由基本不等式证明不等关系、“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练-2026届高三数学二轮复习

由基本不等式证明不等关系、“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 由基本不等式证明不等关系、“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 考点目录 由基本不等式证明不等关系 “1”的妙用求最值 条件等式求最值 考点一 由基本不等式证明不等关系 例1．（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C 例2．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若，则，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，当，，则，错误； 对于D：若，则，所以，正确. 故选：D. 例3．（25-26高三上·四川成都·月考·多选）已知正实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知正实数 满足 ， 选项 A：，当且仅当 时取等号， 故 ，当且仅当 时取等号，故A正确； 选项 B：由均值不等式，， 当且仅当 时取等，故B正确； 选项 C：取 ，则 ， 满足，但不满足 ，故C错误； 选项 D：代入 ，得 ， 当且仅当 时取等，故D正确. 故选：ABD 例4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末·多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项，因为，所以， 由于，则，所以，A选项正确； B选项，， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，则，B选项正确； C选项，，由，可得， 所以，C选项错误； D选项，因为，所以， 函数在上单调递增，所以，即，D选项正确. 故选：ABD. 变式1．（25-26高三上·广东广州·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，若， 则， 当且仅当时等号同时成立，充分性满足， 若，不一定成立，例如，时，， 但，必要性不满足， 故选：B． 变式2．（25-26高三上·北京密云·月考）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：由可得，所以两边同除以可得，即，A说法错误； 选项B：由可得，所以，即，B说法错误； 选项C：由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，与矛盾， 因此等号不成立，，C说法正确； 选项D：由可得，，显然，D说法错误； 故选：C 变式3．（2026·山东烟台·一模·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A项，因，，且，则有， 当且仅当时取“=”，A正确； 对于B项，因，，且，则, 得，则B错误； 对于C项，因，，且，则， 得，， 设，， 得，得函数在上单调递增， 得，得， 即，得，故C正确； 对于D项，， 令， 得，得函数在上单调递增， 得，得，即，故D项错误. 变式4．（25-26高三上·吉林四平·期末·多选）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A，因为，所以 由，可得，解得， 又，当且仅当时，等号成立， 而，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 选项B，由，利用基本不等式， 由得， 则， 当且仅当时，等号成立，解得， 即，当且仅当时，等号成立，故B正确； 选项C，，又， 所以，由， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由配方得， 则，即， 可解得，又， 所以，因为，故D不正确； 故选：ABC. 考点二 “1”的妙用求最值 例1．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：B． 例2．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为2是与的等差中项，所以， 又，，所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 例4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知正数，，成等差数列，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正数，，成等差数列，所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以，当且仅当即时取等号. 两个等号可以同时取得，所以的最小值为. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知，，且，则的最小值为__________. 【答案】16 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以取得最小值16. 故答案为：16. 例6．（25-26高三上·天津武清·月考）已知，则的最小值为_________. 【答案】7 【详解】由题意，且 所以，则， 又， 令， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最小值为7. 故答案为：7 变式1．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即， 所以，即的最大值为. 故选：A. 变式2．（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为正数，满足，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． 变式4．（25-26高三下·广东江门·开学考试）设正数满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由题设，， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 变式5．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 【答案】4 【详解】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 变式6．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 考点三 条件等式求最值 例1．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 例3．（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 例4．（25-26高三上·云南·月考）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】依题意，， 则，即， 令，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 例5．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知，，且，则xy的取值范围是________． 【答案】 【详解】由基本不等式，得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是． 故答案为：. 例6．（2025·四川达州·一模）正实数满足，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】，， （当且仅当，即时取等）， （当且仅当时取等）， 综上（当且仅当时等号同时成立）， 则的最小值是． 故答案为：． 变式1．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 变式2．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得， 所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2. 故选：A. 变式4．（25-26高三上·海南海口·月考）若正数x，y满足，则的最小值是_____________. 【答案】 【详解】正数x，y满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 变式5．（2025·上海黄浦·一模）若正数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】因为是正数，所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当，即时，取得最小值； 故答案为： 变式6．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·月考）正实数x，y满足，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 因为x，y是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 因此， 因此当时，有最小值， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $由基本不等式证明不等关系、“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 由基本不等式证明不等关系、“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 考点目录 由基本不等式证明不等关系 “1”的妙用求最值 条件等式求最值 考点一 由基本不等式证明不等关系 例1．（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·四川成都·月考·多选）已知正实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末·多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高三上·广东广州·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（25-26高三上·北京密云·月考）设，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东烟台·一模·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·吉林四平·期末·多选）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 考点二 “1”的妙用求最值 例1．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 例2．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知正数，，成等差数列，则的最小值为______. 例5．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知，，且，则的最小值为__________. 例6．（25-26高三上·天津武清·月考）已知，则的最小值为_________. 变式1．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式3．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 变式4．（25-26高三下·广东江门·开学考试）设正数满足，则的最小值为_____． 变式5．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 变式6．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 考点三 条件等式求最值 例1．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 例3．（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 例4．（25-26高三上·云南·月考）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 例5．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知，，且，则xy的取值范围是________． 例6．（2025·四川达州·一模）正实数满足，则的最小值是_____． 变式1．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 变式2．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 变式4．（25-26高三上·海南海口·月考）若正数x，y满足，则的最小值是_____________. 变式5．（2025·上海黄浦·一模）若正数满足，则的最小值为_______． 变式6．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·月考）正实数x，y满足，则的最小值是__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $