精品解析：河北沧州市盐山中学2026届高三一模数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则虚部为（ ） A B. 2 C. 3 D. 6 2. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设等比数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为64 D. 当取最大值时， 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 14. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 16. 在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 17. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 18. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 2. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出全集中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可. 【详解】由题知全集是小于12的素数， 因为，所以. 故选：B. 3. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出准线的方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 4. 一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由高度限制得出小球半径不超过，再探究底面内切圆的半径与的关系. 【详解】由题棱体高为1，则小球半径不超过， 当底面为正六边形时，其边长为，内切圆半径为， 所以该小球半径的最大值为， 故选：B. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中的常数项为. 故选：D. 6. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，可求得函数的定义域，进而利用复合函数的定义域的求法可求的定义域. 详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为. 由，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 7. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定点的轨迹后，结合函数定义逐项判断即可得. 【详解】由，可得，， 故在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上. 对A、C：如图：当位于点或时，有与全等， 则，即当时，可为或，可为或， 故、都不是关于的函数，故A、C错误； 对B：当时，如图，可能位于点或点处， 显然，故一个可能得到两个不同的， 故不是关于的函数，故B错误； 对D：由，则确定时，唯一确定， 则当确定时，点也唯一确定， 则每一个都有相对应的一个， 故是关于的函数，故D正确. 故选：D 8. 过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为，代入得：. 由根与系数的关系得，， 所以. 又直线CD的方程为，同理， 所以， 所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 则由抛物线的定义可得. 所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设等比数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为64 D. 当取最大值时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件求出 的通项公式，再根据通项公式的性质逐项判断即可. 【详解】， ， ， ， 当或4时，可取最大，最大值为64； 故选：ABC. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得. 【详解】对于A，， 当且仅当时成立，A正确； 对于B，，即，可得， 所以，当且仅当时成立，B错误； 对于C，，当且仅当时成立，C正确； 对于D，由， 当且仅当，即，等号成立， 所以，此时，不能同时取等号，所以D错误. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A. B. C D. 【答案】AB 【解析】 【分析】确定直线方程，计算交点坐标，得到，A正确，根据两点间距离公式得到，B正确，计算，C错误，计算到两直线的距离不相等，D错误. 【详解】双曲线的右焦点为，直线 联立，解得 根据对称性知 对选项A，故，A正确； 对选项B：，故，B正确； 对选项C， ，C错误； 对选项D，而，所以， 由角平分线定理可知：， （另解：直线到的距离为到的距离为， 两者不相等，），D错误 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设公差，借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，即， 化简得，解得或， 又等差数列的各项均为正数，故，故， 则 故答案为：. 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 14. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率. 【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设, 由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍） 则， 又设直线PN的方程为 由到直线PN的距离为1，得，整理得 则，又，故 则直线PN的方程为， 故， 由，解得，故椭圆的离心率 故答案为： 【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据恒等变换公式化简函数解析式，再通过函数过点求出的值，进而求解出函数解析式； （2）通过三角函数图像变化求解的解析式，再通过整体代换的方法求解三角函数不等式即可. 【小问1详解】 ， 由图知，过点，即，则， 由图得，，解得． 所以． 【小问2详解】 由题得，， 由，得，则， 所以， 解得， 因此，使成立的的取值集合是． 16. 在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意可得，，所以，即可求得椭圆的方程； 设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积． 【小问1详解】 椭圆的焦点为，， 半焦距， 椭圆的右焦点到上顶点的距离为， ， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，， 过且斜率为的直线方程为：， 代入椭圆的方程，化简可得， ， 则， . 17. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 18. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理求解. （2），利用线面角的向量法求出，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系， 由都是正三角形，，得， ，令，则， 由平面，平面平面，平面，得， 因此，，所以PE的长为. 【小问2详解】 由（1）知，设，则， ，而平面的法向量， 由直线DE与平面所成角的正弦值为，得 ，整理得，又，解得， 于是，而，设平面的法向量， 则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）转化问题为对时恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由（2）得，，，令，得，再利用累加法求证即可. 小问1详解】 由，则， 而，则， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 若对，有， 即为：对时恒成立， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价于， 即为恒成立， 设，则， 设，，则， 因为，所以， 所以在为减函数，则， 所以在为减函数，即， 所以，则的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当且时，，即， 令，得， 因为，所以， 当时，，当时，， ， 以上不等式相加得 ，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $