7.1.2 弧度制及其与角度制的换算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 如图是一种折叠扇.折叠扇打开、合拢的过程 可以抽象成扇形圆心角的变大、变小.那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？ 变化的量：弧长、圆心角； 没有变化的量：半径. 问题：是否可以用弧长来度量圆心角呢？ 问题1：上图中，弧AB与弧A'B'长度相等吗，原因是什么？二者有什么共性？ 当α≠0时，它们的弧长 与 始终不相等，其原因在于OA≠OA'. 1.弧度制 共性：弧AB与弧A'B'都是α对应弧. 问题2：设α为，分别计算弧长 与 与对应半径的比值，说说它们存在什么关系？ 解：如图，，即； ，即，即 思考：根据问题2，我们可以得到什么结论？结合数学概念的确定性与唯一性，说说对于如果用弧长来表示角的大小，该怎么定义？ 1.弧度数定义：弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 3.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角, 记作1 rad. 2.以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. 如图，因为 的长度等于r，所以 所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角. 根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 α rad，那么： |α| = = n . 注意： （1）类似角的正负，角的终边逆时针旋转 α 为正，顺时针旋转 α 为负； （2）角的终边旋转超过一周后，可得弧度数大于2π或小于-2π的角； 即可用弧度表示任意大小的角； （3）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 对比角度制与弧度制的区别与联系. 弧度制 角度制 区别 联系 无论弧度制还是角度制， 角的大小都是一个与半径大小无关的定值 弧度制以线段长度来度量角 角度制是“以角量角” 弧度制是十进制 角度制是六十进制 1弧度是等于半径长的弧 所对的圆心角的大小 1°的角是周角的 思考：按照定义，周角、平角对应的弧度数应是多少？ 答：因为半径为r的圆周长为2πr，所以圆周的弧度数是 ， 于是360°=2π rad. 180°=π rad 练习1：下列各说法中，错误的说法是(　　) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 D 角度与弧度的换算公式： 180°= π rad 1°= rad ≈ 0.017 45 rad 1 rad = ()°≈ 57.30° 角度数 = 弧度数× ()° 弧度数 = 角度数× 例 1 ：把30°，45°，60°化为弧度（用 π 表示），并在平面直角坐标系中做出它们的终边. 解：设 30°角的弧度数为 α，则 = ，所以 α = ，即 30°= ，对应的角的终边为图中的射线 OA； 同理，45°= ；60°= ； 它们的终边分别为图中的射线 OB，OC. O x y A B C 一些特殊角与弧度数的对应关系 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 0 π 2π 例 2 ：把 化成角度数. 解：设 = n°，则 = ，因此 n = 180× = 288，即 = 288°. 思考：角度制下的扇形面积公式为S = ，其中圆心角为，那么弧度制下，扇形面积公式又是怎样的？ 解：设圆心角为rad，所以扇形面积为， 因为，，所以. 1．1 080°等于(　　) A．1 080 B． C． D．6π A D 3.与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示) 4.若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在扇形的面积为 . 4cm2 5.已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 解：已知扇形的圆心角α=60°=，半径r=10cm， 则弧长l=α(cm)， 于是面积S=lr=(cm2). 1. 什么是角度制，什么是弧度制？怎么进行角度与弧度的互化？ 2. 扇形的弧长及面积的计算公式. 2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　) A．eq \f(40,3)π B．eq \f(20,3)π C．eq \f(200,3)π D．eq \f(400,3)π $