精品解析：安徽安庆市桐城市杨公中学等校2026年“徽聚百强”高三年级学科综合评价数学试题

2026年“微聚百强”高三年级学科综合评价 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 5. 将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（ ） A. 12 B. 30 C. 60 D. 90 6. 已知，若函数恰有1个零点，则（ ） A. e B. C. 1 D. 3 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（ ）（单位：米） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 10. 某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D. 2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的面积为，，，则___________． 13. 设随机变量，且，则___________． 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，． （1）证明：； （2）已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 16. 如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为． （1）证明：平面； （2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 设为数列的前n项和，已知，且． （1）求数列的通项公式： （2）设数列满足，证明：，并求的最大项． 18. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 19. 已知函数. （1）证明：； （2）证明：存在唯一极值点； （3）记（2）中的极值点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年“微聚百强”高三年级学科综合评价 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，所以 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A, 在单调递增，故A错误， 对于B, ,则，故，因此在不是单调递减，B错误， 对于C,由于函数在单调递减，则在单调递增，C错误， 对于D,由于均在单调递减，故在单调递减，D正确. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 5. 将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（ ） A. 12 B. 30 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】先利用总排列数公式（考虑重复元素）计算所有可能的排列，及“两个1相邻”和“两个2相邻”和“两个3相邻”的排列数，和“两个1，两个2，两个3都相邻”的排列数，再利用容斥原理从而得出满足“相同数字不相邻”的排列数. 【详解】总排列数：， 两个1相邻的排列数：， 两个2相邻的排列数：， 两个3相邻的排列数：， 两个1相邻且两个2相邻的排列数：， 两个1相邻且两个3相邻的排列数：， 两个2相邻且两个3相邻的排列数：， 两个1，两个2，两个3都相邻的排列数：， 由容斥原理得：两个1相连或两个2相连或两个3相邻的排列数为：. 所以相同的数字牌不相邻的排法总数为. 6. 已知，若函数恰有1个零点，则（ ） A. e B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 8. A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（ ）（单位：米） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由裁剪规则和长宽比建立的递推关系，证明为等比数列，再求通项、求和，最后计算周长总和即可. 【详解】设纸的宽和长分别为， 则，. 因为，又，所以，解得 又，所以，. 根据题意，，，又，即， 所以，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 同理，，是首项为，公比为的等比数列. 因此，， 故所有纸张的周长之和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据周期得出，再应用正切函数的对称中心计算求解. 【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则， 令，则， 当时，，当时，，故、都是图象的对称中心，故B、D正确； 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心， 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心，故A、C 错误. 10. 某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D. 2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D. 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图象关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ， ， ， 所以 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的面积为，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出. 【详解】 如图所示，过作交于点. 则有， ，. 因为的面积为，， 所以，解得. 所以 . 解得，即. 13. 设随机变量，且，则___________． 【答案】0.9772 【解析】 【详解】由，得， 根据，得， 所以. 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆上点到定点的斜率最值问题. 【详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，． （1）证明：； （2）已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可证明结论. （2）设，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用表示出的面积，再利用导数求面积的取值范围. 【小问1详解】 在中，， 在中，， 因为，所以，且， 所以. 【小问2详解】 在中，设 ，. 所以或，， 所有由三角形内角和可得. 所以 设，， 设，则， 所以在上单调递增, 所以， 所以面积的取值范围为. 16. 如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为． （1）证明：平面； （2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （2）设圆柱的底面半径为，母线长为，根据侧面积与底面面积关系证明，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 由已知点为线段的中点，点为线段的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 设圆柱的底面半径为，母线长为， 因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和， 所以，所以， 由已知，，，，， 因为是该圆柱的母线，所以平面， 因为四边形是正方形，所以， 故平面，又平面， 所以，， 又为圆的直径，为圆上异于，的点， 所以， 以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，， 故为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 设为数列的前n项和，已知，且． （1）求数列的通项公式： （2）设数列满足，证明：，并求的最大项． 【答案】（1） （2）证明见解析，最大项为 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合与的关系可得，，进而得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可； （2）先得到，结合极限的定义求证即可，再根据数列的单调性求解最大项． 【小问1详解】 由，得， 当时，， 则， 即，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，所以. 由于数列为递减数列，则时，取得最大值，即的最大项为. 18. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是， 【解析】 【分析】（1）法一利用椭圆的定义求，得出椭圆的标准方程；法二利用待定系数法代入点求椭圆方程； （2）①根据圆心到直线的距离为2，得到方程，由根与系数的关系求出，再利用在椭圆上化简即可求解； ②根据不同的方法求出三角形面积的表达式，化简即可得出三角形面积为定值. 【小问1详解】 法一： 由题意椭圆的焦点在轴上，且，则， 由椭圆的定义得， 解得，则， 则椭圆方程为； 法二： 因为，所以，即椭圆方程为（）， 又在椭圆上，所以，解得 则椭圆方程为. 【小问2详解】 易知圆的圆心为，且原点在圆外，即，如下图： ①令，，则直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 化简得，同理得， 则是方程的两根，显然， 由韦达定理可知， 因为点在椭圆上，所以，则 则，即 ②法一： 设，， 则，，，点到直线的距离为， 因为，所以，则， ， 由，得，同理， 则，则， 所以. ②法二： 设，，则， 因为，所以直线方程为， 所以， 因为，两点在椭圆上，所以，， 则， 所以， 又， 所以 ， 则. ②法三： 设， （i）若直线与轴平行，由对称性，，， 因为，所以不妨设有，则， 则，解得，即， 则，. （ii）若直线不与轴平行，设直线方程为，（），直线与轴交点为, 则, 由，得， 由，得， ， 所以, 因为,所以, 即，得， 显然，即， . 综上 19. 已知函数. （1）证明：； （2）证明：存在唯一极值点； （3）记（2）中的极值点为，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先通过得，令函数，求导判断单调性求出的最值即可得证； （2）先判断在和 时的单调性，再设，求导结合零点存在性定理即可分析求证； （3）利用极值点为得到，再证出，继而，最后利用（1）中的结论即可得证. 【小问1详解】 易得，此时. 设函数，， 则时，，单调递减， 时，，单调递增. 于是，故原不等式成立. 【小问2详解】 ，定义域为R， 显然当时，； 当时，. 当时，设，则， 因为，所以， 故， 所以即在区间上单调递增，而， 所以存在使得， 所以当时，当时， 所以存在唯一极值点. 【小问3详解】 注意到， ， 又，故，故 在（1）中已证明，故，因此，故原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $