重难点08 三角形的动态问题分类训练（复习讲义，1大重点5种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 图形的性质 重难点08 三角形的动态问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 88 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 三角形的动态问题 1. 三角形三边关系: a+b>c，|a-b|<c 2. 等腰三角形判定 ◦ 两边相等 ◦ 两角相等 ◦ 三线合一（高=中线=角平分线） 3. 直角三角形判定 ◦ 有一个角90° ◦ 勾股定理：a2+b2=c2 ◦ 斜边中线 = 斜边一半 4. 相似三角形 两角相等 → 相似 → 对应边成比例 5. 面积公式: S= ah= absin C 动点题常用：底×高÷2 6. 函数最值 二次函数 y=ax2+bx+c, a<0，顶点处最大；a>0，顶点处最小 1. 设时间为 t 写出每个动点的路程：路程=速度×时间 2. 用 t 表示所有线段 如：AP=t，PB=AB-t 3. 根据条件列等式 ◦ 等腰：两边相等 ◦ 直角：勾股定理 ◦ 相似：比例式 ◦ 面积：表达式=已知面积 4. 解方程，检验范围 点必须在线段上，t 要有范围。 题型01 动态求值问题 【典例1】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 【典例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作交折线于点，以为边向右作长方形，使，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求长方形与重叠部分图形的面积与之间的关系式； (4)点为的中点，连结，当所在的直线垂直的一边时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的值为或或． 【分析】（1）过点作于点，由三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推得，，分两种情况讨论：当时，当时，结合等腰三角形的判定与性质分别表示出即可得解； （2）过点作于点，结合等腰直角三角形性质得、、，结合矩形性质可证是等腰直角三角形，则，即，求解即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别表示出与之间的关系式即可； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， ，， 当时，， ，， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 综上所述，； （2）解：如图，过点作于点， 由题意得：， 由（1）得：，， 当时，， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：； （3）解：当时，长方形与重叠部分图形为长方形，如图， ； 当时，如图， ，，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 综上所述，与之间的关系式为； （4）解：当时，如图，延长交于点，连接， 则， 点为的中点，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， 、、三点共线，即点与点重合， ，，， ， 解得：； 当时，如图，设交于，交于，交于， ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或或． 【典例3】（2025·山东聊城·三模）如图1，在中，，． (1)将线段绕点A逆时针旋转，使点C的对应点D落在线段的延长线上，连接． ①根据题意补全图1（保留作图痕迹），并证明：； ②如图2，，，，交于点H．若，，求的长． (2)如图3，点M是线段上的动点且不与点A，C重合，将线段绕点A逆时针旋转，使点M的对应点N落在线段BA的延长线上，连接，，过点N作于点P．若，且，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】(1)①图和证明见解析；②； (2) 【分析】（1）①以点A为圆心，为半径逆时针画弧，交的延长线于点D，连接 ，即为所求；由题意可知，，那么，，接着利用三角形内角和可知，从而推出，得证；②延长交于点，连接，取的中点，连接，先证明，得到，，再证明，得到，接下来证明是的中位线，不妨设，那么，在中，，，，中， ，，，那么利用，解得，然后代入即可得出答案； （2）过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，先利用平行，推出，然后证明，再证明，推出，接着证明，推出，不妨设， ，，，那么，从而有，得到 ，然后代入得出答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求： 证明：， ， 线段绕点A逆时针旋转，点C的对应点D落在线段的延长线上， ， ， ， ， ； ②解：延长交于点，连接，取的中点，连接，如图所示： ，， ，， 由①可知，， 又， ， ，， ，， ， ， ，， 是的中位线， ， 设，那么， 中，，， ， 中， ，，，， ， （舍去负值）， ； （2）解：过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，如图所示： ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，不妨设，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·山东济南·二模）【结论探究】 （1）如图1，在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②如图2，若M为的中点，延长至点F，使，连接，试判断的形状，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接，．若，，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析；（2）． 【分析】（1）①由旋转性质可知，，则，证明即可得到； ②先证明四边形是平行四边形，由，求得，得到，推出平行四边形是矩形，即可得到是等腰直角三角形； （2）延长至，使，先求得是等边三角形，求得，，，在中，由勾股定理求得的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）①证明：由旋转性质可知，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②是等腰直角三角形，理由如下， 连接， ∵M为的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）延长至，使， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边，， ∴， ∴， 记与的交点为， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点M是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，的中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 【答案】[探究发现]，，理由见解析；[类比应用]；[延伸思考] 【分析】[探究发现]根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论； [类比应用]根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解； [延伸思考]过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，即可解答． 【详解】解：[探究发现] ， 理由如下： ∵点和点为分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． 故答案为：， [类比应用]由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由[探究发现]可得：， ， 解得：； [延伸思考]过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ， 【变式3】（2025·山东聊城·三模）已知正方形的边长为，等腰直角三角形的锐角顶点与正方形的顶点重合，将此三角形绕点旋转，两边分别交直线于点，旋转过程中，等腰直角三角形的边与正方形没有交点． (1)如图1，当分别在边上时，学习小组通过测量发现，请给出证明； (2)如图2，当分别在的延长线上时，请写出之间的数量关系，并给予证明； (3)在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形边上的中点，求出此时的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，理由见详解 (3)的长为或 【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三形的判定和性质，掌握旋转的性质是关键． （1）根据题意，如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点，则，，可证，由此即可求解； （2）同理，如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点，可证，得，由此即可求解； （3）分类讨论：如图所示，点与中点重合时，设，则，，在中，由勾股定理列式求解即可；如图所示，经过中点，将绕点逆时针旋转得，设，，，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 同理，如图所示，将绕点顺时针旋转得，点重合，点对应点为点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，点与中点重合时， ∴， 结合上证明，设，则，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴； 如图所示，经过与中点，将绕点逆时针旋转得， 同理可证，， ∵点是中点， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴， 整理得，， ∴； 综上所述，的长为或． 【变式4】（2025·山东临沂·二模）在直角三角形纸片中，，，，将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕，如图1； 第二步：将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与边交于点M（点M不与点A重合），如图2． 在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： (1)如图2，在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，当经过点B时，求的长； (3)如图4，当时，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由旋转知，，再证，即可得出结论； （2）由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设， 在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （3）由折叠可知再证是的中位线，即可得出结论，过作于，交于，则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图， 连接， 由旋转的性质得，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得， ， ， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ， 解得， ； （3）解：由折叠的性质得， ， ， ， ∴是的中位线， ， 如图，过作于， 交于， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 解得． 题型02 定值问题 【典例1】（2025·山东·模拟预测）在正方形中，对角线和交于点O，点P是射线上的一个动点（点P不与点D，O，B重合），过点D作于点E，过点B作于点F，连接． (1)如图1，当点P在线段上运动时，延长交于点G，探究线段与线段的数量关系，并证明； (2)如图2，当点P在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，的度数是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； (3)当点P在射线上运动时，若，，请直接写出的面积，不需证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不变， (3)或 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据等角的余角相等得出，证明，得到，再证明得出，等量代换可得； （2）同法（1）可得：，，进而得到，得到为等腰直角三角形，即可得出结果； （3）分点在线段上和点在的延长线上，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵正方形， ∴，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ； ∴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）不变，； ∵正方形， ∴，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ； ∴，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）①当点在线段上时， 由（2）可知：为等腰直角三角形，， ， ∴； ②当点在的延长线上时，如图， 同法可得：，为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：或． 【典例2】（2025·山东聊城·二模）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），12；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． （3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且； 【变式1】（2025·山东聊城·二模）是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接． (1)如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若， ①求的值； ②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查三角形全等与相似的判定及性质、直角三角形的性质，解题关键是通过分析角的关系证明三角形全等或相似，利用相关性质建立边的联系，结合直角三角形性质求解． （1）利用等腰直角三角形的性质，得到，，由推出．再根据同角的余角相等，即，得出．最后证明，从而得出结论． （2）①根据直角三角形两锐角互余，由，推出；再结合，得到．由此证明，根据相似三角形对应边成比例，结合中，得出答案．②先由直角三角形斜边中线性质得出，根据是直角三角形确定；利用第一小问相似结论得到，结合已知求出；再由勾股定理求出，进而得到；最后在中设，根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①， ， ， ， ， 在中 ， ； ②点M是的中点，， ，， 又为直角三角形 只能 由①可知 ， ， ， ， 设，则， 在中 ， ， 的长为． 【变式2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，以，为边作菱形，在射线上取一点，连接交于点，在上取一点，使． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当改变旋转角的大小，使的长度为12时，若，求的值； (3)当点为线段中点时，无论旋转角取何值，在射线上是否存在一点，使的长度固定不变，若存在，请作出图形并求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据菱形的性质和，可得，即可证明； （2）连接交于点，交于点，根据勾股定理求出，由证明，则，所以，再由得，可由，得，可求得，进而求出； （3）过点作，交于点，则为定值，连接交于点，交于点，由可知，当的大小发生变化时，始终都有，由得，，所以，同理可得，再证明，利用相似的性质即可求出． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：四边形是菱形， ， ， ， ∴； （2）解：连接交于点，交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解： 存在，如图，过点作，交于点，则Q为所求，为定值，理由如下： ， 当的大小发生变化时，始终都有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵菱形 ， ， 为定值． 题型03 存在性问题 【典例1】1．（2025·山东青岛·二模）已知：四边形中，，，动点P从点C出发沿边向点B运动，速度为；直线从点A出发沿对角线向点C运动，分别交与点E、Q、F，且运动过程中始终保持，速度为；若点P与直线同时出发，设运动时间为t秒，且（）． (1)连接，当t为何值时？ (2)连接，设四边形的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在时刻t，使点P在的角平分线上，若存在，求出t，不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意求出，利用平行四边形的性质令，建立方程求解即可； （2）利用即可解答； （3）如图，过点作与点H，根据角平分线的性质，得到，勾股定理求出，由（2）知，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 解得， ∴t为时，． （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ∴； （3）解：存在，， 如图，过点作与点H， ∵点P在的角平分线上，， ∴， ∵，，， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当时，点P在的角平分线上． 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，对角线．点P从B点出发沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从C出发沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为．连接． (1)当时，求t的值． (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为； (2)； (3)t的值为； (4)t的值为． 【分析】（1）作于点，于点，求得，，由题意得，，∴，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）作于点，于点，证明，求得，再利用三角形面积公式列式即可求解； （3）利用三角形面积公式列式计算即可求解； （4）作于点，由线段垂直平分线的性质，求得，再证明，根据平行线分线段成比例，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：作于点，于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴，， 当时，又， ∴，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴t的值为； （2）解：作于点，于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：∵，， ∴， 由（2）得， 整理得， 解得或， ∵， ∴t的值为； （4）解：作于点， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴t的值为． 【典例3】（2025·山东青岛·一模）和等腰按如图①所示摆放（点与点重合），点、、在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图①的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动，如图②所示，当点移动到点时，停止移动，与相交于点，连接，设移动时间为． (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻，使点、和的中点这三个点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（图③为备用图） 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，由题意得：，，则，证明，根据相似三角形的性质可求出，推出，即可求解； （2）过点作于点，证明得到，即，求出，根据，即可求解； （3）设的中点为，连接，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ， 等腰的底边，底边上的高为， ，， 由题意得：，， 则， ，， ， ，即， ， ， 当点在线段的垂直平分线上，， ， 解得：， 时，点在线段的垂直平分线上； （2）如图，过点作于点， ， ， ， ，即， ， ， ； （3）存在， 如图，设的中点为，连接，过点作于点， ，，， ， ，即， ，， ， ， ，即， 解得：， 存在时，使点、和的中点这三个点在同一条直线上． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为． 解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点P在线段BQ的垂直平分线上 (2)S与t的函数关系式为 (3)当时，与相等，理由见详解 (4)不存在某一时刻t，使线段被平分．理由见详解 【分析】当点P在线段的垂直平分线上，，过点P作于点G，用含t的式子表示，的长，再利用等于和等于减列方程求t的值． 过点P作于点H，证明，得到，进而得到，含的代数式，最后求的面积为即可． 证明，得到，求出的长，再求出，利用与相等，列方程求 当线段被平分时，且先利用求出t的值，再分别求出与的长，若它们相等，即存在；不相等，则不存在． 【详解】（1）解：如图1，当点P在线段BQ的垂直平分线上，，过点P作于点 在矩形中，，，点E为边的中点， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （2）解：如图2，过点P作于点 由可知，，，， 又， ， 已知，，， 则有， 解得：，， ， 的面积为， 与t的函数关系式为． （3）解：存在． ，，， ， ， ， 点E为边的中点， ， ，解得：， 则， 当时，， 解得舍去或， 当时，与相等． （4）解：不存在． 理由：当线段PQ被BF平分时，且 当时，，解得 当时，， 当时，． ， ， ， 不存在某一时刻t，使线段被平分． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E是上一点，且．点P由点C出发，沿方向向点D匀速运动，速度为；点Q由点A出发，沿方向向点D匀速运动，速度为．点P，Q同时出发，交于F，连接，设运动时间为． (1)当t为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）当时，，由此构建方程求解即可． （2）如图：过F作，则四边形是矩形，即；再证明可得，再根据等边对等角可得，即，易得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，然后四边形的面积为，最后代入数据整理即可解答； （3）如图：连接，由题意可得：，根据矩形性质以及勾股定理可得，再根据，运用勾股定理可得，即，最后解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， 由题意可得： ∵当时，， ∴，解得：， ∴时，． （2）解：如图：过F作，则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形的面积为 ∴，即． （3）解：存在，t的值为或． 如图：连接， 由题意可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴当或时，． 【变式3】（2025·山东青岛·一模）如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，设运动时间为t，则，，，根据得到，列出比例式，当时，四边形是平行四边形，即可证； （2）根据，得，根据点E在的平分线上，得到，于是得到即，建立方程，解答即可； （3）连接与交于点O，求得，过点N作于点G，交于点H，则为菱形的高，根据，就可以得到，根据，得到，求得，后根据解答即可． （4）连接与交于点O，设与交于点Q，求得，得到，证明，得，根据三角形中位线定理，得，故，解得． 【详解】（1）解：∵菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为， 设运动时间为t，则，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，四边形是平行四边形，即可证， 于是，， 解得， 故当时，． （2）解：∵， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故当时，点E在的平分线上． ． （3）解：连接与交于点O， ∵菱形中，，． ∴，， ∴， 过点N作于点G，交于点H， 则为菱形的高， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． （4）解：连接与交于点O，设与交于点Q， ∵菱形中，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作交于点，连接，交于点．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，平分？ (2)连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式． (3)若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意得，，证明，则，可得是等腰直角三角形，；再证明，得到是等腰直角三角形，则，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案； （2）过点作交的延长线于点，由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出，根据即可求解； （3）连接交于点，由对称及平行线的性质可得，由等角对等边得，则，再证，可得，可求出然后证明，根据相似三角形的性质即可得的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， ∴， 解得； （2）解：如图，过点作交的延长线于点， ， ，即（负值舍去）， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ，即， ， ， ，即， ， ； （3）解：连接交于点， 点关于的对称点为， ，， 点，，三点共线，∥， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，   ， ， ， ， ，， ， ， ，解得：， 存在某一时刻，使得点，，三点共线，的值为． 题型04 最值问题 【典例1】25．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 【答案】面积的最大值为． 【分析】连接，利用菱形性质及角度条件证得为等边三角形，得到．通过角的等量代换，证明，从而推出四边形（定值）．依据“垂线段最短”，当时，最短，此时等边面积最小．结合四边形，求出面积的最大值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴, 由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是定值， ∴， 由“垂线段最短”可知：当等边的边与垂直时，边最短， 此时，， ∴的面积会随着的变化而变化，且当最短时，等边的面积最小， 又∵， 等边的面积最小时，的面积最大， 此时，， ∴面积的最大值为． 【典例2】（2025·山东临沂·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ． 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿PQ折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 【答案】（1），；（2）见解析，3；（3）6，4 【分析】（1）由折叠得，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明△是等边三角形即可求出角度； （2）当点落在对角线上点时，设，分别出、、，用勾股定理即可求解即可； （3）设，求出与重叠部分面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值． 【详解】解：（1）线段与线段的位置关系为，理由如下： 如图1，连接， 由折叠得：，， 、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； ，理由如下： 将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ； 故答案为：，； （2）如图2，点落在对角线上点时， 在矩形中， ，，， ， 设，由折叠得：，， ，，， ， ， 解得：， ； （3）， ， 设， ， 解得， 翻折后的三角形为， ，， ①当点在与之间或在对角线上时，如图4，图5， ， ， 此时折后与重叠部分面积， ， 在，当时，即，的最大值； 【变式1】（2025·山东济南·二模）如图，已知为中位线，，现将绕顶点旋转． (1)若，旋转至如图中位置，求证：； (2)若，． ①将绕旋转至如图中位置，求的值； ②直接写出的值； ③如图，为平面内一点，现将平移至的位置，此时、、共线，、、共线，为等边三角形，然后将绕旋转（）至，连接，为关于的中心对称点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，直接写出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①的值是；②；③存在，最小值为． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）①证明，即可得出结论；②作，交的延长线于点，解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可；③连接并延长至点使，连接，证明，得到，进而得到，根据平移的性质，旋转的性质，推出为等边三角形，进而推出，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，为中位线， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ， 即， 在和中， ， ， （2）解：①∵，，为中位线， ∴， 由旋转性质可得：，， ，， ∴， ， ； ②作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③存在，连接并延长至点使，连接，， ∵为关于的中心对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴，， 由中位线定理，得：， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】（2025·山东临沂·一模）在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）， ；（4）1 【分析】（）证明，得到，即可求解； （）．连接，证明即可求证； （）由旋转和等腰三角形的性质得，设，由勾股定理可得 ，求出即可求解； 过作于，交于，则四边形是矩形，得，利用三角形面积可得，进而得到，证明，得到，即可求解； （）连接，则，当三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），证明如下： 如图，连接， 由旋转的性质得，，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （4）如图，连接，则， 当、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值． 【变式3】（2025·山东济南·模拟预测）在整个初中数学学科学习中，我们有许多的解题思想，那么在某学校九年级某次复习过程中，数学老师们给同学们了以下几个问题，请根据提示，一一解答． 【基本意识】 （1）如图，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，求出的最小值． 【数形结合】 （2）求的最小值． 【形态转化】 （3）在中，，，，以为边向外构造等边三角形，连接．试求的长度． 【答案】（1）；（2）13；（3）14 【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，过点作于点，得出当、、三点共线时，有最小值为的长，过点作于点，则，再根据相似三角形的性质，得到，，再根据勾股定理求解即可； （2）构造直角三角形，其中，，，，，得到当、、三点共线时，有最小值为的长，连接，过点作交的延长线于点，再证明四边形是矩形，由勾股定理求出的长，即可得到最小值； （3）过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点，由勾股定理得到，由三角形面积可得，进而得到，再利用等边三角形的性质，得到，，，证明四边形是矩形，得到，，即可利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：（1）如图，作点关于的对称点，连接、， 则，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 过点作于点，则， ， ， ，， ， ， 即的最小值为． （2）， 如图，构造直角三角形，其中，，，，， ，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 连接，过点作交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即的最小值为13． （3）如图，过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点， 在中，，，， ， ， ， ， 是等边三角形，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 【变式4】（2025·山东枣庄·三模）综合与实践 【问题情境】 在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，，得出，利用全等三角形的判定证出，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）由旋转的性质得，，得出，再利用等腰直角三角形的性质得出，推出，通过证明，得到，再根据直角三角形的性质得出，得出，最后利用平行四边形的判定即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，作交延长线于点，连接、，根据旋转和等腰直角三角形的性质证明，得出，利用两点之间线段最短的性质，分析可得当三点共线时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：，证明如下： 由旋转的性质得，，， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得，，， ，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （3）解：将绕点逆时针旋转得到，作交延长线于点，连接、，如图所示： ，， ，， 由旋转的性质得，，， ，， 又， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，即有最小值； ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 的最小值为． 题型05 探究线段的数量关系 【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）将下列三幅图中的的边绕其顶点A逆时针旋转α得到线段． 【观察猜想】 （1）如图1，将边绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，猜想并直接写出与的数量关系； 【探究证明】 （2）如图2，连接，点F在上，且满足，连接，点G为上一点，连接交于点M，若，求证：． 【深入研究】 （3）如图3，连接，若，是等边三角形，P，Q两点分别在，上，且满足，请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【分析】（1）由旋转的性质证出，根据可证明，从而得出结论； （2）延长到，使，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，证出，，则可得出结论； （3）过点作交于点，过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 边绕其顶点A逆时针旋转得到线段， ， 将边绕点A逆时针旋转α得到线段， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长到，使，连接， 则， ， ， 由旋转可知， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， （3），理由如下： 过点作交于点，过点作交的延长线于点， 是等边三角形，， ∴是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【典例2】（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴点，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【典例3】（2025·山东济南·三模）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考． 思路1：延长至点，使，连接，构造…… 思路2：过点作交延长线于点，构造…… 【迁移应用】 （2）如图2，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图3，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】对于（1），方法一：延长至，使，连接，根据“边角边”证明，可得，，再结合等腰三角形的性质说明，则答案可证； 方法二：过点作交延长线于点，根据“角角边”证明，可得，再根据已知条件得，进而得出，则答案可证； 对于（2），延长至，使，连接，，可知是的中位线，可得，再由旋转得，，根据等边三角形的性质证明，则答案可得； 对于（3），延长至点，使，连接，根据中位线的性质得，作，垂足为，求出，再说明，可得，进而得出，在上取点，使，则，根据等腰三角形的判定得，然后根据直角三角形的性质得，，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：方法一：延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ． ， ， ， ； 方法二：过点作交延长线于点， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由：延长至，使，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转得，， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴是的中位线， ∴， 作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴． 由旋转得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ， 在上取点，使，则， ， ， 在中，， ，， ， ． 【变式1】（2025·山东临沂·一模）综合实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧．如图1，若点M与点A重合，与相交于点P． (1)探究与的数量关系． (2)如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）作交的延长线于点，则，证明，，，进而得到为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出答案； （2）作于点H，根据等腰直角三角形的性质， 得到，，，设，则，由旋转的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得到，，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点，则， ，三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，作于点H， ，为等腰直角三角形，点O为的中点，点D与点O重合， ，，， 设，则 由旋转的性质可得，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ∵直线， ，， ∴， ∴四边形为矩形， ， ， ． 【变式2】（2025·山东聊城·一模）【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧． 【探究与证明】 如图1，若点M与点A重合，与相交于点P （1）若，求的长； （2）求证：； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． 请写出线段与线段的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，由勾股定理可得，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得解； （2）作交延长线于点，则，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，由相似三角形的性质即可得证； （3）作于，等腰直角三角形的性质可得，，设，则，由旋转的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，求出，证明四边形为矩形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，点M与点A重合， ∴，， ∴； （2）证明：如图，作交延长线于点，则， ， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，作于， ， ∵为等腰直角三角形，点O为的中点，点D与点O重合， ∴，， 设，则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2025·山东临沂·二模）如图，在和中，，．连接，点为中点，连接，． (1)如图，点和点分别在线段和上，直接写出与的数量关系是________，________． (2)将绕点顺时针旋转，如图，中与的数量关系及的度数是否仍然成立？请说明理由． (3)将绕点顺时针旋转到如图所示位置，使得点在直线上，连接，与交于点，其他条件不变，线段，和有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质得，从而得，，再利用三角形的外角性质及三角形的内角和定理即可得解； （2）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，延长和交于点，延长交于点，则，，从而和是等边三角形，又证明，得．，再利用三角形的中位线的判定及性质及三角形的内角和定理即可得解； （3）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，则，证明，得，再利用三角形的中位线的判定及性质即可得解． 【详解】（1）解：∵点为中点，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴，， ∵，． ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：结论：，．　 理由如下： 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，延长和交于点，延长交于点， 则，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴．　 ∵点是的中点，， ∴，．　 同理可证，， ∴． ∴，． （3）解：结论：．理由如下： 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，则， ∴．　 ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵点是的中点，， ∴， ∴． 1．（2025·山东青岛·一模）如图1，是边长为的等边三角形，，分别为边，的中点，点从出发，以的速度沿向运动，过作，分别交，于点，；同时，点从出发，以的速度沿向A运动，设运动时间为． (1)为何值时，在的角平分线上？ (2)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图2，将沿折叠，A的对应点为，是否存在某一时刻，使得落在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，为时，点恰好落到上 【分析】（1）如图1，由题意得：，，根据等边三角形的性质和勾股定理可得，，再证明也是等边三角形，则，由面积法可知：，最后由列方程即可解答； （2）如图2，过点作于，过点作于，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理计算，，的长，利用即可解答； （3）如图3，由折叠得：，，，证明，可得，，根据列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图1，由题意得：，， 是等边三角形，是的中点，且边长为8， ，，， ， ， ， ，，， 也是等边三角形， ， 平分， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于，过点作于， 是的中点， ， 在中，， ， ，， ，， ， 在中，，， ， ，， ， ； （3）解：存在某一时刻，使得落在上， 如图3，由折叠得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ． 2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接，． 根据题意将图补全； 在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、 （1）因为是等边三角形，可得，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，从而可证； （2）作出点关于直线的对称点，连接，即为所求； 由作图可知，点在上运动时，是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ； （2）解：补全图形如下图所示： ， 理由如下： 点、关于直线对称， ，， 又由知， ， ， 即， ， 又， 是等边三角形， ． 3．（2025·山东济南·二模）在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题． 如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，连接，为线段的中点，连接． (1)猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）； (2)以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由； (3)若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，当点、点、点三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）连接，由正方形，，得，，，进而可得，证明，，可得，，，即可得结论； （2）作，与的延长线交于点，连接，，，证明，得，，进而可得，再证明，可得，， ，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得结论； （3）分两种情况：①当在线段上时，②当在线段的延长上时，连接，利用勾股定理及线段和差关系即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， 正方形，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， （2）解：成立，理由如下， 如图，作，与的延长线交于点，连接，，， ，， ， ， ，， ， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，； （3）解：①如图，当在线段上时，连接， 正方形的边长为2， ， ， 中，， 由（1）、（2）知，， ， ； ②如图，当在线段的延长上时，连接， 正方形的边长为2， ， ， 中，， 由（1）、（2）知，， ， ； 综上所述，当点、点、点三点共线时，的长为或． 4．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1），； （2），证明见解析； （3）线段长度的最小值为． 【分析】（1）结合旋转性质推得，，即可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，再由中位线定理可得； （2）延长至点，使得 ，连接，利用“边角边”证明，结合全等三角形性质和中位线定理即可证得； （3）取的中点，连接，作于，利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，即点在与成的定直线上运动，当点在处时，最小，结合含的直角三角形特征即可得． 【详解】解：（1）依题得：，，， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， 故答案为：，； （2）如下图，，证明如下： 延长至点，使得 ，连接， ， ， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ； （3）如下图，取的中点，连接，作于， 依题得：， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的定直线上运动， 当点在处时，最小， ， ， 又， ， 的最小值为． 5．（2025·山东泰安·三模）综合与实践： 准备 在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图），已知，，． 实践探究 平移 如图，小明同学把沿直线平移，当点与点重合时，点与点重合，点的对应点为点．    结论：四边形是矩形，判断该结论是否正确：________，填“正确”或“错误” 旋转 如图，小红同学把绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点．    结论：可求出图中任意一条线段的长，如； 对折 如图，若点，分别是，的中点，小军同学将沿着直线对折，点的对应点为．    结论：点，，在同一条直线上． 验证计算 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成结论的判断，结论的计算，结论的证明． 【答案】结论1：正确；结论2：；结论3：见解析 【分析】本题主要考查了图形变换（平移、旋转、翻折）的性质、矩形的判定、直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握图形变换（平移、旋转、翻折）的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，再利用矩形的判定即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据旋转的性质得到，，，利用直角三角形的性质和等角对等边推出，得出的长度，再利用即可求解； （3）连接、，先证明四边形是平行四边形，得出，再由翻折的性质得到，，进而得出，推出，即可得证． 【详解】解：结论1： 由平移的性质得，，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 结论2： ， ，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ， ， ， ． 结论3： 如图，连接、， 由结论2可得，四边形是平行四边形， ，， 点M，N分别是，的中点，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 由翻折的性质得，，， ，， ， ， 直线和直线重合， 点C，，N在同一条直线上． 1．（2025·山东·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为的中点，绕点D旋转，连接． 观察猜想：（1）在旋转过程中，猜想与的数量关系并证明； 实践发现：（2）当点M，N在内且C，M，N三点共线时，如图2，求证：； 解决问题：（3）若在中，，在旋转过程中，当且C，M，N三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点C、M、N三点共线，分类讨论，根据（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图所示，连接，      由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：已知，，C、M、N三点共线， ①由（2）可知，，      由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故这种情况不存在； ②如图所示，由（1）可知，，，，        ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ③如图，      ∵是等腰直角三角形， ∴， 同法可证， ∴， ∴，即是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 2．（2025·山东青岛·一模）如图①，在中，，在中，，，边与重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，点？ (2)如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； (3)如图④，过点作，交于点，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据时进而推出，以此建立关于分式方程求解即可． （2）首先求出和的高和，然后求得，再根据即可求出结论． （3）通过平行线构造等腰，利用等腰直角三角形的性质分别用表示出和，然后建立关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，交于点． 根据题意． 当时，，由于为等腰直角三角形， 又因，则． ， ， 解得：． （2）解：如图，过点作，过点作分别为垂足． 根据题意． 则， ． （3）解：如图，过点作交延长线于点，过点作，垂足为，过点作为垂足．则四边形为矩形． 根据题意，则， ， ， ， 由（2）可知， ， ， ∴， 解得：． 3．（2025·山东临沂·一模）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺AEF利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【初步探究】 如图1，和的数量关系是______． 如图2，连接，，并延长，延长线相交于点，交AD于点． 问题1：和的位置关系______．数量关系______． (2)【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题： 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． (3)【尝试应用】 问题3：在图4中画出旋转角为的图形，并求出当旋转角a从变化到时，点G经过路线的长度． 【答案】(1)相等，垂直，相等 (2)见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）如图1，根据正方形和等腰直角三角形的性质和判定求解即可；如图2，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图3，由，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图4，证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：如图1，， 理由如下：如图1，根据题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等； 如图2，；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：垂直，相等． （2）解：如图，四边形是正方形， ， ∵点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ． （3）解：旋转角为的图形如图， ∵， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ， ， ∴点经过路线的长度为． 4．（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；；（2），证明见解析（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 5．（2025·山西太原·二模）综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）① ，证 明 见 解 析；②线段的长为或 【分析】（1）根据性质的性质和等边三角形的性质推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据菱形的性质可得，由（1）知，得到，可推出，由，可得，得到是等边三角形，推出，得到，结合，即可求解；②过点作于点，求出，，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是菱形， ，， ， ， ， 即， 是等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ； （2）①，证明 如 下 ： 四边形是菱形， ，，， ， 由（1）知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）知， ， ， ； ②过点作于点， ，， ，， 如图2，当点在线段上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 如图3，当点在线段的延长线上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的性质 重难点08 三角形的动态问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 17 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 三角形的动态问题 1. 三角形三边关系: a+b>c，|a-b|<c 2. 等腰三角形判定 ◦ 两边相等 ◦ 两角相等 ◦ 三线合一（高=中线=角平分线） 3. 直角三角形判定 ◦ 有一个角90° ◦ 勾股定理：a2+b2=c2 ◦ 斜边中线 = 斜边一半 4. 相似三角形 两角相等 → 相似 → 对应边成比例 5. 面积公式: S= ah= absin C 动点题常用：底×高÷2 6. 函数最值 二次函数 y=ax2+bx+c, a<0，顶点处最大；a>0，顶点处最小 1. 设时间为 t 写出每个动点的路程：路程=速度×时间 2. 用 t 表示所有线段 如：AP=t，PB=AB-t 3. 根据条件列等式 ◦ 等腰：两边相等 ◦ 直角：勾股定理 ◦ 相似：比例式 ◦ 面积：表达式=已知面积 4. 解方程，检验范围 点必须在线段上，t 要有范围。 题型01 动态求值问题 【典例1】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【典例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作交折线于点，以为边向右作长方形，使，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求长方形与重叠部分图形的面积与之间的关系式； (4)点为的中点，连结，当所在的直线垂直的一边时，直接写出的值． 【典例3】（2025·山东聊城·三模）如图1，在中，，． (1)将线段绕点A逆时针旋转，使点C的对应点D落在线段的延长线上，连接． ①根据题意补全图1（保留作图痕迹），并证明：； ②如图2，，，，交于点H．若，，求的长． (2)如图3，点M是线段上的动点且不与点A，C重合，将线段绕点A逆时针旋转，使点M的对应点N落在线段BA的延长线上，连接，，过点N作于点P．若，且，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【变式1】（2025·山东济南·二模）【结论探究】 （1）如图1，在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②如图2，若M为的中点，延长至点F，使，连接，试判断的形状，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接，．若，，，求的长． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，的中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）已知正方形的边长为，等腰直角三角形的锐角顶点与正方形的顶点重合，将此三角形绕点旋转，两边分别交直线于点，旋转过程中，等腰直角三角形的边与正方形没有交点． (1)如图1，当分别在边上时，学习小组通过测量发现，请给出证明； (2)如图2，当分别在的延长线上时，请写出之间的数量关系，并给予证明； (3)在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形边上的中点，求出此时的长． 【变式4】（2025·山东临沂·二模）在直角三角形纸片中，，，，将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕，如图1； 第二步：将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与边交于点M（点M不与点A重合），如图2． 在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： (1)如图2，在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，当经过点B时，求的长； (3)如图4，当时，求的长． 题型02 定值问题 【典例1】（2025·山东·模拟预测）在正方形中，对角线和交于点O，点P是射线上的一个动点（点P不与点D，O，B重合），过点D作于点E，过点B作于点F，连接． (1)如图1，当点P在线段上运动时，延长交于点G，探究线段与线段的数量关系，并证明； (2)如图2，当点P在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，的度数是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； (3)当点P在射线上运动时，若，，请直接写出的面积，不需证明． 【典例2】（2025·山东聊城·二模）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【变式1】（2025·山东聊城·二模）是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接． (1)如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若， ①求的值； ②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长． 【变式2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，以，为边作菱形，在射线上取一点，连接交于点，在上取一点，使． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当改变旋转角的大小，使的长度为12时，若，求的值； (3)当点为线段中点时，无论旋转角取何值，在射线上是否存在一点，使的长度固定不变，若存在，请作出图形并求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型03 存在性问题 【典例1】1．（2025·山东青岛·二模）已知：四边形中，，，动点P从点C出发沿边向点B运动，速度为；直线从点A出发沿对角线向点C运动，分别交与点E、Q、F，且运动过程中始终保持，速度为；若点P与直线同时出发，设运动时间为t秒，且（）． (1)连接，当t为何值时？ (2)连接，设四边形的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在时刻t，使点P在的角平分线上，若存在，求出t，不存在请说明理由． 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，对角线．点P从B点出发沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从C出发沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为．连接． (1)当时，求t的值． (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【典例3】（2025·山东青岛·一模）和等腰按如图①所示摆放（点与点重合），点、、在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图①的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动，如图②所示，当点移动到点时，停止移动，与相交于点，连接，设移动时间为． (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻，使点、和的中点这三个点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（图③为备用图） 【变式1】（2025·山东青岛·一模）已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为． 解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E是上一点，且．点P由点C出发，沿方向向点D匀速运动，速度为；点Q由点A出发，沿方向向点D匀速运动，速度为．点P，Q同时出发，交于F，连接，设运动时间为． (1)当t为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2025·山东青岛·一模）如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作交于点，连接，交于点．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，平分？ (2)连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式． (3)若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型04 最值问题 【典例1】25．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 【典例2】（2025·山东临沂·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ． 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿PQ折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 【变式1】（2025·山东济南·二模）如图，已知为中位线，，现将绕顶点旋转． (1)若，旋转至如图中位置，求证：； (2)若，． ①将绕旋转至如图中位置，求的值； ②直接写出的值； ③如图，为平面内一点，现将平移至的位置，此时、、共线，、、共线，为等边三角形，然后将绕旋转（）至，连接，为关于的中心对称点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，直接写出该最小值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·山东临沂·一模）在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 【变式3】（2025·山东济南·模拟预测）在整个初中数学学科学习中，我们有许多的解题思想，那么在某学校九年级某次复习过程中，数学老师们给同学们了以下几个问题，请根据提示，一一解答． 【基本意识】 （1）如图，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，求出的最小值． 【数形结合】 （2）求的最小值． 【形态转化】 （3）在中，，，，以为边向外构造等边三角形，连接．试求的长度． 【变式4】（2025·山东枣庄·三模）综合与实践 【问题情境】 在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 题型05 探究线段的数量关系 【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）将下列三幅图中的的边绕其顶点A逆时针旋转α得到线段． 【观察猜想】 （1）如图1，将边绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，猜想并直接写出与的数量关系； 【探究证明】 （2）如图2，连接，点F在上，且满足，连接，点G为上一点，连接交于点M，若，求证：． 【深入研究】 （3）如图3，连接，若，是等边三角形，P，Q两点分别在，上，且满足，请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【典例2】（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【典例3】（2025·山东济南·三模）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考． 思路1：延长至点，使，连接，构造…… 思路2：过点作交延长线于点，构造…… 【迁移应用】 （2）如图2，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图3，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度． 【变式1】（2025·山东临沂·一模）综合实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧．如图1，若点M与点A重合，与相交于点P． (1)探究与的数量关系． (2)如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由． 【变式2】（2025·山东聊城·一模）【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧． 【探究与证明】 如图1，若点M与点A重合，与相交于点P （1）若，求的长； （2）求证：； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． 请写出线段与线段的数量关系．并说明理由． 【变式3】（2025·山东临沂·二模）如图，在和中，，．连接，点为中点，连接，． (1)如图，点和点分别在线段和上，直接写出与的数量关系是________，________． (2)将绕点顺时针旋转，如图，中与的数量关系及的度数是否仍然成立？请说明理由． (3)将绕点顺时针旋转到如图所示位置，使得点在直线上，连接，与交于点，其他条件不变，线段，和有怎样的数量关系？请说明理由． 1．（2025·山东青岛·一模）如图1，是边长为的等边三角形，，分别为边，的中点，点从出发，以的速度沿向运动，过作，分别交，于点，；同时，点从出发，以的速度沿向A运动，设运动时间为． (1)为何值时，在的角平分线上？ (2)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图2，将沿折叠，A的对应点为，是否存在某一时刻，使得落在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接，． 根据题意将图补全； 在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明． 3．（2025·山东济南·二模）在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题． 如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，连接，为线段的中点，连接． (1)猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）； (2)以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由； (3)若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，当点、点、点三点共线时，直接写出的长． 4．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 5．（2025·山东泰安·三模）综合与实践： 准备 在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图），已知，，． 实践探究 平移 如图，小明同学把沿直线平移，当点与点重合时，点与点重合，点的对应点为点．    结论：四边形是矩形，判断该结论是否正确：________，填“正确”或“错误” 旋转 如图，小红同学把绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点．    结论：可求出图中任意一条线段的长，如； 对折 如图，若点，分别是，的中点，小军同学将沿着直线对折，点的对应点为．    结论：点，，在同一条直线上． 验证计算 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成结论的判断，结论的计算，结论的证明． 1．（2025·山东·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为的中点，绕点D旋转，连接． 观察猜想：（1）在旋转过程中，猜想与的数量关系并证明； 实践发现：（2）当点M，N在内且C，M，N三点共线时，如图2，求证：； 解决问题：（3）若在中，，在旋转过程中，当且C，M，N三点共线时，直接写出的长． 2．（2025·山东青岛·一模）如图①，在中，，在中，，，边与重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，点？ (2)如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； (3)如图④，过点作，交于点，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东临沂·一模）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺AEF利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【初步探究】 如图1，和的数量关系是______． 如图2，连接，，并延长，延长线相交于点，交AD于点． 问题1：和的位置关系______．数量关系______． (2)【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题： 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． (3)【尝试应用】 问题3：在图4中画出旋转角为的图形，并求出当旋转角a从变化到时，点G经过路线的长度． 4．（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 5．（2025·山西太原·二模）综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $