精品解析：贵州贵阳市第一中学2026-2027学年高一上学期教学质量监测卷（一）数学试题

贵阳一中2026—2027学年高一年级第一学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效. 3.考试时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 若，则的最小值是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 如果关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：①时，，②，则（ ） A. 70 B. 71 C. 72 D. 73 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，在区间单调递增 B. 是奇函数，在区间单调递减 C. 是偶函数，在区间单调递减 D. 是奇函数，在区间单调递增 10. 设，集合，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则中只有一个整数的一个充分条件是 11. 设，，均为正实数，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最大值为1 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_________. 13. 已知，则函数的解析式为_________. 14. 已知正实数，满足，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 16. 已知不等式的解集是或. （1）求不等式的解集； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）判断在区间上单调性，并用定义法证明； （2）求函数在上的解析式； （3）求关于的不等式的解集. 18. 设的定义域是，区间.若存在常数使得：，，都有，则称是区间上的函数.现有函数，其中，为常数. （1）若，判断是不是上的“函数”，并说明理由； （2）若是上的“函数”，求的值； （3）若，令在上的最大值为，且为“函数”，满足成立，求的取值范围. 19. 已知定义在上的函数满足条件：①，，有恒成立；②当时，恒成立，③（是一个给定的正整数）. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断并证明的单调性；若函数在上有恒成立，试确定的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2026—2027学年高一年级第一学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效. 3.考试时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，明确取值范围，再依据交集定义找出两集合的公共元素即可. 【详解】，为自然数集， 又∵， ∴是由同时属于集合、集合的元素组成的集合， ∴中元素均满足 . 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题的规则，更换量词、否定结论且保留原变量取值范围即可求解. 【详解】因为原命题为“，”， 则原命题的否定为“，”. 3. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义及充分必要条件的概念即可作出判断. 【详解】当时，则，又，所以，因此“”是“”的充分条件； 当时，又，所以，因此“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 故选：C. 5. 若，则的最小值是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，且， 当且仅当，即时取等号，，满足条件， 故的最小值为. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，因为，所以，，， 所以，即的值域为. 7. 如果关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，求得参数，再解目标分式不等式即可. 【详解】因为等价于，而的两根为， 因为不等式解集为，故可得，且，则； 则即，等价于，解得. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足：①时，，②，则（ ） A. 70 B. 71 C. 72 D. 73 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值法依次求出的值. 【详解】当时，由得，则， 当时，由得，则， 当，时，，得， 当时，， 当时，， 当时，. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，在区间单调递增 B. 是奇函数，在区间单调递减 C. 是偶函数，在区间单调递减 D. 是奇函数，在区间单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】由定义判断的奇偶性,可排除A,C;再由的符号去绝对值,把化为分段函数,借助二次函数图象的对称轴判断各区间上的单调性,检验B,D. 【详解】对于A,的定义域为,关于原点对称,且,所以是奇函数,不是偶函数,A错误. 对于C,由上面的判断知是奇函数,C错误. 当时,,这是开口向上、对称轴为的抛物线. 所以在上单调递减,在上单调递增. 当时,,这是开口向下、对称轴为的抛物线. 所以在上单调递增,在上单调递减. 对于B,在与上都单调递减,且. 所以在上单调递减,B正确. 对于D,由时的解析式知在上单调递增,D正确. 10. 设，集合，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则中只有一个整数的一个充分条件是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，求不等式的解集为时的范围，即可判断，对于选项B，化简集合，结合集合运算法则求可判断，对于选项C，由条件可得，讨论即可判断，对于选项D，由条件可得或，分情况讨论确定中只有一个整数的等价条件，结合充分条件定义确定结论. 【详解】对于选项A，由已知不等式的解集为，所以， 不等式②可化为，该不等式的解集为，即不存在，，A错误； 对于选项B，当时，，化简可得， 故，又 ， 所以，B正确； 对于选项C，由得， 当时，不等式可化为，故，满足； 当时，，此时，由可得，所以， 当时，，此时，矛盾， 当时，，此时，由可得，所以， 故当时，，与选项结论矛盾，C错误； 对于选项D，因为，所以，所以或， 当时，，中只有一个整数等价于，，解得， 当时，，中只有一个整数等价于，，解得， 所以中只有一个整数的一个充分条件是，D正确. 11. 设，，均为正实数，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最大值为1 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项利用不等式，凑定值直接求解即可.对于B选项利用换元法和乘1法求解即可.对于C选项利用已知换掉c，然后基本不等式求解即可.对于D选项根据已知把双变量变成单变量，再利用乘1法求解即可. 【详解】对于A选项，因为，所以， ， 当且仅当即时取得最大值，符合，故A对. 对于B选项，令，因为，均为正实数，所以， 由得，， 又因为,所以化简得 当且仅当时取得最小值，结合解得，符合，故B错. 对于C选项，由，得，所以， 因为，均为正实数，所以， 当且仅当即时取得最大值，结合可得符合，，均为正实数，故C对. 对于D选项，由得，，均为正实数，所以， 代入得, 因为，所以， 化简得，当且仅当即时取得最小值， 符合，故D对. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义的约束条件，分别列出二次根式被开方数非负、分式分母不为零的不等式，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： 二次根式的被开方数非负： ，解得； 分式的分母不为零： ，解得. 取两个解集的交集，可得函数的定义域为. 13. 已知，则函数的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【详解】令，由，得， 且，， 代入原式 将换为，得. 14. 已知正实数，满足，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先通过换元简化分母，设，，再引入比值，用表示出，并化简，再利用基本不等式即可求的最大值. 【详解】设，，则，， 因为，所以有，即， 设， 因为，，所以， 因为，所以，即， 所以， 所以 ， 由基本不等式， 当且仅当时，等号成立，即符合条件， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【小问1详解】 当时，， 因为或，所以， 故. 【小问2详解】 若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 16. 已知不等式的解集是或. （1）求不等式的解集； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为不等式的解集是或， 故且为方程的两个解，故， 故且. 故不等式即为， 故，故或， 故不等式的解集为或. 【小问2详解】 时不等式即为， 故恒成立， 若，则恒成立， 若，则即； 综上. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）判断在区间上单调性，并用定义法证明； （2）求函数在上的解析式； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）在上单调递增； 证明过程如下： 任取，则， 因为，所以，，即， 所以在上单调递增； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）任取，计算，判定其正负，根据单调性的定义，即可得出结果； （2）根据函数奇偶性，由题中条件，求出和时的解析式，即可得出结果. （3）先证明函数在上单调递增，结合函数性质化简不等式可得结论. 【小问1详解】 在上单调递增； 证明过程略； 【小问2详解】 因为时，有， 当时，，则， 又函数是定义在上的奇函数，所以， 则，所以， 因此，故； 【小问3详解】 因为函数为奇函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 所以不等式可化为， 所以， 解得， 不等式的解集为. 18. 设的定义域是，区间.若存在常数使得：，，都有，则称是区间上的函数.现有函数，其中，为常数. （1）若，判断是不是上的“函数”，并说明理由； （2）若是上的“函数”，求的值； （3）若，令在上的最大值为，且为“函数”，满足成立，求的取值范围. 【答案】（1）是，证明如下： 当时，， 当时，有成立， 当时，不等式恒成立，此时， 当时，有成立，即，等价于， 因为，所以， 即时，有成立，所以是上的“函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据参数值，写出函数解析式，进而根据题目定义，列出不等式进行分类讨论，判断不等式恒成立时，函数是否满足条件即可； （2）根据题目定义，列出不等式，判断不等式恒成立时，代数式最大值满足的条件，进而列出方程求出结果； （3）根据参数值，写出函数解析式，根据二次函数性质，判断函数在上的最大值，求出，根据题目定义，列出不等式，当不等式恒成立时，求出的范围，进而列出不等式，求出参数范围； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，有成立， 当时，不等式恒成立，此时， 当时，有成立，即， 等价于，因为，所以， 即，解得，此时满足条件，所以. 【小问3详解】 当时，，可知函数对称轴为直线， 当，即时，函数在处取得最大值，此时， 当时，函数在处取得最大值，此时， 所以， 当在上为“函数”，即时，有成立， 由（2）可得在上恒成立，即成立， 当时，，即成立， 当时，可得，解得， 综上所述，当时，有成立，即的取值范围为 19. 已知定义在上的函数满足条件：①，，有恒成立；②当时，恒成立，③（是一个给定的正整数）. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断并证明的单调性；若函数在上有恒成立，试确定的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）函数为奇函数， 由题意可知时，可得，解得， 令，可得，即， 所以，所以函数在上为奇函数. （2）函数在上单调递增， 设，则，可得，可得， 因为函数为奇函数，所以，即， 所以函数在上单调递增； 的取值范围为 （3）当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）根据题目所给等式，通过赋值求出，再构造，根据奇函数定义，证明结果即可； （2）根据函数单调性的定义，以及题目所给函数性质，结合函数为奇函数，证明函数单调递增，根据题目所给不等式，判断函数最大值的性质，进而求出结果； （3）根据题干条件对不等式进行变形，进而根据函数单调性，列出不等式，对参数范围进行讨论，进而求出不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明略； 可知函数在上有恒成立，且函数在上单调递增， 所以，即，解得， 可知，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知，变形为， 即，可得， 因为函数在上单调递增，所以，即， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或， 综上所述，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $