精品解析：广东肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题

2025-2026学年高三级第二学期数学科开学考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，然后由集合并集定义可得答案. 【详解】，则， 又，则. 故选：A 2. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论． 【详解】的充要条件为，即或， “”是“或”成立的充分不必要条件， “”是“”的充分不必要条件， 故选A． 【点睛】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断． 3. 已知，是关于x的方程的两个根.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，是关于x的方程的两个根，由韦达定理求出，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】法一：由，是关于x的方程的两个根，得， 所以，所以. 法二：由，是关于x的方程的两个根，得， 所以，所以. 故选：C. 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导法则先求，再求，利用在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 因为在点处的切线与直线垂直， 所以， 故选：A. 6. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出次传球的路线总数,再求出次传球后球在甲手中的路线种数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式及二倍角公式求值即可. 【详解】由，可得， . 所以. 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D. 【详解】由频率分布直方图可知成绩在70-80分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在80-90分之间和90-100分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确， 故选：ACD 10. 已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（ ）． A. 该四棱台的高为 B. C. 该四棱台的表面积为26 D. 该四棱台外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断． 【详解】解： 由棱台性质，画出切割前的四棱锥， 由于，，可知△ 与相似比为； 则，，则，则，该四棱台的高为，对； 因为，则与夹角为，不垂直，错； 该四棱台的表面积为，错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上， 在平面上中，由于，，则，即点到点与点的距离相等，则，该四棱台外接球的表面积为，对， 故选：AD． 【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题． 11. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 【答案】135 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令未知数的指数等于零，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 故二项展开式的常数项为． 故答案为：135 13. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与圆相切的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径，列式求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，根据对称性不妨取其中一条渐近线，即， 因为与圆相切， 则，得，即，， ∴. 14. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示.（残差＝观测值－预测值） 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______. 【答案】4.5 【解析】 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再利用样本中心一定在回归直线上，即可求得答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 则有， 即， 又， 故， 故答案为：4.5 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 16. 在中，内角所对的边分别是且. （1）求； （2）已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，求得的面积，再由，结合面积公式，化简求得的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 利用余弦定理，可得， 因为，所以， 所以的面积为， 又因为的角平分线交于点， 所以， 可得， 整理得. 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，无极值； 当时，在处取到极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分及讨论函数的单调性，得到函数单调性后即可得其极值； （2）法一：参变分离：由题意可得对任意恒成立，再构造函数，借助导数研究该函数单调性后即可得其最大值，即可得解；法二：含参分类讨论：结合（1）中所得，可知当及时对应单调性，再分、及，结合单调性讨论是否恒成立即可得. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，恒成立，此时单调递增，无极值； 当时，令，得， 故当时，单调递减； 当时，单调递增， 此时在处取到极小值，无极大值； 【小问2详解】 法一： 对任意时，恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 即在区间上单调递减，又， 所以当时，，即，此时单调递增； 当时，，即，此时单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. 法二： 由（1）知，当时，在区间上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，当时单调递减，当时单调递增， 对任意时，恒成立，即， 即， 令， 在区间上单调递增， 又，所以； 当时，在区间上单调递减， 所以，符合题意； 综上，的取值范围为. 18. 如图所示，在四棱锥中，，，． （1）若平面，，证明： （2）若底面，，，二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，可得到，结合线面平行得，，进而得到线面垂直，再由线面垂直的性质即可证得结论； （2）先证得，以为原点，以，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，令，分别求出平面、平面的法向量，由空间向量夹角的余弦公式列出关于的方程，解得，即可得求答案． 【小问1详解】 证明：因为，，，即， 所以，即. 因为平面，平面，面面， 所以， 所以. 又因为，，平面 所以平面， 因为平面 所以. 【小问2详解】 因为底面，，底面， 所以，. 又， 所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则 ，，，，，，，. 设平面的法向量为， 所以即 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 所以即 令，则，，所以. 因为二面角的余弦值为，二面角为锐角， 所以，解得，所以. 【点睛】 19. 已知椭圆方程为（），离心率为且过点. （1）求椭圆方程； （2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明如下： 证明：设点，因为点P在椭圆上，所以，， 同理设点，则，， 因为直线AB过原点，所以关于原点对称，点， . （3）存在，使成立，最小为3. 【解析】 【分析】（1）由离心率和顶点得椭圆的方程； （2）设点P，A的坐标，由对称性得点B的坐标，计算斜率之积，证明为定值； （3）按直线MN斜率是否为零分类讨论，计算及，并求的最小值. 【小问1详解】 由题，，，所以， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，当直线MN斜率为零时，不妨设，， 则，，，， 存在，使成立， 当直线MN斜率不为零时，设直线方程为，，， 联立方程组，消去x得，易知， 所以，，， ， 又因为，， 所以，， 又因为，当时，最小为3， 综上，存在，使成立，最小为3. 【点睛】方法点睛：过定点且斜率不为零的直线可以设为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三级第二学期数学科开学考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，是关于x的方程的两个根.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 5. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 6. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 10. 已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（ ）． A. 该四棱台的高为 B. C. 该四棱台的表面积为26 D. 该四棱台外接球的表面积为 11. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 13. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 14. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示.（残差＝观测值－预测值） 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 16. 在中，内角所对的边分别是且. （1）求； （2）已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 18. 如图所示，在四棱锥中，，，． （1）若平面，，证明： （2）若底面，，，二面角的余弦值为，求的长． 19. 已知椭圆方程为（），离心率为且过点. （1）求椭圆方程； （2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $