 (I)证明：AE⊥BF; (②)如图2，在(1)的条件下，连接对角线AC与BD相交于点O,AC交BF于点N,BD交AE于点M. (I)证明：OM=ON; (IⅡ)过点A作AP∥BF交CD的延长线于点P,连接EP交BD于点Q,请写出CE,DQ之间的数量关系， 并说明理由， 变式22.(25-26九年级上·安微宿州月考)如图，在正方形ABCD中，G、E、F是正方形边上的点，连接 BE、GF,BE与GF交于点M,MB=ME,∠MGD+∠MED=180°. 5/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D E M B F (I)求证：BE=FG; (2)连接EF、BF、BG、GE的中点P、Q、R、S,试说明四边形PQRS是什么特殊的四边形. 变式2-3.(23-24八年级下·安徽合肥期末)如图1，正方形ABCD中，P、F分别是BC、CD上的点， BF⊥AP,垂足为M. 图1 图2 图3 (I)求证：AP=BF; (②)如图2，将BF沿BA方向平移到EF,当点M为AP的中点时，连接BD与EF、AP分别交于点N、Q. ①猜想线段EM、MN、NF有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为4，且点P为BC的中点，则BQ= 类型三、对角互补模型 1.模型特征 四边形中一对对角互补，常出现在正方形、矩形或等腰梯形中。 2.常见形式 ①正方形对角线上的点向两边作垂线； ②等腰梯形底角互补。 【重要性质】 ①在正方形中，对角线上的点向两边作垂线，常可构造全等三角形： ②此类问题常用“过点作垂线”或“旋转构造”的方法解决。 例3.(2024九年级下·安徽宣城竞赛)如图，已知AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，若四边形ABCD的面积 为48cm2,则AC长是 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 变式3-1.（22-23八年级下·北京平谷·期末)我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”. D D B 图1 图2 (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 (请填序号)； (②)在“完美”四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，连接AC. ①如图1，求证：AC平分∠BCD; 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分LBCD: 想法一：通过∠B+∠D=I80°，可延长CB到E,使BE=CD,通过证明△AEB≌△ACD,从而可证AC平 分∠BCD; 想法二：通过AB=AD,可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB,可证C,B,E三 点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD. 请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分LBCD; ②如图2，当∠BAD=90°，用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明. 变式3-2.(20-21八年级上·湖南邵阳期中)回答问题： G C B A E E 图1 图2 图3 (I)【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点， 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长 FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结 论应是_； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点， 且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线 上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系， 并给出证明过程. 压轴专练 一、填空题 1.(25-26九年级上山西太原·月考)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AD,BD,CB和 AC的中点，顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.若AB⊥CD,AB=8,CD=12,则四边 形EFGH的面积等于 A E F H B U 2.(25-26八年级上湖北黄冈·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),点B(9,0),且 ∠ACB=90°，CA=CB,则OA+OB= ,点C的坐标为 A B 3.(25-26八年级上·安徽滁州·月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，三角板的直角顶点P的坐标为2,2) ,一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过 程中： 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A (1)连接AB,则△PAB是 三角形； (2)当。POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标 二、解答题 4.(25-26九年级上河南郑州期中)如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC, CD,DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形EFGH称为四边形ABCD的中点四边形， A H D y A D2 D E G A2 。。 F B B2 C 图1 图2 (I)求证：四边形EFGH的形状是平行四边形， (②)如图2，在四边形ABCD中，AC=Q,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四 边形AB,CD,再顺次连接四边形AB,CD,各边中点，得到四边形A,B,C,D2,.如此进行下去，得到四边形 A B C D.则 ①四边形A,B,C,D,是_·（填特殊平行四边形） ②四边形A202B202C2023D2023的周长是_·（用a,b代数式表示) ③若四边形AnB,C,D.始终是正方形，则在现有条件下，a,b还应该满足_ 5.(25-26九年级上·甘肃兰州·期中)综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果 原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”. 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 概念理解： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 性质探究： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的结论： ① ② 问题解决： (3)如图2，以锐角ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接 BE,EG,GC,EC,BG,问EC,BG有什么位置关系和数量关系？直接写出结果. 拓展应用： (4)如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点.试探索BD与MN的数量关 系，并说明理由 6.(25-26九年级上安徽宿州·期中)如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE,以点B为圆心， AE的长为半径画弧，交边CD于点F,求证：AE⊥BF. 7.(24-25八年级下.安徽六安：期末)如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG,垂足为O. 10/12