河北沧州市盐山中学2026届高三一模数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则的虚部为(    ) A. B. C. D. 2.已知全集是小于的素数，集合，则(    ) A. B. C. D. 3.若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为(    ) A. B. C. D. 4.一个封闭的直棱柱形容器容器壁厚度忽略不计，其侧面展开图为一长，宽的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为(    ) A. B. C. D. 5.在的展开式中，常数项为(    ) A. B. C. D. 6.若函数，则的定义域为(    ) A. B. C. D. 7.已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有(    ) A. B. C. D. 8.过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设等比数列满足，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 的最大值为 D. 当取最大值时， 10.已知正数，满足，则(    ) A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，，直线交双曲线于另一点，连接，，，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列的各项均为正数，若，，则          ． 13.所有棱长均为的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为          ． 14.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点切点就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡当成质点，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数的部分图象如图所示． 求的解析式； 把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 16.本小题分 在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． 求椭圆的方程； 若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 17.本小题分 已知点和点为椭圆上两点． 求椭圆的率心率 若过点的直线交椭圆于另一点，且的面积为，求直线的方程． 18.本小题分 如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，为底面圆周上的点，且是正三角形，为母线上的一动点．    若平面，求的长； 若直线与平面所成角的正弦值为求平面与平面夹角的余弦值． 19.本小题分 已知函数为自然对数的底数 求函数在点处的切线方程； 若对记，若，有，求的取值范围； 设，且，证明：． 答案 1. 2. 3. 4. 5. 6.  7.  解：曲线表示单位圆的右半部分，故满足且 则向量，， 则：， ，， 由向量夹角公式：，  对，每个对应唯一的，进而对应唯一的因唯一，且， 故是的函数，即，选项D正确； 对，每个对应两个，导致不唯一，故不是的函数，选项B错误； 对，一个可能对应多个或，故、不是的函数，选项A、C错误． 故选：． 8.  解：显然直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 联立方程， 消去得：，显然， 设，， 则，， 由抛物线的性质可知：， ， 直线的斜率为：， 同理可得， ， 解得， 抛物线方程为：，准线方程为：， 设点到准线的距离为， 由抛物线的性质可知：， 而当垂直于准线时，的值最小，最小值为， 如图所示： 的最小值为．故选：． 9. 10.  11.  解：双曲线中，，，故，右焦点， 直线过且倾斜角为，斜率，方程为，化简得， 将代入双曲线方程：， 展开并整理得，解得：， 对应值：左支，右支， 直线过原点且过，方程为，代入双曲线得， 故关于原点的对称点． 选项A：，，向量，， 因为，故，A正确； 选项B：， ， 故，B正确； 选项C：， ，，， ， ， ，故C错误； 选项D：， ，，， ， ， 两余弦值不等，故D错误．故选：． 12. 13.  14.  解：如图所示，以为原点建立平面直角坐标系， 则，，直线的方程为， 设，，由到直线的距离为， 得，解之得或舍， 则，， 又设直线的方程为， 由到直线的距离为，得， 整理得，则， 又，故，则直线的方程为，， 故，， 由，解得 故椭圆的离心率， 故答案为． 15.解：， 由图知，过点，即，则， 由图得，解得， 所以； 由题得，， 由，得，则， 所以，， 解得，， 因此，使成立的的取值集合是．  16.椭圆的焦点为，， 半焦距， 椭圆的右焦点到上顶点的距离为， ， 椭圆的方程为． 设，， 过且斜率为的直线方程为：， 代入椭圆的方程，化简可得， ，， 则． ．  17.解：由点，在椭圆：上， 得，解得，， 则， 故椭圆的离心率为； 由题得， 设三角形底边上的高为， 由，解得， 又可求得直线的方程：， 设过点与直线平行的直线， 由，解得或， 当时，经检验此时与椭圆相离，故舍去； 当时，直线与直线关于原点对称， 可得与椭圆的交点即为点，关于原点的对称点，记作、， 分别与可求得直线方程为或， 因此，直线即直线的方程为或．  18.解：取直径的中点，连接， 在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴， 由都是正三角形，， 得， ， 令，则， 由平面，平面平面，平面， 所以， 因此，， 所以的长为； 由知， 设，则， ， 平面的法向量， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得， 整理得， 又，解得， 于是，而， 设平面的法向量， 则 令，得， 故平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为．  19.解：已知，则， ，所以， 又切点为， 所以函数在点处的切线方程为：； 若对，有， 即为：，对时恒成立， 当时不等式恒成立， 当时，不等式等价于，即为恒成立， 记，， 则， 记， 则， 因为，所以，， 在为减函数，， 在为减函数，即， 所以； 证明：由知，当且时，，即， 把代入，有， 因为，所以， 当时，， 当时，， ， ， 以上不等式相加得 ，证毕．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $