基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练-2026届高三数学二轮复习

基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 考点目录 “1”的妙用求最值 条件等式求最值 考点一 “1”的妙用求最值 例1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·江苏无锡·期末·多选）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·河北石家庄·期末·多选）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 例5．（25-26高一上·江苏淮安·期末）若，为正数，且，则的最小值为 . 例6．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知正实数，满足，则的最小值是 . 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·河南信阳·期末·多选）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·期末·多选）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 变式5．（25-26高三上·河北·期末）若，且，则的最小值为 ，此时 . 变式6．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，，的最小值为 考点二 条件等式求最值 例1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 例2．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·山西运城·月考·多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 例4．（2025·河北·模拟预测·多选）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．存在、满足 例5．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知实数满足，则的最小值为 . 例6．（25-26高三上·云南曲靖·期末）若非零实数a，b满足，则的最小值为 . 变式1．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 变式2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 变式3．（25-26高三上·山东菏泽·期末·多选）设，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．无最小值 变式4．（25-26高三上·吉林四平·期末·多选）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高三上·上海·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 变式6．（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知正实数a，b满足，则的最小值是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 考点目录 “1”的妙用求最值 条件等式求最值 考点一 “1”的妙用求最值 例1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为正数，所以， ， 当且仅当，即时取等号, 由和解得，此时取得最小值. 故选：A 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 例3．（25-26高一上·江苏无锡·期末·多选）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由，且可得，即，且，即， 所以，可得，所以，即A正确； 对于B，易知，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立，即B错误； 对于C，易知, 当且仅当，即时，等号成立，即C正确； 对于D，易知, 当且仅当时，等号成立，即D正确. 故选：ACD 例4．（25-26高一上·河北石家庄·期末·多选）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，因为且， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 例5．（25-26高一上·江苏淮安·期末）若，为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题知，， 当时，即时，的最小值为. 故答案为： 例6．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 当且仅当，上式取等号， 则的最小值是, 故答案为： 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，，2是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为2是与的等差中项，所以， 又，，所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 设，则， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·河南信阳·期末·多选）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令函数，求导得，函数在上递增， 当时，，由，得， 不等式，则， 对于A，，则，A正确； 对于B，，，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由函数在上不单调，得由不能推出，D错误. 故选：AC 变式4．（25-26高一上·江苏无锡·期末·多选）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】对于A，因为， 所以根据基本不等式的性质得，所以. 当且仅当时等号成立，此时的最大值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为，所以，所以当时，取最小值为，B正确； 对于C，， 由A可知的最大值为2，所以的最大值为，C正确； 对于D，. 当且仅当即，结合可得时等号成立， 此时的最小值为，D错误； 故选：ABC. 变式5．（25-26高三上·河北·期末）若，且，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 所以， 当且仅当时，第二个等号成立， 所以的最小值为，此时. 故答案为：；. 变式6．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，，的最小值为 【答案】 【详解】 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 考点二 条件等式求最值 例1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 例2．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，此时，不合要求，舍去； 当时，，即，不合要求，舍去； 故，， ，解得， 又，故， 又， 令，则， 故， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，当从负数一侧趋向于0时，趋向于， 所以的取值范围为. 故选：C 例3．（25-26高一上·山西运城·月考·多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，故， 因此，故A正确； 对于B：因为，，故，. 令，则，且， 则， 由对勾函数的性质，易知在上单调递减，在上单调递增， 又因为，故在上的值域为， 故当时，，即，即的值域为，故B错误； 对于C：由A可知，，， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D：由A可知，，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 例4．（2025·河北·模拟预测·多选）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．存在、满足 【答案】AC 【详解】由正实数、满足得， 又因为，解得，故A选项正确； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确； 由得， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误． 故选：AC． 例5．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】令， 所以，两边平方并化简得， 同理， 由题知，则， 故，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为： 例6．（25-26高三上·云南曲靖·期末）若非零实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】依题意，， 则，即， 令，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 变式2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·山东菏泽·期末·多选）设，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．无最小值 【答案】ABC 【详解】对于A，由可得， ， 因为，当且仅当且时等号成立， 即，所以的最小值为，A正确； 对于B，由可得，即，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 即，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由可得，， 当且仅当时取等号，即有最小值2，D错误. 故选：ABC 变式4．（25-26高三上·吉林四平·期末·多选）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A，因为，所以 由，可得，解得， 又，当且仅当时，等号成立， 而，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 选项B，由，利用基本不等式， 由得， 则， 当且仅当时，等号成立，解得， 即，当且仅当时，等号成立，故B正确； 选项C，，又， 所以，由， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由配方得， 则，即， 可解得，又， 所以，因为，故D不正确； 故选：ABC. 变式5．（25-26高三上·上海·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】16 【详解】已知， 化简得，， 整理为， 由对数运算法则，得， 由题意， 已知. 由基本不等式：， 当且仅当，即时取等号. 将代入，得， . 故答案为：16 变式6．（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知正实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为，，，所以， 即，即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $