广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年高三下学期寒假学习质量检测数学试题

东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学

2025-2026学年高三开学寒假学习质量检测

高三数学

命题人：宗克志    审题人：周郡

本试卷共19题，满分150分。考试用时120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．设等差数列的前项和为.若，则（    ）

A．12 B．15 C．18 D．21

3．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ）

A． B．3 C．5 D．

5．已知定义在上的函数满足，则（   ）

A． B． C． D．

6．若，是方程的两个根，则（    ）

A．23 B．27 C． D．

7．已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（   ）

A． B．平面

C．平面平面 D．平面

10．下列命题正确的是（   ）

A．若，，则

B．已知关于的经验回归方程为，且，则

C．一组样本数据，，…，（），其中是最小值，是最大值，则，，…，的75%分位数一定与，…，的75%分位数不同

D．若事件，满足，则与独立

11．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（   ）

A．

B．△ABD的面积的最大值为

C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为

D．BD的最小值为

 

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________.

13．有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束．则最后只剩红球的概率为___________．

14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________.

 

 

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题13分）

甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，

(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；

(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望.

 

 

 

 

16．（本题15分）

已知数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和.

 

 

 

 

17．（本题15分）

如图，三棱柱中，平面平面，，，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面；

(3)若，求直线与平面所成角的正弦值.