专题10 特殊四边形的动态与变换问题（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题10 特殊四边形的动态与变换问题 目录 典例详解 类型一、折叠问题 类型二、动点问题 类型三、旋转与最值问题 压轴专练 类型一、折叠问题 1．折叠的性质 ① 折叠前后的两个图形全等； ② 对应点的连线被折痕垂直平分； ③ 折痕所在直线是对称轴。 2．常见折叠类型 ① 矩形沿对角线折叠； ② 矩形沿过顶点的直线折叠； ③ 正方形折叠使顶点重合。 【重要性质】 ① 折叠问题中，折痕是角平分线或垂直平分线，要善于找出折叠前后的对应边、对应角； ② 折叠后往往出现等腰三角形（如折叠使边重合时）； ③ 常用勾股定理列方程求线段长； ④ 解题步骤：找对应关系→设未知数→利用勾股定理或全等列方程→求解。 例1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 变式1-1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ 故④正确， 综上所述正确的有：①②③④； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 变式1-2．（25-26八年级上·广东惠州·期末）小明用直角梯形纸片研究梯形中的角，如图，点是的中点，过点作，将沿折叠得到，使得落到上；再将沿折叠，使得点与点重合；延长与交于点，连接，则___________． 【答案】67.5 【分析】由四边形是直角梯形得，过点A作于点N，过点F作于点K，则四边形和四边形都是长方形，，证明得．由折叠的性质得，，，，，，证明得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是直角梯形， ∴． ∵， ∴，， ∴． 过点A作于点N，过点F作于点K， 则四边形和四边形都是长方形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：67.5． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 变式1-3．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是______； （2）若，则点到边的距离是_____． 【答案】 等腰三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质与等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由折叠的性质得，由平行线的性质可得，则可得，由等角对等边即可得的形状是等腰三角形； （2）由折叠的性质得，，设，则可表示，在中，由勾股定理建立方程求得x，利用面积关系即可求得点到边的距离． 【详解】解：（1）由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 设点到边的距离为d， ∵， ∴， 即点到边的距离为， 故答案为：． 类型二、动点问题 常见动点类型 ① 单动点问题（一个点在边上运动）； ② 双动点问题（两个点同时运动）； ③ 动点与特殊图形判定结合。 【重要性质】 ① 分类讨论时要注意动点运动范围的边界； ② 常用等量关系：线段相等、平行、垂直等； ③ 对于双动点问题，要注意两点运动速度可能相同也可能不同。 例2．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（   ） A．四边形可能为矩形 B．四边形的面积不变 C．的度数不变 D．线段有最大值 【答案】B 【分析】连接，先证得四边形为矩形，为等腰直角三角形，故可得到的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误；再假设四边形可能为矩形，则有，，证得，进而可得到，与矛盾，故说法错误；过点作于点，过点作于点，表示出四边形的面积，进而可进行判断． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，对角线与交于点O， ∴，，，，， ∵点E，F分别为边，的中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴经过点，， ∴为等腰直角三角形， ∵点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合）， ∴的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误， 若四边形可能为矩形，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即为中点， ∴，即， ∴，故矛盾，故四边形不可能为矩形，故说法错误； 过点作于点，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故四边形的面积不变，说法正确． 变式2-1．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长，理解垂线段最短是解题的关键．根据题意证明，可得的周长为，当最小时周长最小，而，进而可得当时最小，求得此时的周长即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 的周长为， 是等腰直角三角形， ， 如图，当时，最小，   正方形的边长为8， ， ， 的周长的最小值为， 故选：A． 变式2-2．（22-23八年级下·湖北鄂州·期中）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 变式2-3．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 【答案】(1)， (2)运动时间为时，四边形为平行四边形 (3)运动时间为时，四边形为矩形 (4)当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 【分析】此题考查了正方形，菱形，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，，进而即可求得； （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （4）根据四边形为正方形，可得，进而求得，再根据，建立方程，求得；当四边形为菱形，过点作于点，根据勾股定理求得的长，进而求得，从而求得，根据，建立方程求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则， 故答案为：， （2）由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得：， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． （3）， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得：， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形． （4）解：点运动的速度为，则 ∵四边形为正方形 ∴ ∴，则 解得： ∴当为时，四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴当四边形为菱形时， ∴ ∴ 解得： ∴当为时，四边形为菱形； 综上所述，当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 类型三、旋转与最值问题 1．旋转的性质 ① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离相等； ③ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 2．最值问题的常用方法 ① 两点之间线段最短； ② 垂线段最短； ③ 三角形三边关系； ④ 几何变换（旋转、平移）转化最值。 【重要性质】 ① 旋转常用于将分散的条件集中，将线段或角进行转移； ② 求线段和最小时，常通过旋转构造“两点之间线段最短”模型； ③ 正方形中的旋转问题常将三角形旋转90°构造全等； ④ 动点最值问题中，当点在直线上运动时，常用“垂线段最短”； ⑤ 旋转与最值结合时，关键是找到旋转中心和旋转角度，将问题转化为基本最值模型。 例3．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转至的位置，点为的中点，若，则的最大值和最小值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质． 先利用直角三角形性质求出的长度，再根据旋转性质和直角三角形斜边中线性质确定的长度，再利用三角形三边关系计算的最大值和最小值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，； ∵绕点旋转得到， ∴，； ∵点是的中点， ∴， 根据三角形的三边关系可得， ∴的最大值为， 的最小值为． 故选：B． 变式3-1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过点B作轴于点H，先证，设点C坐标为，得到，，得到点B坐标为，则点B始终在直线上，过直线作点O的对称点，连接，根据三角形三边关系可知，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点H， 由旋转可知，， ， 又， ， 又， ， ， 设点C坐标为， ，， 则点B坐标为， 故点B始终在直线上， 根据图象，可知， ， 如图，过直线作点O的对称点，连接， 根据图象，可知点坐标为， 由对称可知， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握一线三等角和将军饮马的数学模型是解题的关键． 变式3-2．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 一、填空题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．当时，如图所示中的位置，根据，可求出的值，当最大时，与重合，即如图示位置，此时，，即，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，再求出，即可求解． 【详解】解：如图： 当时，如图示中的位置， 由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； ∴， 当最大时，与重合，即如图所示位置， 此时，， ∴， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·安徽宣城·二模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P． （1）若M是的中点，则的长为______； （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为______． 【答案】 /3.75 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，轴对称的最短路径问题，解决本题的关键是做辅助线，确定． （1）由折叠的性质可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据勾股定理求解的长即可； （2）取的中点Q，根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可得是的垂直平分线， ， 设，则. 是的中点， ， 在中，， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：； （2）如图，取的中点Q，连接，，，由折叠的对称性可知. 为的中点，为直角三角形， ， ， 当且仅当D，P，Q三点共线时最小， 最小值． 故答案为： ． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接． （1）如图，当在边上且时，的度数是________． （2）当直线恰好经过点时，的长是_______． 【答案】 3或1.5 【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解； （２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴； （2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，点在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为3或1.5． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，能够正确的作出图形，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在边长为的正方形的边上有一个动点．从点出发沿折线移动一周，回到点后继续周而复始，设点移动的路程为，如图，三角形的面积为，请结合图象分析 （1）当时，与的函数关系式为______； （2）当时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，待定系数法求解析式，一次函数的图象、动点问题等，找到规律是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）对点所在的位置进行分类：当点在线段上移动；当点在线段上移动；当点在线段上移动；当点在线段上移动，得出规律即可． 【详解】解：（）∵当时，与是正比例函数， 设与的函数关系式为， ∴，解得：， ∴与的函数关系式为， 故答案为：； （）当点在线段上移动时，即，； 当点在线段上移动时，即，； 当点在线段上移动时，，； 当点在线段上移动时，，； ∴点的运动轨迹是以为单位循环， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，，矩形的顶点A，D分别在射线，上，当点A在射线上运动时，点D随之在上运动，矩形的形状保持不变，已知，． （1）连接，当时，________； （2）在运动过程中，点C到点O的最大距离是________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理的应用． （1）如图，连接，过作于，求解，证明四边形是矩形，进一步可得答案． （2）如图，取的中点M，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、C、M三点共线时，点C到点O的距离最大，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理列式求出的长，两者相加即可得解． 【详解】解：（1）如图，连接，过作于， ∵矩形，，． ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为： （2）如图，取的中点M，连接、、，   ， 当O、C、M三点共线时，点C到点O的距离最大， 矩形的形状保持不变， ， ， 点C到点O的最大距离是， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为__________ （2）当点P运动的路程为________时，三角形的面积为． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的实际运用，以及三角形的面积计算公式来研究动点问题． （1）的长度为x，则，根据的面积正方形的面积的面积的面积的面积即可求出； （2）根据第（1）问，令求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为1，E为的中点， ∴，， ∵的长度为x， ∴， ∴的面积＝正方形的面积的面积的面积的面积 ， 即； （2）∵的面积为， ∴， 解得， 当点P运动的路程为时，的面积为． 故答案为：，． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】由旋转的性质，连接线段，通过判定，得到是的平分线，即点在的平分线上运动，然后作定点关于射线的对称点，化折为直，则线段的长度为所求线段和的最小值，最后通过勾股定理计算得出答案． 【详解】解：连接， 由旋转性质得：， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 即为的平分线， 由此可得，点在的平分线上运动， 作点关于的平分线射线的对称点，连接， ， ， 由对称性知， ， 当三点共线时，最小，即线段的长度， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何最值问题中的线段和最值问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段和最值问题的核心是作定点关于动点所在直线的对称点，化同为异，化折为直，找到动点的运动轨迹是这道题的关键所在． 8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为__________． 【答案】 【分析】作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、，利用三线合一性质和勾股定理求出，通过证明得到，利用矩形的判定推出四边形是矩形，得到，再利用平移的性质得到，，进而求出的长，利用垂直平分线的性质得出，最后利用线段的性质即可求解． 【详解】解：如图，作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、， ，， ，， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由平移的性质可得，， 又、分别为、对应边的高， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题属于将军饮马最值问题，主要考查了平移的性质、旋转的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，添加辅助线利用图形的性质转化线段是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 二、解答题 10．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，点E是边的中点，点F在上，连接交对角线于点M，将沿直线折叠，点C恰好与点M重合． (1)求证：是等腰三角形； (2)求与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由折叠的性质和矩形的性质求得，推出，即可得到是等腰三角形； （2）设，求得，，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设， 由（1）得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即． 11．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，四边形为矩形，，．若点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，如果P，Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止，设运动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含有t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积为？ (3)是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在；理由见解析 【分析】（1）设运动的时间为t秒，根据各自的运动速度，用表示出与； （2）先根据矩形的性质分别表示出与，再列出关于t的方程求解即可； （3）先用t表示出，，，根据为钝角三角形，且为等腰三角形，得到关于t的方程求解，根据方程解的情况作出判断即可． 【详解】（1）解：设运动的时间为t秒， ∵点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，， ， ∵点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，， ， 故答案为：，； （2）∵四边形为矩形，，， ，， ， ，解得：或． ∵， ∴不符合题意， ∴当时，的面积为； （3）不存在使为等腰三角形． 理由：由题意可得，，， ， 为钝角三角形，且为等腰三角形， ， ， ， ， ∴方程无解， ∴不存在使为等腰三角形． 【点睛】本题考查了列代数式，等腰三角形的性质和判定，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，与图形有关的问题，一元二次方程的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 12．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，点E为正方形边上一动点（不与A、D重合）．连接交于点F，经过点F，分别与、交于点P、Q，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）过Q点作于点M，先证，得到，即可证明； （2）过F点作于G，于H，根据证明即可得证； （3）设交于N点，交于T点，先证，得到，再证，得到，即有，在中，，则问题得证． 【详解】（1）证明：过Q点作于点M，如图， 在正方形中，有，，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵在中，， ， ， ； （2）证明：如图，过F点作于G，于H， 则， ∵正方形中，平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3）证明：设交于N点，交于T点，如图， 在（1）中已证得，， 在（2）中已证得， ∵， ∴， 即， ， ∴， ， ∵四边形是矩形，，， ，即， ， ， ， ， ， ∵正方形中对角线平分，， ， ， ， ， 中，， ∴， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识．构造全等三角形是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 特殊四边形的动态与变换问题 目录 典例详解 类型一、折叠问题 类型二、动点问题 类型三、旋转与最值问题 压轴专练 类型一、折叠问题 1．折叠的性质 ① 折叠前后的两个图形全等； ② 对应点的连线被折痕垂直平分； ③ 折痕所在直线是对称轴。 2．常见折叠类型 ① 矩形沿对角线折叠； ② 矩形沿过顶点的直线折叠； ③ 正方形折叠使顶点重合。 【重要性质】 ① 折叠问题中，折痕是角平分线或垂直平分线，要善于找出折叠前后的对应边、对应角； ② 折叠后往往出现等腰三角形（如折叠使边重合时）； ③ 常用勾股定理列方程求线段长； ④ 解题步骤：找对应关系→设未知数→利用勾股定理或全等列方程→求解。 例1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 变式1-1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 变式1-2．（25-26八年级上·广东惠州·期末）小明用直角梯形纸片研究梯形中的角，如图，点是的中点，过点作，将沿折叠得到，使得落到上；再将沿折叠，使得点与点重合；延长与交于点，连接，则___________． 变式1-3．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是______； （2）若，则点到边的距离是_____． 类型二、动点问题 常见动点类型 ① 单动点问题（一个点在边上运动）； ② 双动点问题（两个点同时运动）； ③ 动点与特殊图形判定结合。 【重要性质】 ① 分类讨论时要注意动点运动范围的边界； ② 常用等量关系：线段相等、平行、垂直等； ③ 对于双动点问题，要注意两点运动速度可能相同也可能不同。 例2．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（   ） A．四边形可能为矩形 B．四边形的面积不变 C．的度数不变 D．线段有最大值 变式2-1．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 变式2-2．（22-23八年级下·湖北鄂州·期中）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 变式2-3．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 类型三、旋转与最值问题 1．旋转的性质 ① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离相等； ③ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 2．最值问题的常用方法 ① 两点之间线段最短； ② 垂线段最短； ③ 三角形三边关系； ④ 几何变换（旋转、平移）转化最值。 【重要性质】 ① 旋转常用于将分散的条件集中，将线段或角进行转移； ② 求线段和最小时，常通过旋转构造“两点之间线段最短”模型； ③ 正方形中的旋转问题常将三角形旋转90°构造全等； ④ 动点最值问题中，当点在直线上运动时，常用“垂线段最短”； ⑤ 旋转与最值结合时，关键是找到旋转中心和旋转角度，将问题转化为基本最值模型。 例3．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转至的位置，点为的中点，若，则的最大值和最小值分别为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 变式3-2．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________． 一、填空题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则________． 2．（2025·安徽宣城·二模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P． （1）若M是的中点，则的长为______； （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为______． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接． （1）如图，当在边上且时，的度数是________． （2）当直线恰好经过点时，的长是_______． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在边长为的正方形的边上有一个动点．从点出发沿折线移动一周，回到点后继续周而复始，设点移动的路程为，如图，三角形的面积为，请结合图象分析 （1）当时，与的函数关系式为______； （2）当时，的值为______． 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，，矩形的顶点A，D分别在射线，上，当点A在射线上运动时，点D随之在上运动，矩形的形状保持不变，已知，． （1）连接，当时，________； （2）在运动过程中，点C到点O的最大距离是________． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为__________ （2）当点P运动的路程为________时，三角形的面积为． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是__________． 8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为__________． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 二、解答题 10．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，点E是边的中点，点F在上，连接交对角线于点M，将沿直线折叠，点C恰好与点M重合． (1)求证：是等腰三角形； (2)求与的数量关系． 11．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，四边形为矩形，，．若点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，如果P，Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止，设运动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含有t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积为？ (3)是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，点E为正方形边上一动点（不与A、D重合）．连接交于点F，经过点F，分别与、交于点P、Q，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $