第2章 不等式与不等式组单元复习（6大知识点+ 12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

第2章 不等式与不等式组 知识点1：不等式的相关概念 1.定义：用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式； 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解； 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集； 4.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 知识点2：不等式的基本性质 性质 内容 注意事项 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变 加（减）的是同一个数或整式，不等号方向不变 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 乘（除）的是正数，不等号方向不变 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 乘（除）的是负数，必须改变不等号方向 性质4（传递性） 若，，则 仅适用于同向不等式 知识点3：一元一次不等式 1.定义：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式； 2.一般形式：、、、（）； 3.解法步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1（易错：注意性质3的应用）。 知识点4：一元一次不等式组 1.定义：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，叫做一元一次不等式组； 2.解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集； 3.解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组； 4.解集确定方法（口诀）： 同大取大：若（），则解集为； 同小取小：若（），则解集为； 大小小大中间找：若（），则解集为； 大大小小无处找：若（），则无解。 知识点5：不等式（组）的解集在数轴上的表示 解集形式 数轴表示 数轴图示 以为界点，空心圆圈，向右画射线 以为界点，空心圆圈，向左画射线 以为界点，实心圆点，向右画射线 以为界点，实心圆点，向左画射线 以、为界点，均为空心圆圈，在两界点之间画线段 知识点6：不等式（组）的应用 1.解题步骤：①审（审题，找出不等关系）；②设（设未知数）；③列（列出不等式或不等式组）；④解（解不等式或不等式组）；⑤验（检验解集是否符合实际意义）；⑥答（写出答案）； 2.常见关键词： 表示“至少”“不低于”用“≥”； 表示“至多”“不超过”用“≤”； 表示“大于”“超过”用“>”； 表示“小于”“不足”用“<”。 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别与列不等式 1.核心知识点： 不等式的定义、常见不等号的含义、根据实际问题列不等式。 2.解题方法技巧： 识别不等式时，紧扣“含不等号”的核心特征，排除等式和代数式； 列不等式时，先找到关键词（如“至少”“超过”），确定不等号，再梳理数量关系，准确表述； 注意含多个数量关系的语句，需按逻辑顺序列出不等式，避免遗漏条件。 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-1】.（24-25七年级下·山东威海·期末）a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·吉林·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为 ，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】不等式基本性质的应用 1.核心知识点： 不等式的基本性质1、2、3，不等式的传递性。 2.解题方法技巧： 判断变形正误时，先看变形方式（加、减、乘、除），再判断所乘（除）的数的正负，重点关注性质3的应用； 比较大小的常用方法：①作差法；②利用不等式性质变形比较；③特殊值代入验证（注意特殊值的合理性）； 遇到含字母的比较，需分情况讨论字母的正负性。 【例题2】.（25-26八年级下·四川达州·开学考试）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则的取值范围为_______． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·四川绵阳·期中）（1）比较a与的大小； （2）比较2与的大小． 【题型3】一元一次不等式（组）的解法 1.核心知识点 一元一次不等式（组）的定义、不等式的基本性质、解集的确定与数轴表示。 2.解题方法技巧 解单一不等式：按“去分母→去括号→移项（变号）→合并同类项→系数化为1（负系数变不等号方向）”步骤求解，去分母勿漏乘不含分母的项； 解不等式组：先分别解每个不等式，再用数轴（直观准确）或口诀确定公共解集； 数轴表示：空心圆圈对应“<”“>”，实心圆点对应“≤”“≥”，按“左小右大”标注射线方向。 无解的情况需明确“没有公共部分”，避免误判。 【例题3】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）解不等式：． 【变式题3-1】.（25-26九年级下·北京·开学考试）解不等式组： 【变式题3-2】.（25-26九年级下·北京·开学考试）解不等式组： 【变式题3-3】.（2026九年级下·重庆·专题练习）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【题型4】不等式（组）的整数解求解 1.核心知识点： 不等式（组）的解集、整数的概念。 2.解题方法技巧： 先求出不等式（组）的解集，再在解集中找出所有整数； 借助数轴找整数解，可避免遗漏或重复； 注意边界值是否包含，若包含边界值，需检查边界值是否为整数。 【例题4】.（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）解不等式，并写出最小整数解． 【变式题4-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·重庆·开学考试）求不等式组：的所有整数解． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·北京·开学考试）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【培优高频题型】 【题型5】根据不等式（组）的解集求字母参数的取值范围 1.核心知识点： 不等式（组）的解集、不等式的基本性质、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 先将参数当作已知数解不等式（组），得到含参数的解集； 根据已知解集列关于参数的不等式（组），注意边界值的取舍（可采用“代入验证法”）； 遇到“不等式的解都是另一个不等式的解”时，实质是一个解集包含另一个解集，需准确转化为不等关系。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集中的任意都能使不等式成立，则的取值范围是__________． 【题型6】不等式与一次函数的综合应用（根据图象求解集） 1.核心知识点： 一次函数的图象与性质、不等式的解集、数形结合思想。 2.解题方法技巧： 明确一次函数与不等式的关系：对应图象在x轴上方的x取值，对应图象在x轴下方的x取值； 两个一次函数图象交点的横坐标是对应不等式的分界点，结合图象的上下位置关系确定解集； 复杂不等式组可先分别由图象求出单个不等式的解集，再求公共部分。 【例题6】.（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【变式题6-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【变式题6-3】.（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 【题型7】不等式（组）的实际应用 1.核心知识点： 列不等式（组）解应用题、整数解的实际意义。 2.解题方法技巧： 从实际情境中提取不等关系，明确“至少”“至多”等关键词对应的不等号； 设未知数时，需结合实际意义（如数量为正整数）； 求出解集后，根据实际情况筛选出可行的整数解，形成具体方案。 【例题7】.（25-26九年级下·河南周口·开学考试）固始鹅块是河南固始县的一道特色地方菜，属于非物质文化遗产，有着悠久的历史背景．南湾鱼作为一道具有独特口感和营养价值的美食，成为河南地区的一张美食名片．一特产店计划采购固始鹅块和南湾鱼两种土特产进行销售．已知购买2箱固始鹅块和1箱南湾鱼共需156元，购买4箱南湾鱼和3箱固始鹅块共需324元． (1)求固始鹅块和南湾鱼每箱的单价． (2)该特产店计划购买两种土特产共50箱，其中购买固始鹅块的箱数不低于南湾鱼箱数的倍，当固始鹅块和南湾鱼分别购买多少箱时，总费用最少？并求出最少总费用． 【变式题7-1】.（2026·山东滨州·一模）某品牌太阳能热水器水箱为圆柱形，底面积为，高为．在晴朗天气下，不考虑其他因素，将水注至最大高度时，水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高．已知每立方米水升温可吸收 焦耳热量．假设水箱保温良好，忽略蒸发与散热损失，且日照时间充足． (1)请写出水温与日照时间之间的关系式； (2)在现实条件下，水温达到时系统会启动保护停止加热，且一天有效日照时间不超过小时．请求出时间t的实际取值范围； (3)求日照小时后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽池州·期末）综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【题型8】定义新运算与不等式的结合 1.核心知识点： 新运算的定义、一元一次不等式的解法。 2.解题方法技巧： 先根据新运算规则，将新运算转化为常规的代数式关系； 按照新运算的要求列出不等式，再按照一元一次不等式的解法求解； 注意新运算中字母的取值范围限制，解完后验证是否符合新运算的定义。 【例题8】.（24-25七年级下·四川巴中·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·四川达州·期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为___________． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·安徽宿州·期末）新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·四川乐山·期中）我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题： (1)________，________； (2)若为整数，且，求的值； (3)若、满足方程组，求、的取值范围． 【压轴素养题型】 【题型9】含字母参数的不等式组的整数解问题 1.核心知识点： 含参数的一元一次不等式组的解法、整数解的确定、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 解含参数的不等式组，得到用参数表示的解集（如）； 根据题目中“恰有n个整数解”的条件，确定整数解的具体值，进而列出关于参数的不等式组； 求解参数的取值范围时，注意边界值的“等于”是否成立，可通过代入验证确定。 【例题9】.（23-24九年级下·福建·自主招生）若关于的不等式组只有4个整数解，求的取值范围． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数）．求所有符合条件的整数的值． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 【题型10】不等式（组）的实际应用（最优方案设计） 1.核心知识点： 列不等式（组）解应用题、一次函数的性质、最值问题。 2.解题方法技巧： 设未知数，列出不等式（组）确定可行方案的范围，同时建立总费用（或总收益）的一次函数关系式； 根据一次函数的增减性（由k的正负决定），在可行方案中找到最优解（最大或最小值）； 若一次函数图象平行于x轴（k=0），则所有可行方案的费用（或收益）相同，任选其一即可。 【例题10】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【变式题10-1】.（25-26九年级下·河南信阳·开学考试）某校在“书香阅读”活动期间为学生购买甲、乙两种图书．已知购买甲种图书20本，乙种图书30本，共花费1550元；每本甲种图书的价格比每本乙种图书多15元． (1)甲、乙两种图书每本各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进甲、乙两种图书共40本，此时正逢书店“优惠促销”活动，每本甲种图书打8折，每本乙种图书优惠5元．如果此次学校购买甲、乙两种图书的总费用不超过1150元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的2倍．求本次购买最少花费多少钱． 【变式题10-2】.（23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山东聊城·期末） 背景 某商场为举办“迎新春家电促销”活动，筹措资金准备一次性购进一批冰箱和彩电．根据市场需要，这些冰箱、彩电可以全部销售 素材1 已知购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元 素材2 已知商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元 素材3 在本次家电促销活动中，两种家电的售价分别为：冰箱元/台，彩电元/台 问题解决 任务 购进一台冰箱和彩电分别需要多少元？ 任务 商场有哪几种进货方案可供选择？ 任务 请你帮商场选出销售完两种家电获利最大的进货方案．最大利润是多少元？ 【题型11】不等式组的恒成立问题 1.核心知识点： 不等式组的解集、恒成立的含义、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 明确“恒成立”的含义（如“对于所有，不等式都成立”），实质是解集的包含关系； 解不等式组，将恒成立条件转化为关于参数的不等式（组）； 分情况讨论参数的取值范围，尤其是参数在不等号两边的情况，避免漏解。 【例题11】.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“关联性方程（组）”．例如方程是不等式的“关联性方程”，因为方程的解可使得成立；又如方程组是不等式的“关联性方程组”，因为方程组的解可使得成立．根据以上信息回答问题： (1)方程______（填“是”或者“不是”）不等式的“关联性方程”； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“关联性方程”，求的取值范围． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 【变式题11-2】.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【变式题11-3】.（24-25七年级下·湖南·期末）定义：表示不大于的最大整数，如，．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：______，若，则的核心范围是______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． (3)已知，满足方程组，且，对于任意都成立，求的取值范围． 【题型12】不等式的探究式问题 1.核心知识点： 不等式的性质、解集的确定、从特殊到一般思想。 2.解题方法技巧： 条件开放题：根据结论倒推所需条件，结合不等式的性质验证条件的合理性（如“写出一个不等式，使它的解集为”）； 规律探究题：从特殊不等式的解集中寻找规律，用含n的式子表示一般结论，再通过举例验证规律； 探究过程中注重逻辑推理，每一步结论都需有不等式性质作为依据。 【例题12】.（24-25七年级下·湖南怀化·期中）【问题背景】 数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1）， 可得的解集是：； 将不等式的解集表示在数轴上（如图2）， 可得的解集是：或． 【观察思考】 （1）填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； 【探究实践】 （2）解不等式； 【变式题12-1】.（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图： (1)【探究发现】 某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题： 已知，下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 4 2 0 a 2 … ① ． ②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ． (2)【拓展应用】 ①若点，均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ． ②结合函数的图象，请写出不等式的解集： ． 【变式题12-2】.（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 【变式题12-3】.（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 易错点 1.应用不等式性质3时，忘记改变不等号方向（如两边除以负数时，不等号方向不变）； 2.解不等式去分母时，漏乘不含分母的项（如，去分母得）； 3.混淆不等式的“解”与“解集”，将单个解当作解集，或遗漏解集的多个解； 4.数轴表示解集时，错误使用空心圆圈与实心圆点（如用空心圆圈表示）； 5.列不等式时，关键词理解错误（如“不低于”误写为“<”）； 6.含参数的不等式组中，未考虑参数对不等式方向的影响，或边界值取舍错误。 重点 1.不等式的基本性质，尤其是性质3的应用（乘除负数改变不等号方向）； 2.一元一次不等式（组）的解法，包括步骤的规范性和数轴表示的准确性； 3.根据不等式（组）的解集求字母参数的取值范围，掌握“解集包含”“整数解个数”等条件的转化； 4.不等式（组）的实际应用，能从实际情境中提取不等关系，列出不等式（组）并求解可行方案； 5.不等式与一次函数、方程（组）的综合应用，掌握转化思想和数形结合思想的运用。 难点 1.含字母参数的不等式（组）的求解与参数取值范围的确定，尤其是涉及整数解个数和恒成立的情况； 2.不等式（组）与一次函数结合的最优方案设计，需同时考虑不等式的约束条件和一次函数的最值； 3.跨学科和复杂实际情境中，不等关系的提取与数学模型的构建； 4.探究式和开放型问题的解答，需从特殊情况推广到一般规律，或根据结论倒推条件； 5.分类讨论思想的灵活运用，在含参数、多情况的不等式问题中，做到不重复、不遗漏。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，直线经过，两点，则不等式组的解集为_________． 7．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 8．已知关于x的方程的解为非负数，且关于a、b的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为______． 9．不等式组的整数解是________． 10．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则________． 三、解答题 11．解下列一元一次不等式（组）： (1) (2) 12．已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求关于的不等式的解集． 13．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 14．列方程或不等式解决问题： 《熊出没．年年有熊》上映后，电影院分两次购进了年年手办和岁岁手办进行售卖，第一次购入年年手办25个，岁岁手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入年年手办40个，岁岁手办20个共花费1100元． (1)请问每个年年手办和岁岁手办的进价分别是多少元？ (2)若年年手办的标价为30元，岁岁手办的标价为22元，开学前一天，电影院进行了酬宾活动：年年手办打九折，岁岁手办降价2元．已知岁岁手办的销量比年年手办的销量的2倍还多10个，要使电影院销售手办的总利润不低于380元，则至少要卖出年年手办多少个？ 15．一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 不等式与不等式组 知识点1：不等式的相关概念 1.定义：用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式； 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解； 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集； 4.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 知识点2：不等式的基本性质 性质 内容 注意事项 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变 加（减）的是同一个数或整式，不等号方向不变 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 乘（除）的是正数，不等号方向不变 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 乘（除）的是负数，必须改变不等号方向 性质4（传递性） 若，，则 仅适用于同向不等式 知识点3：一元一次不等式 1.定义：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式； 2.一般形式：、、、（）； 3.解法步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1（易错：注意性质3的应用）。 知识点4：一元一次不等式组 1.定义：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，叫做一元一次不等式组； 2.解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集； 3.解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组； 4.解集确定方法（口诀）： 同大取大：若（），则解集为； 同小取小：若（），则解集为； 大小小大中间找：若（），则解集为； 大大小小无处找：若（），则无解。 知识点5：不等式（组）的解集在数轴上的表示 解集形式 数轴表示 数轴图示 以为界点，空心圆圈，向右画射线 以为界点，空心圆圈，向左画射线 以为界点，实心圆点，向右画射线 以为界点，实心圆点，向左画射线 以、为界点，均为空心圆圈，在两界点之间画线段 知识点6：不等式（组）的应用 1.解题步骤：①审（审题，找出不等关系）；②设（设未知数）；③列（列出不等式或不等式组）；④解（解不等式或不等式组）；⑤验（检验解集是否符合实际意义）；⑥答（写出答案）； 2.常见关键词： 表示“至少”“不低于”用“≥”； 表示“至多”“不超过”用“≤”； 表示“大于”“超过”用“>”； 表示“小于”“不足”用“<”。 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别与列不等式 1.核心知识点： 不等式的定义、常见不等号的含义、根据实际问题列不等式。 2.解题方法技巧： 识别不等式时，紧扣“含不等号”的核心特征，排除等式和代数式； 列不等式时，先找到关键词（如“至少”“超过”），确定不等号，再梳理数量关系，准确表述； 注意含多个数量关系的语句，需按逻辑顺序列出不等式，避免遗漏条件。 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握用不等号连接的式子是不等式，等式和单独的代数式不是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如等）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用，是不等式； ② 使用，是不等式； ③ 使用，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用，是不等式； ∴不等式有①、②、⑤，共个． 故选：C． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·山东威海·期末）a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查列不等式，掌握知识点是解题的关键． “平方差”指两个数的平方之差，即；“不小于”表示大于或等于，即大于或等于3，即可解答． 【详解】解：a与b的平方差不小于3，用不等式表示为． 故选C． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·吉林·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为 ，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 【变式题1-3】.（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如、、、、）的式子是不等式，否则不是． 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式． 故选：D． 【题型2】不等式基本性质的应用 1.核心知识点： 不等式的基本性质1、2、3，不等式的传递性。 2.解题方法技巧： 判断变形正误时，先看变形方式（加、减、乘、除），再判断所乘（除）的数的正负，重点关注性质3的应用； 比较大小的常用方法：①作差法；②利用不等式性质变形比较；③特殊值代入验证（注意特殊值的合理性）； 遇到含字母的比较，需分情况讨论字母的正负性。 【例题2】.（25-26八年级下·四川达州·开学考试）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.73 【详解】解：∵， ∴ ，A错误； ，B正确； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 由，两边同乘，得 ，C错误； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变， ∴ 由，两边同除以，得 ，D错误； 综上，正确答案是B． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴，，，故A，B，C，选项一定成立， 若，则， ，即， 故D选项不成立，符合题意， 故选：D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则的取值范围为_______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．先根据不等式的性质可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·四川绵阳·期中）（1）比较a与的大小； （2）比较2与的大小． 【答案】（1）；（2）①当时，；②当时，；③当时， 【难度】0.85 【分析】（1）利用作差法，根据题意，得，解答即可； （2）利用作差法，根据题意，得，分类解答即可； 本题考查了作差法比较大小，熟练掌握作差法比较大小的基本特征是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故． （2）解：根据题意，得， ①当时，； ②当时，； ③当时，． 【题型3】一元一次不等式（组）的解法 1.核心知识点 一元一次不等式（组）的定义、不等式的基本性质、解集的确定与数轴表示。 2.解题方法技巧 解单一不等式：按“去分母→去括号→移项（变号）→合并同类项→系数化为1（负系数变不等号方向）”步骤求解，去分母勿漏乘不含分母的项； 解不等式组：先分别解每个不等式，再用数轴（直观准确）或口诀确定公共解集； 数轴表示：空心圆圈对应“<”“>”，实心圆点对应“≤”“≥”，按“左小右大”标注射线方向。 无解的情况需明确“没有公共部分”，避免误判。 【例题3】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）解不等式：． 【答案】 【难度】0.85 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解，注意系数化为1时变号． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式题3-1】.（25-26九年级下·北京·开学考试）解不等式组： 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·北京·开学考试）解不等式组： 【答案】 【难度】0.7 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【变式题3-3】.（2026九年级下·重庆·专题练习）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集是，所有整数解的和为 【难度】0.65 【分析】先求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 整数解为：， 所有整数解之和为． 【题型4】不等式（组）的整数解求解 1.核心知识点： 不等式（组）的解集、整数的概念。 2.解题方法技巧： 先求出不等式（组）的解集，再在解集中找出所有整数； 借助数轴找整数解，可避免遗漏或重复； 注意边界值是否包含，若包含边界值，需检查边界值是否为整数。 【例题4】.（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）解不等式，并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【难度】0.84 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 【变式题4-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)-3 (2)，0 【难度】0.65 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式组是解答本题的关键． （1）把代入整式计算即可； （2）根据题意可得不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得， 解得， 的非正整数值为，． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·重庆·开学考试）求不等式组：的所有整数解． 【答案】3，4 【难度】0.75 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为：3，4． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·北京·开学考试）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为． 【难度】0.75 【分析】（1）解第一个不等式时，先通过去分母消除分数形式，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作求出解集； （2）解第二个不等式时，通过移项、合并同类项、系数化为1直接求出解集； （3）结合两个解集的公共范围确定不等式组的解集，再找出其中的整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴原不等式组的解集为， 该不等式组的所有整数解为． 【培优高频题型】 【题型5】根据不等式（组）的解集求字母参数的取值范围 1.核心知识点： 不等式（组）的解集、不等式的基本性质、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 先将参数当作已知数解不等式（组），得到含参数的解集； 根据已知解集列关于参数的不等式（组），注意边界值的取舍（可采用“代入验证法”）； 遇到“不等式的解都是另一个不等式的解”时，实质是一个解集包含另一个解集，需准确转化为不等关系。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【难度】0.66 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【难度】0.65 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集中的任意都能使不等式成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集能使不等式成立，得到关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中的任意都能使不等式成立， ∴， 解得：． 【题型6】不等式与一次函数的综合应用（根据图象求解集） 1.核心知识点： 一次函数的图象与性质、不等式的解集、数形结合思想。 2.解题方法技巧： 明确一次函数与不等式的关系：对应图象在x轴上方的x取值，对应图象在x轴下方的x取值； 两个一次函数图象交点的横坐标是对应不等式的分界点，结合图象的上下位置关系确定解集； 复杂不等式组可先分别由图象求出单个不等式的解集，再求公共部分。 【例题6】.（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【难度】0.65 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时， ，令，则，解得：； 当时，，则； 当时， ，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 【变式题6-2】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【难度】0.7 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【详解】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解： ，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意画出函数图象，利用临界点求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入得， ， 解得， ∴； （2）解：当时，， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当经过时满足题意， ∴， 解得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于0， ∴当过点时满足题意， ∴， 解得， 综上，满足条件的的取值为． 【题型7】不等式（组）的实际应用 1.核心知识点： 列不等式（组）解应用题、整数解的实际意义。 2.解题方法技巧： 从实际情境中提取不等关系，明确“至少”“至多”等关键词对应的不等号； 设未知数时，需结合实际意义（如数量为正整数）； 求出解集后，根据实际情况筛选出可行的整数解，形成具体方案。 【例题7】.（25-26九年级下·河南周口·开学考试）固始鹅块是河南固始县的一道特色地方菜，属于非物质文化遗产，有着悠久的历史背景．南湾鱼作为一道具有独特口感和营养价值的美食，成为河南地区的一张美食名片．一特产店计划采购固始鹅块和南湾鱼两种土特产进行销售．已知购买2箱固始鹅块和1箱南湾鱼共需156元，购买4箱南湾鱼和3箱固始鹅块共需324元． (1)求固始鹅块和南湾鱼每箱的单价． (2)该特产店计划购买两种土特产共50箱，其中购买固始鹅块的箱数不低于南湾鱼箱数的倍，当固始鹅块和南湾鱼分别购买多少箱时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元 (2)购买固始鹅块箱，南湾鱼购买箱，最少总费用为：元 【难度】0.5 【分析】（1）设固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买固始鹅块箱，则南湾鱼购买箱，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元； （2）解：设购买固始鹅块箱，则南湾鱼购买箱，根据题意， 解得：， 设总费用为元，根据题意， ∵，随的增大而增大， ∴当时，最小， 此时，购买固始鹅块箱，南湾鱼购买箱 ∴最少总费用为（元） 答：购买固始鹅块箱，南湾鱼购买箱，最少总费用为：元． 【变式题7-1】.（2026·山东滨州·一模）某品牌太阳能热水器水箱为圆柱形，底面积为，高为．在晴朗天气下，不考虑其他因素，将水注至最大高度时，水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高．已知每立方米水升温可吸收 焦耳热量．假设水箱保温良好，忽略蒸发与散热损失，且日照时间充足． (1)请写出水温与日照时间之间的关系式； (2)在现实条件下，水温达到时系统会启动保护停止加热，且一天有效日照时间不超过小时．请求出时间t的实际取值范围； (3)求日照小时后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量． 【答案】(1) (2) (3)水箱中的水共吸收热量焦耳 【难度】0.65 【分析】（1）根据水的初始温度为，平均每小时水温升高，即可列出解析式； （2）因为水温达到时停止加热，所以先通过问题（1）的关系式求出对应值，再结合一天有效日照不超过小时，同时的初始值为，从而确定的实际取值范围； （3）先计算小时水温升高的度数，再根据圆柱体积公式求出水箱中水的体积，最后结合每立方米水升温吸收的热量，求出总吸收热量即可． 【详解】（1）解：∵水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高， ∴； （2）解：∵水温达到时系统会启动保护停止加热， ∴，故， 解得： ， ∵一天有效日照时间不超过小时， ∴， 又 的取值范围为：． （3）解：当时，水温升高了， 水箱的容积为： ， ∵每立方米水升温可吸收焦耳热量， ∴当时，水箱中的水共吸收热量(焦耳) 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽池州·期末）综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)3600元 (2)购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【难度】0.51 【分析】本题考查的是一次函数的应用． （1）设甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的解析式为，再利用待定系数法求解即可． （2）先求解，设售完后可获得利润为元，得到，再利用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数， 设其解析式为（）， 将点，代入， 得， 解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【题型8】定义新运算与不等式的结合 1.核心知识点： 新运算的定义、一元一次不等式的解法。 2.解题方法技巧： 先根据新运算规则，将新运算转化为常规的代数式关系； 按照新运算的要求列出不等式，再按照一元一次不等式的解法求解； 注意新运算中字母的取值范围限制，解完后验证是否符合新运算的定义。 【例题8】.（24-25七年级下·四川巴中·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查解不等式，准确理解新定义是解题的关键．根据新定义将不等式转化为关于的一元一次不等式组，求出解集后根据整数解的个数确定的范围。 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·四川达州·期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为___________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，先理解，再得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·安徽宿州·期末）新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【答案】 3 【难度】0.4 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识， 分情况讨论是解题的关键． （1）将代入两个一次函数求出函数值，取最大值即可； （2）先联立两一次函数求出交点，确定“顶函数”的分段图象，再分析直线过定点的特性，通过讨论直线与顶函数两段图象的交点所在区间，解不等式确定k的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，，因为，所以， （2）解：联立，解得， 即两直线交点为． 当 时，，故； 当时，，故； 当时，； 直线整理为，可知其过定点． ① 联立，得， 当时，，要求， 解不等式， 解得或． ② 联立，得， 当时，， 要求，解不等式，通分变形得， 解得． 要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得． 即k的取值范围是． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·四川乐山·期中）我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题： (1)________，________； (2)若为整数，且，求的值； (3)若、满足方程组，求、的取值范围． 【答案】(1)，4 (2) (3)， 【难度】0.65 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握方程组和不等式组的应用是解题关键． （1）根据和的定义解答即可得； （2）根据题意可得，解方程即可得； （3）先利用加减消元法可得，再根据，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4． （2）解：∵为整数，且， ∴， 解得． （3）解：∵、满足方程组， ∴， 由题意得：，， ∴，， 解得，． 【压轴素养题型】 【题型9】含字母参数的不等式组的整数解问题 1.核心知识点： 含参数的一元一次不等式组的解法、整数解的确定、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 解含参数的不等式组，得到用参数表示的解集（如）； 根据题目中“恰有n个整数解”的条件，确定整数解的具体值，进而列出关于参数的不等式组； 求解参数的取值范围时，注意边界值的“等于”是否成立，可通过代入验证确定。 【例题9】.（23-24九年级下·福建·自主招生）若关于的不等式组只有4个整数解，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再确定字母的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴此不等式组的解集为， ∵此不等式组只有4个整数解， ∴它的4个整数解为20、19、18、17， ∴， 解得a的取值范围是：． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数）．求所有符合条件的整数的值． 【答案】的值为4或2或 【难度】0.65 【分析】本题考查了不等式 (组) 中字母参数的取值或范围，熟练掌握解不等式（组）的方法是解题的关键； 解不等式组得到的一个取值条件，解方程组得到的一个取值条件，再把的值代入到、中，保证、也符合题干要求，即可得解． 【详解】解：将原不等式组整理，得 原不等式组的解集为， ． 对于方程组 ①－②，得， 解得． ， ， 且． 把代入②，得， 解得． 与都为整数， 或，解得或或（舍去）或， 的值为或或． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 【答案】(1)4阶，2阶 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式的定义，理解新定义是解答关键. （1）根据题目中的新定义，求出正整数解，再进行求解； （2）先求出不等式的解集，再利用4阶不等式组的定义来求解. 【详解】（1）解：， 解得， 即不等式的正整数解为， 是4阶不等式； 解得， 它有正整数解为， 它是2阶不等式组； （2）解：解不等式组得. 不等式组是4阶不等式组， 有4个正整数解，为1，2，3，4， ， 解得. 【变式题9-3】.（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答，即可求解； （2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解； 【详解】（1）解：，解得：， ∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数， ①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意； ②，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； ③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； 故答案为：②③ （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其所有整数解为， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组与是“整数同解”的， ∴不等式组的所有整数解为， ∴， 解得： 【题型10】不等式（组）的实际应用（最优方案设计） 1.核心知识点： 列不等式（组）解应用题、一次函数的性质、最值问题。 2.解题方法技巧： 设未知数，列出不等式（组）确定可行方案的范围，同时建立总费用（或总收益）的一次函数关系式； 根据一次函数的增减性（由k的正负决定），在可行方案中找到最优解（最大或最小值）； 若一次函数图象平行于x轴（k=0），则所有可行方案的费用（或收益）相同，任选其一即可。 【例题10】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】(1)甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 (2)购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【难度】0.65 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【详解】（1）解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 【变式题10-1】.（25-26九年级下·河南信阳·开学考试）某校在“书香阅读”活动期间为学生购买甲、乙两种图书．已知购买甲种图书20本，乙种图书30本，共花费1550元；每本甲种图书的价格比每本乙种图书多15元． (1)甲、乙两种图书每本各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进甲、乙两种图书共40本，此时正逢书店“优惠促销”活动，每本甲种图书打8折，每本乙种图书优惠5元．如果此次学校购买甲、乙两种图书的总费用不超过1150元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的2倍．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)甲种图书每本40元，乙种图书每本25元 (2)1124元 【难度】0.65 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种图书每本x元，乙种图书每本y元，根据题意，列方程组，解之即可求解； （2）设学校再次购进甲种图书m本，则再次购进乙种图书本，根据题意列不等式组得，解之可得的取值范围，由于只能取整数，即可得到m的取值为27，28，29，然后列出一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种图书每本x元，乙种图书每本y元 根据题意，得 解得 答：甲种图书每本40元，乙种图书每本25元； （2）解：设学校再次购进甲种图书m本，则购进乙种图书本根据题意，得 解得 ∵m为正整数 ∴m的取值为27，28，29 设本次购买的总费用为W（元），则 ∵ ∴W随m的增大而增大 ∴当时，W取得最小值， 答：本次购买最少花费1124（元） 【变式题10-2】.（23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【难度】0.4 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山东聊城·期末） 背景 某商场为举办“迎新春家电促销”活动，筹措资金准备一次性购进一批冰箱和彩电．根据市场需要，这些冰箱、彩电可以全部销售 素材1 已知购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元 素材2 已知商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元 素材3 在本次家电促销活动中，两种家电的售价分别为：冰箱元/台，彩电元/台 问题解决 任务 购进一台冰箱和彩电分别需要多少元？ 任务 商场有哪几种进货方案可供选择？ 任务 请你帮商场选出销售完两种家电获利最大的进货方案．最大利润是多少元？ 【答案】任务：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元；任务：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台；任务：获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元 【难度】0.65 【分析】任务：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元，根据“购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元”列出方程组求解即可； 任务：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台，根据“商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元”列出不等式组求解即可； 任务：分别求出商场选择三种进货方案进货销售完两种家电后所获的利润，然后进行比较即可得出答案． 【详解】任务：解：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元， 依题意，得：， 解得：， 答：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元； 任务：解：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台， 依题意，得：， 解得：， ∴、、， ∴有三种进货方案： 方案一：购进冰箱台，彩电台； 方案二：购进冰箱台，彩电台； 方案三：购进冰箱台，彩电台； 答：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台； 任务：解：由任务知：销售一台冰箱所获利润为：（元），销售一台彩电所获利润为：（元）， 若选择方案一进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案二进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案三进货，则所获利润为：（元）； ∵， ∴获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用等知识点，解题的关键是明确题意，利用二元一次方程组、一元一次不等式组解决问题． 【题型11】不等式组的恒成立问题 1.核心知识点： 不等式组的解集、恒成立的含义、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 明确“恒成立”的含义（如“对于所有，不等式都成立”），实质是解集的包含关系； 解不等式组，将恒成立条件转化为关于参数的不等式（组）； 分情况讨论参数的取值范围，尤其是参数在不等号两边的情况，避免漏解。 【例题11】.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“关联性方程（组）”．例如方程是不等式的“关联性方程”，因为方程的解可使得成立；又如方程组是不等式的“关联性方程组”，因为方程组的解可使得成立．根据以上信息回答问题： (1)方程______（填“是”或者“不是”）不等式的“关联性方程”； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“关联性方程”，求的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【难度】0.65 【分析】本题考查了“关联性方程组”这一概念，其中包括方程（组）的求解，不等式（组）的求解，需熟练掌握方程与不等式的解法，理解“关联性方程组”的概念推理未知数的取值范围是解决本题的关键． （1）求解出方程的解，将解代入不等式中验证即可； （2）先由二元一次方程组的求解求解x和y，再由“关联性方程组”的概念将x和y的值代入不等式中即可求解取值范围； （3）先求解出不等式组的解集，由“关联性方程组”的概念将方程的解代入不等式组中求解b的取值范围，再根据有“5个整数解” 可得，结合b有解，可得，从而得到k的整数解为，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为， 将代入不等式中， 有，， ∴方程的解不能使不等式成立， ∴方程不是不等式的“关联性方程”； 故答案为：不是； （2）解：关于x，y方程组， 由可得， 两式相加可得，解得， 将代入可得， ∵关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”， ∴方程组的解满足不等式， ∴，解得， ∴的取值范围为； （3）解：不等式组，解得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的方程是不等式组的“关联性方程”， ∴满足不等式组， 即，解得， ∴， ∵关于的不等式组恰有5个整数解， ∴可设5个整数解为， ∴， 解得：， ∵b有解， ∴， 解得：， ∴k的整数解为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的取值范围为． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，再由‘恰有6个整数解’的条件求得，由‘偏解方程’的定义得到，取两个范围的交集即可． 【详解】（1）解：，解得， ①成立，故符合题意； ②不成立，故不符合题意； ③成立，故符合题意， 方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”， 故答案为：①③； （2） 解得， 方程组是不等式的“偏解方程组”， ， 解得； （3）， 解得， 关于x的方程是它的“偏解方程”， ， 解得， 不等式组恰有6个整数解， 设6个整数解为k，，，，，， 由题意得，， ， 解得， 有解， ， 解得， 的整数解为或， 当时，， ， 当时，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，解题的关键在于分类讨论． 【变式题11-2】.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【难度】0.4 【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知识﹒ （1）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （2）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出求的取值范围﹒ 【详解】（1）解：解方程得， 解不等式得，故方程的解不是不等式①的梦想解； 解不等式得，故方程的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得，故方程的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）解：解二元一次方程组 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 【变式题11-3】.（24-25七年级下·湖南·期末）定义：表示不大于的最大整数，如，．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：______，若，则的核心范围是______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． (3)已知，满足方程组，且，对于任意都成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，，； (3) 【难度】0.85 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键； （）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围； （）先解方程组得出关于与的关系，再根据恒成立来确 定的取值范围； 【详解】（1）解：∵表示不大于的最大整数， ∴， 若， 则的核心范围是 故答案为：，． （2）∵， ∴关于的不等式组， 解得， 即： ∵关于的不等式组有且只有三个正整数解， ∴整数解应为1，2，3． ∴ （3）∵，满足方程组， 解得， ∵对于任意都成立，而， ∴， 把，代入中， 得到， 解得：； 【题型12】不等式的探究式问题 1.核心知识点： 不等式的性质、解集的确定、从特殊到一般思想。 2.解题方法技巧： 条件开放题：根据结论倒推所需条件，结合不等式的性质验证条件的合理性（如“写出一个不等式，使它的解集为”）； 规律探究题：从特殊不等式的解集中寻找规律，用含n的式子表示一般结论，再通过举例验证规律； 探究过程中注重逻辑推理，每一步结论都需有不等式性质作为依据。 【例题12】.（24-25七年级下·湖南怀化·期中）【问题背景】 数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1）， 可得的解集是：； 将不等式的解集表示在数轴上（如图2）， 可得的解集是：或． 【观察思考】 （1）填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； 【探究实践】 （2）解不等式； 【答案】（1），或；（2）或 【难度】0.65 【分析】本题考查了绝对值的几何意义及解一元一次不等式组，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集； （2）由（1）得：或，分别求解即可． 【详解】解:（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或． 【变式题12-1】.（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图： (1)【探究发现】 某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题： 已知，下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 4 2 0 a 2 … ① ． ②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ． (2)【拓展应用】 ①若点，均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ． ②结合函数的图象，请写出不等式的解集： ． 【答案】(1)①0；②见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线（答案不唯一） (2)①；②或 【难度】0.65 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质． （1）①根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得a的值； ②根据表格的数据，可以画出相应的函数图象，根据函数图象写出该函数的一条性质即可； （2）①根据图象得出结论； ②观察函数图象，可以得到不等式的解集． 【详解】（1）解：①当时，代入，可得， ∴， 故答案为：0； ②利用表格中的x，y的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点得： 观察函数图象发现：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线；（答案不唯一） （2）解：①若点，均在该函数图象上，则m，n满足的数量关系是：， 故答案为：； ②观察图象，不等式的解集是或， 故答案为：或． 【变式题12-2】.（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 【答案】(1)函数图象见解析，减小； (2) (3)或 (4) 【难度】0.4 【分析】本题考查了一次函数的性质，函数图象，解一元一次不等式组，利用数形结合的思想解题是关键． （1）描点画图即可；根据图象可得答案； （2）把，代入解析式，解方程即可； （3）解不等式组即可解答； （4）分类讨论，分为或两种情况，逐一计算即可解答． 【详解】（1）解：函数图象如下： ， 根据图象可得当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （2）解：根据题意可得， 可得， 解得或， ，为该函数图象上不同的两点， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 可得，解得， 或可得，解得， 故答案为：或； （4）解：当时，此时， 可得或， 解得或，即 ， 当时，取最大值为； 当时，此时， 根据上述自变量取值范围，可得此时或， ， 当时，， 当时，， 当或，， 故函数的最大值为， 故答案为：． 【变式题12-3】.（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 【答案】（1），见解析（2）见解析（3）（4） 【难度】0.4 【分析】（1）仿照解法，变形计算解答即可． （2）仿照解法，变形计算解答即可． （3）过点B作于点E，根据直线三角形的斜边大于任何一条直角边，得，故，利用不等式的性质，三角形的面积解答即可． （4）根据（3）的结论，解答即可． 本题考查了不等式性质的几何意义，熟练掌握不等式的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，四个正数， ， ． （2）解：①如图，作出点；作射线，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②作出点；在射线截取，，则点落在线段上； ③过点A作，过点C作，二线交于点E,同理作出交点F， ④根据作图，得到四边形都是矩形，且；； ⑤根据矩形在矩形内部，根据整体大于部分的原理，得到， ⑥故． （3）解：．理由如下： 过点B作于点E，根据直线三角形的斜边大于任何一条直角边， 得，故 而为的高， 故， 故， 故． （4）解：．理由如下： 如图，四边形中，，垂足为， 根据（3）中的结论，得， 故， 故， 故． 易错点 1.应用不等式性质3时，忘记改变不等号方向（如两边除以负数时，不等号方向不变）； 2.解不等式去分母时，漏乘不含分母的项（如，去分母得）； 3.混淆不等式的“解”与“解集”，将单个解当作解集，或遗漏解集的多个解； 4.数轴表示解集时，错误使用空心圆圈与实心圆点（如用空心圆圈表示）； 5.列不等式时，关键词理解错误（如“不低于”误写为“<”）； 6.含参数的不等式组中，未考虑参数对不等式方向的影响，或边界值取舍错误。 重点 1.不等式的基本性质，尤其是性质3的应用（乘除负数改变不等号方向）； 2.一元一次不等式（组）的解法，包括步骤的规范性和数轴表示的准确性； 3.根据不等式（组）的解集求字母参数的取值范围，掌握“解集包含”“整数解个数”等条件的转化； 4.不等式（组）的实际应用，能从实际情境中提取不等关系，列出不等式（组）并求解可行方案； 5.不等式与一次函数、方程（组）的综合应用，掌握转化思想和数形结合思想的运用。 难点 1.含字母参数的不等式（组）的求解与参数取值范围的确定，尤其是涉及整数解个数和恒成立的情况； 2.不等式（组）与一次函数结合的最优方案设计，需同时考虑不等式的约束条件和一次函数的最值； 3.跨学科和复杂实际情境中，不等关系的提取与数学模型的构建； 4.探究式和开放型问题的解答，需从特殊情况推广到一般规律，或根据结论倒推条件； 5.分类讨论思想的灵活运用，在含参数、多情况的不等式问题中，做到不重复、不遗漏。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 2．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 【答案】D 【分析】本题考查列不等式，需根据“≥”的含义结合标准线判断横线处的描述． 【详解】解：∵“≥”在实际情境中表示“不低于”（即大于或等于）， 又∵不等式为，其中是标准线， ∴横线处应填“不低于标准线”， ∴故选：． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 4．一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 5．如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可得x的取值范围为，再根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0求出四个选项中对应二次根式有意义时x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，数轴上表示的x的取值范围为， 当二次根式有意义时，，故A选项不符合题意； 当二次根式有意义时，则，即，故B选项符合题意； 当二次根式有意义时，则，即，故C选项不符合题意； 当二次根式有意义时，则，即，故D选项不符合题意． 二、填空题 6．如图，直线经过，两点，则不等式组的解集为_________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再将不等式组拆分为两个一元一次不等式分别求解，最后求不等式组的交集． 【详解】解：直线经过，两点， ，解得， 直线的解析式为． 解不等式组，即： 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 7．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 8．已知关于x的方程的解为非负数，且关于a、b的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为______． 【答案】 【分析】先解关于的方程，根据解为非负数求出的取值范围；再解关于、的方程组，用表示出，根据解为整数确定的可能整数值，最后计算这些整数的和． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负数， ∴， ∴， 解方程组， 由得， 把代入得 ， 解得， ∵方程组的解为整数，且， ∴是的正因数， ∴，，，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为． 9．不等式组的整数解是________． 【答案】 2 【分析】先单独求解每个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分作为不等式组的解集，再在这个解集中筛选出所有整数即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 所以不等式组的解集为， 在这个范围内的整数只有2， 所以该不等式组的整数解是． 10．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则________． 【答案】 8 【分析】将方程组两式相加消去. 根据取整运算的定义，可得. 设（为整数），求出的值后代入方程求出，再根据定义计算即可． 【详解】解：， 得 ． 设，为整数，根据表示不大于的最大整数，可得， 因此，，故． 代入得 ， 去括号得 ， 移项合并同类项得 ， 解得，即． 将代入①得 ， 解得 ． 因为，，所以，， 根据的定义，得． 三、解答题 11．解下列一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质解不等式即可； （2）根据不等式的性质分别解不等式，然后取公共部分，写出解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 12．已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等式的性质求出方程的解，即可得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可． （2）把a的最大整数代入不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得 ∵关于x的方程的解是非负数． ∴， 解得：， 所以a的取值范围是． （2）解：∵， ∴a的最大整数为2， 当时，则， 解得． 13．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 【答案】(1)， (2)当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 【分析】（1）根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； （2）解：由题意，令，解得． 又， 当时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 14．列方程或不等式解决问题： 《熊出没．年年有熊》上映后，电影院分两次购进了年年手办和岁岁手办进行售卖，第一次购入年年手办25个，岁岁手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入年年手办40个，岁岁手办20个共花费1100元． (1)请问每个年年手办和岁岁手办的进价分别是多少元？ (2)若年年手办的标价为30元，岁岁手办的标价为22元，开学前一天，电影院进行了酬宾活动：年年手办打九折，岁岁手办降价2元．已知岁岁手办的销量比年年手办的销量的2倍还多10个，要使电影院销售手办的总利润不低于380元，则至少要卖出年年手办多少个？ 【答案】(1)每个年年手办的进价是20元，每个岁岁手办的进价是15元 (2)至少要卖出年年手办20个 【分析】（1）设每个年年手办进价为x元，每个岁岁手办的进价为y元，然后根据“第一次购入年年手办25个，岁岁手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入年年手办40个，岁岁手办20个共花费1100元”列出方程组，进而求解即可； （2）设卖出年年手办m个，则卖出岁岁手办为个，根据“销售手办的总利润不低于380元”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每个年年手办进价为x元，每个岁岁手办的进价为y元，由题意得： ， 解得：； 答：每个年年手办的进价是20元，每个岁岁手办的进价是15元 （2）解：设卖出年年手办m个，则卖出岁岁手办为个，由题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴， 答：至少要卖出年年手办20个． 15．一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，三角形面积的求法，掌握相关知识点是解题的关键． （1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）连接，令与y轴的交点为点D，求出点坐标，根据，即可求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为． （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是． （3）解：如图，连接，令与y轴的交点为点D， 当时，，， 点B坐标为，点D坐标为， ， 当时，，解得， 点C坐标为， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $