第17章 三角形 章节复习讲义（10知识详解+35典例分析）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第17章 三角形 章节（10知识详解+35典例分析） 【知识点01】三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【知识点02】三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【知识点03】三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【知识点04】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【知识点05】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识点06】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【知识点07】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【知识点08】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 方法指引：全等三角形的4种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【知识点09】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【知识点10】作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 【题型一】三角形的识别与有关概念 1．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 【题型二】构成三角形的条件 2．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 【题型三】确定第三边的取值范围 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 【题型四】三角形三边关系的应用 4．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 【题型五】三角形的分类 5．（22-23七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【题型六】三角形角平分线的定义 6．数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 【题型七】画三角形的高 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【题型八】与三角形的高有关的计算问题 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 9．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 【题型九】根据三角形中线求长度 10．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【题型十】根据三角形中线求面积 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是________ 【题型十一】三角形内角和定理的证明 13．在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法证明三角形的内角和等于．如图，已知，求证：． 【题型十二】与平行线有关的三角形内角和问题 14．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是________． 15．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【题型十三】与角平分线有关的三角形内角和问题 16．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______． 17．（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【题型十四】三角形内角和定理的应用 18．（24-25七年级下·上海宝山·期末）一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） 19．（24-25七年级下·上海·月考）中，，，，求，，的度数． 【题型十五】三角形的外角的定义及性质 20．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，，则_____． 【题型十六】图形的全等 22．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【题型十七】全等三角形的概念 23．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）下列判断正确的是（    ） A．等腰三角形任意两角相等 B．等腰三角形底边上中线垂直底边 C．任意两个等腰三角形全等 D．等腰三角形三边上的中线都相等 【题型十八】全等三角形的性质 24．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么__________． 【题型十九】尺规作图——作三角形 26．（2023七年级下·上海·专题练习）画，，． 【题型二十】用SSS证明三角形全等 27．（2022七年级下·上海·专题练习）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（　　） A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE 【题型二十一】用SSS间接证明三角形全等 28．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【题型二十二】全等的性质和SSS综合 29．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 30．（24-25七年级下·上海闵行·月考）阅读并填空：如图，我们已经学过用直尺、圆规作线段的中点的方法： 以点A为圆心，以大于的长a为半径作弧；以点B为圆心， 以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、F； 作直线，交线段于点点C就是所求线段的中点． 请说明这种作法正确的理由． 解：连接、、、， （______）， 又， （______）， 即点C是线段的中点． 【题型二十三】尺规作一个角等于已知角 31．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________． 【题型二十四】用SAS证明三角形全等 32．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是______． 33．（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，已知，，，证明．    【题型二十五】用SAS间接证明三角形全等 34．（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点在一直线上，与都是等边三角形，连接，说明的理由．    【题型二十六】全等的性质和SAS综合 35．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 36．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：在中，最大角，点P在内，使得最小． 求证：． 【题型二十七】用ASA（AAS）证明三角形全等 37．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【题型二十八】全等的性质和ASA（AAS）综合 38．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知在中，，点D、E在边上，且．请说明的理由． 解：因为． 所以　　　　．（等边对等角） 因为　　　　． 所以． 在与中， ， 所以．（　　　　） 所以　　　　．（全等三角形对应边相等） 所以．（等式性质） 【题型二十九】添加条件使三角形全等 39．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，如果，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（   ）    A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 【题型三十】灵活选用判定方法证全等 41．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（    ） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．周长为的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 42．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，，、分别是边、上的两条高，与相交于点F，联结，那么图中有______对全等三角形．    【题型三十一】倍长中线模型 43．（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 44．（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【题型三十二】旋转模型 45． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【题型三十三】垂线模型 46．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【题型三十四】其他模型 47．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【题型三十五】全等三角形综合问题 48．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 三角形 章节（10知识详解+35典例分析） 【知识点01】三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【知识点02】三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【知识点03】三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【知识点04】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【知识点05】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识点06】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【知识点07】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【知识点08】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 方法指引：全等三角形的4种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【知识点09】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【知识点10】作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 【题型一】三角形的识别与有关概念 1．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 【题型二】构成三角形的条件 2．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断时只需验证较短两边的和是否大于最长边即可． 【详解】解：A. 1，2，1：较短边之和，等于最长边2，不能组成三角形． B. 2，7，8：较短边之和，满足条件，能组成三角形． C. 4，6，11：较短边之和，不能组成三角形． D. 1.5，2.5，4：较短边之和，等于最长边4，不能组成三角形． 故选B． 【题型三】确定第三边的取值范围 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，再解不等式即可．解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 故答案为：． 【题型四】三角形三边关系的应用 4．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【题型五】三角形的分类 5．（22-23七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）. 【题型六】三角形角平分线的定义 6．数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查图形的折叠，角平分线． 根据作图分别分析选项即可． 【详解】解：A、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； B、由折叠可知，线段是的角平分线，是的角平分线，符合题意； C、由折叠无法判断线段是角平分线，不符合题意； D、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； 故选：B 【题型七】画三角形的高 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【知识点】点到直线的距离、两点间的距离、画三角形的高、画垂线 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 【题型八】与三角形的高有关的计算问题 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 【答案】(1)十六分之七； (2)4； (3)5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的识别与有关概念 【分析】（1）根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）根据三角形和正方形的面积即可得到结论； （3）画出图形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵S△AEF＝4×4﹣， ∴三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的； （2）解：∵三角形AEF的面积是28平方厘米， ∴大正方形ABCD面积＝28＝64， ∴每个小正方形的面积＝64÷16＝4； （3）解：如备用图，符合要求的点G有5个， 故答案为：（1）十六分之七；（2）4，；（3）5． 【点睛】本题考查了三角形的面积，正方形的面积，正确的画出图形是解题的关键 【题型九】根据三角形中线求长度 10．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、画三角形的高 【分析】本题考查三角形的三条重要线段．根据中线，角平分线，高线的定义和性质，进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，选项正确； B、三角形的三条中线交于同一点，选项正确； C、三角形的三条角平分线交于同一点，选项正确； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，选项错误； 故选：D． 【题型十】根据三角形中线求面积 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，由得出，，求出，再由计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是________ 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，，，从而求出，即可得解． 【详解】解：∵，的面积为2， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型十一】三角形内角和定理的证明 13．在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法证明三角形的内角和等于．如图，已知，求证：． 【答案】见详解 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明 【分析】过作，根据平行线的性质和平角定义即可完成证明．本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造出平行线是解题的关键． 【详解】证明：过作， ， ，， ， ． 【题型十二】与平行线有关的三角形内角和问题 14．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是________． 【答案】或 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】分两种情况进行讨论：①当绕点顺时针旋转时，②当绕点逆时针旋转时；根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据可得，即可得解． 【详解】解：①当绕点顺时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， ②当绕点逆时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 15．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【答案】平行，证明见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理．由，可得，而的平分线与的平分线相交于点，即可得，故． 【详解】解：，证明如下： ， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ． 【题型十三】与角平分线有关的三角形内角和问题 16．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______． 【答案】/105度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角 【分析】根据等腰三角形的性质得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， 又为的平分线， ， ． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、对顶角相等 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 【题型十四】三角形内角和定理的应用 18．（24-25七年级下·上海宝山·期末）一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的内角和是，求得三个内角的度数即可判断． 此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得 三角形的三个内角分别是，，． 故该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 19．（24-25七年级下·上海·月考）中，，，，求，，的度数． 【答案】，， 【知识点】三角形内角和定理的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，直接根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，． 【题型十五】三角形的外角的定义及性质 20．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 21．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，，则_____． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，结合，进一步的利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵，，， ， ，， . 故答案为： 【题型十六】图形的全等 22．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 【题型十七】全等三角形的概念 23．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）下列判断正确的是（    ） A．等腰三角形任意两角相等 B．等腰三角形底边上中线垂直底边 C．任意两个等腰三角形全等 D．等腰三角形三边上的中线都相等 【答案】B 【知识点】根据等边对等角证明、等腰三角形的定义、全等三角形的概念 【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定即可得解． 【详解】解：A、等腰三角形任意两底角相等，故错误，不合题意； B、等腰三角形底边上中线垂直底边，故正确，符合题意； C、任意两个等腰三角形不一定全等，故错误，不合题意； D、等腰三角形三边上的中线不一定相等，若为等边三角形，则满足，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，还涉及了全等三角形的判定，属于基础知识． 【题型十八】全等三角形的性质 24．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：D． 25．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么__________． 【答案】72 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 【题型十九】尺规作图——作三角形 26．（2023七年级下·上海·专题练习）画，，． 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】根据尺规作三角形的方法求解即可． 【详解】如图所示， 解：作， 作射线，使， 以为圆心，为半径作弧交射线于点，连接， 所以即为所求． 【点睛】本题考查了作三角形，掌握全等三角形的性质与判定以及基本作图是解题的关键． 【题型二十】用SSS证明三角形全等 27．（2022七年级下·上海·专题练习）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（　　） A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等， 理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC， 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SSS），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【题型二十一】用SSS间接证明三角形全等 28．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【题型二十二】全等的性质和SSS综合 29．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到，则可证明得到，进而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 30．（24-25七年级下·上海闵行·月考）阅读并填空：如图，我们已经学过用直尺、圆规作线段的中点的方法： 以点A为圆心，以大于的长a为半径作弧；以点B为圆心， 以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、F； 作直线，交线段于点点C就是所求线段的中点． 请说明这种作法正确的理由． 解：连接、、、， （______）， 又， （______）， 即点C是线段的中点． 【答案】，，全等三角形的对应角相等，三线合一 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题；证明，推出，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：连接、、、， ， ∴， 全等三角形的对应角相等， 又， 三线合一， 即点C是线段的中点． 【题型二十三】尺规作一个角等于已知角 31．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________． 【答案】 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 【题型二十四】用SAS证明三角形全等 32．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，已知，，，证明．    【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，然后由平行线的性质得到，即可由证明全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型二十五】用SAS间接证明三角形全等 34．（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点在一直线上，与都是等边三角形，连接，说明的理由．    【答案】理由见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】根据条件证明，然后根据全等三角形对应角相等即可解题． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即． 在与中， ． ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，等边三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键. 【题型二十六】全等的性质和SAS综合 35．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：在中，最大角，点P在内，使得最小． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，在右侧作等边，在右侧作等边，连接，证明出，得到，证明出，然后得到当点B，P，G，D四点共线时，最小，即的长度，如图所示，然后根据等边三角形的性质和旋转的性质求解即可． 【详解】证明：如图所示，在右侧作等边，在右侧作等边，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点B，P，G，D四点共线时，最小，即的长度， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 【题型二十七】用ASA（AAS）证明三角形全等 37．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 【题型二十八】全等的性质和ASA（AAS）综合 38．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知在中，，点D、E在边上，且．请说明的理由． 解：因为． 所以　　　　．（等边对等角） 因为　　　　． 所以． 在与中， ， 所以．（　　　　） 所以　　　　．（全等三角形对应边相等） 所以．（等式性质） 【答案】，，，， 【知识点】等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了等边对等角，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由等边对等角得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：因为 所以（等边对等角） 因为 所以 在与中， ， 所以（） 所以（全等三角形对应边相等） 所以．（等式性质） 【题型二十九】添加条件使三角形全等 39．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，如果，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：A 、， ， 若，则，即， 在和中， ， ，故A选项不符合题意； B、若，则，即， 在和中， ， ，故B选项不符合题意； C、若，无法判断，故C选项符合题意； D、若， 在和中， ， ，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解题关键是熟知全等三角形的判定方法． 40．（24-25七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型三十】灵活选用判定方法证全等 41．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（    ） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．周长为的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法；由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、D、两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故A、D不符合题意； B、腰的夹角不一定相等，故B不符合题意； C、由判定两个等边三角形全等，故C符合题意． 故选：C． 42．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，，、分别是边、上的两条高，与相交于点F，联结，那么图中有______对全等三角形．    【答案】4 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角 【分析】如图，由等腰三角形三线合一，得，底角相等，，中，，可求，从而，，可知有4对全等三角形． 【详解】如图，，，， ∴，，， 中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形，熟练三角形全等的判定方法是解题的关键． 【题型三十一】倍长中线模型 43．（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三线合一、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，即可． 【详解】解：①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，故①不正确； ②如图，是的中线，且，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 结论②正确； 故选：D． 44．（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【题型三十二】旋转模型 45． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型三十三】垂线模型 46．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 【题型三十四】其他模型 47．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型三十五】全等三角形综合问题 48．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②④；根据和判断③即可． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④正确； ，， ， ， ， ，故③错误； 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $