重难点06 二次函数变换综合题分类训练（复习讲义，1大重点4种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 重难点06 二次函数变换综合题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 16 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 二次函数变换综合题 1.二次函数解析式三种形式 • 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) • 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 做变换题优先用：顶点式。 2.三大变换：平移、对称、旋转 1）平移 口诀：左加右减，上加下减 • 向左 m：x →x+m • 向右 m：x → x-m • 向上 n：y →y+n • 向下 n：y →y-n 2）对称（翻折） ① 关于 x 轴对称 (x,y)→(x,-y) • 顶点 (h,k)→(h,-k) • a 变号：y=-a(x-h)2-k ② 关于 y 轴对称 (x,y)→(-x,y) • 顶点 (h,k)→(-h,k) • a 不变：y=a(x+h)2+k ③ 关于原点对称 (x,y)→(-x,-y) • 顶点 (h,k)→(-h,-k) • a 变号 ④ 关于直线 x=m 对称 顶点横坐标：2m-h，纵坐标不变 (h,k)→(2m-h,k) 3）旋转 ① 绕原点旋转 90° • 逆时针90°：(x,y)→(-y,x) • 顺时针90°：(x,y)→(y,-x) ② 绕点 P(m,n) 旋转90° 把点平移到以 P 为原点：(x,y)→(x-m,y-n) 按上面规则旋转 平移回去：加回 m,n ③ 绕某点旋转 180° • 顶点变为中心对称点 • a 变号 • 形状大小不变 二次函数变换综合题解题步骤 1. 先求原抛物线解析式 给三点/顶点/交点，先把 a、b、c 或顶点求出来。 2. 优先写成顶点式 y=a(x-h)2+k 变换只动顶点 (h,k)，最省事。 3. 按变换规则算新顶点/新点 ◦ 平移：只动顶点 ◦ 对称：顶点+开口方向一起变 ◦ 旋转：用坐标变换公式/向量法 4. 代入求新解析式 新顶点 (h',k')，a 按要求变不变 y=a'(x-h')2+k' 5. 验证/求交点/存在性 联立方程、判别式、距离、等腰、直角等。 题型01 平移变换类 【典例1】1．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【典例2】（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 【典例3】（2025·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 【变式1】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·山东淄博·一模）如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． (1)求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； (2)抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． (3)在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 【变式4】（2025·辽宁大连·模拟预测）我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【变式5】（2025·湖北武汉·三模）抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标． (2)如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标． (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 题型02 对称变换类 【典例1】（2024·山东青岛·模拟预测）如图，已知二次函数 的图像与轴交于点 ，与轴交于点，． (1)求此二次函数的表达式． (2)已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值． (3)已知为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 【典例2】（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点． (1)求的值和点坐标； (2)点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标； (3)如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围． 【变式2】（2024·广东·二模）如图，抛物线（）交x轴于点O，A，顶点为M，以为边向上作正方形，直线交射线于点Q，连接交线段于点D． (1)直接写出顶点的坐标______．（用含m的代数式表示） (2)当点M在上方时，线段交抛物线于点和点，（点E在点F的左侧）． ①若，求m的值 ②若，求m的值 (3)记点A关于的对称点为，使点恰好落在抛物线的对称轴上，求出m的值（直接写出答案） 【变式3】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． (1)求出点A，B，C的坐标； (2)以为直径作，交y轴正半轴于点E，直线平分，交y轴于点F，与关于直线对称．求证：点B，I，F三点共线． (3)点D是抛物线对称轴与x轴的交点，点R是线段上的动点（除B，D外），过点R作x轴的垂线交抛物线于点K，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由． 题型03 翻折类 【典例1】（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 【典例2】（2025·山东济南·三模）抛物线经过点和点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线L的表达式； (2)点P是第二象限内的抛物线上一动点，作直线，连接． ①如图1，作轴，垂足为点E，作，垂足为点D，当时，求出直线的表达式； ②如图2，在①的条件下，设抛物线L在直线上方的部分为图象G，点F是图象G上的一点，将图象G沿直线翻折，若点F恰好落在x轴上，求出点F的横坐标． 【变式1】（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【变式2】（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，点Q为线段的中点，点M是线段上一点（不与点B重合），在的左侧作平行四边形，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿着y轴翻折得到抛物线，与x轴交于E，F两点（E在F的左侧）．在（2）中线段的长度取得最大值时，直线上是否存在点G，使得，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型04 旋转变换类 【典例1】（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【典例2】（2024·安徽合肥·一模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）．      (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时， ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标： ②求出此时杯子内液体的最大深度． 【典例3】（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）图，在平面直角坐标系中，直线交抛物线 （、为常数）于点和， 交轴于点． (1)求、的值及点的坐标； (2)如图，将抛物线向右平移个单位长度，向上平移单位长度后得到新抛物线． ①新抛物线的表达式为 ； ②以新抛物线上任意一点为圆心，为半径画，试说明始终与轴相切； (3) 如图， 在 的条件下， 为直线 上任意一点，将直线 绕着点 顺时针旋转 得到直线 ，交新抛物线．于点，点为平面直角坐标系内任意一点，当四边形为菱形时，点 的横坐标为 ． 【变式3】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【变式4】（2025·天津·一模）已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． (1)如图①，求的大小及的长； (2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 1．（2025·山东济宁·一模）已知二次函数解析式为． (1)若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式； (2)若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标； (3)该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围； 2．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·上海·模拟预测）抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·四川广元·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标． (2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H． ①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长； ②求的周长的最大值． (3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 3．（2025·上海·模拟预测）抛物线与轴交于点，顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出抛物线与轴交点； (2)抛物线与轴交于点，，且点在点左侧．点在抛物线上且满足．点是射线上的一动点，连接，． ⅰ．求当最小时直线的解析式； ⅱ．若与相似，求点的坐标． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线． (1)求m、n的值； (2)若A点坐标为，C为抛物线上的一个动点，以C为圆心为半径的圆交轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作交抛物线于B， ①试探究：随C点的运动线段的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出的值． ②连接，随着C点的运动，B点也随之运动，当的中点落在y轴上时，求点C的坐标， ③连接、并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明． 5．（2025·重庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点06 二次函数变换综合题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 80 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 二次函数变换综合题 1.二次函数解析式三种形式 • 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) • 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 做变换题优先用：顶点式。 2.三大变换：平移、对称、旋转 1）平移 口诀：左加右减，上加下减 • 向左 m：x →x+m • 向右 m：x → x-m • 向上 n：y →y+n • 向下 n：y →y-n 2）对称（翻折） ① 关于 x 轴对称 (x,y)→(x,-y) • 顶点 (h,k)→(h,-k) • a 变号：y=-a(x-h)2-k ② 关于 y 轴对称 (x,y)→(-x,y) • 顶点 (h,k)→(-h,k) • a 不变：y=a(x+h)2+k ③ 关于原点对称 (x,y)→(-x,-y) • 顶点 (h,k)→(-h,-k) • a 变号 ④ 关于直线 x=m 对称 顶点横坐标：2m-h，纵坐标不变 (h,k)→(2m-h,k) 3）旋转 ① 绕原点旋转 90° • 逆时针90°：(x,y)→(-y,x) • 顺时针90°：(x,y)→(y,-x) ② 绕点 P(m,n) 旋转90° 把点平移到以 P 为原点：(x,y)→(x-m,y-n) 按上面规则旋转 平移回去：加回 m,n ③ 绕某点旋转 180° • 顶点变为中心对称点 • a 变号 • 形状大小不变 二次函数变换综合题解题步骤 1. 先求原抛物线解析式 给三点/顶点/交点，先把 a、b、c 或顶点求出来。 2. 优先写成顶点式 y=a(x-h)2+k 变换只动顶点 (h,k)，最省事。 3. 按变换规则算新顶点/新点 ◦ 平移：只动顶点 ◦ 对称：顶点+开口方向一起变 ◦ 旋转：用坐标变换公式/向量法 4. 代入求新解析式 新顶点 (h',k')，a 按要求变不变 y=a'(x-h')2+k' 5. 验证/求交点/存在性 联立方程、判别式、距离、等腰、直角等。 题型01 平移变换类 【典例1】1．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【典例2】（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大为，此时点 (3)，，或 【分析】（1）利用交点式即可求解； （2）利用铅垂法，过点作轴交于，设，表示出，，将转化为，最后利用二次函数最值问题求解即可； （3）关键是将与的面积之比为，转换为点到直线和直线的距离相等，再分当点在的角平分线上时；点在的外角平分线上时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴设抛物线表达式为， ∵抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，过点作轴交于， ∵当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线：， 同理得直线：， 设， 则， 对于直线：，当时， 得， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，最大为，此时点； （3）过点作于，于， ∵抛物线向右平移2个单位得， ∴， 由与的面积之比为，且， ∴， ∴点到直线和直线的距离相等， ①当点在的角平分线上时，如图： 作的平分线交轴于，交于，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， 即， 同理求出直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； ②当点在的外角平分线上时，如图： 同理可得，直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； 综上所述，点横坐标为、、或． 【典例3】（2025·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，或 【分析】（1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）设平移的距离为n个单位长度，得到，待定系数法求出函数解析式，证明，设点，分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． （2）解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵直线与轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． （3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴， 令，， 解得或， 故点， ∵，， ∴， 设点， 当在轴上方时，过点T作于点G，则：， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 当在轴下方时，同理可得， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上，点T的坐标为或． 【变式1】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 【变式2】（2025·山东淄博·一模）如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)，点在新抛物线上；存在，． 【分析】（）由，得出点的坐标为，点的坐标为，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，得出，故有，然后由面积可得， 将代入抛物线中，得，（舍去），从而求解； （）由二次函数的平移和二次函数的性质即可求解； 设直线的表达式为，然后将新抛物线的表达式与直线的表达式为联立和将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立，求出点，点，分别过点，作轴于点，轴于点，证明，则，所以，解得，，再由点在直线的左侧，点在轴的右侧，则，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由抛物线：， ∴顶点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴与轴的交点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，， 代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴直线与轴的交点的坐标为， ∴，， ∴， 根据等底等高的三角形的面积相等得， ∴， ∵， ∴， ∴的边上的高与的边上的高的比， ∴， 将代入抛物线中，得，（舍去）， ∴点的坐标为； （3）解：∵将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线， ∴新抛物线的表达式：， 当时，， ∴点在新抛物线上； 存在，理由如下： ∵直线过点， ∴设直线的表达式为， 将新抛物线的表达式：与直线的表达式为联立， 得 解得（舍去），， ∴点坐标为， 将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立， 得， 解得（舍去），， 所以，点坐标为， 如图，分别过点，作轴于点，轴于点， ∵的内切圆的圆心在直线上， ∴直线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点在直线的左侧，点在轴的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，内切圆等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． (1)求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； (2)抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． (3)在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)①；②或 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式和根与系数关系即可证得结论； （2）①利用待定系数法求得抛物线的表达式，运用配方法求得顶点坐标即可；②利用二次函数的性质即可求得答案； （3）①根据抛物线的平移规律即可求得答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）证明：在中，， ∴抛物线与x轴一定有两个交点； 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，， ∵， ∴这两个交点分别在原点的两侧； （2）解：①∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵与y轴交于点， ∴点D关于直线的对称点为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点是和，最高点与最低点的竖直距离为1， ∴结合图象得，． （3）解：①由（2）知：抛物线的表达式为，顶点为， 又∵抛物线的表达式为，顶点为， ∴抛物线是由抛物线L1向右平移2个单位向上平移2个单位得到的， ∴， ∴k的最小值为； ②在中，令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵直线，且直线l经过点C， ∴直线l的表达式为， 设直线l与抛物线的对称轴交于点K， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， 当时，若点P在直线上，则， ∴， 解得： （舍去），， 此时，点Q在点K的上方， ∴； 当时，如图，点N的纵坐标， ∴点Q在点K的上方，四边形夹在直线与直线l之间的部分的面积大于四边形面积的一半； 当时，如图，设直线l与交于点L，则， ∴，， 由题意得：， ∴， 解得：（舍去），， 综上，点M的横坐标m的值为或． 【变式4】（2025·辽宁大连·模拟预测）我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①，②，③ 【分析】(1)求出点、的坐标，用待定系数法求出的“兄弟函数”的解析式； (2)根据“兄弟函数”的定义可知，若有“兄弟函数”，需要与轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式即可求出的取值范围； (3)根据运动秒后，移动距离为，可知抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位，根据平移的方向可以得到当和时抛物线的解析式；联立、 ，可得：，可得：，根据点在上，可知点的坐标为，因为点为中点，可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为，顶点坐标为， 设的“兄弟函数”的表达式为：， 把点坐标代入上式得：， 解得：， 的“兄弟函数”的解析式为， 答案为：； （2）解：存在“兄弟函数”，理由如下： 令， 当时， 抛物线与轴有个交点， 解得：； （3）解：由题可得，移动速度为每秒个单位长度，射线是角平分线， 抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位， 此时，：，顶点为， 令，则，点的坐标为， 同理可得：：， ①当时，：， ②当时，：， ③由题可得：，顶点为， ：，直线的函数表达式为：， 联立、 ，可得：， 整理得：， 两个函数的交点为点和点， 由韦达定理得：， 即：， 解得：， 则点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点为中点，则， 解得：， 答：的值为． 【变式5】（2025·湖北武汉·三模）抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标． (2)如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标． (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点是在一条定直线上，该直线的解析式为 【分析】（1）分别令、为，解方程即可求得点、、的坐标； （2）如图，过点作轴，交于点，根据，设，，分别根据点的坐标特征以及与所在直线的关系表示出和，进而得出，要使的值最小，即取最大值，根据函数的增减性判断即可，进而求出点的坐标． （3）由题意知抛物线：， 联立方程求解即可得点坐标，根据中点坐标公式可得点坐标．设，，可得直线的解析式，  将点的坐标代入可得． 同理，求得直线的解析式，联立直线和直线的解析式可得点坐标，代入，整理比较系数之间的关系，判定点是否在一条定直线上． 【详解】（1）解：抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点， 当时，， ， 当时，得：， 解得或， ，． （2）解：如图，过点作轴，交于点， ， ， 设直线的解析式为，则有， 所以直线的解析式为， 设， ， 为抛物线上的点， 设， 设直线的解析式为，则有， ， ， ， ， 要使的值最小，即取最大值时， ，且随着的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为，此时点与点重合， 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为， 即当的值最小时，点的坐标为． （3）解：点在一条定直线上．理由如下： 由题意知抛物线：， 联立，解得，， ． 是的中点， ． 设，，直线的解析式为， 则 ， 解得， 直线的解析式为， 直线经过点， ，即． 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立 ， 直线与相交于点， ， 解得 ，即， 设点在直线上，则， 整理得，， 比较系数，得 ，解得， 当，时，无论、为何值时，等式恒成立， 点在定直线上． 即点是在一条定直线上，该直线的解析式为． 题型02 对称变换类 【典例1】（2024·山东青岛·模拟预测）如图，已知二次函数 的图像与轴交于点 ，与轴交于点，． (1)求此二次函数的表达式． (2)已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值． (3)已知为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称解决最短路径问题，三角形面积的计算方法等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用轴对称解决最短路径问题； （3）根据三角形面积计算方法结合二次函数求最值即可求解； 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 二次函数的表达式为， （2）由（1）得二次函数的表达式为， 对称轴为直线， ，， 点关于对称轴的对称点为点，连接，则与对称轴的交点即为点，连接， 的周长的最小值为， ，，， ，， 周长最小值为 （3）设的解析式为， 由题可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，过点作轴交与点， 则， ， ， 点在直线的下方，即， 当时，的面积有最大值，为， 面积的最大值为． 【典例2】（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)， (2)不发生变化；理由见解析 (3)①，图见解析；② 【分析】（1）设，，，，根据轴易得点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称，进而可知，即；由轴对称的性质可知直线与直线的交点K在该抛物线的对称轴上，即可确定点K的横坐标； （2）过点A，C分别作的垂线，垂足为S，T，设，，，，结合，易得，利用三角函数证明，进而可知，即； （3）①根据题意补画图形，进而确定，即可确定该函数解析式；②由①图，轴，易得，，，作点A关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，则即为四边形周长的最小值，然后求解即可． 【详解】（1）解：如下图，    设，，，， ∵轴， ∴点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴， ∴，即； ∵点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴直线与直线的交点K在该抛物线的对称轴上， ∴点K的横坐标为． 故答案为：，； （2）不发生变化，证明如下： 如下图，过点A，C分别作的垂线，垂足为S，T，    设，，，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）①如下图，    由，解得， ∴； ②由①图，轴， ∴， ∵， ∴，， 作点A关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，    则即为四边形周长的最小值， ∵， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点． (1)求的值和点坐标； (2)点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标； (3)如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、轴对称变换，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题． （1）求出点的坐标，可得直线的解析式，构建方程组确定点坐标即可； （2）设，则，，推出、，由是线段的三等分点，推出构建方程求解即可； （3）首先证明，得到直线的解析式，设直线交抛物线于，利用方程组求出点的坐标，求出两种特殊情形的值即可判断． 【详解】（1）∵，， 把，代入抛物线， 得：， 解得， ∴；    令即， 解得， ∴， 把代入， 得，得到，     ∴直线的解析式为， ∴， 解得 或， ∴； （2）设，则，， ∴，，    ∵是线段的三等分点， ∴或， ∴或，   解得或或，   ∵， ∴或，    ∴或； （3）如图，∵，， 设直线的解析式为，代入、坐标得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵与关于对称，， ∴， ∵，设直线的解析式为，代入，得到， ∴直线的解析式为， 设直线交抛物线于E， 由， 解得或， ∴， 当点与D重合时，， ∴， ∵直线的解析式为，， 可设的解析式为，把代入得到， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴， ∴， 当点与重合时，直线经过点， ∵， ∴同理求得的解析式为， 令，可得， ∴，此时， 观察图象可知，满足条件的的值为． 【变式2】（2024·广东·二模）如图，抛物线（）交x轴于点O，A，顶点为M，以为边向上作正方形，直线交射线于点Q，连接交线段于点D． (1)直接写出顶点的坐标______．（用含m的代数式表示） (2)当点M在上方时，线段交抛物线于点和点，（点E在点F的左侧）． ①若，求m的值 ②若，求m的值 (3)记点A关于的对称点为，使点恰好落在抛物线的对称轴上，求出m的值（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；② (3)m的值为．理由见解析 【分析】（1）把二次函数解析式转化成顶点式即可求解； （2）①由题意，，，由对称性可知，从而得，把E点坐标代入，进而求解即可； ②由全等三角形的性质得，进而得且，再利用中点坐标公式得，进而求解即可； （3）连接，作于N，由题意得，，即是等边三角形，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，求得，在中，利用锐角三角函数得，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为：， 故答案为：． （2）解：①解：由题意，，， 由对称性可知， ∵， ∴， ∴， 把E点坐标代入，得， 解得或0（舍弃）， ∴． ②∵， ∴， ∴且、． ∴M是的中点， ∴， 解得（舍去），． （3）解：存在．理由如下： 如图1中，连接，作于N． 由轴对称的性质得，， ∵点恰好落在抛物线的对称轴上， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴满足条件的m的值为． 【变式3】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． (1)求出点A，B，C的坐标； (2)以为直径作，交y轴正半轴于点E，直线平分，交y轴于点F，与关于直线对称．求证：点B，I，F三点共线． (3)点D是抛物线对称轴与x轴的交点，点R是线段上的动点（除B，D外），过点R作x轴的垂线交抛物线于点K，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，．理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、二次函数的图像及性质、求一次函数、轴对称的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形、二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）令，得，解得：，令，得，即可完成解答； （2）利用待定系数法得直线的解析式为，再证点F在上即可解答； （3）设，先求得直线的解析式为，直线的解析式为，进而得、，从而完成解答． 【详解】（1）解：令，得，解得， 令，得， ∴． （2）证明：由（1）可知， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵直线平分， ∴， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，直线平分， ∴点与点B重合，， ∴， 过点I作轴于H，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上， ∴点B，L，F三点共线． （3）解：是定值，．理由如下： 如图2， 设， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为． 令得， ∴， ∴是定值． 题型03 翻折类 【典例1】（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，函数值y的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，进而可以计算得解； ②依据题意，分在点H下方、上方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）①由题意得，函数的对称轴是直线． 故答案为： ②令，则， ， 该函数的图象与轴总有两个公共点． （2）①由题意，函数对称轴为直线，当时，函数值的取值范围是， 是函数的最小值，即抛物线的顶点为． ． ． 抛物线的表达式为：． ， 当时，取最大值． ． ②设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， 点，点，则点， 当点在点下方时，． 函数的最高点为，最低点为， ． ． ． 当点在点上方时，同理可得：； ． 【典例2】（2025·山东济南·三模）抛物线经过点和点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线L的表达式； (2)点P是第二象限内的抛物线上一动点，作直线，连接． ①如图1，作轴，垂足为点E，作，垂足为点D，当时，求出直线的表达式； ②如图2，在①的条件下，设抛物线L在直线上方的部分为图象G，点F是图象G上的一点，将图象G沿直线翻折，若点F恰好落在x轴上，求出点F的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②点 F 的横坐标是 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接，作轴于点，设，根据，求出的值，进而得到点的坐标，待定系数法求出的解析式即可；②设点的对应点为，连接交于点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为点，为的中点，进而得到，进而得到，设，求出，进而求出点的坐标，代入直线的解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， 连接，作轴于点，设， ∵轴，轴， 则：， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 直线的解析式为， 则：，解得：， ∴； ②设点的对应点为，连接交于点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为点，则：， ∵对称， ∴垂直平分， ∴为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， ∴， ， ∴， ∴， 把代入， 得：， 解得：（舍去）； 故的横坐标为． 【变式1】（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)（1）大于，，，，，1，4 (2)点是坐标是 【分析】（1）根据图象和已知条件可得，，随的增大而减小，再将点和的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可解答； （2）设点的坐标为，证明是等腰直角三角形，则，再证明四边形是正方形，得，代入抛物线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵当的值小于0时，的值大于4， 则与轴交点的坐标为， ∵该直线与轴的夹角为，且 ， 是等腰直角三角形， ∴， ∴与轴的交点的坐标是， 可得当的值小于4时，的值大于0， 即随的增大而减小， ∴该条直线的大致图象可能是B， 将，代入抛物线中得： ， 解得：； 故答案为：大于，B，，，，1，4； （2）解：设点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠得：，， ， ， 四边形是正方形， ， 点在抛物线上， ， 解得：， ∵是线段上一点， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性质和判定，等腰直角三角形，利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式2】（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，点Q为线段的中点，点M是线段上一点（不与点B重合），在的左侧作平行四边形，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿着y轴翻折得到抛物线，与x轴交于E，F两点（E在F的左侧）．在（2）中线段的长度取得最大值时，直线上是否存在点G，使得，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)G点的横坐标为． 【分析】（1）根据，求出A点坐标，根据待定系数法求二次函数表达式即可； （2）根据四边形的等积变换，将的长转化为P点坐标，再根据对称取最值的方法以及三角形三边关系确定最小时的情况，根据两点距离公式求解即可； （3）根据对称性求得的大小，再根据圆周角定理构造过O，C，G的圆，根据等腰直角三角形的性质确定圆心坐标，再根据圆上的点到圆心距离相等求解G点的横坐标即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，如图： ∴， ∵与均为定值， ∴当取最大时，取最大值， 设， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∴， ∵Q是的中点，， ∴， 过P作直线l平行x轴，过M关于直线l的对称点S，连接，如图： 设，其中， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴； （3）解：由轴对称的性质可知，E和B关于y轴对称， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当G在y轴左侧时，以为斜边，向右作等腰，连接，作于S，如图： ∵，， ∴点G在以H为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 当G在y轴左侧时，由对称性可知，， 由得： ， 解得：； 综上所述，G点的横坐标为． 题型04 旋转变换类 【典例1】（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值； （2）①首先推导出A、B的坐标为，当时，，求出m的值，当时，，求出m的值，再结合题意确定符合条件的m值即可； ②分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别根据（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴； 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 【典例2】（2024·安徽合肥·一模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）．      (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时， ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标： ②求出此时杯子内液体的最大深度． 【答案】(1) (2) (3)①；②杯子内液体的最大深度为． 【分析】（1）根据题意得到，，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，平移后的解析式为，则，抛物线的对称轴直线为：，连接，运用待定系数法求出直线的解析式即可求解； （3）①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，则，，，，在中，，得到，则，由此即可求解； ②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，，根据二次函数最值得到当时，有最大值，最大值为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，， 设杯体所在抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，将杯子向右平移， ∴平移后的解析式为，则， ∴抛物线的对称轴直线为：， 当时，，即，如图所示，连接， ∴点的对称点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴； （3）解：①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点， 根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴与轴的交点坐标； ②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点， ∴，，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴杯子内液体的最大深度为． 【典例3】（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则，解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则，解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则，解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）图，在平面直角坐标系中，直线交抛物线 （、为常数）于点和， 交轴于点． (1)求、的值及点的坐标； (2)如图，将抛物线向右平移个单位长度，向上平移单位长度后得到新抛物线． ①新抛物线的表达式为 ； ②以新抛物线上任意一点为圆心，为半径画，试说明始终与轴相切； (3) 如图， 在 的条件下， 为直线 上任意一点，将直线 绕着点 顺时针旋转 得到直线 ，交新抛物线．于点，点为平面直角坐标系内任意一点，当四边形为菱形时，点 的横坐标为 ． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2)①；②证明见解析 (3)或 【分析】（1）将点和点坐标代入抛物线解析式即可得到、的值；设直线的解析式为，再将点和点坐标代入求出直线解析式，即可得到直线解析式与轴的交点点的坐标； （2）①先将抛物线解析式转化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减即可得到结果；②设，表示出半径 后比较点到轴的距离及后即可证明始终与轴相切； （3）分两种情况：①当点在轴右侧时，连接并延长交轴于点，根据菱形性质得出，进而得出，从而得出，再得出直线解析式，将其跟新抛物线解析式联立求解后即可得到点的横坐标；②当点在轴左侧时，根据同样的方法即可求解． 【详解】（1）解：把和代入可得： ， 解得， 抛物线解析式为， 设直线的解析式为， 将和代入可得： ， 解得， 直线解析式为， 又直线交轴于点， ， ，，点的坐标是． （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， 根据抛物线平移规律可得经过平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． ②由圆心在新抛物线上，设， ， 的半径， 点到轴的距离等于的半径， 始终与轴相切． （3）解：①当点在轴右侧时，连接并延长交轴于点，如图， 将直线绕着点顺时针旋转得到直线，交新抛物线于点， ， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为, 将和代入得到， 解得， 则直线的解析式是， 点是直线和新抛物线的交点， ， 解得或（舍去）， 点的横坐标为； ②当点在轴左侧时 ，连接并延长轴于点，如图， 同理可得，， 直线解析式为， 点是直线和新抛物线的交点， ， 解得或（舍去）， 点的横坐标为， 综上所述，点的横坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 【变式4】（2025·天津·一模）已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． (1)如图①，求的大小及的长； (2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】(1)，； (2)①1；②（）． 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角函数的有关计算． （1）根据矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，， ，在 中， 即可得出结论； （2）①①由四边形 是矩形，又因为，所以四边形 是平行四边形， ， 即可求解； ②先确定的取值范围，再利用梯形面积减去三角形面积可得： （），即可得出结论． 【详解】（1）解：∵把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，记交y轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当与重合时， 当过点时，如图， 同理可得： 设 则 由 可得： 经检验：是原方程的根且符合题意， 当重叠部分为五边形时， t的取值范围为 如图，同理可得： 过作，则同理可得 即（）． 1．（2025·山东济宁·一模）已知二次函数解析式为． (1)若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式； (2)若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标； (3)该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的解析式、图像平移、顶点坐标以及函数值的比较．需要掌握二次函数的开口方向、顶点坐标公式、图像平移规律及函数增减性的应用． （1）直接利用待定系数法代入点坐标求参数即可写出函数解析式； （2）先确定平移后的函数表达式，根据平移后的函数图像与轴仅有一个交点即可求原函数顶点坐标； （3）由题意分当时，抛物线开口向上以及当时，抛物线开口向下两种情况进行思考． 【详解】（1）解：把代入得：， 即，解得：或者， 抛物线开口向下， ， 二次函数解析式为； （2）将该二次函数的图象向上平移两个单位后得到的函数解析式为， 平移后的函数图像与轴仅有一个交点， ， ， ， ， ∴解析式为， ， 顶点坐标为； （3）①当时，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小， 则比更加远离对称轴， ，， 离对称轴最近的距离为1， 应离对称轴更近即对称轴在与之间， 离对称轴最远的距离为或， 由题意可得：， ； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 对于，，始终都有； 综上所述，或． 2．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式； （2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标； （3）设点P的坐标为，由，可得：，再分两种情况：当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设抛物线的函数表达式为（）． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和， ∴的长度保持不变， ∴当最小时，周长最小， ∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称， 故连接AC交对称轴于点M， 由三角形三边的关系可知此时周长最小， 设直线的函数关系式为（）， 把代入直线的函数关系式，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴所求点M的坐标为； （3）解：存在，设点P的坐标为， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方时， 则， 解得：， ∴或； ②当点P在x轴下方时， 则， 解得：， ∴或； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 3．（2025·上海·模拟预测）抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】（1）①根据顶点在y轴上可求，由可得，从而可得，将B代入可得c，从而可求A及；②设对角线，交轴于．根据轴得，利用面积比是相似比的平方可求出，进而求出的纵坐标，将P的纵坐标代入抛物线解析式求得横坐标，从而可求，则； （2）求出，根据翻折，求出，设B平移到，由新抛物线平分线段可求，从而可求，根据平移性质得，由此可求出c．设出的坐标，过P作轴于H，可表示出，最后利用列出方程即可求解． 本题考查了二次函数解析式的求解，三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图象翻折的性质． 【详解】（1）解：①∵顶点在轴上， ∴，得， ∵， ∴， 把带入，解得， ∴， ∴； ②设对角线，交轴于． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又由，得， ∴的纵坐标为， 把的纵坐标代入，解得的横坐标（舍去负数），即， ∴； （2）解：要使与x轴有两个交点，则， 令，得， ∵抛物线沿轴正半轴平移，的对应点为， ∴轴， ∴， ∵由沿直线翻折得到， ∴． 设的对应点为，则， ， ∵平移，∴， 即，解得， 则未平移的抛物线为， 故可设，过点作轴于点 则是等腰直角三角形， 则， 则，，解得， ∴． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 5．（2025·四川广元·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标． (2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H． ①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长； ②求的周长的最大值． (3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2)①，②周长的最大值为 (3)存在，定点F 的坐标为 的值为4 【分析】（1）根据对称轴求出，再利用待定系数法求解即可得到解析式，最后令代入解析式计算即可得到点C的坐标； （2）求出直线 的函数解析式为，证明是等腰直角三角形．得到；①当点 M 运动到抛物线的顶点时，点 N的坐标为，求出，即可求出的周长为 ；②设 其中，则，得到，进而得到的周长为 ，利用二次函数的性质即可解答； （3）先求出新的抛物线 ，即 ，设的解析式为，点 S 的坐标为，点T的坐标为，则 ，联立新抛物线与直线的函数解析式，得 ，整理，得 ，由根与系数的关系，得 ，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把点代入 中，得， ∴抛物线的解析式为 ， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：设直线 的函数解析式为，把代入，得 ， 解得 ， ∴直线 的函数解析式为， ∵， ∴． ∵轴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ； ①当点 M 运动到抛物线的顶点时，点 N的坐标为， ∴． ∴的周长为 ； ②设 其中，则， ∴的周长为 ， ∴当 时，的周长有最大值，最大值为 ； （3）解：存在． 当抛物线 向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到新的抛物线 ，即 ， 设的解析式为，点 S 的坐标为，点T的坐标为，则 ， 联立新抛物线与直线的函数解析式，得 ，整理，得 ， 由根与系数的关系，得 ， 则 ， 同理， ， ， ， 当 为定值时，有 ， ， 当 时， ， ∴定点F 的坐标为 的值为4． 1．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，， 把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示， 根据轴对称可知：， ， 两点之间线段最短， 当共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 顶点坐标， 的最小值为：； 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， （3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下： 设 ，则， ，，，， ①当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； ②当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点坐标为或． 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线x轴有且只有一个交点得到，得到，即可得到答案； （2）①求出直线的解析式为，求出抛物线，由N点为延长线和抛物线的交点，则，解得，即可得到答案；②求出顶点，点K的坐标为，，用勾股定理求出，即可得到结论； （3）求出，连接，由， 由垂直平分交于点，F点横坐标点横坐标，进一步得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：抛物线（n为常数）与x轴有且只有一个交点， 一元二次方程只有一个实数根， 即， 解得， ． （2）①由（1）得，抛物线， 则点M的坐标为，且， 设直线的解析式为， 将M点坐标代入可得，， 即直线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得， ， ， 即抛物线， N点为延长线和抛物线的交点， ， 解得， 点在的延长线上， 不符合题意， ， ， ②四边形是菱形，理由如下： 抛物线的顶点， 当时，，解得或 ∴点K的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由解得或 ∴点， ∵过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R， ∴ 解得或， ∴, ∴，，，， ∴ 四边形是菱形； （3）由题可知，点在线段的垂直平分线上， ， 解得， 即， 连接， ， 根据二次函数性质可得，两点关于对称， 即顶点E在的垂直平分线上， 垂直平分交于点， F点横坐标点横坐标， ， ， ， ， 即， 解得． 3．（2025·上海·模拟预测）抛物线与轴交于点，顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出抛物线与轴交点； (2)抛物线与轴交于点，，且点在点左侧．点在抛物线上且满足．点是射线上的一动点，连接，． ⅰ．求当最小时直线的解析式； ⅱ．若与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)i：；ii：点的坐标为或 【分析】（1）根据题意可设抛物线的顶点式为，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，令，求出值，可得到抛物线与轴交点； （2）ⅰ．作关于直线的对称点，连接，，由，，可推出，根据对称的性质可得轴，得到，由对称得， 则，当、、三点共线时，最小，连接，过点作，交的延长线于点，设，则，推出，，证明，根据相似三角形的性质得到关于的等式，可求出点的坐标，最后利用待定系数法可求直线的解析式；ⅱ．由勾股定理的逆定理可得，分别求出直线、、的解析式，分两种情况：①当时，，②当时，，求出直线的解析式，再与直线的解析式联立，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式为，将点得： ， 解得：， 求抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，， 该抛物线与轴交点为，； （2）ⅰ．作关于直线的对称点，连接，， ，， ， ， ，即轴， ，， ， ， 由对称得：， ，当、、三点共线时，最小， 连接，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； ⅱ．，，， ，，， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 与相似，， 分两种情况： ①当时，， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得： 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； ②当时， , ， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：, 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； 综上所述，点的坐标为或． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线． (1)求m、n的值； (2)若A点坐标为，C为抛物线上的一个动点，以C为圆心为半径的圆交轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作交抛物线于B， ①试探究：随C点的运动线段的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出的值． ②连接，随着C点的运动，B点也随之运动，当的中点落在y轴上时，求点C的坐标， ③连接、并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明． 【答案】(1)， (2)①不变，；②或；③点C、D、B三点始终保持在同一直线上，证明见解析 【分析】（1）把抛物线化为顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求解即可； （2）①过C作于E，连接，设，根据两点间距离公式求出，在中根据勾股定理求出，然后根据垂径定理求出即可； ②设，过B作轴于H，证明，得出，整理得，根据的中点落在y轴上，得出，则可求出，即可求解； ③由②知，则可求出，根据待定系数法求出直线解析式为，求出直线与y轴的交点为，根据对称性求出点D的坐标，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到， ∴，； （2）解：①过C作于E，连接 设， ∵A、N在上， 则， ∴， ∵， ∴； ②设，过B作轴于H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 又的中点落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C的坐标为或； ③由②知， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴直线经过， ∵O、D关于点对称， ∴， ∴直线经过点D，即点C、D、B三点始终保持在同一直线上． 5．（2025·重庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）令，解得点A和点B即可求得； （2）过点P作轴交于点K，则，可知当取得最大值时，的面积取得最大值，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则点，那么，，可知点时，的面积取得最大值，根据题意求得直线的解析式为，则有点，进一步将点P向右平移个单位得到，即四边形为平行四边形，则，作点A关于直线的对称点，则，直线的解析式为，并求得，连接交于点Q，可知，利用勾股定理求得即可； （3）根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则，根据角平分的性质和平行线的性质得，过点C作于点H，设点，则，利用勾股定理求得m即可． 【详解】（1）解：令，解得， ∴点， 则； （2）解：过点P作轴交于点K，如图， 则， 即当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， 那么，直线的解析式为， 设点，则点， ， 则点时，的面积取得最大值为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∴点， ∴， 将点P向右平移个单位得到， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 则， 作点A关于直线的对称点，连接交于点O，交轴于点G， 则， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点，点， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则点， 那么，点， 连接交于点，如图， 则， 当Q点与点重合时，取得最大值，且最大值为线段的长； ∵， ∴的最大值； （3）解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则， ∴点F的横坐标为， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H，如图， 设点，则， 在中，， 则，解得， 那么，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $