利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 考点目录 利用基本不等式解决解三角形中的最值问题 利用基本不等式解决圆锥曲线中的最值问题 考点一 利用基本不等式解决解三角形中的最值问题 例1.(25-26高三下·湖北孝感·开学考试)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 2cosC+23sinC-b-c=0. (1)求A; (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答案】04=月 (2)3. 【详解】(1)根据正弦定理有 acosC+3asinC-b-c=0 sin AcosC+3 sin AsinC-sin B-sin C=0. 因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, sin AcosC+3 sin AsinC-(sinAcosC+cosAsinC)-sin C=0 3sinAsinC-sinCcosA-sinC=0, Ce(0,π)，.sinC>0, 则有6n4-cos4-1=035sin4-c0s1=1→2sn4-1→sn(4-g）- :A∈(0，)，A-亚=亚A=元 66 31 (2)由(1)及余弦定理可知b2+c2-bc=4 .b2+c2=4+bc≥2bc.bc≤4，当且仅当b=c时，“=”成立. :D是BC的中点，.AB+AC=2AD, 两边平方得|ABP+|AC2+2AB.AC=4|ADP,即c2+b2+2 becosA=4|ADP, 由1)知4=写，代入得8+e2+c=4DP, 4D-42+c2+bd, ~b2+c2=4+bcAD=1(2bc+4)s3, 4 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 所以AD的最大值为√5. 例2.(25-26高三上福建福州月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知点D为线段BC上的 一点，AD为∠BAC的平分线，AD=2 (1)若ccos B=(3a-b)cosC,CD=1,求cos∠BAC的值； (2)当a=√5时，求b+c的最小值 【答案】0g (2)19 【详解】(1)由正弦定理，将ccosB=(3a-b)cosC化为sinCcosB=3 sinAcosC-sinBcosC, 整理得：3 sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sinB+C) 因为B+C=π-A,所以sinB+C）=sinA,即3 sinAcosC=sinA. 由于0<A<,sinA>0,得cosC=, 则snc=2V2 3 设∠CAD=0,在△MDC中，由正弦定理D=CD sinc sin0' V2 代入AD=2、CD=1,得： sin=CD.sinc 1. 3 AD 2 3 因为AD是角平分线，∠BAC=20,由二倍角公式：cos∠BAC=cos20=1-2sin0=1-2× 2) 5 3 B D (2)因为AD是角平分线，∠BAD=∠CAD=0,∠BAC=20 由面积关系5x=5am+S。c,得：ksin29=4D-asin0+D-sin0 2 化简可得：b+c=bccos0即cos0=b+c bc 在ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos:20,代入a=V5和cos20=2c0s20-1, 3=(b+c)2-2bc-2bc(2cos20-1)=(b+c)2-4bccos20 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 将cos0=+代入上式：3=6+e-4hc.b+c-6+c-4b+c (bc)2 bc 整理得：b+c=3+4b+c bc 由整本不等式c≤（生，得记产b, 2 1 4 f代入上式：6+c}≥3+46+c2.4-3+16=19 (b+c)2 当且仅当b=c时取等号，故b+e的最小值为√19 例3.(25-26高三上·湖南株洲月考)在三角形ABC中，设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角A,B,C成等差数列， 且b=V5 (1)求三角形ABC外接圆的面积； (2)求三角形ABC周长的最大值， 【案10号 (23V5 【详解】I)因为角8，C成等差数列，所以2B=4+C,又4：8+C=,所以B=骨 设ABC外接圆半径为R,由正弦定理，可得0=2R之2R=3 sin B 53 2 所以ABC外接圆的面积为：πR'=5π 3 (2)由余弦定理可得：b2=a2+c2-2 ac cos B, 所以a2+c2-ac=5→(a+c-3ac=5→3ac=(a+c2-5, 又因为c≤a+e,所以3c=a+e-5s3a+c=a+os5 4 4 4 所以a+c≤√20=2√5，当且仅当a=c=√5时取等号 所以a+b+c≤35，即ABC周长的最大值为35 例4.(2026陕西西安·一模)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且有 cos2 A-sin Bsin C=cos(C+B)cos(C-B). (1)求角A; (2)若D为BC中点，且AD=2,求ABC面积的最大值 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 【答案】四骨 243 3 【详解】(l)cos2A-sin B sin C=-cos Acos(C-B), .cos A cos A+cos(C-B)=sin Bsin C, 又因为cosA=cos(π-B-C)=-cos(B+C), cos 4[cos A+cos(C-B)]=cos A[-cos(C+B)+cos(C-B)] cos A(-cos Ccos B+sin Csin B+cos Ccos B+sin Csin B)=sin Bsin C, 整理得2 cos Asin B sin C=sin BsinC, :B,Ce(0,,.sin Bsin C≠0，cos4=, 4e0,,4=号 2)由题意知D=0+4C, 则ADP=4ABr+2.AC+4CP）=4ABP+2B州4CosA+AC), 1AD=2,.b2+c2+bc=16, :b2+c2+bc23bc(当且仅当b=c时等号成立，bc≤16 , 。48C面积的最大信为csnA=)×5x5_45 2323 变式1.(25-26高三上河南南阳期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=4,b+c=6. (I)求cosA的最小值； (2)若ABC的面积是√15，求ABC外接圆的面积 【答案】0写 e常 【详解】(1)在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA=(b+c2-2bc-2 bccosA, 如cos4=b+C)-4-1=101 bc 因为6+e=6,所以bc≤6+-9，当且仅当b=c时等号成立， 4. 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 则0≥9，所以a40-1≥g 'bc 9 bc 所以c0s4的最小值为 1 (2)因为ABC的面积是，所以)bcsinA=5,所以sinA=2压 bc 由1)可知cos4=9-1,则im24+cos2A=60+100-20+1=1,解得bc=8, bc b'e+b'c be 则sinA=2压-5 bc 4 a 8 设ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得R= 2sinA不5' 故ABC外接圆的面积为πR2=64n 15 变式2.(25-26高三上·江苏扬州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.已知 sinB=√3sinc (1)若a2-c2=2 ,求cosA的值； sin4 2)若S=,求的最小值 3)若A= 3c=LP,L,R分别在边4B,BC,C4上，且PO=QR=RP,求△POR面积的最小值 【答案】（①5-1 (2)2W5 8)36V5-27 208 【详解】(1)因为sinB=√3sinC,所以由正弦定理可得b=√5c, 因为a2-c2-2S-csin4=bc,所以a2=(5+1)c2, sinA sin A 所以由余弦定理行cosA-分+2-d_3女+c-人5+g_5- 2be 2W3c2 2 (2由三角形面积公式得5sm4子且6=5c解得cs如4=5， 由余弦定理得a2=b2+c2-2 be cos A=4c2-2V3c2cosA=4-2V5 cos 4)c =4-2N5cosA5=25.2-5cos4, /sin A sin A 令2-5cos4=元，则2sinA=2-5cosA,a2=25, sin A 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 即P+3sin(4+p=2,其中anp=5 可得√22+3≥2，解得121， 则2≥25，当且仅当元=1，即A=严时，等号成立， 6 所以2的最小值为2√5 (3)由题意得c=1,而b=√3c,可得b=V5, 如图，作出符合题意的图形， Q 设PO=QR=RP=m,则△POR是等边三角形，得到∠QPR= 3 因为A-子，所以子+∠ARP+∠APR=,而骨+∠APR+∠BPQ=元， 3 故∠ARP=∠BPQ,设∠ARP=∠BPQ=0, 在BPO中，由正弦定理得m。=,BP BP sinB sin∠3OP sint(B+0' msin(m(sin Bcos+cos sin)=m(cos0sine sin B sin B tan B' m AP 在△PR中，由正弦定理得nm9,解得4P=25。 3msin0, 3 面图，过c作CDB,可得0=，边人 2'BD=1-5 2 ③ DA B C 由锐角三角函数的定义得，L。D-2-5,则BP=m1os0+2- -sin0), tan B CD 3 3 因为P4+PB=1,所以29msn9+(co0+2- -sin0)=1, 3 3 6 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 化简得m(cos0+2+ 3 2sin0)=1,则m c0s8+2+V5 sin0 3 1m= 由辅助角公式可得 {2+5y+1sin0+o）'tam9=32-v5, 3 由正弦函数有界性可得 2+5y+1sin0+o) 3 21 m≥ )+1m 1 -94-V3) 即 2+V3 52, 3 2+5y+1 3 1.3 由三角形面积公式得S.POR=) m'5×94-V0-36v5-27 22 *m2 4 4 52 208 变式3.(25-26高三上·河南郑州期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知V3c=asinB+V3 acosB (1)求A; (2)若a=3,点D在边BC上，DC=2DB,求△4DC面积的最大值. 【答案】)4=号 235 2 【详解】(1)由V5c=asinB+V3 acosB, 根据正弦定理可得√3sinC=sinAsinB+V3 sinAcosB, 由A+B+C=π，则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 可得√3 sinAcosB+√5 cosAsinB=sinAsinB+√3 sinAcosB,所以V3 cosAsinB=sinAsinB, 由0<B<π，即sinB>0,则√5cosA=sinA,即tanA=√3， 根摆0<4<，解得4-号 (2)由(I)有S.ec-)besin4=bcx5_ bc, 24 由DC=2DB,有SS× -bc= 34 6 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 当且仅当b=c时，等号成立，所以bc≤a2=9, 所以5e=56cs点xg-35】 -×9= 6 6 2 > 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 所以△4DC面积的最大值为3V5 变式4.(25-26高三上河南期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 sin A bsin B =1 sin B+sin C bsin A+csin B (1)求角C; (2)若ABC的中线CD长为2√3，求a+b的最大值 【答案】0)C-胃 (2)8 【详解】(1)由，sin4 sin B+sinC bsin AcsinB1, bsin B b2 b+cab+cb=1, 化简得，。+力=1，所以a+ac++bc=ab+bc+ac+c, b+c a+c a2+b2-c2=ab, 由余弦定理知，c0sC=a+62-c2ab_1 2ab 2ab2 因为ce0,,所以C-号 (2)由CD是ABc的中线，而=Ca+C⑧)， 所以D=+EP+2-,网，即2=4a+b+a, 所以8=g++a=o+-b2加+8-22-引a+6。 所以a+b≤8， 当且仅当a=b=4时，等号成立， 所以a+b的最大值为8. d 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 考点二 利用基本不等式解决圆锥曲线中的最值问题 例1.2526高三上天津月考)卫知箱圆E+0>b>0,的左、右焦点分别为-0，RL,0, 是椭圆上的一点 (1)求椭圆E的方程； (②)过右焦点E的直线1与椭圆E交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交直线I于点P,交直线x=-2于点Q,求 PO AB 的最小值 【答案】①)+上=1 32 (2 3 【详解】(1)因为左焦点为E(-1,0),所以c=1, 6 由点 在椭圆E2+b2=1(a之b>以上， 1 代入可得2a+京1， 又c2=a2-b2=1,与上式联立可得a2=3,b2=2, 所以椭圆E的方程为：亡+上=1 3+2 (2)当直线1的斜率为0时，线段AB的垂直平分线为x=0,与x=-2不相交，不符合题意， 故直线1的斜率不为0，设其方程为x=y+1,A(x,y),B(x2,y2), x=my+1 米立x2y2 ，可得(2+3)y2+4my-4=0, =1 2 △=（4m)2-4×(2m2+3)×(-4=48m2+48>0, 4m -4 y+y2= 2m+342m+3 则AB=V1+m2y-均=1+m2Vy+2)2-4y =V1+m 16m 16 (2m2+3月 2m2+ =4+m.5m2+3_45m2+D 2m2+32m2+3 0 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 又y,=当+5=-2m 2 2m2+3’。=m,+1=。3 2m2+3 由PQ⊥1可得，直线PQ的斜率为-m, 所以P0=+mg-=+m2-2m+3 ,3=+m.4m+9 2m2+3 PO 1+m.4m+9 所以AB 2m2+3-V54m2+9 43(m2+1)12V1+m2 2m2+3 令1+m2=t,则t21,所以m2=t-1 代入上式可得， 4B 12 2×24× 13 当且仅当和-，即1=时取等号，此时m=分 所以 的最小值为 AB 3 B 例2.C2526商二上山东青岛：期申)勿图.裤四#若+茶=a>6>0的长维长为4.离心率为 D o H (1)求W的标准方程； (2)矩形ABCD的顶点A,B在x轴上，C,D在W上，CB与W的另一个交点为E,AE与W的另一个交点为F, AE与y轴交于点G,CG与W的另一个交点为H.设直线AE,CG的斜率分别为k,k 求会的脑： (ii)求直线FH的斜率的最小值 【答案】0)芝+上- 42 10利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 考点目录 利用基本不等式解决解三角形中的最值问题 利用基本不等式解决圆锥曲线中的最值问题 考点一 利用基本不等式解决解三角形中的最值问题 例1.(25-26高三下·湖北孝感·开学考试)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 2cosC+2v3sinC-b-c=0. (1)求A; (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 例2.(25-26高三上福建福州月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知点D为线段BC上的 一点，AD为∠BAC的平分线，AD=2. (I)若c cos B=(3a-b)cosc,CD=1,求cos∠BAC的值； (2)当a=√5时，求b+c的最小值 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 例3.(25-26高三上湖南株洲月考)在三角形ABC中，设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角A,B,C成等差数列， 且b=V5 (1)求三角形ABC外接圆的面积； (2)求三角形ABC周长的最大值， 例4.(2026陕西西安一模)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且有 cos2 A-sin Bsin C=cos(C+B)cos(C-B) (1)求角A; (2)若D为BC中点，且AD=2,求ABC面积的最大值. 2 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 变式1.(25-26高三上河南南阳期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,且a=4,b+c=6. (1)求cosA的最小值； (2)若ABC的面积是√15，求ABC外接圆的面积. 变式2.(25-26高三上·江苏扬州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的面积为S.已知 sinB=√3sinC. ()若a2-c2=2S ,求cosA的值； sinA (2)若5=3 ,求d的最小值： =3c=l,PL,R分别在边4B,BC,C4上，且PO=QR=RP,求APOR面积的最小值 3)若A= 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 变式3.(25-26高三上·河南郑州期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知√3c=asinB+√3 acosB (1)求A: (2)若a=3,点D在边BC上，DC=2DB,求△4DC面积的最大值. 变式4.(25-26高三上河南期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 sin A bsin B =1 sin B+sin C bsin A+csin B (1)求角C; (2)若ABC的中线CD长为2√3，求a+b的最大值 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 考点二 利用基本不等式解决圆锥曲线中的最值问题 侧1.2526高三上天津月者)已椭图E名+冷Q>b>0,的左、右焦点分别为R-1,0,L0 是椭圆上的一点 (1)求椭圆E的方程； (②)过右焦点F的直线I与椭圆E交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交直线I于点P,交直线x=-2于点Q,求 PO AB 的最小值 例2.(2526高二上山东青岛期中)如图，椭圆W: 若+若-=a>6>0的张维长为席心￥为 2 B (1)求W的标准方程； (②)矩形ABCD的顶点A,B在x轴上，C,D在W上，CB与W的另一个交点为E,AE与W的另一个交点为F, AE与y轴交于点G,CG与W的另一个交点为H.设直线AE,CG的斜率分别为k,飞 气的信： (ii)求直线FH的斜率的最小值 5 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 例3.(225山东临沃一模)已知椭圆E左a>0,b>0)的离心率为，，是E的左、右焦点，目 FF=42,直线过点F与E交于A,B两点 (1)求E的方程； (2)若AB=2W3,求1的方程； ③)考直线马过点5与E交于C,D两点，且，4的斜率乘积为了M,V分别是线段B,CD的中点，求。心面积的 最大值 例4.C2425商三上江苏南京期）已知椭酒C:号+后-a>6>0的短销长为2，离心率为2 ,A,B分别是 椭圆C的上下顶点，过A作两条互相垂直的直线AP,AQ,分别交椭圆C于P,Q两点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)求证：直线PQ恒过定点； (3)求△APQ面积的最大值， 6 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 变式1.2526商三上陕西商济，月考)已知双曲线E等片-a>0b>0的离心率为2，点机，0)在双酯线E上 (1)求E的方程； 1 2)已知直线1：y=2x+m,1交E于P,两点， 雪存在直线：以+m满足P上40，若存在求出直线的方程，若不存在请说过 ②若m≥1，求△OPQ的面积的最小值. 变式2.2326高三下河胸开学考试0已知双曲线c答芳-a>0>0的左、右顶点分别为AB,MB叫=6， C的渐近线方程为y=±亏， (1)求C的方程； ②若D,E是C上不同于AB的两点，过D作与直线y=写x平行的直线交直线AE于点P,过D作与直线y= 3平 行的直线交直线BE于点Q. (1)若点D在第一象限，记直线AD,BD的斜率分别为k,k2,求4k+k,的最小值； (ii)证明：直线PQ恒过定点. > 利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练 变式3.(25-26高三上广东汕头期末)己知抛物线C:y2=4x,过C的焦点F作直线交C于A、B两点，直线A0 (O为C的顶点)交C的准线1于点P, (I)求证：BP⊥1： (2)求POP4的最小值. 变式4.(2025·内蒙古呼和浩特·二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点Mm,V5).其焦点为F,若MF=2且 m>p (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的最小值. P