重难点07 解直角三角形实际问题分类训练（复习讲义，1大重点6种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 图形的性质 重难点07 解直角三角形实际问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 24 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 解直角三角形实际问题 1. 三个三角函数 2. 两个常用关系 • 两锐角互余：∠A +∠B = 900 • 勾股定理：a2 + b2 = c2 3. 必考实际场景 • 仰角、俯角 • 坡度、坡角 • 方位角（东南西北） • 测量高度、距离 解题步骤 1. 画图：把文字变成直角三角形。 2. 标已知：角度、边长、仰/俯角。 3. 选函数： ◦ 求对边+邻边 → 用 tan ◦ 求对边+斜边 → 用 sin ◦ 求邻边+斜边 → 用 cos 4. 列方程：设未知数，写三角函数式。 5. 计算：代入数值，算出答案。 题型01 仰角俯角问题 【典例1】（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【典例2】（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 【变式2】（2025·山东济南·模拟预测）2024年，济南为了提升城市形象，建造了一座夏雨荷雕像．周末，小红和爸爸去大明湖游玩，想要用无人机测量该雕像的高度．小红将操作过程记录如下： 操作过程 已知无人机在距离水平地面的空中水平飞行，无人机在、两点分别测得雕像顶端的俯角为和，，两点的水平距离为（四点在同一平面上）． 解决问题一 求雕像的高度． 解决问题二 若雕像的左侧处有一棵树，高为，它会不会影响本次测量？请说明理由． 参考数据 ． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某山丘的高度，在D点测得山顶A的仰角为，沿着DC方向前进14米，在点E处测得点A的仰角为，测量报告如下表： 课题 测量某山丘的高度 成员 组长：╳╳╳ 组员：╳╳╳，╳╳╳，╳╳╳ 测量工 具 测角仪，米尺 测 量 示 意 图 测量数据 米，， 参考数据 ，≈，， 请根据图中测量数据，求出山丘的高度．（结果保留一位小数） 题型02 方位角问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【典例2】（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【典例3】（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 【变式2】（2025·山东烟台·模拟预测）某公园的平面示意图上，，，，是公园的四处主要景点，景点间有道路连接，经测量，景点在景点的正东方向，且距离为米，点在点的南偏东方向，相距600米，点在点的西南方向．（参考数据：，，，） (1)求景点与景点之间的距离（结果保留根号）； (2)景点规划时，计划在公园主干道上修建一处凉亭，使游客从景点来到凉亭休息后回到景点，再依次参观景点的游玩路程最短，求出这个最短游玩路程（结果保留整数）． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东的方向上，千米，千米，，C在A的正东方向． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)求的长度．（参考数据：） 【变式4】（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 【变式5】（2025·山东滨州·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，，，，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 题型03 坡度比问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是30米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，．） 【典例2】（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【典例3】（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． (1)分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． (2)求铅球落到坡面上时与的水平距离． (3)铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 【变式2】（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【变式3】（2025·河北·模拟预测）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【变式4】（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【变式5】（2025·湖南·一模）老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：×××  组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； (2)求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 题型04 仰俯角、坡度比综合问题 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【典例3】（2025·山东青岛·一模）“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们身边也经常能见到“风电”的身影，在某一山坡顶端的平地上建有一座风力发电机，其平面示意图如图所示．某校综合实践小组在测量风力发电机组塔筒AB的高度时，获得了如下数据：站在山脚处测得塔筒的顶端的仰角为，山坡的坡比，山坡的长度为米，山坡顶端与塔筒底端的水平距离为米，塔筒、山坡及平地均在同一竖直平面内，塔筒与地面垂直，平地与地面平行．请根据以上数据，求塔筒的高度．（参考数据：，，） 【变式1】（2025·山东青岛·一模）如图，要测量一垂直于水平面的建筑物的高度，小明从建筑物底端出发，沿水平方向向右走14米到达点，又经过一段坡角为，长为20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到达点（A，，，，均在同一平面内）．在处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度． （参考数据：，，，，，） 【变式2】（2025·山东济南·一模）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【变式3】（2025·山东德州·一模）某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，）      【变式4】（2025·山东济南·二模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 题型05 物理模型问题 【典例1】32．（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【典例2】（2025·山东济南·二模）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： (1)求充电站的宽的长； (2)该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 【典例3】（2025·山东日照·一模）综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 【变式1】（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 【变式2】（2025·广西贵港·一模）【综合与实践】 火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，． 解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 题型06 实物抽象模型问题 【典例1】（2025·山东日照·二模）学校科研小组制作了一款机械手臂如图①所示，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离（保留根号）； (2)在一次操作中，平台上有一高度为的模具，如图③，点恰好与点重合，此时测得中臂与底座成夹角，请计算此时上臂与中臂夹角的大小．（，，） 【典例2】（2025·山东烟台·一模）图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（参考数据：，，，，） (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到．） 【典例3】（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【变式1】（2025·山东临沂·三模）如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 【变式2】（2025·山东潍坊·二模）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知，米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，测得米，求的长； (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，，） 【变式3】（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 【变式4】（2025·山东济南·三模）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形，，．该沙发与地面的空隙为矩形，，．拖把杆为线段，长为，为的中点，与所成角的可变范围是，当大小固定时，若经过点，或点与点重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度． (1)如图1，当时，求沙发底部可拖最大深度的长．（结果保留根号） (2)如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？（，，） 【变式5】（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 1．（2025·山东青岛·二模）如图为某公园的平面图示，三个亭子、、在同一水平线上，小红在处测得亭子在正北方向处，亭子D在北偏东45度；小红从走到达处，此时测得点在北偏东，点在北偏西，求、两个亭子间的距离． （参考数据：，，，，，） 2．（2025·山东枣庄·三模）如图，某园林中四个亭子（可看作四个点）在上，且亭子在亭子的南偏西方向上，亭子在亭子的正南方向上．该园林管理部门计划在的延长线上再修建一个亭子，使，测得此时． (1)连接，求的度数； (2)该部门计划在亭子之间修建一条直线连廊，求该连廊的长度．（结果精确到．参考数据：） 3．（2025·山东菏泽·三模）雨量监测站是一款以互联网为甚础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来的雨量情况，从而安排合理的农事作业．如图①，是雨量监测站的实物图，如图②，是该监测站的简化示意图，其中支杆与支架的夹角分别为，，支杆与太阳能供电板的夾角，且支杆端点的距离为14cm，支杆的端点到支架的水平距离为16cm．求支杆端点的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：）． 4．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到整数，参考数据：，，） 【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度． （2）丙同学需要利用的__________值（填“正弦”，“余弦”或“正切”），先求出长为__________m（用三角函数表示），由和的长度，再利用__________三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度． 5．（2025·山东临沂·一模）某“综合与实践”小组开展了测量本校水塔高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该水塔底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该水塔顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量水塔的高度 成员 组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校水塔，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，A，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 ，之间的距离 … … 任务一：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校水塔的高度．（参考数据：，，，，，） 任务二：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量水塔的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 1．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 2．（2025·山东聊城·二模）【实践课题】测量线路的长度，并进行比较． 【实践工具】测距仪、测角仪等． 【实践过程】如图，小河的两侧开辟了两条锻炼线路，线路①：；线路②：．数学实践小组经过现场勘测，得点在点的正东方向，点在点的正南方向处，点在点正西方向处，点在点的南偏东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，） (1)求的长（精确到）； (2)通过计算说明哪条线路较短． 3．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关长度与角度，计算物体的高度． 【实践工具】无人机、扫描仪、测角仪等测量工具． 【问题提出】今年春季，为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑（图1）所在地，在了解相关历史背景后，利用无人机搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 【数据采集】如图2，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处测得点A的仰角为，竖直上升至距离地面10米的点C处时，测得点A的仰角为． 【数据应用】已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 4．（2025·山东·二模）【实践课题】通过测量相关数据，计算游客体验“旋转木马”时离地面的最大高度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】古代人从钻木取火的技术受到启发，发明了如图①所示的牵钻，用于在圆木或者木板上打孔． 受此启发，五一期间，某景点设置如图②的“旋转木马”游戏体验项目，吸引了不少游客勇敢挑战．数学实践小组仿制了一个类似的“旋转木马”，并选取其中一条横木坐架进行测量，画出如图③的示意图，已知为高6米的圆柱形竖直立杆，立杆直径米，右侧横木坐架，垂足为米，． 【问题解决】如图④，已知斜拉绳绕立杆每一圈均需用绳米（从到为第1圈从到为第2圈，依次类推，从到为第7圈），当斜拉绳绕立杆7圈时，横木坐架达到最高处． （参考数据：．） (1)求斜拉绳的长度约为多少；（结果保留一位小数） (2)已知横木坐架达到最高处时，点是线段的中点，求游客体验“旋转木马”离地面的最大高度为多少．（结果含有）． 5．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的性质 重难点07 解直角三角形实际问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 66 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 解直角三角形实际问题 1. 三个三角函数 2. 两个常用关系 • 两锐角互余：∠A +∠B = 900 • 勾股定理：a2 + b2 = c2 3. 必考实际场景 • 仰角、俯角 • 坡度、坡角 • 方位角（东南西北） • 测量高度、距离 解题步骤 1. 画图：把文字变成直角三角形。 2. 标已知：角度、边长、仰/俯角。 3. 选函数： ◦ 求对边+邻边 → 用 tan ◦ 求对边+斜边 → 用 sin ◦ 求邻边+斜边 → 用 cos 4. 列方程：设未知数，写三角函数式。 5. 计算：代入数值，算出答案。 题型01 仰角俯角问题 【典例1】（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 【典例2】（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 【答案】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握锐角三角函数． 过点作于点，延长交于点，利用锐角三角函数逐个求出所需边长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交延长线于点． 根据题意可得垂直于水平面，，， ， ， ， ． ， ． ， 四边形为正方形， ． ，， ， ， ， ． 答：该无人机在处时到的距离约为． 【变式2】（2025·山东济南·模拟预测）2024年，济南为了提升城市形象，建造了一座夏雨荷雕像．周末，小红和爸爸去大明湖游玩，想要用无人机测量该雕像的高度．小红将操作过程记录如下： 操作过程 已知无人机在距离水平地面的空中水平飞行，无人机在、两点分别测得雕像顶端的俯角为和，，两点的水平距离为（四点在同一平面上）． 解决问题一 求雕像的高度． 解决问题二 若雕像的左侧处有一棵树，高为，它会不会影响本次测量？请说明理由． 参考数据 ． 【答案】问题一：；问题二：它会影响本次测量，理由见详解 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解决本题的关键． 问题一：延长交的延长线于点，则，解直角三角形求出； 问题二：延长交于点，则，解直角三角形求出，从而得出，再求出，与比较大小即可解答． 【详解】解：问题一：延长交的延长线于点，则， ， ， ， 设， ， 解得：， ． 问题二：延长交于点，则， ， ∴， ， ∵， 故它会影响本次测量． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某山丘的高度，在D点测得山顶A的仰角为，沿着DC方向前进14米，在点E处测得点A的仰角为，测量报告如下表： 课题 测量某山丘的高度 成员 组长：╳╳╳ 组员：╳╳╳，╳╳╳，╳╳╳ 测量工 具 测角仪，米尺 测 量 示 意 图 测量数据 米，， 参考数据 ，≈，， 请根据图中测量数据，求出山丘的高度．（结果保留一位小数） 【答案】山丘的高度为米 【分析】过点作于点，设，利用三角函数分别在和中表示出和的长度，再根据米这一关系列出方程，进而求解出，即山丘的高度．本题主要考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟练掌握三角函数的定义（在直角三角形中，正切函数）并通过设未知数，利用线段间的关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，设， 在中， ∴， ∵， ∴中，-， ∵， ∴， 米， 答：山丘的高度为米． 题型02 方位角问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 【典例2】（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 【典例3】（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 【答案】(1)米 (2)小亮先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴小亮所花时间：（秒）， 小颖所花时间：（秒）， ∵， ∴小亮先到达展区． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 【答案】(1)231.8米 (2)D地址 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键； （1）过点B作于点E，如图，解直角三角形分别求出，即可解决问题； （2）设过点D的东西方向线与交于点F，解直角三角形求出，解直角三角形求出，解直角三角形求出，即可求出分别在A地址和D地址部署核心交换机的费用，再比较即可得出答案. 【详解】（1）解：过点B作于点E，如图， 由题意，， ∴， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴（米）， 答：学生公寓A到图书馆D的距离约为231.8米； （2）解：设过点D的东西方向线与交于点F， 由题意，知， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， （米）， ∴在A地址部署核心交换机的费用（元）， 在D地址部署核心交换机的费用（元）， ∵， 应该选择在D地址部署核心交换机. 【变式2】（2025·山东烟台·模拟预测）某公园的平面示意图上，，，，是公园的四处主要景点，景点间有道路连接，经测量，景点在景点的正东方向，且距离为米，点在点的南偏东方向，相距600米，点在点的西南方向．（参考数据：，，，） (1)求景点与景点之间的距离（结果保留根号）； (2)景点规划时，计划在公园主干道上修建一处凉亭，使游客从景点来到凉亭休息后回到景点，再依次参观景点的游玩路程最短，求出这个最短游玩路程（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)3446米 【分析】本题考查解直角三角形的应用－方向角问题及最短路径问题，解题的关键是利用方向角构建直角三角形，运用三角函数求解，以及利用轴对称求最短路径． （1）过作交的延长线于H，过作交于F，得到四边形是矩形，从而得到，在和运用解三角形计算即可； （2）作B关于的对称点，连接交于，则，， 最短，从而得到最短游玩路程为，接下来计算即可． 【详解】（1） 过作交的延长线于H，过作交于F， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 米， 米， 米， 米， 在中，， 米 （2）作B关于的对称点，连接交于， ，， 最短， 最短游玩路程为， 在中，米，米 米 在中，， 米， 米 最短游玩路程为：米， 答：最短游玩路程约为3446米． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东的方向上，千米，千米，，C在A的正东方向． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)求的长度．（参考数据：） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过点B作于F，则，进而可得，解可求出的长，再解求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，则四边形是矩形，千米，解求出的长，解求出的长；求出，解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接，过点B作于F， ∴， 由题意得， ∴， 在中，千米， 在中，千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴千米， 在中，千米， 在中，千米； ∵， ， ∴， ∴在中，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米． 【变式4】（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 【答案】(1)40米 (2)60米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据在中，，得出，即可求出； （2）过点A作于点E，先求出的长度，在中，得到，在中，，得到，再根据即可求出． 【详解】（1）解：依题意， ，， ， ∴B，C两点间的距离为40米． （2）解：作于点，则． 由题意知： ，，． 则． 所以在中，． 即． 所以． 在中，． 即． 所以． 所以． ∴的长为60米． 【变式5】（2025·山东滨州·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，，，，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．作于，于，则四边形为矩形，构造矩形和直角三角形，根据锐角三角函数可得，，从而可知，在中，根据，可得：，所以可得养鱼场长度约为． 【详解】解：如下图所示， 作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，，， ，，， ，， ，， 在中，，， ， ， ， 即养鱼场长度约为． 题型03 坡度比问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是30米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，．） 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出的长，得出的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， 即， ∴． 又， ∴， ∴． 故大楼的高度约为米． 【典例2】（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)BM的长度为36.7米 【分析】（1）设 ，根据 与边的关系设出 ，再设 ，在 中利用勾股定理求出 关于 的表达式，最后根据正切函数的定义求出 的值． （2）利用矩形对边相等的性质得到 ，再根据 中 与边的关系求出 的长度． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线EF，连结，如图示：    ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 由题意得：，． 设，则．设， 在中，由勾股定理得：， 解得：． ∴． （2）解：∵的坡度为， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：BM的长度为36.7米． 【典例3】（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)大于米 (2)约为米 【分析】（）连接，过点作交于点，可得，再解即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，即得，由坡度的定义得米，解得米，进而求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． (1)分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． (2)求铅球落到坡面上时与的水平距离． (3)铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 【答案】(1)； (2)m (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标是，且，据此把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；过点C作轴于H，则，设，则，故点C在直线上； （2）求出抛物线与直线在第一象限内的交点横坐标即可得到答案； （3）铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离等于二次函数的函数值减去一次函数的函数值，据此列出对应的函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，且， 设抛物线所对应的函数表达式为． ∵图象过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 如图所示，过点C作轴于H， ∵斜坡为射线，坡度． ∴在中，， 设，则， ∴点C在直线上， ∴斜坡所对应的函数表达式为； （2）解；联立得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴铅球落到坡面上时与的水平距离为m． （3）解：设落地前球与斜坡的铅垂线距离为， 由题意得． ∵， ∴当时，L最大，最大值为2． 故铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是． 【变式2】（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【答案】2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握坡度是坡角的正切值． 延长交于点E，根据坡道的坡比，可得，即可求出米，进而得出米，再证明，则，设，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 【变式3】（2025·河北·模拟预测）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据坡度的概念，由，即可解答； （2）过点作于点，由，求出，再与货车高度比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ． 在中，， ． 答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工； （2）能，理由如下： 如图，过点作于点， 则， 在中，， ， ， ∴能保证货车顺利进入地下停车场． 【变式4】（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】(1)斜坡的坡比为； (2)的长米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； （2）解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 【变式5】（2025·湖南·一模）老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：×××  组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； (2)求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分的长度为米． (2)改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点H，构造直角三角形，再计算即可； （2）先计算，再计算体积即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点H， 在中，米， （米），（米）， 在中，， （米）, 米． 答：改造后斜面底部延伸出来的部分BE的长度为米； （2）解：平方米， 立方米． 答：改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 题型04 仰俯角、坡度比综合问题 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】星火相传雕塑的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，作于点，由台阶长为，坡度，求得，，连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点，求得，再在和中，解直角三角形，求得，解得，据此求解即可． 【详解】解：设，作于点， ∵台阶长为，坡度， ∴设，则， ∴， 解得， ∴，， 连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点， 则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：星火相传雕塑的高度约为． 【典例3】（2025·山东青岛·一模）“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们身边也经常能见到“风电”的身影，在某一山坡顶端的平地上建有一座风力发电机，其平面示意图如图所示．某校综合实践小组在测量风力发电机组塔筒AB的高度时，获得了如下数据：站在山脚处测得塔筒的顶端的仰角为，山坡的坡比，山坡的长度为米，山坡顶端与塔筒底端的水平距离为米，塔筒、山坡及平地均在同一竖直平面内，塔筒与地面垂直，平地与地面平行．请根据以上数据，求塔筒的高度．（参考数据：，，） 【答案】塔筒的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，证明四边形是矩形，则，，由坡比可得，设，，由勾股定理得 ，即，求出，在中，，然后代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，坡比， ∴， 设，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 答：塔筒的高度为米． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）如图，要测量一垂直于水平面的建筑物的高度，小明从建筑物底端出发，沿水平方向向右走14米到达点，又经过一段坡角为，长为20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到达点（A，，，，均在同一平面内）．在处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡比问题、矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点作，垂足为，延长交于点，则，，米，在中解直角三角形可得（米）、（米），即米；进而得到，在中解直角三角形可得，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，则， 由题意得：四边形是矩形， ∴，米， 在中，，米， （米），（米）， 米； 米， （米）， 在中，， （米）， （米）， 建筑物的高度约为24米． 【变式2】（2025·山东济南·一模）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为米． 【变式3】（2025·山东德州·一模）某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，）      【答案】该风力发电机塔杆的高度为 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案． 【详解】解：过点D作于点F，作于点H 由题意得：， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 答：该风力发电机塔杆的高度为． 【变式4】（2025·山东济南·二模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】任务一：点B到一楼地面的距离为；任务二：照明灯C到一楼地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：过点B作BR⊥AN于点R，设，则，利用勾股定理列方程即可解答； 任务二：连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T，解直角三角形即可解答． 【详解】任务一：解：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为， ∴设，则， ∵， ∴在中，， 即， 解的， ， 答：点B到一楼地面的距离为； 任务二解：如图，连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T， 由题意得，， 在中，， ∴． ∴在中，． ∴ 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 题型05 物理模型问题 【典例1】32．（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； (2)线段的长度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）求出、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G， ∵，， ，， 在中，，， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； （2）解：如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，则四边形是矩形， 在中，，， ，， ， ∵， ， ， ∵，，， ， ， 答：线段的长度约为． 【典例2】（2025·山东济南·二模）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： (1)求充电站的宽的长； (2)该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的性质，看懂题意是解答的关键． （1）先根据已知求得，再在中，利用正弦定义求解即可； （2）分别在和中，利用锐角三角函数求得，，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 在中，，， ∴， 答：充电站的宽的长约为； （2）解：根据题意，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：的长为． 【典例2】（2025·山东日照·一模）综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①；②B，E之间的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质： （1）利用正切的定义即可求解； （2）①根据，求出，由题意可得，利用勾股定理求出，再利用正切的定义即可解答；②由①知，四边形是矩形，由（1）知，推出，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 则， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ②由①知，四边形是矩形，由（1）知， ∴， ∴， 答：B，E之间的距离为． 【变式1】（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 【答案】任务一：的长为米；任务二：水池的深约为2.44米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 任务一：根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； 任务二：根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】解：任务一：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； 任务二：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为2.44米． 【变式2】（2025·广西贵港·一模）【综合与实践】 火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，． 解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型06 实物抽象模型问题 【典例1】（2025·山东日照·二模）学校科研小组制作了一款机械手臂如图①所示，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离（保留根号）； (2)在一次操作中，平台上有一高度为的模具，如图③，点恰好与点重合，此时测得中臂与底座成夹角，请计算此时上臂与中臂夹角的大小．（，，） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为，则，易证三点共线，解直角三角形求出，即可求解； （2）过点作平行于地面，分别交，的延长线于点，，则四边形是矩形，解直角三角形求出，进而求出，利用正弦的定义求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，则， 底座与水平地面垂直，即与水平面垂直， 三点共线， ，， ， ， 答：点到地面的距离为； （2）解：如图，过点作平行于地面，分别交，的延长线于点，，则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【典例2】（2025·山东烟台·一模）图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（参考数据：，，，，） (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到．） 【答案】(1)支架顶点A到地面的距离为 (2)此时收纳镜顶部端点O到地面的距离约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、三角形内角和定理、矩形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键． （1）过点作于，根据线段的和差关系求出的长度，再根据直角三角形的边角关系即可求出的长度； （2）过点作于，过点作于，根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差关系求出，根据矩形的判定定理和性质，平行线的性质，角的和差关系求出的长度和，根据直角三角形的边角关系求出的长度，再根据线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于， ，， ， ， ， ， ， 答：支架顶点到地面的距离约为． （2）解：如下图所示，过点作于，过点作于， ，， ， ， 镜面顺时针旋转，即， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 答：此时收纳镜顶部端点O到地面的距离约为． 【典例3】（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明出四边形是矩形，然后在直角三角形中利用三角函数得到即可； （2）过点作，垂足为，首先得到，则，然后在中利用三角形函数求出，则然后利用三角形的外角求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ， ， ， 在中，（厘米）， 的长度约为40厘米； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， （厘米）， 在中，， ， ， ， 此时悬臂与连杆的夹角的度数约为 【变式1】（2025·山东临沂·三模）如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 【答案】安装热水器的铁架水平横管的长度约为米 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；过作于．求解（米）．（米），证明四边形是矩形．可得，求解（米），再进一步求解即可． 【详解】解：过作于． 在中，， 则（米）． 在中，， 则（米）， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∵米， ∴米， 在中，， 则（米）， ∴（米）， 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 【变式2】（2025·山东潍坊·二模）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知，米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，测得米，求的长； (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)大于等于米且小于等于米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于E，由等边对等角和三角形内角和定理可得，由三线合一定理得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）过点D作，垂足为F，分别求出和时，的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过A作于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米） ∴的长为米； （2）解：过点D作，垂足为F， 当时， ∵， ∴， 由（2）知（米）， 在中，（米） 当时， ∵， ∴， 在中，（米）． ∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面的距离范围为大于等于米且小于等于米． 【变式3】（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 【答案】(1)24.2m (2)48.2m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，证明四边形和四边形均为矩形，得到，，再结合解直角三角形得到，即可解题； （2）过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，证明四边形和四边形均为矩形，得到，再结合，达到最大角度，推出，结合解直角三角形得到，推出，结合解直角三角形得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， ∵， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， ∴（m）． 答：此时的长为24.2m． （2）解：过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， 依题意得：当，达到最大角度时，则，， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， 在中， ，m， ∴， ∴， ∴m． 答：该消防车可救援的最大高度约为48.2m． 【变式4】（2025·山东济南·三模）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形，，．该沙发与地面的空隙为矩形，，．拖把杆为线段，长为，为的中点，与所成角的可变范围是，当大小固定时，若经过点，或点与点重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度． (1)如图1，当时，求沙发底部可拖最大深度的长．（结果保留根号） (2)如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？（，，） 【答案】(1) (2)不能达到，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给度数整理到直角三角形中是解决本题的关键． （1）设的延长线交于点N．易得的长度，根据的正切值可得的长度，再加上的长度即为的长度，也就是的长度； （2）根据的正切值可得的长度，再加上的长度即为的长度，也就是的长度，即可判断沙发底部可拖最大深度的长能否达到． 【详解】（1）解：设的延长线交于点． ∵四边形和四边形是矩形，，， ∴，，． ∴四边形是矩形． ∵． ∴，，． ∴，． ∵在中，，， ∴． ∵点是的中点， ． ． ． 答：沙发底部可拖最大深度的长为； （2）解：如图2， 由（1）得：，，． ∵在中，， ． ． ∵， ∴此时沙发底部可拖最大深度的长不能达到． 【变式5】（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，解直角三角形，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）连接交于点．由抛物线的对称性可知，．将代入解析式求出，再解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，且过点． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，连接交于点． 由抛物线的对称性可知，． 点的横坐标为． 当时，， ． ， ． 又， ， ． 答：油纸伞锁扣到地面的距离的长约为． 1．（2025·山东青岛·二模）如图为某公园的平面图示，三个亭子、、在同一水平线上，小红在处测得亭子在正北方向处，亭子D在北偏东45度；小红从走到达处，此时测得点在北偏东，点在北偏西，求、两个亭子间的距离． （参考数据：，，，，，） 【答案】两个亭子间距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点作于，过点A作于I，先证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，．解直角三角形，得出，，进而可得出，再解，得出，，再由等腰直角三角形的性质得出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作于，过点A作于I， ， 又， ， 四边形为矩形， ，， 在中，，，， ，， ， 在中，， ， ∴， ， 在中，，， ， ， ， ． 答：两个亭子间距离为． 2．（2025·山东枣庄·三模）如图，某园林中四个亭子（可看作四个点）在上，且亭子在亭子的南偏西方向上，亭子在亭子的正南方向上．该园林管理部门计划在的延长线上再修建一个亭子，使，测得此时． (1)连接，求的度数； (2)该部门计划在亭子之间修建一条直线连廊，求该连廊的长度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2)该连廊的长度为． 【分析】本题考查了方位角，圆内接四边形的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质和圆内接四边形的性质，得到，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）过点作于点，利用锐角三角函数分别求出，，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， 四边形内接于， ， ， ， ， （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 即该连廊的长度为． 3．（2025·山东菏泽·三模）雨量监测站是一款以互联网为甚础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来的雨量情况，从而安排合理的农事作业．如图①，是雨量监测站的实物图，如图②，是该监测站的简化示意图，其中支杆与支架的夹角分别为，，支杆与太阳能供电板的夾角，且支杆端点的距离为14cm，支杆的端点到支架的水平距离为16cm．求支杆端点的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用. 过点作于点，过点分别作于点，作于点，则四边形是矩形，，根据三角函数求出，求出，则，，，最后根据即可求出的距离. 【详解】解：如图，过点作于点，过点分别作于点，作于点， ∴四边形是矩形，， 在中，，， ． ， ． ． 在中，， ，， ． ， ， 解得． 答：支杆端点的距离约为． 4．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到整数，参考数据：，，） 【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度． （2）丙同学需要利用的__________值（填“正弦”，“余弦”或“正切”），先求出长为__________m（用三角函数表示），由和的长度，再利用__________三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度． 【答案】（1）；（2）余弦，，相似 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质可得，再说明四边形为矩形，可得，，进而得出，然后根据，结合得出答案； （2）先根据余弦求出，进而求出，再说明，可得答案． 【详解】解：（1）过点作于点． ∵与河岸平行，与河岸平行， ∴， ∵ ∴， ∴四边形为矩形， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：树与树之间的距离约为； （2）在中，， ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：余弦，，相似． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2025·山东临沂·一模）某“综合与实践”小组开展了测量本校水塔高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该水塔底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该水塔顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量水塔的高度 成员 组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校水塔，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，A，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 ，之间的距离 … … 任务一：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校水塔的高度．（参考数据：，，，，，） 任务二：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量水塔的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【答案】任务一：水塔的高度为米；任务二：没有太阳光，或水塔底部不能达到 【分析】本题考查了解直角三角形一仰角俯角的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：先求出，之间的距离的平均值，再设，然后利用正切函数列出关于的方程求解； 任务二：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）． 【详解】任务一：设， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ． 任务二：没有太阳光，或水塔底部不能达到． 1．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)度 (2)此时手绢端点与舞者距离在规定范围内，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 2．（2025·山东聊城·二模）【实践课题】测量线路的长度，并进行比较． 【实践工具】测距仪、测角仪等． 【实践过程】如图，小河的两侧开辟了两条锻炼线路，线路①：；线路②：．数学实践小组经过现场勘测，得点在点的正东方向，点在点的正南方向处，点在点正西方向处，点在点的南偏东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，） (1)求的长（精确到）； (2)通过计算说明哪条线路较短． 【答案】(1) (2)路径较短，理由见详解 【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）过点作交于点，得出四边形为矩形，利用矩形的性质得出有关线段的长度，然后利用锐角三角函数即可求解； （2）根据条件先求出线段的长度，然后利用锐角三角函数求出的长度，最后求出两条路径的长度和进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 根据题意得，四边形为矩形，， ， ； （2）解：由（1）得，是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ，， ， ， 所以，路径较短． 3．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关长度与角度，计算物体的高度． 【实践工具】无人机、扫描仪、测角仪等测量工具． 【问题提出】今年春季，为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑（图1）所在地，在了解相关历史背景后，利用无人机搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 【数据采集】如图2，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处测得点A的仰角为，竖直上升至距离地面10米的点C处时，测得点A的仰角为． 【数据应用】已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【答案】纪念碑顶部点A到地面的距离的长是27米 【分析】本题考查了本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点作于点，由题意可知，，，米，先证明四边形是矩形，得到，，利用，从而表示出，，接着利用，算得，最后得到． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 由题意可知，，，米， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ，， 米， ， 米， 米， 答：纪念碑顶部点A到地面的距离的长是27米． 4．（2025·山东·二模）【实践课题】通过测量相关数据，计算游客体验“旋转木马”时离地面的最大高度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】古代人从钻木取火的技术受到启发，发明了如图①所示的牵钻，用于在圆木或者木板上打孔． 受此启发，五一期间，某景点设置如图②的“旋转木马”游戏体验项目，吸引了不少游客勇敢挑战．数学实践小组仿制了一个类似的“旋转木马”，并选取其中一条横木坐架进行测量，画出如图③的示意图，已知为高6米的圆柱形竖直立杆，立杆直径米，右侧横木坐架，垂足为米，． 【问题解决】如图④，已知斜拉绳绕立杆每一圈均需用绳米（从到为第1圈从到为第2圈，依次类推，从到为第7圈），当斜拉绳绕立杆7圈时，横木坐架达到最高处． （参考数据：．） (1)求斜拉绳的长度约为多少；（结果保留一位小数） (2)已知横木坐架达到最高处时，点是线段的中点，求游客体验“旋转木马”离地面的最大高度为多少．（结果含有）． 【答案】(1)5.2米 (2)米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用和勾股定理的应用，解答本题的关键是理解题意，数形结合思想的运用．． （1）解可得结论； （2）由题意可知米．在中，由勾股定理求出，依次求出，由点是线段的中点可得结论． 【详解】（1）解：， 在中，． （米）． 斜拉绳的长度约为5.2米． （2）解：假如沿着图④中的把圆柱形立杆侧面剖开展平，可得如图⑤的侧面展开图． 直径米， （米）． 由题意可知米． 在中，由勾股定理可得 （米）． 米． （米）． （米）． 点是线段的中点， （米）． 游客体验“旋转木马”离地的最大高度为米． 5．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 【答案】(1)； (2)闸门B没有打开，见解析． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再根据直角三角形中边、角关系解答即可． 根据、的长度即可求出斜坡的坡度； 过点作于点，设，则，利用勾股定理可以得到，根据，可得，解方程求出的值，即可得到：，如果车辆以的速度行驶即可通过，而识别系统需要，所以车辆以最高限速行驶到达点时，门没有打开． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 斜坡的坡度为； （2）解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点所用时间为： 秒， ， 闸门没有打开． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $