四川省绵阳南山中学实验学校2025-2026学年高三下学期数学周练（四）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（四） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，那么集合 A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则实数 A．3 B．5 C． D． 3．函数的部分图象可能是 A． B． C． D． 4．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为 A． B． C． D． 5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 6．已知中，若，且点在上，则 A．1 B． C． D． 7．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有 A．216种 B．360种 C．432种 D．672种 8．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 10．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 11．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，为的右焦点，点在上，且关于轴对称，其中点在第一象限．分别为线段的中点，点，为坐标原点，则 A．的方程为 B． C．的最小值为 D．的面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的定义域为，满足，则____________． 13．记等比数列的前项和为，且，，则该数列的公比为____________． 14．在四边形中，．沿直线将折起，形成三棱锥．已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在中，角对边为，的面积为S，已知. （1）若，，求的值； （2）若，求cos A的值. 16．（15分） 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有且仅有一个零点，求的值. 17．（15分） 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.若，求的面积. 18．（17分） 如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）证明：； （2）已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. （i）证明：点在平面上； （ii）求与平面所成角的正弦值. 19．（17分） 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值； （ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率； （ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y，求； （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，…，第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（获得优惠券10000元）或第50格（获得大礼包）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，其中，试证明，是等比数列，计算获得优惠券的概率和获得大礼包的概率，并比较它们的大小． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（四） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A C B D C D BCD BD ABD 1．C【详解】由，可得，则， 由，可得，即，即，故. 2．D【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，且，解得.故选：D. 3．A【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误．当时，，所以B错误.故选：A． 4．C【详解】设，不妨取渐近线的方程为， 则，又，故， 因为，的面积为6， 所以，解得，所以的渐近线的斜率为. 5．B【详解】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为， 故，故，而，故. 6．D【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则，所以. 7．C【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为：故选：C 8．D【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 9．BCD【详解】在等差数列中，，解得，则公差， 对于A，，A错误；对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，因此，D正确.故选：BCD 10．BD【详解】对于选项A，若，则与相交或平行，所以A错误； 对于选项B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以B正确； 对于选项C，若有可能在内，故C错误； 对于选项D，若，根据线面平行的性质定理和判定定理， 可以判断，所以D正确.故选：BD 11．ABD【详解】设的焦距为，由题意知解得，所以，所以的方程为，故A正确； 如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知， 因为分别为线段的中点， 所以， 由椭圆的定义知，故B正确； 设，则，所以， 所以， 当时，，故C错误；，而， 所以，即的面积的取值范围为，故D正确．故选：ABD． 12．-3【详解】由上的函数满足，得， 即函数是以6为周期的周期函数，而， 所以. 13．或【详解】在等比数列中，，，所以. 由且，解得或. 14．【详解】没有翻折时，图形为： 因， 则是以为直角的等腰直角三角形，是以为的等腰三角形．翻折之后，图形为： 假设点到了新的位置，而原来位置记为，过作交于点，连接， 因为，则二面角的平面角为， 故二面角的平面角为的补角，因二面角的大小为， 故，又，则为等边三角形. 由上分析，易得平面，过点作于点，则， 故可得平面，则三棱锥的高为． ，在中，，解得， 从而，于是三棱锥的高为， 又底面的面积为故三棱锥的体积为故答案为：. 15．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 又，则，由余弦定理得，解得； （2）因为，又，所以， 所以由余弦定理得. 16．【详解】（1）当时，，，得， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）方法一：，， ， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值，最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得，则a的值为9. 方法二：，， 令得， 令，， 则， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值，最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得，则的值为9. 17．【详解】（1）设点，由，得， 由点到轴的距离为，得，又，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）不妨设点在第二象限，可设，，则， 将其与联立，解得，代入，可得，即得， 又轴，且点在抛物线上，故，代入，可得，即得， 则，由， 又，可得， 故的面积为. 18．详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又易知，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）法一：（i）在平面内作的垂直平分线，交于，连接，， 因为，，所以，，因为，， 所以，因为，，所以， 所以在以为球心，为半径的球面上，即与重合，故点在平面上； （ii）记点到平面的距离为，由，可得， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又，，则， 所以， 则，解得，又， 记与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为. 法二：（i）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 若在同一个球面上，设球的半径为，则， 设，则， 解得，即点在平面上； （ii），，. 设平面的法向量为，则， 取，则，记与平面所成角为， 则，所以与平面所成角的正弦值为. 19．【详解】（1） (千米). （2）（i）由．所以. （ii）依题意有，所以． （3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即． 遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种； ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为． ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为． 所以，所以． 所以时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以 . 所以获得优惠券的概率， 获得大礼包的概率． 所以． 所以获得优惠券的概率大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $