专题06 多结论选填题小综合（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 多结论选填题小综合 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 函数图象与性质多结论判断 题型二 几何图形性质多结论判断 题型三 动态几何多结论判断 题型四 方程与不等式多结论判断 题型五 函数与几何跨模块多结论判断 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 多结论选填题小综合是中考数学选填压轴核心题型，分值约 3～5 分，以选择题（多选 / 选正确结论个数）、填空题（填正确结论序号）为主，整体为中档偏难题，侧重考查知识综合应用、逻辑推理与细节辨析能力，是拉开基础分与高分的关键板块，也是各地中考的必考题型。基础知识必备：熟练掌握函数（一次、反比例、二次）的图象与性质、几何（三角形、四边形、圆）的核心定理、方程与不等式的核心知识点（根的判别式、根与系数关系、解集判定）；能结合数形结合、分类讨论思想分析问题；具备逐一验证结论、用排除法简化判断的解题思维；能准确进行几何计算与代数推导，注重推理的严谨性。 2026中考预测： 题型稳定：函数图象性质、几何图形性质、动态几何为必考类型，函数与几何跨模块综合为选填压轴最高频考法，方程与不等式多结论判断为基础常考形式； 难度平稳：基础结论侧重单一知识点应用，难点结论侧重多知识点融合，无偏题、怪题，重点考查结论验证的逻辑与计算准确性； 命题趋势：结论设计更隐蔽，常结合图象、动点、几何计算设置结论，强调细节辨析与推理严谨性；跨模块综合题占比提升，注重数形结合思想的实际应用，部分题目结合简单生活背景。 题型一 函数图象与性质多结论判断 【典例01】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）关于的一次函数，下列说法： ①若，则函数图象经过第一、二、三象限； ②若函数图象经过原点，则； ③无论为何实数，函数的图象总经过点． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质即可判断①；把代入即可判断②；把代入解析式求得，即可判断③． 【详解】解：①， 一次函数为， 函数图象经过第一、二、三象限，故正确； ②函数图象经过原点， 且， ，故正确； ③， 时，， 函数的图象总经过，故正确． ∴①②③都正确．正确个数为3， 故选D． 【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可得，，，又， ∴， ∴， ∴①正确； 由题意，令， ∴， 又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2， ∴的两根之和为，两根之积为， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴②错误，③正确； ∵，， ∴， ∴④错误． 综上，正确的有①③，一共2个． 故选：B． 【典例03】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，关键是找到图形面积与反比例函数的关系； 理解题意，结合矩形的性质以及中线与面积的关系，得，设，根据的面积为，列出方程求得，在论证的过程中逐一判断结论的正确性． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 设， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：为的中点，故④正确； ∵的面积为， ∴， ∵分别是的中点，， ∴， ∴， 解得：， 即：，②正确； ∴，故③正确； 故选：D 【变式01】（2024·辽宁·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大；函数的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确． 由图象可知，一次函数，的图象的交点横坐标为2． ∴， ∴，故③正确． 故答案：C． 【变式02】．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论： ①点C的坐标为； ②当时，一次函数的值小于反比例函数的值． ③将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点． ④连接，，则的面积为12． 其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． 联立方程组可求得点C坐标，可判断①；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断②；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断③；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故①正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故②错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点，故③正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ∴， 如图， 则 ，故④正确， 综上，结论正确的个数是3个， 故选：C． 【变式03】如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括系数符号的判断、函数值的计算与比较、不等式的证明等知识点，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息，确定的符号及它们之间的关系，并灵活运用二次函数的对称性和最值性质，根据抛物线开口向上，判断．根据对称轴，判断，结论①正确，是当时的函数值．利用抛物线的对称性，和，关于对称轴对称，所以时的函数值与时的函数值相等，②错误；将代入中，结合，得，③错误；根据二次函数的性质，点到对称轴的距离越远，函数值越大（因为开口向上），即可判断④正确；将等价转化为恒成立，即可判断⑤正确． 【详解】解：由图象开口向上得，对称轴得， 与轴交点在负半轴得，故，①正确； 当时，，由对称性，关于的对称点为， 此时，故，②错误； 将代入中，结合，得，③错误； 点距对称轴最远，在顶点，距对称轴较近，故，④正确； 由，知等价于恒成立，⑤正确， 故①④⑤正确，共3个， 故选：C． 【变式04】（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 【变式05】若二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的新抛物线关于轴对称．则下列说法正确的是______．（填序号） ； 当时，代数式的最小值为； 对于任意实数，不等式一定成立； ，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，由平移可得二次函数的图象的对称轴为直线，从而判断；由，则有，把代入即可判断；由代入即可判断；根据题意得，则直线在对称轴右侧，可得点离对称轴的距离比点离对称轴的距离近，从而判断；熟练掌握并能灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的新抛物线关于轴对称， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴，故正确； ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为，故错误； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴直线在对称轴右侧， ∵， ∴点到对称轴的距离比点离对称轴的距离近， ∵， ∴，故错误， 综上可知：正确， 故答案为：． 【变式06】（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数 (a，b，c为常数，)的图像经过点，下列四个结论：①；②；③若，则对任意x，都有；④记S为函数的最小值，若恒成立，则；其中正确的有________________． 【答案】①② 【分析】首先将代入得到，然后由得到，，即可判断①；根据题意判断出抛物线与x轴有两个交点，即可判断②；根据题意得到，，然后令，得到，即可判断③；首先得到，然后表示出，然后根据得到，然后表示出，取，，代入即可判断④． 【详解】解：①∵二次函数的图像经过点， ∴， ∵， ∴，， ∴，故①正确； ②∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴抛物线与y轴交于负半轴， 又∵二次函数的图像经过点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵，， ∴，， ∴若对任意x，都有，即， ∴令， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴有1个交点或2个交点， ∴可能小于0，故③错误； ④∵， ∴， ∵二次函数， ∴最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴取，， ∴，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数和x轴交点问题，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 题型二 几何图形性质多结论判断 【典例01】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点与点重合时，的最大值为4 ，则长度的最大值为2．据此可判断③；根据，据此可判断④． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①正确；     ②由①可知，四边形是矩形， ∴， ∵O，F分别是，的中点，点在上， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点，故②正确； ③∵是的中位线， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， 当点E与点D重合时，的值最大，此时， ∴线段长度的最大值是2，故③正确；     ④当点E在边上，且时，， ∴不是等边三角形，故④错误． 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C． 【变式01】如图，在菱形ABCD中，，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有(   ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，由三角形的内角和为180°就可以求出∠BGD的值；得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG；在直角三角形GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF与△CGB不全等；由三角形的面积公式系可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD． ∵∠A=60°， ∴∠BCD=60°， ∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形． ∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60°． ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴∠BFD=∠DEB=90°， ∴∠GDB=∠GBD=30°， ∴∠BGD=180°-30°-30°=120°， 故①正确； ∵∠GDB=∠GBD=30°， ∴DG=BG， 在△CDG和△CBG中， ， ∴△CDG≌△CBG（SSS）， ∴∠DGC=∠BGC=60°． ∵∠BFD=∠DEB=90°，，， ∴∠GDC=∠GBC=90°， ∴∠GCD=30°， ∴CG=2GD=GD+GD， ∴CG=DG+BG． 故②正确． ∵△GBC为直角三角形， ∴CG＞BC， ∴CG≠BD， ∴△BDF与△CGB不全等． 故③错误； ∵sinA= ∴ ∵=AD•BF =AB× =， 故④正确； ∴正确的有：①②④共三个． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通． 【变式02】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 利用正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①假设正方形的边长为，根据勾股定理得， ， ， ， 故①错误，不符合题意； ②由①可得， 故②错误，不符合题意； ③根据正方形的性质可得，垂直平分线段， ， , ， ， ， ， 综上，， 即平分， 故③正确，符合题意； ④由③可得, , ， ∴, 由①可得, ∴， 故④正确，符合题意； 故选：B． 【变式03】（2025·河北石家庄·三模）如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点A，B分别在相互垂直的射线上滑动，连接．给出下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则；②C，O两点距离的最大值为4；③若平分，则；④在滑动过程中，始终等于60°．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】在中，由，，，求出，．由轴对称的性质得，可判断①正确；取的中点为，连接、，由三角形三边关系可知当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，可判断②不正确；当，则四边形是矩形，满足与相互平分，但不成立，可判断③不正确； 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴若、两点关于对称，如图， ∴为的垂直平分线， ∴，故①正确； ②如图，取的中点为，连接、． ∵， ∴． 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故②不正确； ③如图，当， ∴四边形是矩形， ∴与相互平分，但不成立，故③不正确； ④延长至点F，如图1， ∵， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∴，故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式04】如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查圆的有关知识，勾股定理及三角形全等等知识点，关键是综合运用几何知识点．根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系判断②，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断③，作轴于，轴于，通过构造全等三角形，可判断④． 【详解】解：是直径， ，故①符合题意； 是中点， ，故②符合题意； ， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积为，故③符合题意； 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ，， 是正方形， 设正方形的边长为， ， ， ， 点坐标是，故④不符合题意， 故选：B． 【变式05】如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠MPN为直角，使点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论：①EF＝OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；⑤OG•BD＝AE2+CF2．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，直角，易证得（ASA），则可证得结论；②由①易证得，则可证得结论；③，故可得结论；④首先设，则，，继而表示出与的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；⑤易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，再利用与的关系，与的关系，即可证得结论. 【详解】解：①四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， （ASA）， ，， ，故正确； ② ， ，故正确； ③，故正确； ④过点作， ， ， 设，则，， ， ， 当时，最大； 即在旋转过程中，当与的面积之和最大时，，故错误； ⑤ ，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ，故正确. 故选. 【点睛】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键. 题型三 动态几何多结论判断 【典例01】如图，已知菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，与相交于点，则下列结论：①，②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质等等解题的关键是对几何图形的性质能够灵活应用． ①首先证为等边三角形，得，，结合已知条件可证；②得，，得，进而可得结论；③证明则可得结论；④过点G分别作的垂线，垂足为N、M，由角平分线的性质得到，求出，进而得到，，据此可得． 【详解】解：在四边形是菱形中，∵， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； 如图所示，过点G分别作的垂线，垂足为N、M， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故④正确； 故选：D． 【变式01】如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到， ，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 为正方形；故①正确； ②过作于，得到， ，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为 ，故②正确； ③连接，于是得到，即当 时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故③正确； ④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到 ，求得，根据勾股定理得到，故④正确． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 将沿折叠得到， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形为正方形；故①正确； ②过作于， 点，点， ，， ，， ， ， 的面积为，故②正确； ③连接， 则， 即当时，取最小值， ，， ， ， 即的最小值为；故③正确； ④， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：．    【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【变式02】如图，在中 ，是边上一动点（不与点重合），，交于点E， 下列结论：①；②；③当时，；④为直角三角形时，或者6.25．其中正确的结论有（　     　） 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图1：在线段上取点F，使，连接，易证进而可得即可判定①；结合①的结论可得，再确定的范围为，进而得到，即②正确；分两种情况：当时，可证明结论正确，当时，结论不成立；故③错误；为直角三角形，可分两种情况或分别讨论求解即可④． 【详解】解：如图1，在线段上取点F，使，连接，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，故①正确； ∴， 当时，由勾股定理可得： ， ∴， ∴，即，故②正确； 如图2，作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或，或， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 但与显然不是全等形，故③不正确； 如图3， ， ∴， ∴， ∴， 如图4，于D，于H， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形判定和性质、动点问题和分类讨论思想等知识点；掌握动点问题和分类讨论思想是解题的关键． 【变式03】如图，是等边三角形点是延长线上的一个动点，连接，点是的垂直平分线与的角平分线的交点，连接，，过点作于点． 给出下面五个结论： 垂直平分，点一定是线段的中点； 当时，与互相垂直平分； 当时，； 点在运动过程中，的大小始终为 当时， 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断；由是等边三角形，平分与，则垂直平分，，证明，是等边三角形可判断；由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断；证明，则，通过垂直平分线的性质，等边三角形的性质和角度和差可判断；由等腰直角三角形的判定和性质及含角的直角三角形的性质可判断． 【详解】解：∵点是的垂直平分线上的点， ∴， ∵是等边三角形，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点一定是线段的中点，故正确； ∵是等边三角形， ∴， 由得：，， ∵， ∴， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴垂直平分， ∴与互相垂直平分，故正确； 由得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，故不正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵点是的垂直平分线上的点， ∴， ∵是等边三角形，平分， ∴垂直平分，， ∵， ∵，， ∴根据三线合一性质得：， ∴， ∴，故正确； 由上得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式04】如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∴∠DOE=2∠A=90°， ∵分别过点D，E作⊙O的切线， ∴OD⊥DF，OE⊥EF， ∴四边形ODFE是矩形， ∵OD=OE=4， ∴四边形ODFE是正方形， ∴EF=4， ∵点F恰好是腰BC上的点， ∴∠ECF=90° ∴点C在以EF为直径的半圆上运动， ∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG=， ∴OC=OG+CG=. 故答案为：A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直径及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键. 【变式05】如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个 ①； ②当时，； ③以点为圆心、为半径画，当时，与相切； ④当时，． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④ 【详解】解：在中，． ， 故①正确； 作AG⊥BD于G， 在Rt△ABC中，， ∵AD=AB=5，AG⊥BD ∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG， 在Rt△DCB中，， ∴DG=BG=， 在Rt△BGA中，， ∴， 故②当时，正确； AD=t，BE=2t，cosA=， 当时，，， ∴， ∵， ∴cosA=，∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠AED=∠ACB=90°， ∴∠DEB=90°， ∴与相切， 故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确； 过E作EH⊥AC于H， 当时， ∵∠EHD=∠DCB=90°， ∴△EHD∽△DCB， ∴， ∵AE=5-2t， ∴AH=，EH=，，， ∴， 整理得， 因式分解得， ∴或（舍去）， 故④当时，正确； 正确的结论有4个． 故选择D． 【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键． 题型四 方程与不等式多结论判断 【典例01】方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据  一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程 ，解方程可判断④． 【详解】解：①若，则方程中，则方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则，则方程的根的判断式，则方程必定也有两个不相等的实数根，故②正确； ③如果5是方程P的一个根，那么， 方程两边同时除以25，得 ，即， ∴是方程Q的一个根，故③正确； ④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么 ， 解得：，则，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：D． 【变式01】关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①若，那么为一个实数根，根据判别式即可判断；②把和2代入方程，建立两个等式，即可得到；③方程有两个不相等的实根，则，得出，即可判断方程必有两个不相等的实数根；④若，计算根的判别式的值得到，于是根据根的判别式的意义可对其进行判断． 【详解】解：①若，方程有一根为1， 又，则，故正确； ②两根关系可知，，整理得：，故正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，可知， 故方程必有两个不相等的实数根，故正确； ④若，则， 即方程有两个不相等的实数根，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力． 【变式02】对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、因式分解法解一元二次方程等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 【变式03】（24-25八年级下·陕西西安·月考）关于x的不等式组，给出下列说法：①当时，不等式组无解；②当时，不等式组的整数解只有0；③当不等式组的解集为时，；④当不等式组只有两个整数解时，．其中说法正确的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的解集， 先解不等式组，再根据无解判断①，然后令，可得，根据整数解判断②，接下来根据不等式组的解集判断③，最后根据两个整数解为为，判断④即可． 【详解】解：解不等式，得， 当时，不等式组无解； 当时，不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解有； 当不等式组的解集是时，； 当不等式组只有两个整数解时，为， 所以． 正确的有①④，共2个． 故选：B． 【变式04】已知关于的不等式组，现有以下结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组只有三个整数解，则； ④若原不等式组的解集为时，则． 其中正确的是___________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①④/④① 【分析】先求出不等式组的解集，再根据各小题的结论解答即可． 【详解】解：∵关于的不等式组， ∴当时，， ∴是该不等式组的一个解， 故①正确； ∵不等式组无解， ∴， 故②错误； ∵不等式组只有三个整数解， ∴， 故③错误； ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故④正确； ∴正确的序号为①④， 故答案为：①④； 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键． 【变式05】关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若是方程的一个根，则；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为；④一元二次方程，由根与系数的关系，可得．正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的判别式、等腰三角形性质及根与系数关系，需注意分类讨论． 根据根的判别式可以判断①；将代入方程，可得，即可判断②；分类讨论画图，利用角度的计算可判断③；根据根与系数的关系可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故①正确. ②若是方程的根， 则代入得，即， 若，则不一定为；若，则，故②错误. ③等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为， 当等腰三角形顶角为锐角时，如图，， 此时； 当等腰三角形顶角为钝角时，如图，， 此时， 故顶角可能为或，不唯一，故③错误. ④方程即， 由根与系数关系，，，故④正确. ∴正确的有①和④，共2个． 故选：B． 题型五 函数与几何跨模块多结论判断 【典例01】（2025·山东淄博·一模）如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误． 【详解】解：由图可知，，， 四边形是矩形， ，． ， ， ． 对于①，当时，点在上，点在上，且， 是等腰三角形，①正确； 对于②，，②错误； 对于③， ，， 当时，点在上，点在处， ，③正确； 对于④，如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形． 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，④错误； 对于⑤， 是直角三角形， 当且仅当点在上时，与相似，此时，，且， 或， 即或， 解得或（舍去）． 当与相似时，，⑤正确． 综上可得，正确的有：①③⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式01】如图，点是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论： ①是等腰三角形；②； ③；④当时，正方形ABCD的周长是16． 其中正确结论的序号是_________． 【答案】②③ 【分析】根据题意可知A、B点的横坐标与P的横坐标相同，即可求出A、B的坐标，进而可求出AO、OB、PA、PB、AB，据此即可逐项判断求解． 【详解】根据题意有轴， ∵P(t,0)， ∴A、B两点的横坐标为t， ∴将x=t分别代入、y=-x有，， ∴A(t,)，B(t,-t)， ∴OP=t、PA=、PB=t、AB=PA+PB=，即， ∴，， ∵， ∴△AOB不是等腰三角形，即①错误， ∴，即②正确， ∵，， ∴，即③正确， ∵正方形ABCD的周长为， ∴当t=2时，周长为12，即④错误， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、正方形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识，根据题意求出A、B的坐标是解答本题的关键． 【变式02】如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，结合图像分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图像经过点A，则点在第三象限；⑤点M是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据二次函数图象与系数的符号判断即可；②根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式可得；③当时，随的增大而增大；④由直线经过点A可得k与b的数量关系，进行判断．⑤设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出，进而根据求出． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故①正确； 抛物线与x轴交于点，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即， 将代入，得， ，故②错误； 观察图象可知，当时，随的增大而增大， 故③错误； ∵一次函数的图像经过点A， 将代入得， 解得， ∵， ∴， ∴点在第三象限，故④正确； 抛物线经过，， 设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点．   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确， 故正确的有，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式05】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k=3；②关于x的不等式的解集为或；③若双曲线上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8；④若在轴上有一点M，轴上有一点N，且点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，则M、N点的坐标分别为M(2,0)、N(0,4)，其中正确结论的个数(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】分析：①直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；②根据对称性，可求得点B的坐标，结合图象，即可求得关于x的不等式的解集；③过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC，又由双曲线y= (k＞0)上有一点C的纵坐标为6，即可求得点C的坐标，继而求得答案；④由当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案． 详解： ∵直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为3， ∴点A的纵坐标为：y=×3=2， ∴点A（3，2）， ∴2=， ∴k=6； ①错误； ∵直线与双曲线交于A、B两点，点A（3，2）， ∴B（-3，-2）， ∴关于x的不等式的解集为或； ②正确； 过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E， ∵双曲线y=  (k＞0)上有一点C的纵坐标为6， ∴把y=6代入y=得：x=1， ∴点C（1，6）， ∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC=×（2+6）×（3-1）=8； ③正确； 如图，当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形， ∵点A（3，2），点C（1，6）， ∴根据平移的性质可得：M（2，0），N（0，4）或M′（-2，0），N′（0，-4）． ④正确； 综上，正确的结论有3个，故选B. 点睛：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及一次函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 【变式04】在平面直角坐标系中，点分别在轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形交于点，连接．（1）直线的函数表达式为；（2）的取值范围是；（3）若点的坐标为时，则；（4）连接，则的最大值为；（5）四边形面积的最大值为18．其中结论正确的个数是(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图：作轴，轴，再证可得，进而可求得直线的函数解析式为；当时，，则＝，则，（当时同理可得：），当时，B点的坐标为或；取的中点Q，连接，则，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，由三角形三边关系可得：，当O、Q、P在同一直线上时取等，由，可得，（当时同理可得：），即可得,即②错误；由三角形三边关系可得：，当O、Q、D在同一直线上时取等，即可求得的最大值．先说明四边形面积等于正方形的面积，再求得的最大值，然后求出正方形的面积的最大值即可判定⑤． 【详解】解：如图：作轴，轴，则四边形是矩形， ∴，    ∵四边形是正方形，， ∴与互相垂直且平分，，则， ∴， ∴， ∴， ∴，（当时同理） 由题意可知，点P在第一象限，设，直线的函数解析式为：, 代入可得：,可得，即直线的函数表达式为,故①正确； ∵，轴，轴， ∴四边形是正方形，则， 当时，，则，则，（当时同理可得：） ∴当时，B点的坐标为或，故③错误； 取的中点Q，连接，则， ∵， ∴， 由三角形三边关系可得：，当O、Q、P在同一直线上时取等， ∵，， ∴，（当时同理可得：）则，故②错误； 由三角形三边关系可得：，当O、Q、D在同一直线上时取等， ∴的最大值为，故④正确； ∵， ∴四边形面积等于正方形的面积， ∵，， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为,即⑤正确 综上：正确的有①④⑤，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【变式05】如图1，在△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当S=时，t=或6．下列结论正确的是（  ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】①由函数图象可知当0＜t≤3时，点Q未动，点P在AC上移动，移动时间t=3，然后依据路程=时间×速度求解即可； ②分情况求出求S关于t的函数关系式，由S=列出关于t的方程，从而可求得t的值． 【详解】解：由函数图象可知当0＜t≤3时，点P在AC上移动， ∴AC=t×1=3×1=3cm．故①正确； 在Rt△ABC中，S△ABC=6，即BC×3=6，得：BC=4． 由勾股定理可知：AB=5． （1）当0＜t≤3时，点P在AC上移动， S=BC•PC =×4t =2t； （2）∵点P到达点B时，点Q恰好到达点C， ∴t=4s时，点Q开始移动， 当3<t≤4时，PB=AB-AP=5-（t-3）=8-t， 过点P作PH⊥BC，垂足为H， 则△ABC∽△PBH， ∴， ∴PH=PB=（8-t）， ∴S=BC•PH， =×4×（8-t）， =-t+， （3）当4＜t＜8时，过点P作PH⊥BC于H． 同理：PH=PB=（8-t）， ∵QC＝4-（t-4）＝8-t， ∴S=QC•PH， =×（8-t）×（8-t）， =， 当0＜t≤3时，2t=，解得t＝， 当3≤t≤4时，−t+＝，解得：t=7（舍去）， 当4＜t＜8时，，解得t=6或t=10（舍去）， ∴当t为或6时，△PQC的面积为． 故②正确． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了是勾股定理，相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式，依据函数图象求得AC、BC的长是解题的关键． （限时训练：30分钟） 1．（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时， ，令，则，解得：； 当时，，则； 当时， ，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 2．如图，已知直线 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图像相交于A（－2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB．给出下列结论： ①k1k2＞0；②m＋n=0；③S△AOP= S△BOQ；④不等式k1x+b＞的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①错误；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确． 【详解】解：①由图象知，，， ，故①正确； ②把、代入中得， ，故②正确； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ，， ，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据条件求出相应点的坐标是解题关键． 先根据条件求出点A，C的坐标，从而求出点B，D，E的坐标，求出坐标后，通过坐标逐一确定选项即可． 【详解】∵点A在反比例函数图象上，且横坐标为1， 又轴， 令，得，， ∴，，， ∴，①错误， 令，解得（负值已舍去）， 令，得， ∴，②正确， 由图象可知，在点C的右侧，一次函数的图象在反比例函数的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，③正确， ∵， ∴轴， ∴， ∴，， ∴，④正确， 故正确的个数为3， 故选：C． 4．如图，直线y＝kx＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x＝1， 且OA＝OD，直线y＝kx＋c与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列结论① abc>0；②2a＋b＝0；③－1<k<0；④k>a＋b．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；由抛物线与轴的交点判断的符号；由抛物线和直线图像上点的坐标判断有关代数式的符号． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线对称轴是直线， 且． 抛物线与轴交于正半轴， ． ①错误； ②正确； 直线经过一、二、四象限， ． ， 点的坐标为． 直线当时，， 可得． ③正确； 直线与抛物线的图像有两个交点 ， 得， 由图像知， ④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系和一次函数的性质以及抛物线与直线的交点的求法，解题的关键是掌握一、二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 5．如图，抛物线与x轴交于点 、点B与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】①代入点的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把带入后，即可表示出，进而求出h的取值范围；⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标． 【详解】解：①∵抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点， ∴可得：， ∴，故①正确； ②∵函数函数值为0， ∴， ∴， ∴时，， ∴B点坐标为，故②正确； ③抛物线的顶点坐标为，故③错误； ④把带入后，， 解得：， ∴h的取值范围是，故④正确； ⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小， 直线 和对称轴联立方程组， 可得， 解得， ∴Q点坐标为，故⑤正确． 综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个． 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，，于点E，O，F，点G是的中点，连接，，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④=，其中结论正确的个数有（　　）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用正切函数求得，由垂直平分线的性质推出，，可证明四边形是菱形；在中，利用正切函数的定义可求得；根据斜边中线的性质求得，判断②错误；计算得出和的面积即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，，, ∴, ∴ ， ∴四边形是菱形，故③正确； 在中，， ∴，故①正确； ∵四边形是菱形， ∴，即， ∵点是的中点， ∴，即，故②错误； ∵在矩形中，，，， ∴，则，， ∵点是的中点， ∴， 而， ∴，故④正确； 综上，①③④正确，即正确的结论有3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 7．（2024·湖南长沙·一模）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意条件可证得，结合全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，则，故①正确；过点A作，垂足为点H，通过条件证得，，再通过条件证得，结合对应边相等可得到，从而说明②③正确；通过边长的等量关系能推出，最后说明，故能说明④错误． 【详解】解：∵由题可知，，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 即，故①正确； 如图，过点A作，垂足为点H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则，故④错误； 故选C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形性质与判定，锐角三角函数的应用等知识，综合运用相关知识，采用数形结合的方法是解题关键． 8．已知关于x 的不等式组，下列结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组的解集是，则；③若不等式组的整数解仅有2个，则a 的取值范围是；④若不等式组无解，则． 其中结论正确的是__________ (填序号)． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 【详解】解：不等式组，整理得， ①∵， ∴不等式组的解集为，故①正确； ②∵不等式组的解集是， ∴，解得，故②正确； ③∵不等式组的整数解仅有2个，即整数解为2，3 ∴，解得：，故③不正确； ④∵不等式组无解， ∴，解得：，故④正确； 故答案为：①②④． 9．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的横坐标为－4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①；②不等式的解集为－4<x<0或x>4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数解析式即可求出k值，然后对①进行判断；根据正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称可得点C的坐标，然后利用函数图象得出不等式的解集，进而对②进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义求出△ABO的面积，进而可得△ABC的面积，然后对③进行判断． 【详解】解：当x＝－4时，， ∴点A的坐标为， 将A代入y＝kx得：2＝－4k， 解得：，①正确； ∵正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的坐标为， ∴点C的坐标为， 由函数图象可得不等式的解集为：－4<x<0或x>4，②正确； ∵，点A、C到x轴的距离相等， ∴，③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的图象和性质以及反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 10．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论正确的是_______________． ①当 x＞3 时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＜8a． 【答案】①②③④． 【分析】①根据抛物线的对称性求出与x轴的另外一个交点，观察图形即可判断其正确性 ②把抛物线的对称轴用含有a、b的代数式表示出来，其开口方向又向下，即可判断其正确 ③根据抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有a的代数式表示出来，又已知在2和3之间即可求得a的取值范围 ④有抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有c的代数式表示出来，又已知在2和3之间即可求证 【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），当 x＞3 时，y＜0，故①正确； ②抛物线开口向下，故 a＜0， ∵x＝﹣， ∴2a+b＝0． ∴3a+b＝0+a＝a＜0，故②正确； ③设抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3），则 y＝ax2﹣2ax﹣3a，令 x＝0 得：y＝﹣3a． ∵抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间， ∴2≤﹣3a≤3． 解得：﹣1≤a≤- ，故③正确； ④．∵抛物线 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间， ∴2≤c≤3， 由 4ac﹣b2＞8a 得：4ac﹣8a＞b2， ∵a＜0， ∴c﹣2＜ ， ∴c﹣2＜0， ∴c＜2，与 2≤c≤3 矛盾，故 4ac﹣b2＜8a，④正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题是有关抛物线的一道综合性题目，主要考点是抛物线的对称性、开口方向判断二次项系数的符号、抛物线解析式的多种表示方法等．熟练掌握抛物线的定义和性质和解析式是解决此题的关键． 11．如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有______． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，，，，通过证明四边形是矩形，可得，，，由“”可证≌，可得，，，可判断①；由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可判断②③；由，可得，可判断④，即可求解． 【详解】解：①，， ，， 将绕点逆时针旋转， ，，，，， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， ，， ≌， ，，， 平分，故①正确； ②，， ， ， ，， ， ，故②正确； ③如图，连接， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 点是的中点，故③正确， ④，， ， ， ，故④不合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造等腰三角形是本题的关键． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接、，下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中，正确的结论是_________（请填入正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、角平分线定理、全等三角形的性质与判定，根据轴对称的性质找到最短路径是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，进而证得；根据角度之间的关系，证得，进而证得；根据证得得到和；连接，当、、三点共线，且时，有最小值，根据直角三角形的性质证得最小值为，据此进行逐一判断即可． 【详解】解：、， ， ， 、， ， 、， 因此①正确； ， ， 因此②正确； ， ， 平分， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 因此③错误； ， 、， ， 因此④正确； 连接， 、平分， 是的垂直平分线， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值， 、， 当时，， 的最小值为， ， 因此⑤错误； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 多结论选填题小综合 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 函数图象与性质多结论判断 题型二 几何图形性质多结论判断 题型三 动态几何多结论判断 题型四 方程与不等式多结论判断 题型五 函数与几何跨模块多结论判断 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 多结论选填题小综合是中考数学选填压轴核心题型，分值约 3～5 分，以选择题（多选 / 选正确结论个数）、填空题（填正确结论序号）为主，整体为中档偏难题，侧重考查知识综合应用、逻辑推理与细节辨析能力，是拉开基础分与高分的关键板块，也是各地中考的必考题型。基础知识必备：熟练掌握函数（一次、反比例、二次）的图象与性质、几何（三角形、四边形、圆）的核心定理、方程与不等式的核心知识点（根的判别式、根与系数关系、解集判定）；能结合数形结合、分类讨论思想分析问题；具备逐一验证结论、用排除法简化判断的解题思维；能准确进行几何计算与代数推导，注重推理的严谨性。 2026中考预测： 题型稳定：函数图象性质、几何图形性质、动态几何为必考类型，函数与几何跨模块综合为选填压轴最高频考法，方程与不等式多结论判断为基础常考形式； 难度平稳：基础结论侧重单一知识点应用，难点结论侧重多知识点融合，无偏题、怪题，重点考查结论验证的逻辑与计算准确性； 命题趋势：结论设计更隐蔽，常结合图象、动点、几何计算设置结论，强调细节辨析与推理严谨性；跨模块综合题占比提升，注重数形结合思想的实际应用，部分题目结合简单生活背景。 题型一 函数图象与性质多结论判断 【典例01】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）关于的一次函数，下列说法： ①若，则函数图象经过第一、二、三象限； ②若函数图象经过原点，则； ③无论为何实数，函数的图象总经过点． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【典例03】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式01】（2024·辽宁·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式02】．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论： ①点C的坐标为； ②当时，一次函数的值小于反比例函数的值． ③将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点． ④连接，，则的面积为12． 其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式03】如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式04】（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【变式05】若二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的新抛物线关于轴对称．则下列说法正确的是______．（填序号） ； 当时，代数式的最小值为； 对于任意实数，不等式一定成立； ，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有． 【变式06】（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数 (a，b，c为常数，)的图像经过点，下列四个结论：①；②；③若，则对任意x，都有；④记S为函数的最小值，若恒成立，则；其中正确的有________________． 题型二 几何图形性质多结论判断 【典例01】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式01】如图，在菱形ABCD中，，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有(   ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式02】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式03】（2025·河北石家庄·三模）如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点A，B分别在相互垂直的射线上滑动，连接．给出下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则；②C，O两点距离的最大值为4；③若平分，则；④在滑动过程中，始终等于60°．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【变式04】如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式05】如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠MPN为直角，使点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论：①EF＝OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；⑤OG•BD＝AE2+CF2．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三 动态几何多结论判断 【典例01】如图，已知菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，与相交于点，则下列结论：①，②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式01】如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式02】如图，在中 ，是边上一动点（不与点重合），，交于点E， 下列结论：①；②；③当时，；④为直角三角形时，或者6.25．其中正确的结论有（　     　） 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式03】如图，是等边三角形点是延长线上的一个动点，连接，点是的垂直平分线与的角平分线的交点，连接，，过点作于点． 给出下面五个结论： 垂直平分，点一定是线段的中点； 当时，与互相垂直平分； 当时，； 点在运动过程中，的大小始终为 当时， 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【变式04】如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 【变式05】如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个 ①； ②当时，； ③以点为圆心、为半径画，当时，与相切； ④当时，． A． B． C． D． 题型四 方程与不等式多结论判断 【典例01】方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式01】关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式02】对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式03】关于x的不等式组，给出下列说法：①当时，不等式组无解；②当时，不等式组的整数解只有0；③当不等式组的解集为时，；④当不等式组只有两个整数解时，．其中说法正确的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式04】已知关于的不等式组，现有以下结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组只有三个整数解，则； ④若原不等式组的解集为时，则． 其中正确的是___________（写出所有正确结论的序号）． 【变式05】关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若是方程的一个根，则；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为；④一元二次方程，由根与系数的关系，可得．正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 函数与几何跨模块多结论判断 【典例01】（2025·山东淄博·一模）如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 【变式01】如图，点是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论： ①是等腰三角形；②； ③；④当时，正方形ABCD的周长是16． 其中正确结论的序号是_________． 【变式02】如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，结合图像分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图像经过点A，则点在第三象限；⑤点M是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式05】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k=3；②关于x的不等式的解集为或；③若双曲线上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8；④若在轴上有一点M，轴上有一点N，且点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，则M、N点的坐标分别为M(2,0)、N(0,4)，其中正确结论的个数(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式04】在平面直角坐标系中，点分别在轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形交于点，连接．（1）直线的函数表达式为；（2）的取值范围是；（3）若点的坐标为时，则；（4）连接，则的最大值为；（5）四边形面积的最大值为18．其中结论正确的个数是(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式05】如图1，在△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当S=时，t=或6．下列结论正确的是（  ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 （限时训练：30分钟） 1．（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 2．如图，已知直线 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图像相交于A（－2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB．给出下列结论： ①k1k2＞0；②m＋n=0；③S△AOP= S△BOQ；④不等式k1x+b＞的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，直线y＝kx＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x＝1， 且OA＝OD，直线y＝kx＋c与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列结论① abc>0；②2a＋b＝0；③－1<k<0；④k>a＋b．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．②③④ 5．如图，抛物线与x轴交于点 、点B与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，，于点E，O，F，点G是的中点，连接，，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④=，其中结论正确的个数有（　　）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·湖南长沙·一模）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知关于x 的不等式组，下列结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组的解集是，则；③若不等式组的整数解仅有2个，则a 的取值范围是；④若不等式组无解，则． 其中结论正确的是__________ (填序号)． 9．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的横坐标为－4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①；②不等式的解集为－4<x<0或x>4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论正确的是_______________． ①当 x＞3 时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＜8a． 11．如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有______． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接、，下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中，正确的结论是_________（请填入正确的序号）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $