七年级数学下学期3月学情自测（新教材北师大版第1～2章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级下册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 2．系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数，据此确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：米米． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则与完全平方公式，根据初中整式运算的对应法则，逐一计算判断即可得到正确结果. 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故A选项计算错误； 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B选项计算正确； 选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故C选项计算错误； 选项D：根据完全平方公式展开，可得，故D选项计算错误. 故选：B. 4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 5．若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与直角的角度和差计算即可判断；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过补角计算两角大小；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中， ∵， ∴， ∴， 第二个图形，如图： ∵， ∴， 第三个图形中， ∵， ∴， 第四个图形中， ∵， ∴， ∴， 综上，符合题意的有个， 故选：C． 7．已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 8．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，可得，根据光的反射定律得到,则，再由平行线的性质得到． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 10．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．已知，则的余角为______． 【答案】 【详解】解：的余角为：． 12．已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 13．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】/度 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 15．设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值． 根据新定义简化得到，由给定条件求出的值，再计算即可． 【详解】解：由新定义可知，． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 16．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质、角的动态定义，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，根据题意画出所有可能情况是解题关键． 【详解】解：如下图所示， 当时，延长交于点， ， 在中，， ， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， 在中，， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， ， ， ， ， 绕点旋转的度数为， 秒； 综上所述，当秒或秒或秒时，与三角板的直角边平行． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂、绝对值，再计算加减运算即可； （2）先利用积的乘方、单项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（6分）化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 19．（6分）如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接解答即可； （2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差关系可求的度数． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ． 20．（6分）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把分别代入后再化简，然后代入求值； （2）把代入等式后再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由题意可得：， 解得：． 21．（8分）在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 (3)4 【分析】本题考查平行线，垂线段最短： （1）先确定 的方向（从 B 到 A 是向右 3格、向下3格），再从点 E 出发，按相同方向（向右 3格、向下 3 格）找到格点，连接成直线即可； （2）过点E作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求， （2）如图所示，点 P 是过 E 作的垂线的垂足，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上．在图中，这样的格点 Q（不与 E 重合）共有、 、、共4 个． 故答案为：4． 22．（8分）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 23．（8分）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 【答案】(1) (2)；过程见解析 (3) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则，得出，，根据，即可得出答案 （3）同底数幂乘法和除法逆用，幂的乘方逆用，求出，，再代入，解关于s的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 把，代入得： ， 解得：． 24．（12分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【答案】（1），； （2），； （3）4051； （4） 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）中推导公式求得以及，得到以及，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）∵，， ∴，， , ，． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 25．（12分）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，作，利用列式计算即可求解； （2）作，结合（1）的结论，求得，即可证明平分； （3）分两种情况讨论，作，利用平行线性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B C B B B C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12． 13．/度 14． 15． 16．或或 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分） 【详解】（1）解：原式 ；.........3分 （2）解：原式 ．.........6分 18．（6分） 【详解】解： .........3分 当，时， 原式．.........6分 19．（6分） 【详解】（1）解：， ， ；.........3分 （2）解：，且， ， ， ， ．.........6分 20．（6分） 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式．.........3分 （2）解：由题意可得：， 解得：．.........6分 21．（8分） 【详解】（1）解：即为所求， .........2分 （2）如图所示，点 P 是过 E 作的垂线的垂足，此时最短，依据是：垂线段最短；.........6分 （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上．在图中，这样的格点 Q（不与 E 重合）共有、 、、共4 个． 故答案为：4．.........8分 22．（8分） 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70；.........2分 （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴；.........5分 （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴．.........8分 23．（8分） 【详解】（1）解：∵， ∴ ；.........2分 （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴；.........5分 （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 把，代入得： ， 解得：．.........8分 24．（12分） 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，．.........3分 （2）∵，， ∴，， , ∴a+b=9,a-b=5． ．.........6分 （3）设，， 则， ， ． ．.........9分 （4）设，，则，， ．.........12分 25．（12分） 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴；.........4分 （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分；.........8分 （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或．.........12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级下册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 2．系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 5．若则（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 8．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 10．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则的余角为______． 12．已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 13．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 14．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 15．设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则___________． 16．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（6分）化简求值：，其中，． 19．（6分）如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．（6分）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 21．（8分）在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 22．（8分）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 23．（8分）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 24．（12分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 25．（12分）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $