专题08分式方程及其应用突破讲义 2026年中考一轮复习(全国通用)

专题08分式方程及其应用突破讲义. 【模块一 分式方程的概念】........................................3 【题型01 分式方程的定义判断】....................................3 【题型02 分式方程与整式方程的区别】..............................3 【模块二 解分式方程】............................................4 【题型03 解分式方程】............................................4 【题型04 分式方程验根及解的情况判断】............................4 【模块三 分式方程的解与增根】.....................................5 【题型05 已知分式方程的解求参数 】...............................5 【题型06 已知分式方程的增根求参数】..............................5 【题型07 已知分式方程无解求参数】................................5 【题型08 分式方程解为整数.正数.负数求取值范围】..................6 【模块四 分式方程的实际应用】....................................6 【题型09 分式方程的行程问题】....................................6 【题型10 分式方程的工程问题】....................................7 【题型11 分式方程的经济问题】....................................8 【题型12 分式方程的和差倍分问题】................................8 【题型13 分式方程的其他实际问题】................................9 分值占比：分值稳定在 6–10 分，属于基础必得分板块，以选择、填空、解答（计算 + 应用）三种题型呈现，步骤分严格，验根为高频失分点。 常考考点：分式方程的解法（去分母、解整式方程、检验）,增根、无解、参数取值范围,分式方程实际应用（行程、工程、销售、和差倍分等） 命题趋势：基础题侧重直接计算与概念辨析，稳拿基础分中档题强化公式法、法则应用与含参问题（增根、整数解）应用题以定义新情境、实际问题、综合建模为主，题干信息更综合，难度逐年略升 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程。 2.增根：去分母后所得整式方程的根，使原方程分母为 0，不是原方程的根。 3.必须验根：解分式方程一定要检验（代入最简公分母是否为 0） 知识点02:解法步骤（核心） 1.去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程。 2.解整式方程：去括号、移项、合并、系数化为 1。 3.检验（必考）： 使最简公分母≠0 → 原方程的根 使最简公分母 = 0 → 增根（舍去） 知识点03:分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为 0； 2.无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 知识点04:分式方程的实际应用（高频考点） 解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接 / 间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根 ②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 高频题型等量关系模板 行程问题：路程 = 速度 × 时间（常考：顺水 / 逆水行船、相遇 / 追及，速度含分式）； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常考：合作完成工作，效率为分式）； 经济问题 核心公式：利润 = 售价 − 成本 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% 总利润 = 单件利润 × 销量 常见等量关系： 售价变化后，销量与利润的对应关系 打折后售价 = 原价 × 折扣率 和差倍分问题 常见等量关系： A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 高频易错点 1.漏验根：解分式方程时，跳过验根步骤，直接将整式方程的解当作原方程的解； 2.去分母时漏乘：方程两边同乘最简公分母时，漏乘不含分母的项（如常数项）； 3.去分母时符号错误：分子是多项式时，去分母后未加括号，导致去括号时符号出错； 4.实际应用漏双重检验：仅检验数学解，未检验解是否符合实际意义（如人数为负数、速度为 0）； 5.求增根相关参数时：未先求最简公分母为 0 的解，直接代入整式方程求解。 【模块一 分式方程的概念】 【题型1.分式方程的定义判断】 【典例】下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程：_______． 【跟踪专练3】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【题型2.分式方程与整式方程的区分】 【典例】下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【跟踪专练2】下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有__________． 【模块二 解分式方程】 【题型3.解分式方程】 【典例】分式方程的解是_______． 【跟踪专练1】分式方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【跟踪专练3】关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【题型4.分式方程验根及解的情况判断】 【典例】若关于的分式方程无解，则的值为______． 【跟踪专练1】若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【跟踪专练2】方程的解为________． 【跟踪专练3】已知关于x的方程只有一个实数根，则所有满足条件的实数a的和为（   ） A．1 B． C． D． 【模块三 分式方程的解与增根】 【题型5.已知分式方程的解求参数】 【典例】已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【跟踪专练2】如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是_______． 【跟踪专练3】如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【题型6.已知分式方程的增根求参数】 【典例】若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【跟踪专练1】若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 【跟踪专练2】若关于的方程有增根，则的值为______． 【跟踪专练3】如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________． 【题型7.已知分式方程无解求参数】 【典例】已知关于x的分式方程无解，则k的值是_________． 【跟踪专练1】若分式方程无解，则a的值是（ ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【跟踪专练2】若关于的分式方程无解，则的值为______． 【跟踪专练3】若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【题型8.分式方程解为正数.负数.正数求取值范围】 【典例】已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【跟踪专练2】关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【模块四 分式方程的实际应用】 【题型9.分式方程的行程问题】 【典例】一辆油电混合动力汽车从地到地，若纯燃油行驶时，所需费用为76元；若纯电行驶时，所需费用26元．如果每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，则纯电行驶时每千米的费用为________元． 【跟踪专练1】、两地相距千米，一辆大汽车从地开出1小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是( ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】“热爱劳动，尊重劳动．”甲、乙两位同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度． 【跟踪专练3】某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【题型10.分式方程的工程问题】 【典例】在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是________． 【跟踪专练1】假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【跟踪专练2】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【跟踪专练3】电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求．某快递公司采购两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知型机器人比型机器人每小时多分拣10件快递，且型机器人分拣700件快递所用的时间与型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求型机器人每小时分拣快递的件数． 【题型11.分式方程的经济问题】 【典例】学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒．经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60瓶．若设原价每瓶x元，则可列出方程为______________________________． 【跟踪专练1】意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中记载了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】元旦将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价少元．已知用元购进甲种玩具的数量等于用元购进乙种玩具的数量． (1)求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元？ (2)该玩具店准备购进甲、乙两种玩具共个，计划每个甲玩具的售价为元，每个乙玩具的售价为元，且销售两种玩具的总利润不低于元，该玩具店最少购进乙种玩具多少个？ 【跟踪专练3】《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【题型12.分式方程的和差倍分问题】 【典例】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则两次共购进这种太阳伞_____________把． 【跟踪专练1】某生态园计划种植一批核桃，原计划总产量达66万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克?设原计划平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为(　　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 【跟踪专练3】接种疫苗是阻断病毒传播的有效途径，为了保障人民群众的身体健康，我国目前正在开展新冠疫苗大规模接种工作．现有、两个社区疫苗接种点，已知社区疫苗接种点每天接种的人数是社区疫苗接种点每天接种人数的1.2倍，社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天． （1）求、两个社区疫苗接种点每天各接种多少人？ （2）一段时间后，社区接种点每天前来接种的人数比（1）中的人数减少了人，而社区疫苗接种点由于加大了宣传力度，每天前来接种的人数增加到了（1）中社区疫苗接种点每天接种的人数，这样社区接种点天与社区接种点天一共种完了69000支疫苗，求的值． 【题型13.分式方程的其他实际问题】 【典例】小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【跟踪专练1】沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练2】在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？ 【跟踪专练3】臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08分式方程及其应用突破讲义. 【模块一 分式方程的概念】........................................3 【题型01 分式方程的定义判断】....................................3 【题型02 分式方程与整式方程的区别】..............................5 【模块二 解分式方程】............................................7 【题型03 解分式方程】............................................7 【题型04 分式方程验根及解的情况判断】............................9 【模块三 分式方程的解与增根】...................................12 【题型05 已知分式方程的解求参数 】..............................12 【题型06 已知分式方程的增根求参数】.............................14 【题型07 已知分式方程无解求参数】...............................17 【题型08 分式方程解为整数.正数.负数求取值范围】.................19 【模块四 分式方程的实际应用】...................................22 【题型09 分式方程的行程问题】...................................22 【题型10 分式方程的工程问题】...................................24 【题型11 分式方程的经济问题】...................................27 【题型12 分式方程的和差倍分问题】...............................30 【题型13 分式方程的其他实际问题】...............................33 分值占比：分值稳定在 6–10 分，属于基础必得分板块，以选择、填空、解答（计算 + 应用）三种题型呈现，步骤分严格，验根为高频失分点。 常考考点：分式方程的解法（去分母、解整式方程、检验）,增根、无解、参数取值范围,分式方程实际应用（行程、工程、销售、和差倍分等） 命题趋势：基础题侧重直接计算与概念辨析，稳拿基础分中档题强化公式法、法则应用与含参问题（增根、整数解）应用题以定义新情境、实际问题、综合建模为主，题干信息更综合，难度逐年略升 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程。 2.增根：去分母后所得整式方程的根，使原方程分母为 0，不是原方程的根。 3.必须验根：解分式方程一定要检验（代入最简公分母是否为 0） 知识点02:解法步骤（核心） 1.去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程。 2.解整式方程：去括号、移项、合并、系数化为 1。 3.检验（必考）： 使最简公分母≠0 → 原方程的根 使最简公分母 = 0 → 增根（舍去） 知识点03:分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为 0； 2.无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 知识点04:分式方程的实际应用（高频考点） 解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接 / 间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根 ②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 高频题型等量关系模板 行程问题：路程 = 速度 × 时间（常考：顺水 / 逆水行船、相遇 / 追及，速度含分式）； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常考：合作完成工作，效率为分式）； 经济问题 核心公式：利润 = 售价 − 成本 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% 总利润 = 单件利润 × 销量 常见等量关系： 售价变化后，销量与利润的对应关系 打折后售价 = 原价 × 折扣率 和差倍分问题 常见等量关系： A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 高频易错点 1.漏验根：解分式方程时，跳过验根步骤，直接将整式方程的解当作原方程的解； 2.去分母时漏乘：方程两边同乘最简公分母时，漏乘不含分母的项（如常数项）； 3.去分母时符号错误：分子是多项式时，去分母后未加括号，导致去括号时符号出错； 4.实际应用漏双重检验：仅检验数学解，未检验解是否符合实际意义（如人数为负数、速度为 0）； 5.求增根相关参数时：未先求最简公分母为 0 的解，直接代入整式方程求解。 【模块一 分式方程的概念】 【题型1.分式方程的定义判断】 【典例】下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【跟踪专练1】下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果． 【详解】解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、是无理方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，故本选项符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程：_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程． 【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【题型2.分式方程与整式方程的区分】 【典例】下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 【跟踪专练1】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 【跟踪专练2】下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 【跟踪专练3】在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有__________． 【答案】3 【分析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为3． 【点睛】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【模块二 解分式方程】 【题型3.解分式方程】 【典例】分式方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 【跟踪专练1】分式方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解，需先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得整式方程的解是否为原分式方程的增根，即可作答． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程两边同乘最简公分母（且），得：， 展开得：， 移项合并同类项得：， 解得：， ∵当时，最简公分母， ∴是增根 ∴原分式方程无解， 故选：D． 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 【跟踪专练3】关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 【题型4.分式方程验根及解的情况判断】 【典例】若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，接着根据分式方程无解，即原方程有增根求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程无解， ∴原方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练1】若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解分式方程是关键；首先将原方程化简，利用分母关系合并项，然后求解出x关于m的表达式，再根据解为负数的要求得到m的范围，同时考虑分母不为零的约束． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 【跟踪专练2】方程的解为________． 【答案】 【分析】先将原分式方程转化为整式方程，解整式方程得到未知数的值后进行检验，即可得到原方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入，得， ∴原分式方程的解为． 【跟踪专练3】已知关于x的方程只有一个实数根，则所有满足条件的实数a的和为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解与一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先将分式方程通分为，考虑分母不为零的条件，方程只有一个实数根的情况包括判别式为零且根不为增根，或二次方程有一个根为增根从而只剩一个有效根，计算出a值，再求和即可． 【详解】解：， 通分得：， 分母相同且不为零， 分子相等得：， 整理得：， 方程只有一个实数根需满足： (1)判别式为零：，， 将代入得， ，解得，且， 是原方程的解，此时； (2)根为0时：将代入得，，， 将代入得， ，解得或，为增根， 是原方程的解，此时； (3)根为-1时：将代入得，，， 将代入得， ，解得或，为增根， 是原方程的解，此时； 综上所述，满足条件的a有、1、5， 的和为， 故选：D． 【模块三 分式方程的解与增根】 【题型5.已知分式方程的解求参数】 【典例】已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 【跟踪专练2】如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是_______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，根据解的情况可得，再求出分式方程的解，根据分式方程解的情况可得且，进而得到的取值范围，即可求出符合条件的所有整数的值，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， ∴符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 【题型6.已知分式方程的增根求参数】 【典例】若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先把去分母整理得，结合，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， ∴去分母得， 整理得， 即， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 故， ∴ ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要是考查了分式方程的增根，先将原式去分母整理得到关于x的整式方程，根据方程有增根可得x的值，代入整式方程可得m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得：， 故m的值是3． 故选：C． 【跟踪专练2】若关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【跟踪专练3】如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________． 【答案】或． 【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：原方程变形为， 方程去分母后得：， 整理得：，分以下两种情况： 令，，； 令，，， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键． 【题型7.已知分式方程无解求参数】 【典例】已知关于x的分式方程无解，则k的值是_________． 【答案】或2 【分析】本题考查分式方程无解的情况，需注意分式方程无解时要考虑增根的情况．先将分式方程去分母转化为整式方程，得出分式方程的解为，由为增根，无意义两种情况列式求解，即可解题． 【详解】解： ， 关于x的分式方程无解， 当为增根时，，解得， 当无意义时，，解得， 则k的值为或2； 故答案为：或2． 【跟踪专练1】若分式方程无解，则a的值是（ ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法是解题的关键． 分式方程无解分两种情况讨论，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算这两种情况对应的a值即可． 【详解】解：∵原分式方程为， 将方程变形为， 两边同乘得， 整理得： ①当整式方程无解时，的系数为0且常数项不为0， 即，解得，此时不成立，整式方程无解，原分式方程无解． ②当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 将代入得，， 解得． 综上，的值为1或2． 故选：D． 【跟踪专练2】若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【分析】此题考查解分式方程，分式方程无解，分两种情况：①将分式方程化为整式方程后，未知数的系数为，整式方程无解，从而分式方程无解；②未知数的系数不为时，最简公分母为，整式方程的解是分式方程的增根，从而分式方程无解，据此解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，整式方程无解，即分式方程也无解； 当，即时， 解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 【题型8.分式方程解为正数.负数.正数求取值范围】 【典例】已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 30． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故答案为：且． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可． 【详解】解：， ∴且， 由题意知，， 解得且． 故答案为：且． 【跟踪专练2】关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】解不等式组 ，又因为不等式组有解，得到a＜4，由于，    得到： ，因为a＜4，且y≠3，且整数，得到a=3，-1； 即可求解； 【详解】解： 由①得：x≤-1， 由②得：x＞a-5， 因为不等式组有解， ∴a-5＜x≤-1; ∴a-5＜-1; ∴a＜4， 由，     得， 得到：， ∵a＜4，且y≠3，为整数， ∴a=3，-1； 3+（-1）=2． 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，有理数的混合运算，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键． 【模块四 分式方程的实际应用】 【题型9.分式方程的行程问题】 【典例】一辆油电混合动力汽车从地到地，若纯燃油行驶时，所需费用为76元；若纯电行驶时，所需费用26元．如果每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，则纯电行驶时每千米的费用为________元． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设纯电行驶时每千米的费用为元，则纯燃油行驶时每千米的费用为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设纯电行驶时每千米的费用为元，则纯燃油行驶时每千米的费用为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴纯电行驶时每千米的费用为元， 故答案为：． 【跟踪专练1】、两地相距千米，一辆大汽车从地开出1小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别表示出大、小汽车行驶全程的时间，再根据“大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到分钟”的条件，建立时间等量关系，进而推导出正确方程． 【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为， 则大汽车行驶全程的时间为小时，小汽车行驶全程的时间为小时； 又∵大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到分钟(即小时)， ∴可列等式：， 整理得：，与选项B的式子一致． 【跟踪专练2】“热爱劳动，尊重劳动．”甲、乙两位同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度． 【答案】甲的速度为，则乙的速度为 【分析】设甲的速度为，则乙的速度为，根据“甲比乙提前到达基地”列出分式方程，解分式方程即可得解． 本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：∵甲、乙的速度比是， ∴设甲的速度为，则乙的速度为， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； ∴，， 答：甲的速度为，则乙的速度为． 【跟踪专练3】某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 【题型10.分式方程的工程问题】 【典例】在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是________． 【答案】40 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划推迟了3天完成任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划每天铺设管道． 故答案为：40． 【跟踪专练1】假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 【跟踪专练2】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 【跟踪专练3】电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求．某快递公司采购两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知型机器人比型机器人每小时多分拣10件快递，且型机器人分拣700件快递所用的时间与型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求型机器人每小时分拣快递的件数． 【答案】B型机器人每小时分拣60件快递 【分析】设B型机器人每小时分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递. 根据A型机器人分拣700件快递所用时间与B型机器人分拣600件快递所用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】解：设B型机器人每小时分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递. 由题意得 . 去分母得 . 化简得 . 解得 . 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：B型机器人每小时分拣60件快递. 【题型11.分式方程的经济问题】 【典例】学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒．经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60瓶．若设原价每瓶x元，则可列出方程为______________________________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 由原价及还价后每瓶便宜2元，可得出还价后每瓶元，利用数量总价单价，结合结果比用原价多买了60瓶，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原价每瓶x元，还价后每瓶元， 根据题意有：， 故答案为：． 【跟踪专练1】意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中记载了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据第二次每人所得与第一次相同，列出方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人，由题意，得： ； 故选C． 【跟踪专练2】元旦将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价少元．已知用元购进甲种玩具的数量等于用元购进乙种玩具的数量． (1)求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元？ (2)该玩具店准备购进甲、乙两种玩具共个，计划每个甲玩具的售价为元，每个乙玩具的售价为元，且销售两种玩具的总利润不低于元，该玩具店最少购进乙种玩具多少个？ 【答案】(1)玩具店购进甲种玩具每个进价是元 (2)该玩具店最少购进乙种玩具个 【分析】（1）设甲种玩具进价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进乙种玩具个，根据“总利润元”列不等式，结合为正整数求出最小值． 【详解】（1）解：设玩具店购进甲种玩具每个进价元，则乙种玩具每个进价元， 根据题意可得，， ， ， 解得， 检验：，， 答：玩具店购进甲种玩具每个进价是元． （2）解：设玩具店最少购进乙种玩具个，则甲种玩具个， 据（1）可知，甲种玩具的进价是元，乙种玩具的进价是元， 可得总成本为元， 总售价为元， 则， 解得， 为正整数，故可取得的最小值为． 答：该玩具店最少购进乙种玩具个． 【跟踪专练3】《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 【题型12.分式方程的和差倍分问题】 【典例】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则两次共购进这种太阳伞_____________把． 【答案】600 【分析】设商场第一批购进x把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞，利用单价=总价÷数量，结合第二批的购进单价比第一批贵4元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设商场第一批购进x把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴两次共购进这种太阳伞600把． 故答案为：600． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【跟踪专练1】某生态园计划种植一批核桃，原计划总产量达66万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克?设原计划平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总产量÷平均亩产量=亩数，结合题意，列出方程即可． 【详解】根据题意，得 ， 故选A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用题是解题的关键． 【跟踪专练2】为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 【答案】八年级（1）班平均每人捐款5元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元，根据八年级（1）班比八年级（2）班多2人列方程求解． 【详解】解：设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元， 由题意得：， 解这个方程得：， 经检验：是原方程的解，符合题意， 答：八年级（1）班平均每人捐款5元． 【跟踪专练3】接种疫苗是阻断病毒传播的有效途径，为了保障人民群众的身体健康，我国目前正在开展新冠疫苗大规模接种工作．现有、两个社区疫苗接种点，已知社区疫苗接种点每天接种的人数是社区疫苗接种点每天接种人数的1.2倍，社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天． （1）求、两个社区疫苗接种点每天各接种多少人？ （2）一段时间后，社区接种点每天前来接种的人数比（1）中的人数减少了人，而社区疫苗接种点由于加大了宣传力度，每天前来接种的人数增加到了（1）中社区疫苗接种点每天接种的人数，这样社区接种点天与社区接种点天一共种完了69000支疫苗，求的值． 【答案】（1）A社区疫苗接种点每天各接种1200人，B社区疫苗接种点每天各接种1000人；（2）m的值是10 【分析】（1）设B社区疫苗接种点每天各接种x人，则A社区疫苗接种点每天各接种1.2x人，根据“A社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比B社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天”列出方程解答即可； （2）根据“A社区接种点3m天与B社区接种点（m+20）天一共种完了69000支疫苗”列出方程解答即可． 【详解】解：（1）设B社区疫苗接种点每天各接种x人，则A社区疫苗接种点每天各接种1.2x人， 根据题意，得： 解得x=1000． 经检验x=1000是原方程的解，且符合题意． 所以1.2x=1200． 答：A社区疫苗接种点每天各接种1200人，B社区疫苗接种点每天各接种1000人； （2）根据题意，得（1200-10m）•3m+1200（m+20）=69000， 整理，得m2-160m+1500=0． 解得m1=150（舍去），m2=10， 答：m的值是10． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 【题型13.分式方程的其他实际问题】 【典例】小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【答案】10 【分析】设原计划每天完成页，根据总用时32天列出分式方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到答案． 【详解】解：设原计划每天完成页， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得或， 经检验和都是原方程的解，但不符合实际意义，舍去， 所以小张原计划每天完成10页． 【跟踪专练1】沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割、解分式方程等知识点，理解黄金分割的定义是解题的关键． 设毛主席的塑像高为x米，则基座的高度为米，然后根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：设毛主席的塑像高为x米，则基座的高度为米， 根据题意可得：， 解得：． 经检验是分式方程的解， 所以毛主席塑像高度是米． 故选B． 【跟踪专练2】在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？ 【答案】 小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是小王跳的时间＝小李跳的时间．通过设未知数，利用时间相等的条件建立分式方程求解即可 【详解】解：设小李平均每分钟跳次，则小王平均每分钟跳次 根据题意，得方程： 解得 检验：当时，，所以是原方程的解 ∴小王平均每分钟跳次 答：小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次 【跟踪专练3】臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $