重难点07 三角函数的值域与最值九类问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点07 三角函数的值域与最值九类问题 题型一、求正弦型三角函数的值域（最值） 【方法点拨】求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域。【注意】t的取值范围。 【例1】已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)函数在上的最大值，并确定此时的值． 【跟踪训练】 1.函数 在区间 上的最大值为 . 2．函数在上的值域为______ 3．函数在上的最大值与最小值之和是 4．已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 题型二、求余弦型三角函数的值域（最值） 【方法点拨】形如可利用三角函数的有界性求值域。注意对a正负的讨论． 【例2】函数的值域是_______ 【跟踪训练】 1．函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是_______ 2．函数的值域为_____________- 3.函数在区间上的值域为 . 题型三、求正切型三角函数的值域（最值） 【例3】1.函数的值域为 ． 2.函数（且）的值域是 ． 【跟踪训练】 1．函数（且）的值域为（  ） A． B． C． D． 2.求函数的最大值与最小值之和. 3.函数的最大值为 . 题型四、利用辅助角公式求值域（最值） 【方法点拨】型，引入辅助角　，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。型亦可以化为此类。 【例4】设当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【例5】已知函数 . （1）求函数的最值及对称轴方程； （2）若，求函数的取值范围. 【跟踪训练】 1．函数的最大值为 _______ 2.已知的最大值是2，则在中的最大值是______ 3.函数在闭区间上的最小值是________________. 题型五、可化为二次函数求值域（最值） 【方法点拨】（1）看到形如的函数要联想到二次函数，构造二次函数.（2）换元时一定要注意新“元”的范围，要注意命题的等价性. 【例6】函数（）的最大值是 ； 【例7】求函数y=5sinx+cos2x的最值 【例8】函数的值域为____________ 【跟踪训练】 1.求函数的最小值. 2.函数的最小值是______ 3.函数的最大值为 ． 4．函数（）的最大值为 ． 题型六、 的值域（最值） 【方法点拨】1 ； 2 遇到求的最值，可令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【注意】不要忽略t的取值范围。 【例9】已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【跟踪训练】 1.求函数，的值域. 2.求函数的值域. 3.求函数，的值域. 4.函数的值域为________． 题型七、分式型三角函数的值域（最值） 【方法点拨】①（或）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。 ②（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。 【例10】求函数的值域 【例11】求函数的最大值和最小值. 【例12】函数的值域为_____________． 【跟踪训练】 1.已知f(x)＝，x∈(0，π)．下列结论正确的是(　　) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 2.函数y＝的最小值为__________．． 3.函数的值域为___________. 题型八、含绝对值的三角函数值域（最值） 【方法点拨】取绝对值符号分类讨论研究三角函数在不同区间上的值域。 【例13】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设函数，，则函数的最小值是______． 2.已知函数，. (1)求，的值； (2)求的最大值并写出取得最大值时x的集合； (3)定义，，求函数的最小值. 题型九、利用三角函数的值域（最值）求参数 【例14】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【例15】若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【跟踪训练】 1.已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 2.已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（   ） A． B． C． D． 3.已知，若存在，，使得，则（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 一、填空题 1.函数在上的值域为________ 2.已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是_____ 3.函数在的值域是            ． 4.函数，的值域为          ． 5,已知函数，则函数的值域为______ 6.函数的最大值为_________ 7.函数的最大值为___________ . 8.当时，函数的最小值是________. 二、选择题 9.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 10.已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是_______ 11.已知函数，其中，若函数的最大值记为，则的最小值为______ 12.已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为_________ 3、 解答题 13.已知． 求的单调递减区间； 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 14．已知函数f（x）＝． （l）求函数f（x）的定义域； （2）求函数f（x）的值域． 15．已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的最大值与最小值. 16.已知函数 . （1）求函数的最小正周期和图象的对称中心； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17.求函数的最大值和最小值. 18.已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点07 三角函数的值域与最值九类问题 题型一、求正弦型三角函数的值域（最值） 【方法点拨】求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域。【注意】t的取值范围。 【例1】已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)函数在上的最大值，并确定此时的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）只需根据图形列方程依次求出的值即可； （2），结合三角函数性质即可求解. 【详解】（1）由题图知，，则， ∴．又， ∴． ∵，∴，∴，即， ∴的解析式为． （2）由（1）． ∵，∴， ∴当，即时，． 【跟踪训练】 1.函数 在区间 上的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】当，则，则， 则的值域为，所以函数的最大值为3. 故答案为：3 2．函数在上的值域为______ 【分析】利用正弦函数的性质求解 【解析】由，可得，则. 3．函数在上的最大值与最小值之和是 【答案】/ 【详解】∵， ∴， ∴， ∴最大值与最小值之和为， 故答案为：. 4．已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由， 由周期为且，得， 解得，即，由，得，故，所以函数在上的值域为． （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增． 由题知，存在使得成立，则必有 则，解得，故，所以的最大值为． 题型二、求余弦型三角函数的值域（最值） 【方法点拨】形如可利用三角函数的有界性求值域。注意对a正负的讨论． 【例2】函数的值域是_______ 【分析】利用余弦函数的有界性及性质求解 【解析】因为，所以， 因为函数在上递增，上递减， 又，，， 所以即. 【跟踪训练】 1．函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是_______ 【分析】利用余弦函数的有界性及性质求解 【解析】令，因为x[-，]，所以， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，即函数的值域是． 故选：A． 2．函数的值域为_____________- 【答案】 【解析】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【解析】因为，所以，则， 故的值域为． 故答案为： 3.函数在区间上的值域为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求解. 【详解】因为，，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型三、求正切型三角函数的值域（最值） 【例3】1.函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求解 【解析】当时，，， 即的值域为. 故答案为：. 2.函数（且）的值域是 ． 【答案】 【分析】求出在的范围即可求解. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴． 即当时，函数的值域是． 故答案为： 【跟踪训练】 1．函数（且）的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的性质求解 【解析】且，且， 由于正切函数的图象及单调性，得： 或， 即 故选B． 2.求函数的最大值与最小值之和. 【答案】 【分析】首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，因为，所以， 则原函数等价于， 因为的图象的对称轴方程为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 故函数的最大值与最小值之和为. 3.函数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式与基本不等式即可求得. 【详解】由题可得， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 题型四、利用辅助角公式求值域（最值） 【方法点拨】型，引入辅助角　，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。型亦可以化为此类。 【例4】设当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【解析】利用辅助角公式可得： ， 其中： ，当函数取得最大值时： ，则： . 本题选择C选项. 【例5】已知函数 . （1）求函数的最值及对称轴方程； （2）若，求函数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为， ；（2）. 【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可将函数解析式化为，利用三角函数的有界性求解函数的最值，令，可得对称轴方程；（2）由，得,所以，则. 【跟踪训练】 1．函数的最大值为 _______ 【解析】由题意，得 . 2.已知的最大值是2，则在中的最大值是______ 【解析】根据辅助角公式可得： ， 其中. 由的最大值为2可得,解得. ∴. ∵，∴. ∴当，即时，取得最大值. 故. 3.函数在闭区间上的最小值是________________. 【答案】 题型五、可化为二次函数求值域（最值） 【方法点拨】（1）看到形如的函数要联想到二次函数，构造二次函数.（2）换元时一定要注意新“元”的范围，要注意命题的等价性. 【例6】函数（）的最大值是 ； 解法：化简三角函数的解析式：， ，由自变量的范围：可得：， 当时，函数取得最大值1。 【例7】求函数y=5sinx+cos2x的最值 【解析】 【例8】函数的值域为____________ 【答案】 【解析】因为 令，则 所以，所以，故函数的值域为 【跟踪训练】 1.求函数的最小值. 解析：利用将原函数转化为，令，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时， 2.函数的最小值是______ 【解析】， 令，则． 因为在上单增，所以当时，．故选：C． 3.函数的最大值为 ． 【答案】6 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数的平方关系对原函数进行化简，再结合一元二次函数性质即可求解． 【详解】， 又，函数在上单调递增， 所以函数最大值为． 故答案为：6． 4．函数（）的最大值为 ． 【答案】 【详解】当时，，令， ， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，当时，函数有最大值， 即时，取得最大值． 故答案为： 题型六、 的值域（最值） 【方法点拨】1 ； 2 遇到求的最值，可令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【注意】不要忽略t的取值范围。 【例9】已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【详解】（1）由题知， 因为，所以，且， 所以. （2）法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令， 首先，所以， 其次，当且仅当时取等， 所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 【跟踪训练】 1.求函数，的值域. 【解析】 令，则 由且可得： ∴当时，，当时， 故所求函数的值域为. 【点评】（1）由于，所以当已知中同时有 或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. 2.求函数的值域. 【解析】 令sinx+cosx=t,则,其中 所以 ,故值域为. 3.求函数，的值域. 【解析】 令，则 由且可得： ∴当时，，当时， 故所求函数的值域为. 【点评】（1）由于，所以当已知中同时有 或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. 4.函数的值域为________． 【答案】 【解析】由于， 令，则， 于是函数化为， 而 ， 所以当时，函数取最大值1， 当时，函数取最小值，故值域为. 题型七、分式型三角函数的值域（最值） 【方法点拨】①（或）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。 ②（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。 【例10】求函数的值域 【分析】此为型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同名、同角,这类三角函数一般先化为部分分式,再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为,可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 【例11】求函数的最大值和最小值. 解：由已知得，即 那么，得 （其中角的正切值） 所以，，因为，因而有 将其化简得到，解得，因此，，. 【例12】函数的值域为_____________． 【答案】 【解析】令，， 则，即， 所以， 又因为，所以， 即函数的值域为． 【跟踪训练】 1.已知f(x)＝，x∈(0，π)．下列结论正确的是(　　) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 答案　B 解析　令t＝sinx，t∈(0，1]，则y＝1＋，t∈(0，1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．另外还可通过y＝1＋，得出sinx＝，由sinx∈(0，1]也可求出，故选B. 2.函数y＝的最小值为__________．． 【答案】. 【解析】解法一：∵y＝＝＝1＋,∴当cosx＝－1时,ymin＝1＋＝. 解法二： 由y＝,得cosx＝,又∵－1≤cosx＜1,∴－1≤＜1. ∴y≥.∴函数的最小值为. 3.函数的值域为___________. 【答案】 【解析】解：， 因为，所以，所以，所以， 所以的值域是. 题型八、含绝对值的三角函数值域（最值） 【方法点拨】取绝对值符号分类讨论研究三角函数在不同区间上的值域。 【例13】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ∴为周期函数，其中一个周期为，故只需考虑在上的值域即可， 当时，，其中，, ∴，， 当时，，其中，， ∴，， ∴的值域为.故选：C 【跟踪训练】 1.设函数，，则函数的最小值是______． 【答案】0 【解析】∵为偶函数， ∴只需求函数在上的最小值， 此时， 令，则，函数的对称轴为， ∴当时，. 2.已知函数，. (1)求，的值； (2)求的最大值并写出取得最大值时x的集合； (3)定义，，求函数的最小值. 【答案】（1）;（2）;（3） 【解析】（1）， （2）因为，故， 故，此时即即. 对应的的集合为； （3）由（2）可知，，， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，， 综上，，故. 题型九、利用三角函数的值域（最值）求参数 【例14】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数式化简，化为利用一元二次函数即可求解. 【解析】， 设，，函数的对称轴为 且，，， 因为函数在区间的值域为， 所以在区间上能取得，但是不能小于0， 所以. 故选：C 【例15】若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一，只需，即可） 【详解】， ， 依题意，，即， 化简得，解得. 故答案为：（，即可）. 【跟踪训练】 1.已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换的知识化简，根据二次函数的性质求得正数的值. 【详解】 . 令，则，， 开口向下，对称轴为， 当时，则，无解. 当时，则. 综上所述，的值为. 故选：B 2.已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且， 由题意，则， ，则， 所以，则或均不可能， ，则不可能，时. 故选：C 3.已知，若存在，，使得，则（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】B 【详解】由题，即， 又， ∵，∴， 又， ∴，又，，， ∴，又在上单调递增， ∴有最大值，无最小值. 故选：B. 一、填空题 1.函数在上的值域为________ 【解题思路】先求得的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果. 【解答过程】因为 ，所以，所以， 故在上的值域为. 2.已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是_____ 【解题思路】由三角函数性质，可知区间长度不小于且不大于，由此即可得解. 【解答过程】当时，. 由题意可得，解得. 3.函数在的值域是            ． 【答案】  解：对于函数， 当时，， ， 故函数在的值域是． 故答案为：． 4.函数，的值域为          ． 【答案】  解：因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 5,已知函数，则函数的值域为______ 【解析】 ,, ，所以， 所以函数的值域为 6.函数的最大值为_________ 【答案】4 【解析】∵ ， ∴当时， 有最大值为4，故填4. 7.函数的最大值为___________ . 【答案】 【解析】 , ,则时， 取最大值为 . 8.当时，函数的最小值是________. 【答案】 【解析】， 当时，，所以， ，即的最小值为. 二、选择题 9.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：该函数的定义域是且，． 当是第一象限角时， 当是第二象限角时， 当是第三象限角时， 当是第四象限角时，． 综上，函数的值域是． 故选C． 10.已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是_______ 【分析】根据正弦函数的性质求解． 【解析】在上，，在上，， 由题意，函数在两个区间上最值相同，且最小值为， 即两区间左端点函数值均为最小值， 所以两区间右端点函数值不能小于，但两区间内最大值相同， 如图的部分图象，数形结合得且，即. 11.已知函数，其中，若函数的最大值记为，则的最小值为______ 【解析】函数， 化简可得： ，令，令 ， ，∵，开口向下，对称轴，故当时， 取得最大值为 （当且仅当，即时取等号），故得的最小值为． 12.已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为_________ 【分析】利用放缩可知最小值，利用辅助角公式可知最大值，然后计算即可. 【详解】因为，，所以 ，当且仅当时，取最小值. 又， 其中，，. 所以当且仅当时，取最大值. 所以. 3、 解答题 13.已知． 求的单调递减区间； 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】解：， 由得， 的单调减区间为； 由题意得， ，， ， 在上的值域为． 14．已知函数f（x）＝． （l）求函数f（x）的定义域； （2）求函数f（x）的值域． 【答案】（1）{x∈R|x≠－＋2kπ，k∈Z}（2） 【解析】试题分析：（1）根据函数解析式，分母不为零，列出不等式求出解集即可求得函数的定义域；（2）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简函数的解析式为一个角的三角函数形式，利用三角函数的有界性，即可求出的值域. 试题解析：（1）由sinx＋1≠0得，x≠－＋2kπ(k∈Z), ∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠－＋2kπ，k∈Z}． （2）f(x)＝(－1)(sinx－cosx)＝(1－sinx－1)(sinx－cosx) ＝－sinx(sinx－cosx)＝sinxcosx－sin2x ＝sin2x－＝ (sin2x＋cos2x) ＝sin(2x＋)－ {x|x≠－＋2kπ，k∈Z} 虽然当x=－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)＝－１，但是 f(x)＝－１{x| 或，k∈Z}{x|x=－＋2kπ，k∈Z} ∴函数f(x)的值域为 15．已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的最大值与最小值. 【答案】（1）函数的单调递增区间是， ；（2）最大值，函数取最小值. 试题解析：（Ⅰ） ，由 ， ，解得， ，所以函数的单调递增区间是， . （Ⅱ）因为，所以，当，即时，函数取最大值 ；当，即时，函数取最小值. 16.已知函数 . （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称中心； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为： ，对称中心为： ；（2）最大值2，最小值. 试题解析： (1)∵ 最小正周期为： ，对称中心为： （2）， 当，即时函数有最大值2； 当，即时函数有最小值. 17.求函数的最大值和最小值. 解析：用配方法将函数式转化后在解题。 由，得 那么， 即，故，. 18.已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据即可求出； （2）令即可求出； （3）先求出，再结合函数图象可得. 【详解】（1） ， 因函数图象的一个对称中心为，则， 则，即， 因，则当时，. （2）由（1）可知，， 令，得， 故的单调递增区间为； （3），则， 因，结合函数图象可知， 欲使在区间上的值域是， 则，即， 故的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $