安徽蚌埠市2026届高三下学期第一次质量检测数学练习题

2026年安徽省蚌埠市高三第一次质量检测数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 2．（本题5分）设，则（   ） A． B． C．2 D．4 3．（本题5分）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（本题5分）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 5．（本题5分）已知，是两个不同的正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）角满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）平面与三个坐标面围成四面体的体积是（   ） A． B． C．2 D．4 8．（本题5分）已知函数，若方程有唯一实根，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为： 甲 乙 则（    ） A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C．甲组数据的众数等于乙组数据的中位数 D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差 10．（本题6分）若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 11．（本题6分）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（   ） A．当点为的中点时， B．对于任意点，都有 C．三棱锥体积的最小值为 D．点到直线的距离的最小值为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若则的值__________． 13．（本题5分）已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 14．（本题5分）已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是__________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若的面积为，求外接圆的面积. 16．（本题15分）如图，在直三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，为的中点，，点满足. (1)求证：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（本题15分）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 18．（本题17分）已知双曲线E：的实轴长为2，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为双曲线E的下顶点，过点且斜率不为0的直线交双曲线E上支于、两点，直线、与直线的交点分别为、，线段、的中点分别为、，点为坐标原点. （i）求直线斜率的取值范围； （ii）若、、三点共线，求的值. 19．（本题17分）已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年安徽省蚌埠市高三第一次质量检测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D D A A A ABC ACD 题号 11 答案 BC 1．D 【详解】解：集合，集合，则． 2．D 【分析】利用复数的乘法运算法则和复数相等的条件可求得的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 3．C 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案. 【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件， 由，得，解得，故“”是“”的必要条件， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．D 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 5．D 【分析】将，变形为，构造的表达式并展开，结合基本不等式求解最小值. 【详解】由可得，，， 则， 当且仅当时取等号． 故选：D． 6．A 【详解】由， 得. 所以， 所以， 所以. 7．A 【分析】由题意求出平面截空间直角坐标系的三条轴所得截距，再由棱锥体积公式得答案． 【详解】在平面方程中， 令，得， 令，得， 令，得， 则平面与三个坐标面围成四面体的三条棱长分别为2，1，2， 且三条侧棱两两垂直，则所求四面体的体积是. 故选：A 8．A 【分析】根据，可得的定义域，所以，即可得在上恒成立，根据在上的单调性，可得k的范围，又，根据对数的运算性质，可得，利用换元法，令，可得在上有唯一实数根，分别讨论和两种情况，根据函数的性质，求得k值，综合即可得答案. 【详解】因为的定义域为，所以，解得， 所以的定义域为， 由，得在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以当时，，所以， 又， 所以， 则，即， 令，则在上有唯一实数根， 令，， 当时，令，则，即，解得，符合题意， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以只需，解得， 因为，所以此时无解， 综上，实数k的取值范围是. 故选：A 9．ABC 【分析】根据平均数、众数、方差和极差的定义和公式进行求解即可. 【详解】根据数据可知，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为， 故甲组数据的极差大于乙组数据的极差，故A正确； 甲组数据的平均数为：， 乙组数据的平均数为：，故B正确； 甲组数据的众数为72，乙组数据的中位数为72，故C正确； 甲组数据的方差为：， 乙组数据的方差为：， 甲乙两组数据混合后的平均数为， 故甲乙两组数据混合后的方差为，小于乙组数据的方差，故D错误. 故选：ABC. 10．ACD 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 11．BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式即可判断A，设，利用数量积即可判断B，设点到平面的距离为，得，求的范围即可判断C，利用向量法求点到直线的距离即可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由棱长为2， 所以， 由点为的中点，所以， 所以，故A错误； 由，设， 所以， ，所以， 所以对于任意点，都有，故B正确； 设点到平面的距离为， 所以， 又点在线段上运动，所以， 所以，所以三棱锥体积的最小值为，故C正确； 由，所以， 所以点到直线的距离为 当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为, 故选：BC. 12． 【分析】根据题意，分别令令和令，分别求得和，即可求解. 【详解】由， 令，可得； 令，可得， 所以. 故答案为：. 13．/ 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结，    在中，由，得， 设，由，得， 由为直角三角形，得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为： 14．/ 【分析】根据题意，计算甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率，即计算成功关数为3或4的概率，根据甲，乙的闯关结果是独立的，可先分别计算出甲，乙分别闯关成功的概率，再结合两者的结果进行计算即可. 【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，， 则，， ，， 设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则， . 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）设，，，，进而结合余弦定理即可求解； （2）由三角形的面积公式解出边长，进而由正弦定理可求得外接圆的直径，可求外接圆的面积. 【详解】（1）由正弦定理可得， 设，，，， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由（1）可得， 因为，所以，所以， 所以外接圆的直径为，面积为. 16．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据线线平行的判定及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点、向量的坐标，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，连接. 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）在直三棱柱中，， 因为，，，所以， 所以，所以，，两两互相垂直. 在中，，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1)单调区间见解析 (2)极值见解析 【分析】（1）求出导函数，通分，然后按照和分类讨论即可得解； （2）按照、和分类讨论，根据极值的定义来求解. 【详解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 18．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据实轴长及渐近线斜率列方程组求出，直接写出标准方程； （2）（i）设直线 CD方程为与双曲线联立，利用二次方程根的两根异号，结合，得到斜率的取值范围；（ii）先求出 CD 中点 M 的坐标，再求出直线 AC，AD 与 交点 P,Q 的中点 N 的坐标，最后利用 O,M,N 三点共线（斜率相等）的条件，解方程求出. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，渐近线方程为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）双曲线下顶点， 由题意，过且斜率不为的直线斜率存在，设为， 联立，可得，即， 设，则，即， ， 且， 由已知，所以，解得，又， 所以直线斜率的取值范围为； （ii）由（i）中方程，中点的横坐标， 纵坐标，即， 直线的斜率，方程为， 由得，即， 同理可得， 所以中点的横坐标 ， 所以， 若三点共线，则，即， 化简得，即，解得. 19．(1)函数为“函数”，函数不是“函数” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）要证，即证，构造函数，其中，利用“函数”的定义结合导数分析函数在上的单调性，即可得出结论； （3）利用反证法，假设不是减函数，分两种情况讨论，为增函数、不单调，结合“函数”的定义分析函数的单调性，分析函数的函数值变化，对不等式的解集进行分析，推出矛盾，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为，其导函数在上为减函数， 函数的定义域为，其导函数在上为增函数， 故函数为“函数”，函数不是“函数”. （2）因为数列是公差为的等差数列， 所以，，， 要证，即证， 设函数，其中，则， 因为函数为“函数”，则函数在上为减函数，且， 所以，故对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 又因为对任意的，，所以， 即，故. （3）假设不是严格减， 的解集为， 不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大， 只能有增有减， 使得， 严格减， ∴当时，严格增， 当时，严格减， 取，求处切线方程， ,即， 令,得， 构造函数， 严格减， 当时，严格增， 当时，严格减， ，即，即（当时，取等）， 而，结合，得严格增， ∴当时,， 与的解集为矛盾， ∴假设不成立，即严格减. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $