第36期 函数的概念和表示法-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

八年级数学湘教第35~38期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教 第35~38期(2026年3月)】 35期3,4版 因为∠MCE=15°， 一、选择题 所以∠DCF=55° 、H 因为DF⊥CM, M 题号 1 234567 8 9 10 答案BBBDD CC D DC 所以∠CDF=35 图2 提示： 因为四边形ABCD是菱形， 8.解：如图1，经过8次反弹后弹性y 所以BD平分∠ADC, 小球回到出发点(0,2). 3 所以∠HDC=35 因为100÷8=12…4， ,∠CHD=∠CFD, 所以弹性小球第100次碰到矩形的0123456x 在△CDH和△CDF中 ∠HDC=∠FDC, 图1 边时对应点的坐标与第4次碰到矩形的边时对应点的坐标相 DC DC, 同.由图可知，弹性小球第4次碰到矩形的边时对应点的坐标 所以△CDH≌△CDF(AAS), 为(6,2) 所以DF=DH=3, 9.解：因为四边形ABCD是矩形， 所以DB=2DH=6. 对角线AC与BD相交于点O, 二、填空题 所以∠ABC=90°，OA=OB. 11.5;12.3;13.-1;14.5；15.290°；16.2 因为∠ABD=60°， 提示： 所以△AOB是等边三角形， 16.解：如图3，延长DE至点A,使得EA= 所以AB=OA=OC. FC,延长CF至点B,使得BF=DE,连接AC交 因为AE⊥BD于点E, EF于点O,连接OD,AB 所以E为OB的中点. 因为FC+DE=CD=4, 所以AD=BC=CD=4. 又F是OC的中点，EF=23, 因为∠DCF=∠EDC=90°， 所以BC=2EF=43. 所以∠DCF+∠EDC=180° 因为BC=/AC-AB2=√(2AB)2-AB2=√3AB, 所以AD∥BC. 所以√3AB=4√3， 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AB=4, 又∠EDC=90°，BC=CD 所以矩形ABCD的周长是2(BC+AB)=8√5+8. 所以四边形ABCD是正方形 10.解：如图2，连接AC交BD于点H,由菱形的性质，得 所以∠EA0=∠FC0=45° ∠DCE=70° 又∠AOE=∠COF,EA=FC, 八年级数学湘教 第35~38期 所以△AEO≌△CFO. 所以∠AEC=90°， 所以A0=C0,E0=FO, 所以四边形AECD是矩形 所以O为AC和EF的中点. 20.解：(1)30： 所以OD=号4C (2)设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n-2)×180°=1800°.解得n=12. 因为EH= EF,所以H为E0的中点. 4 答：小明求的是十二边形的内角和 又G为DE的中点， (3)正十二边形的每一个内角为：1800°÷12=150° 所以GH为△EOD的中位线. 21.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以c1=合0n 所以AB∥CD,AB=CD, 所以∠GAE=∠HCF 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 因为点G,H分别是AB,CD的中点， AC=√AD2+CD2=42+42=42 所以AG=CH. 所以0D=号AC=22. 在△AGE和△CHF中， 所以GH=20D=2 因为AG=CH,∠GAE=∠HCF,AE=CF, 所以△AGE≌△CHF(SAS), 三、解答题 所以GE=HF,∠AEG=∠CFH, 17.解：(1)图略.(2)∠A'B'C=90 所以180°-∠AEG=180°-∠CFH, 18.证明：因为CF∥DB,CF=DE, 即∠GEF=∠HFE, 所以四边形FCDE为平行四边形， 所以GE∥HF, 所以CD∥EF,CD=EF 所以四边形EGFH是平行四边形 因为四边形ABCD为平行四边形， (2)解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD, 所以OB=OD. 所以AB∥EF,AB=EF, 因为BD=14, 所以四边形BFEA为平行四边形， 所以AE=BF 所以0B=0D=7 19.证明：(1)因为∠B=∠ACB, 因为E,G分别是AO,AB的中点， 所以AB=AC. 因为AE是BC边上的中线， 所以Bc=号0B=子 所以AE⊥BC 22.(1)证明：因为AF平分∠BAD, (2)因为AE是BC边上的中线， 所以∠BAF=∠DAF 所以BE=CE 因为四边形ABCD是平行四边形， 因为AD=BE, 所以AD∥BC,AB∥CD, 所以AD=CE. 所以∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, 又AD∥BC, 所以∠CEF=∠CFE, 所以四边形AECD是平行四边形 所以CE=CF 因为AE⊥BC, 因为四边形ECFG是平行四边形， 八年级数学湘教第35~38期 所以四边形ECFG为菱形 (2)解：取CF的中点G,连接MG,图略 因为∠B=90°， 图4 图5 所以四边形ABCD是矩形， (iⅱ)如图5，因为A(4,30),B(m,90), 所以AB=CD=6,BC=AD=8, 所以OA=4,∠A0X=30°，0B=m, ∠BAD=∠BCD=90°， ∠B0X=90°， 所以∠ECF=180°-∠BCD=90°. 所以∠A0B=90°-30°=60°. 由(1)可知四边形ECFG为菱形， 因为AB=4,所以AB=OA, 所以四边形ECFG为正方形. 所以△AOB是等边三角形， 因为AF平分∠BAD, 所以0B=m=4. 所以∠BA5=子∠BHD=45, 故答案为4. 所以∠AEB=90°-∠BAE=45°， ()如图6.因为A(4,30°)， 所以BE=AB=6, B(3,a),AB=5, 所以EC=BC-BE=2 所以OA=4,∠A0X=30°， 所以cc=cf=号C=l, 图6 AB =5 AB,OB =3 0B. 因为0B2+0A2=25=AB2, 所以DG=CD+CG=7. 所以∠AOB=90°=∠A0B1, 因为M为EF的中点， 所以a=90°+30°=120°或a=120°+180°=300°. 所以MG∥BC,MG=EC=1. 故答案为120°或300° 所以∠MGC=∠BCD=90°. 24.解：(1)AB=CG-CE.证明如下： 在Rt△DMG中，根据勾股定理，得 因为四边形ABCD是菱形， DM=√MG+DG=52. 四边形AEFG是菱形， 23.(1)6,30; 所以AB=BC,AE=AG (2)(i)7;(iⅱ)4；(i)120°或300° 因为∠BAC=60°， 解：(1)若点N在平面内的位置记为N(6,30), 所以△ABC是等边三角形， 则0N=6,∠X0N=30 所以AB=AC. 故答案为6,30. 因为∠EAG=60°， (2)(1)如图4.因为A(4,30),B(3,210°)， 所以∠BAC+∠CAE=∠EAG+∠CAE, 所以0A=4,∠A0X=30°，0B=3, 即LBAE=∠CAG. ∠B0X=360°-210°=150°， 在△ABE和△ACG中， 所以∠AOX+∠BOX=180°， 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 所以A,O,B三点共线， 所以△ABE≌△ACG(SAS), 所以AB=4+3=7. 所以BE=CG, 故答案为7 所以AB=BC=BE-CE=CG-CE. (2)AB=CE-CG.证明如下： 八年级数学湘教 第35~38期 因为四边形ABCD是菱形， =8+4+6+2+14=34(cm), 四边形AEFG是菱形， 所以b=34÷2=17. 所以AB=BC,AE=AG 3.1.2.2函数的表示法（列表法、公式法） 因为∠BAC=60°， 1.C;2.3. 所以△ABC是等边三角形， 3.解：y=-(60+x)(70-x) 所以AB=AC. =x2-10x-4200(1≤x≤9的整数). 因为∠EAG=60°， 4.解：(1)自变量是r,因变量是V 所以∠BAC-∠BAG=∠EAG-∠BAG, (2)圆柱的体积V与底面半径r的函数表达式是 即∠CAG=∠BAE. V=4mr2 在△ABE和△ACG中， (3)当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 积由16πcm3变化到256πcm3. 所以△ABE≌△ACG(SAS), 5.(1)刹车时车速，刹车距离； 所以BE=CG, (2)s=0.25v(v≥0)； 所以AB=BC=CE-BE=CE-CG (3)当s=32时，0.25v=32, 36期2版 解得v=128>120. 3.1.1变量与函数 答：推测刹车时车速是128km/h,所以事故发生时，汽车 1.D;2.B;3.D 是超速行驶 4.解：(1)0.52为常量，y,x为变量； 36期3,4版 (2)3为常量，l,a为变量； 一、选择题 (3)60为常量，a,b为变量； 题号 1 2345678910 (4)90°是常量，x,y是变量. 答案CB CC A C A DDA 3.1.2.1函数的表示法（图象法） 二、填空题 1.C;2.B:3.④；4.0.5 11.6;12.20；13.7.9×10;14.450; 5.解：由题意，得y=|x+31.函数图象略 15.Tx2+20mx;16.2或4. 6.解：(1)10；(2)1；(3)3； 三、解答题 (4)不一样.理由如下： 17.解：(1)当x=5时，y=|5-11+2=4+2=6. 乙骑自行车出故障前的速度为： (2)当y=5时，y=1x-11+2=5, 7.5÷0.5=15(千米/时)， 解得x=4或-2. 乙修车后的速度为： 18.解：(1)y是关于x的函数 (22.5-7.5)÷(3-1.5)=10(千米/时)， 理由：对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应， 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样 (2)①当x=48时，y=3.60, 7.解：(1)8,4； 实际意义：当信件质量为48克时，邮资为3.60元. (2)a=2×8×6=24 ②当寄一封邮件的邮资为2.40元时，信件的质量大约是 (3)根据题意，动点P共运动了： 大于20克，且不超过40克 BC CD DE EF FA 19.解：因为√a+1+(b-2)2=0, 八年级数学湘教 第35~38期 所以a+1=0,b-2=0,所以a=-1,b=2, 综上，输人的x值为0或5， 所以y=(2+3)x-(-)+1-2×(-1)×2+22=5x+9, 37期2版 所以函数y=(b+3)x+1-2ab+b2是一次函数. 3.2一次函数 当x=-时y=5×(-2)+9= 1.B;2.-5;3.y=-3x 4.解：(1)由条件可知m+1≠0且2-1ml=1, 20.解：(1)y与x之间的函数表达式为： n为任意实数，解得m=1, =CD.DE 所以当m=1,n为任意实数时，y是x的一次函数， 1 (2)由条件可知m+1≠0且2-|m1=1,n+5=0, =2×6×(8-x) 解得m=1,n=-5, =-3x+24(0<x<8). 所以当m=1,n=-5时，y是x的正比例函数 (2)当x=3时，y=-3×3+24=15. 5.解：(1)根据题意，得 21.解：(1)小明的百米成绩是12s,小亮的百米成绩是12.5s. y=x+1.5×(550-x) (2)小明的速度是：10÷12-(g: =825-0.5x(0≤x≤550)， 所以y关于x的函数是一次函数 小亮的速度是：100÷12.5=8(m/s) (2)当y=650时，825-0.5x=650, (3)当小明到达终点时，小亮所跑的路程是： 解得x=350. 12×8=96(m) 550-350=200(辆). (4)因为当小明到达终点时小亮尚未到达终点，而且小明 答：电动自行车有200辆，普通自行车有350辆. 的速度大于小亮的速度，所以小明和小亮到达终点后如果各自 3.3一次函数的图象 继续以原速度往前跑，他们不能相遇， 1.D;2.D;3.D; 22.解：(1)表格从左到右依次填：4.2,5.9,11. 4.1；5.三 (2)y=1.7x+0.8. 6.图略. (3)因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩 7.解：在正比例函数y=(m+1)x中，y的值随x的增大而 短0.8cm,所以这根链条安装到自行车上后，总长度是：l.7× 增大，则m+1>0,得m>-1. 80+0.8-0.8=136(cm). 在正比例函数y=(2m-4)x中，y的值随x的增大而减 23.解：(1)刹车时车速，刹车距离。 小，则2m-4<0,得m<2,即-1<m<2, (2)70 又因为m为整数， (3)y=0.25x 所以m的可能值为0,1 (4)当x=110时，y=0.25×110=27.5,27.5<31, 8.解：(1)因为函数图象经过第一、三象限， 所以该汽车不会和前车追尾， 所以2m+4>0,解得m>-2. 24.解：(1)当x=-3时，y=-2×(-3)+1=7; (2)因为y随x的增大而减小，所以2m+4<0, 当x=2时=分×2-多=-分 解得m<-2. (2)A. (3)因为点(1,3)在该函数图象上，所以2m+4=3, (3)①当x<1时，-2x+1=1,解得x=0,符合题意； 解得m=-子 ②当x≥1时了子=1，解得5，符合题意 1 9.解：(1)①y=x+1直线11如图所示 八年级数学湘教 第35~38期 ②y=2x直线42如图所示. 在Rt△BCD中，DC+BD2=BC2, 所以+12=(3-m,解得n=手， 故点C的坐标为(0，专) 二、填空题 11.3；12.y= +413.3:143 ③12 15.(2,-):16(-18.0)或(-子， (2)解法一：把x=1,y=2代入y=hx+2-k, 提示： 得左边=2，右边=k+2-k=2, 左边=右边， 16,解：因为直线)=子+6与x轴、y轴分别交于点A,B, 所以直线y=x+2-k必经过点(1,2) 所以A(-8,0),B(0,6),所以AB=√62+82=10. 解法二：y=kx+2-k=k(x-1)+2, 当AB=PA=10时，因为点P在x轴的负半轴上， 图象过定点，即说明与k的取值无关， 所以P(-18,0) 因此x-1=0,得x=1,此时y=2, 如图2，作AB的垂直平分线 B 所以直线y=x+2-k必经过点(1,2). PD,交x轴于点P,交AB于点D. 37期3,4版 根据线段垂直平分线的性质， PO- 一、选择题 得到PA=PB. 图2 题号 1 34567 8910 设P0=t,则PA=PB=8-t 答案ACBAA ABD C B 根据勾股定理，得OP2+OB2=BP2 提示： 所以(8-)=2+6，解得1=子 10.解：过C作CD⊥AB于点D, 如图1所示 、D 因为点P在x轴的负半轴上，所以P(-子，0) 对于直线y=- 4+3, 综上，点P的坐标为(-18,0)或(-子，0） 图 当x=0时，y=3: 三、解答题 当)=0时，-京+3=0，得：4， 17.解：(1)因为点(1，-2)在正比例函数y=(3k-1)x 的图象上， 所以A(4,0),B(0,3),即OA=4,OB=3, 由勾股定理得AB=5. 所以-2=3张-1，解得k=号 又因为坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上， (2)由(1)知y=-2x, 所以AC平分∠OAB,∠CAD=∠CAO, 将x=3代人y=-2x,得y=-6≠2. 因为CD⊥AB,∠AOC=90°，所以∠ADC=∠AOC, 所以点A(3,2)不在这个函数的图象上 又AC=AC,所以△CAD≌△CAO(AAS), 18.解：(1)因为y=(m-2)x3-1m+m+7是一次函数， 所以CD=C0=n,DA=OA=4, 3-1m1=1, 所以 解得m=-2. 则BC=3-n,DB=5-4=1. m-2≠0， 故当m=-2时，y是x的一次函数. 6 八年级数学湘教第35~38期 (2)由(1)可知y=-4x+5. 23.解：(1)对于y=2x-4,令y=0,即2x-4=0. 当y=3时，3=-4x+5,解得x=2 解得x=2.所以点A的坐标是(2,0) 把B(m,4)代入y=2x-4,得2m-4=4. 放当x=分时y的值为3 解得m=4.所以点B的坐标是(4,4). 19.解：(1)(2,0)，(0,4)； (2)图略. (2)把x=-3代入y=-2x+4,得y=10, (3)因为A(2,0),B(4,4),所以AB=√22+42=2√5 所以C(-3,10). 因为点P在x轴的正半轴上， 所以S△0c=2×2×10=10. △ABP是以AB为腰的等腰三角形， 20.解：(1)还未完成的公路的长度y(km)与施工时间 所以点P的坐标为(6,0)或(2+25,0). x(天)之间的数量关系为还未完成的公路的长度=公路总长 24.解：(1)-1,4； 度-已施工修建的长度， (2)设一次函数y=x+1图象的“7阶和点”的坐标为 由题意得，该工程队每天修建公路的长度为36÷120= (a,a+1). 0.3(km),施工x天共修建公路的长度为0.3xkm, 根据题意，得|a|+la+11=7,解得a=-4或a=3. 所以它们之间的函数表达式为 当一次函数y=x-2的图象经过点(-4，-3)时， y=36-0.3x(0≤x≤120). -4-2=-3解得k=子 (2)将x=30代人y=36-0.3x, 当一次函数y=kx-2的图象经过点(3,4)时， 得y=36-0.3×30=27 3h-2=4,解得k=2. 即该工程队已施工了30天，还未完成的公路的长度是27km 21.解：(1)根据题意，得2a-4≠0,3-b=0, 综上，k的值为好或2. 解得a≠2，b=3. 38期2版 (2)根据题意，得2a-4<0,3-b<0, 3.4用待定系数法确定一次函数表达式 解得a<2,b>3. 1.D;2.C;3.4. 22.(1)证明：在y=k(x-3)中，令x=3得y=0, 4.解：设该一次函数的表达式为y=kx+b. 所以点(3,0)在函数y=k(x-3)的图象上 根据该一次函数与y轴交点的纵坐标为3， (2)解：一次函数y=k(x-3)的图象向上平移2个单位 得该函数图象过点(0,3). 长度得y=(x-3)+2, 将点(-2,1)，(0,3)代入y=x+b,得 将(4，-2)代入得-2=k(4-3)+2, 「-2k+b=1, =1, 解得 解得k=-4. 6=3. lb=3. (3)解：x1-x2<0不成立.理由如下： 所以该一次函数的表达式为y=x+3. 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在y=k(x-3)的图象上， 5.解：(1)设y与x之间的函数表达式为 所以y1=(x1-3),2=(x2-3), y=k(x-1)(k≠0). 所以力-y2=k(x-2), 将x=3,y=4代入，得2h=4, 又为1<y2,所以y1-y2<0,即k(x1-x2)<0, 解得k=2, 而k<0,所以x1-x2>0, 所以y与x之间的函数表达式为y=2(x-1)=2x-2. 故x1-x2<0不成立 (2)将(-1，m)代人y=2x-2, 八年级数学湘教 第35~38期 得m=2×(-1)-2=-4 38期3,4版 6.解：(1)设该一次函数的表达式为y=kx+b 一、选择题 4k+b=6, rk=2, 根据题意，得 解得 题号 1 2345678910 2k+b=2. lb=-2 答案B CBD CBC D AD 所以该一次函数的表达式为y=2x-2。 提示： (2)因为A(m,y1),B(m+1,y2)是该一次函数图象上的 7.解：因为在y=2x-4中， 两点，所以y2-y1=2(m+1)-2-(2m-2)=2. 当y=0时，2x-4=0,解得x=2, 3.5一次函数与二元一次方程的关系 当x=0时，y=-4, 1.A;2.C;3.B;4.C 所以直线，与x轴的交点坐标为(2,0)， 5.解：把点P(3,b)代入直线ly= 3x+5, 与y轴的交点坐标为(0，-4)， 所以直线，与x轴的交点关于y轴对称的点的坐标为 4 得6=3×3+5=9，所以P(3,9), (-2,0), (y= 3t+5, 直线12过点(0，-4)， 所以由图象可知关于x,y的方程组 的解为 所以直线(，，直线，与x轴围成的三角形的面积为 3*+c 分×[2-(-2]×4=8 x=3, 8.解：由题图可知，一次函数y=kx+3k+5(k≠0)中， y=9 y随x的增大而增大，所以k>0; 6.解：【探究】当x=-1时，-1+y=4,解得y=5; y=ax(a≠0)中，y随x的增大而减小，所以a<0, 当y=2时，x+2=4,解得x=2. 故①正确，②正确， 故答案为①2，②5. 因为y=kx+3k+5可变形为y=k(x+3)+5, 在平面直角坐标系中描出对应点如图所示 所以当x=-3时，不论(k≠0)为何值，y均等于5， 所以一次函数y=x+3k+5(k≠0)的图象经过定点 （-3,5),故③正确 因为一次函数y=x+3k+5(k≠0)与y=ax(a≠0) 54-3-2- :2345 的图象交于点A(-3,5), [=hx+3+5, x=-3, 所以关于x,y的方程组 的解是 5 y ax Ly =5. 【发现】过这些点中的任意两点画直线，所有的点都在同 故④正确， 一条直线上 故①②③④都正确， 【应用】因为关于x,y的二元一次方程ax+by=-1对应 9.解：如图1，过点A作AN⊥AB .N 的函数图象上有两个点， 交直线BC于点N,过点N作MW⊥x ..c 它们的坐标分别为(-1,1)，(1，-3)， 轴于点M,则∠AMN=∠BOA= M -a+b=-1, A a=2, 90°，则∠ANM+∠MAWN=90°. 所以 解得 图1 1a-3b=-1, b=1, 对于直线y=子+3， 所以这个二元一次方程为2x+y=-1, 八年级数学湘教 第35~38期 令x=0,得到y=3,即B(0,3),OB=3 二填空题 令y=0,得到x=-4,即A(-4,0),0A=4, 1y=2x:12x=-号13-2 因为∠ABC=45°，∠NAB=90°， 14.y=3x+2;15.x>-1; 所以△ABN为等腰三角形，即AN=BA, 16.k≤-5或k≥1. ∠NAM+∠BA0=90°，所以∠ANM=∠BAO, 三、解答题 ,∠AMN=∠B0A=90°， 17.解：(1)设y=kx+b(k≠0)， 在△NAM和△ABO中 ∠ANM=∠BAO. rb=3, k=2, AN BA, 根据题意有 解得 2k+b=7, b=3, 所以△NAM≌△ABO(AAS), 所以y与x之间的一次函数表达式是y=2x+3. 所以AM=OB=3,MN=OA=4, (2)当x=4时，y=2×4+3=11. 即0M=0A+AM=4+3=7, 18.解：画图略 所以N(-7,4) (1)一元一次方程-2x+6=0的解为x=3。 设直线BC的解析式为y=kx+b, (2)由图像可知，当-2<y<2时，x的取值范围是2<x<4 b=3, 因为B(0,3),所以 19.解：(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b. -7k+b=4, 把A(-6,0),B(0,3)代入， k=- 解得 -6k+b=0 解得 b=3 b=3 0=3. 所以过B,C两点的直线对应的函数表达式是)=-一+3 所以直线1的函数表达式为)=之+3 10.解：因为y=(k-1)x+2k=k(x+2)-x(k>1), 1 所以直线y=(k-1)x+2k(k>1)经过点(-2,2). 当x=-4时，n=2×(-4)+3=1 如图2，当直线经过(0,3)时，直 y个 所以点P的坐标为(-4,1) 线y=(k-1)x+2k(k>1)与两坐 (2)由题知Q(2,0), 标轴围成的三角形区域（不含边界） 所以Saw=分×4Qx5=7×2+6)x1=4 1 中有且只有四个整点， 。 864书2-1012 则3=21解得k=子 -2 [y=kx+3. 1 图2 20.解：原方程组可化为 当直线经过(0,6)时，直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两 =-2x+号 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则6=2h,解得k=3. （1)当直线)=：+号与直线)=-2x+兮相交时。 当直线经过(0,4)时，直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两 1 方程组 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， -y=-了'有唯一一组解，此时k≠-2： 3y=1-6x 此时4=2k,解得k=2. 综上，若直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两坐标轴围成的 (2)当k=-2时，直线y=a+写与直线y=-2x+写 三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则k的取值范围 1 重合，方程组 是号≤k≤3且k≠2 x一y=一了'有无穷多解： 3y=1-6x 八年级数学湘教 第35~38期 kx -y = (3)存在 当k≠-2时，方程组 3'有唯一一组解 过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点V,图略 3y=1-6x 因为点P在y=2x的图象上，所以可设P(m,2m) (3)由(2)知，k无论取什么值，都不能使原方程组无解。 21.解：(1)由0B=5可得B(0,-5) 因为该一次两数的表达式是)=一+， 把(0，-5)代入y=-3x+b,可得b=-5, 所以点A的坐标为(0，），点B的坐标为(5,0)。 =-3x-5, x=-3, 所以y=-3x-5.联立得 4 解得 所以Saar=20B,PW=3×5x12ml=51ml, 3x, y=4. 5 所以点A的坐标为(-3,4). S△AoP= 1 (2)设直线AB与x轴交于点C, 根据题意，得51m1= 子引m1+5,餐得m=±号 4 则点C的坐标为(-子，0） 所以点P的坐标为（告号）或（号-号） 所以C0=3 24.解：(1)设直线AB的表达式是y=x+b. 图3 如图3，过A作AE1x轴于E. 4k+b=2, rk=-1, 由A(-3,4)可得AE=4, 根据题意，得 解得 6k+b=0, b=6. 所以Sm=246:C0=子x4×多=9 3=3 所以直线AB的表达式是y=-x+6. 22.解：(1)在x+y=3中，当x=-1时，y=4,即n=4； (2)对于y=-x+6,令x=0,得y=6 当y=0时，x=3,即m=3, 所以5ae=分x6×4=12 故答案为3,4. (3)设直线OA的表达式是y=mx. (2)在平面直角坐标系中描出四组解的对应点的位置如 图4. 将(4,2)代人，得4m=2,解得m=分 所以直线OA的表达式是y=2 1 因为△0MC的面积是△O1C的面积的}， x+=3 所以点M的横坐标是}×4=1 当点M在线段O1A上时，y=2, 1 图4 (3)镜面α的方程x+y=3的所有解的对应点组成的图 所以点M的坐标是(1,2)： 形是一条直线，镜面α的方程x+y=3的图象如图4所示，故 当点M在线段AC上时，y=5,所以点M的坐标是(1,5)： 答案为一条直线 综上，点M的坐标是(1,3） 或(1,5) (4)镜面B的方程x-y=-1的图象如图4所示. 「x+y=3 (5)由图象可知，方程组 ,的解为厂1， x-y=- =2. (2) 5 x=1, 23.解：(1)a=2,b= Ly 2. 10器 S961K08-1Ss 8ILUS-ISEO 盖 00193 的 三 ::06 :ot() 三 母 炉 i E 9 2 p3(2) wd() 19.(8分)已知√a+1 (b-2)2 0, ,试化简函数y = 22.(10分)如图8，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠 24.(12分)如图9，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x 部分的圆的直径为0.8cm 的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值， (b+3)x +1- 2ab+b2的表达式？当x= 2 时，函数值y是多 25e 08 (1)当输入x的值分别为-3和2时，输出的y值分别是多少？ 少？ 回⊙ ©回⊙ ⊙⊙⊙…⊙⊙⊙ (2)下列图象中，可以是“函数求值机”中函数的对应图象的是 1节链条 2节链条 n节链条 图8 (1)观察图形填写下表： 链条节数/节 2 3 6 链条长度/cm (2)如果x节链条的总长度是ycm,y与x之间的函数表达式为 B 20.(8分)如图6，在长方形ABCD中，BC=8,CD=6,点E为 (3)要使输出结果为1，求输入的x值， 边AD上一动点，连接CE,随着点E的运动，△DCE的面积也发生变 (3)一辆自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，这根 输入 当x<1时当x≥1时 化 链条安装到自行车上后，总长度是多少？ (1)写出△DCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的函数 表达式； 初 中数学 (2)当x=3时，求y的值 输出) 图9 八年级能 23.(12分)行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继 续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测 力达标 定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/小h),对这种型号的 汽车进行了测试，测得的数据如下表： 初中数学·湘教八年级能力达标自评 自评 21.(10分)某校为了选拔百米运动员，让学生进行百米比赛 利车时车速(km/h)01020304050 卷 利车距离(m)02.557.51012.5 小明和小亮同时起跑，比赛情况如图7所示，其中横轴表示时间 卷 (1)自变量是 自变量的函数是 t(s),纵轴表示距起跑点的距离s(m),根据图象解答下列问题： (2)该型号汽车发生了一次交通事故，现场测得刹车距离 (1)小明和小亮的百米成绩各是多少？ 为17.5m,则刹车时的车速是 km/h; (2)两人的速度各是多少？ (3)若该种型号汽车的刹车距离用y(m)表示，刹车时车速用 (3)当小明到达终点时，小亮所跑的路程是多少？ x(km/h)表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式： (4)小明和小亮到达终点后如果各自继续以原速度往前跑，他 ;(不必写出x的取值范围) 们能否相遇？ (4)若该种型号汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有 ↑s/m 100A 汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹 小明」 车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由 60 小亮 20 0 2 468101212.5/ 图7 参考答案见下期 数评括 2026年3月11日·星期三 初中数学 36期总第1180期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 进行判断即可 门向导 解：根据函数的定义可知，对于自变量x的 西数关系“现形”记 任何值，y都有唯一的值与之相对应.所以只有 选项B满足条件 故选B. 。江西李海生 三、从几何关系理解函数 一、从关系式理解函数 有唯一确定的值与它对应，所以y是x的函数； 紧扣函数的定义，仍然是先看是否只有两 根据函数的定义，在一个变化过程中，有两 y=±：，对于每一个确定的x的值，)有一个变量，再看对于自变量x的每一个确定的值，y 个变量x和y,对于自变量x的每一个确定的值，个或两个值与它对应，所以y不是x的函数 是否都有唯一确定的值与它对应. y都有唯一确定的值与它对应.当x取不同的值 故选D 例3判断下列变量之间是不是函数关系。 时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个x 二、从图象理解函数 (1)长方形的宽一定时，其面积与长； 值对应着两个不同的y值，那么y一定不是x的 根据函数的定义，每一个x值只能对应唯 (2)等腰三角形的面积与底边长. 函数根据这一点，我们可以判断一个关系式是的y值，因此要判断哪些图象表示的是函数关 分析：判断一个关系是否是函数关系，应根 否表示函数关系 系，只要在所给的自变量的取值范围内任作一 据函数的定义：一要存在变化过程；二要只存在 例1下列式子中，y不是x的函数的是 条垂直于x轴的直线若直线与所给图象只有一 两个变量；三要满足一个变量每取一个值，另一 个交点，则说明这个图象表示的是函数关系；若 个变量都有唯一确定的值与之对应 A.y =x B.y=2x-3 交点不止一个，则说明这个图象表示的不是函 解：(1)当长方形的宽一定时，其长所取的 x-4 数关系 每一个值，面积都有唯一确定的值与之对应，所 C.y =x-1 D.y=±√x 例2 下列曲线中，表示y是x的函数的为 以长方形的面积与长是函数关系 分析：利用函数的定义可得答案 (2)因为等腰三角形的大小不确定，所以它 解：y=x2,对于每一个确定的x的值，y都 的面积受底边长和底边上的高两个因素的影 有唯一确定的值与它对应，所以y是x的函数； 响当底边长取一个值时，等腰三角形的面积会 y=红二子对于每一个确定的x的值y都 受到高的影响，不能有唯一确定的值和底边长 有唯一确定的值与它对应，所以y是x的函数； 相对应.所以等腰三角形的面积与底边长不是 分析：过自变量的取值范围内任一点作垂直 函数关系 y=√x-1,对于每一个确定的x的值，y都于x轴的直线，通过直线与函数图象的交点个数 ++++++++++++++++ 动点问题是指图形中有一个或多个动点， 专题辅号⑧ 在线段、射线或者弧线上运动的一类开放型题 目，动点问题的函数图象需要根据图形的性质 和运动的规律求解，下面列举几例加以说明，供 直击动求问题的函数图 同学们参考 例1如图1-①，E为矩形ABCD的边AD ⊙湖南石旭征 上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动 根据勾股定理，得AE=√BE-AB=8cm 分析：分△ABC经过DE、△ABC在矩形 到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C 当x=14时，点P与点D重合， DEFG内、△ABC经过GF三种情形，分别求出重 停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P,Q两点 则BE+ED=14cm. 叠部分的面积，即可得出图象 同时出发，设运动时间为x(s),△BPQ的面积为 所以ED=4cm,所以AD=AE+ED=12cm. 解：如图4，过点C作CH⊥AB于点H y(cm2).若y与x的对应关系如图1-②所示， 所以矩形ABCD的面积为：12×6= 则矩形ABCD的面积是 ( ）72(cm2). 故选C. 例2如图3，等 腰Rt△ABC与矩形 图4 1014 DEFG在同一水平线 因为AB=2,△ABC是等腰直角三角形 ① 2) 上，AB=DE=2,DG B 所以AH=1,∠BAC=45°=∠ACH, A.96 cm2 B.84 cm? =3,现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平 所以CH=1. C.72 cmi D.56 cmi 移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算， 因为DE=2,四边形DEFG是矩形， 分析：根据图象判断出运动轨迹即可得解. 至AB离开GF为止.等腰Rt△ABC与矩形DEFG 所以AB∥DE 解：当点P运动到点E时， (P)E 的重合部分面积记为y,则能大致反映y与x的 当△ABC经过DE时，0≤x<1, =10,则BE=BQ=10cm 函数关系的图象为 过点E作EH⊥BC于点H, y=2×2x·x=2; 如图2， 图2 当△ABC在矩形DEFG内时，1≤x≤3， 所以y=2BQ·EH=2 ×10EH=30 y=号×2×1=1： 解得EH=6cm. 当△ABC经过GF时，3<x≤4， 因为四边形ABCD是矩形， 1 所以∠A=90°，AD∥BC. y=1-7×2(x-3)2=-2+6x-8 所以AB=6cm 故选B. 2 素养专练 数理极 3.1.1变量与函数 + 距离 距离 距离 距 3.1,22函数的表示法（列表法、公式法） 1.某辆速度为v(km/h)的车从甲地开往相 1.如果每盒笔售价16元，共有10支，用 距s(km)的乙地，全程所用的时间为t(h),在这 o 时间 时间 0 时间 y(元)表示笔的销售额，x表示笔的支数，那么y与 个变化过程中，下列说法正确的是 ① ③ ( 图3 x的函数表达式为 A.s是变量 B.t是常量 4.某图书出租店图书的 4/元 A.y=10x B.y =16x C.v是常量 D.s是常量 租金y(元)与出租的天数 x(天)之间的函数图象如图 2.函数y=√x+I中，自变量x的取值范围 15 C.y-5 Dy=名 4所示，结合图象计算可知： 是 ( ) 2.自变量x与因变量y的关系如 两天后每过一天租金增加 /天 A.x≤1 B.x≥-1 图4 图1，当x每增加1时，y增加 元 C.x<-1 D.x>1 =3x+10 5.设P(x,0)是x轴上的一个动点，它与x轴 3.下列所述不属于函数关系的是 ( 3.观察下列两个两位数的积： A.三角形的面积一定时，它的一边长和这条 上表示-3的点的距离为y,求y关于x的函数表 -61×69,-62×68,…,-68×62, 达式，并画出这个函数的图象. 边上的高的关系 -69×61.设这两个两位数的积为y, B.x+2与x的关系 第一个两位数个位上的数为x(1≤x C.匀速运动火车的时间与路程的关系 ≤9的整数)，求y与x之间的函数表达式 D.某人的身高和体重的关系 4.指出下列公式中的常量和变量： (1)某地区电费的单价是0.52元/千瓦时， 则电费y与用电量x的公式为y=0.52x; (2)等边三角形的周长1与边长a的公式为 6.如图5，表示甲步行与乙骑自行车（在同一 l=3a; 4.如图2，圆柱的高是4cm,当圆柱的底面半 条直线路上同向行驶)行走的路程s甲，5z与时间t (3)a小时和b分钟的公式为a=60b; 径r(cm)变化时，圆柱的体积V(cm)也随之变化 (4)一个直角三角形中，一个锐角的度数x与 的关系，观察图象并解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是 (1)乙出发时，乙与甲相距 千米； 另一个锐角的度数y的公式为y=90°-x. 什么？ (2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障 (2)求圆柱的体积V与底面半径r的函数表 X 停下来修车的时间为 小时； 达式； (3)乙从出发起，经过 小时与甲相 (3)当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm 遇； 时，圆柱的体积由多少cm变化到多少cm3? X (4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的 速度一样吗？为什么？ s/千米 22. 22 10 图2 3.1.2.1函数的表示法（图象法） 00.51.53 小时 图图5 1.二十四节气是中国古代劳动人民长期经验 5.由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后 积累的结晶.如图1是一年中部分节气所对应的 还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离 白昼时长示意图，在下列选项中白昼时长超过14 + 7.如图6-①是一个大长方形剪去一个小长 称为“刹车距离”.为了测定某种型号小型载客汽 小时的节气是 ( 方形后形成的图形，已知动点P以每秒2cm的速 车的刹车性能（车速不超过140km/h).对这种型 A.惊蛰 B.立夏 X 度沿图6-①的边框按从B→C→D→E→F→ 号的汽车进行了测试，测得的数据如表： C.夏至 D.大寒 A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间 到车时车选/(km/)01020304050 4白昼时长小时 t之间的关系如图6-②中的图象表示若AB= 刹车距离/m02.557.51012.5 t/min 6cm,试解答下列问题： cm,DC (1)在这个变化过程中，自变量是」 (1)BC= cm; 46 因变量是 ◇系整资粥联秋冬燄节克 (2)求图6-②中a的值； (2)根据上表反映的规律写出该种型号汽车 (3)求图6-②中b的值 图1 图2 s与v之间的函数表达式： S/cm 2.某项目学习小组的同学在水中掺人酒精， (3)若该型号汽车在高速公路上发生了一次 充分混合后，放入冰箱冷冻室.根据实验数据作出 交通事故，现场测得刹车距离为32m,推测刹车 混合液温度y(℃)随时间t(min)变化而变化的 .69 时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行 图象如图2.下列说法不正确的是 ( 驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》 0 A.在这个变化过程中，自变量是时间，因变 第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最 X 量是混合液的温度 高车速不得超过每小时120公里.) + B.混合液的温度随着时间的增大而下降 C.当时间为19min时，混合液的温度为-7℃ D.当10<t<18时，混合液的温度保持不变 3.小明早上步行去车站，然后坐车去学校图 3中能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化 数理报社试题研究中心 关系的是 (填序号) 参考答案见下期 水的高度 15.如图4，为一个管道的截面图，其内径0A(即内圆半径)为 3.1同步达标自评 10分米，管壁厚AB为x分米，若设该管道的截面（阴影部分）面积为 y平方分米，那么y与x之间的函数表达式是y= 滴水时间 ◆数理报社试题研究中心 图2 y/km (答题时长120分钟，满分120分) 9.某医院定期进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 中的含药量y(mg)和时间x(min)的数据如表： 1.小丽从济南给远在广州的爸爸打电话，电话费随着时间的变 时间x/min 2 4 6 化而变化，在这个过程中，因变量是 ( 含药量y/mg16 14 12 10 图4 图5 A.小丽 B.时间 C.电话费 D.爸爸 则下列叙述错误的是 ( 16.甲、乙两人骑车分别从A,B两地相向匀速行驶，甲到达B地 2.变量y与x之间的函数表达式为y=x2-2.当自变量x=2 A.时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为4mg 后，两车同时停止，设两车的行驶时间为x小时，两车之间的距离为y 时，因变量y的值是 B.在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越 千米，y与x之间的函数关系如图5所示，则两人出发 小时 A.-2 B.2 C.0 D.1 小 后相距30千米 3.已知一次数y=-5x+2a+2是正比例函数，则a的值为 C.挥发时间每增加2min,室内每立方米空气中的含药量减少 三、解答题（本题共8小题，共72分） 2 mg 17.(6分)已知函数y=1x-11+2 A.-2 B.2 C.-1 D.1 D.室内每立方米空气中的含药量是自变量 (1)求自变量等于5时的函数值； 初 4函数y=-的自变量x的取值范围是 10.如图3-①，在矩形ABCD中(BC>AB),连接BD,动点P从 (2)求数值等于5时的自变量值， 中数学 点B出发，依次沿BD→DC→CB运动至点B停止，设点P的运动路 A.x≥1 B.x≠0 程为x,△APB的面积为y,y与x的函数关系图象如图3-②所示， C.x≤1且x≠0 D.x≤1 湘教 则边BC的长为 5.今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其 八 年 中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每 辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元， 力 则y与x之间的函数表达式为 ( 达 A.y=-4x+10000 B.y=-3x+8000 图3 标 初中数学●湘教八年级能力达标自评卷 C.y=-2x+4000 D.y=-4x+5000 A.4 B.3 C.5 D.8 6.下列选项中不能表示y是x的函数的是 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 18.(6分)在国内投寄平信应付邮资如下表： 0 5 10 15 1.在函数关系式)=-}+4中，当因变量)=2时.自变量： 信件质量x(克)0<x≤2020<x≤4040<x≤60 B.y=2x+1 3 3.54 4.5 邮资y(元/封)1.20 2.40 3.60 的值为 (1)根据函数的定义，y是关于x的函数吗？ 12.当大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.某 (2)结合表格解答： 项研究表明，一殷情况下人的身高h(cm)与指距d(cm)之间存在 ①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义； 定的关系h=9d-20.若李明的身高为160cm,则他的指距为 ②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少 cm. 克？ 13.铁的密度约为7.9×103kg/m3,铁的质量m(kg)与体积 7.如图1所示的函数图象反映的过程 ↑y/千米 是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草， V(m)成正比例.一个体积为10m的铁块，质量为 kg. 11 然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他 14.我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环 家的距离.读图可知菜地离小徐家的距离为 015253755 80x/份 境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率 图1 () K(W/m·K)与温度T(℃)的关系如表： A.1.1千米 B.2千米 温度T/℃100150200250300 C.0.9千米 D.15千米 导热率K/(W/m·K)0.150.20.250.30.35 8.水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时 根据表格中的对应关系，若导热率为0.5W/m·K,则温度为 间变化的情况如图2，则下面符合条件的示意图是 (