1.1三角形的内角和定理同步练习 2025～2026学年北师大版数学八年级下册

数学第一章第一节《三角形的内角和定理》同步练习2025~2026北师大版八下原卷版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和判断出凸四边形、凸五边形和凸六边形直角的最多个数，从而确定出四边形中直角最多，再求剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形的边数，然后根据剩余的边数情况解答即可． 【详解】解：凸四边形最多有四个直角，凸五边形和凸六边形最多有三个直角， 剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形共有15条边，最多有个直角， 剩下条边， 由于要直角尽可能多， 则都是凸四边形，且凸四边形四个角都是直角时，直角最多， 64条边组成16个凸四边形，共有64个直角， 所以直角的个数最多是． 3．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 4．已知与全等，其中，，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】先利用三角形内角和定理求出，得到，再根据全等三角形的性质，对应角所对的边是对应边，对应边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵与全等，的对边为，的对边为，， ∴． 5．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【知识点】正多边形概念辨析、多边形的概念与分类 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 6．一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 7．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题、正多边形的外角问题、多边形的概念与分类、多边形对角线的条数问题 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 8．如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 9．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 10．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题 【分析】①利用直角三角形两锐角和为，结合角平分线定义，得，由三角形外角或内角和定理，推出．②由折叠性质得，故，，计算得，即．③在的基础上，利用同角的余角相等得，结合、，由证得．④延长交于，先由证得，再证得，最终得． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； ∵沿着折叠与重合，交于点H， ∴，， ∴， ∴， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故④正确． 二、填空题 11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 【答案】六/6 【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设多边形的边数为n，利用内角和公式和外角和定理建立方程，求解n的值. 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意，内角和是外角和的2倍，得， 解得． 故答案为：六. 13．如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】/62度 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】在上截取，连接，证明，得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】通过线段的转化及垂线段最短是解决此类问题常用的方法． 14．如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 15．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的周长为_____． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了含角直角三角形的性质，正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半． 由题意得，，则，那么，即可求解小正六边形的周长． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴， ∴小正六边形的周长为， 故答案为：． 16．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则____． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、折叠问题、求一个角的补角 【分析】本题考查四边形内角和，长方形的性质，周角、平角的定义，先求出，由折叠的性质得，再根据周角、平角的定义计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题 17．如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求各内角的度数． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的外角的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，平行线的性质求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ． ，交于点， ， ， ． 18．如图，在正五边形中完成下列问题 (1)请画出过顶点A的所有对角线，此时，图中有________个三角形； (2)求正五边形的一个内角的度数． 【答案】(1)图见解析， (2) 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形内角和问题，正多边形对角线分三角形个数问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画出过顶点A的所有对角线，再结合图形数出三角形个数即可； （2）根据正多边形的内角和公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：画出过顶点A的所有对角线如图所示： ， 由图形可得，此时，图中有个三角形，分别为、、； 故答案为：3； （2）解：正五边形的一个内角的度数为． 19．如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 20．如图，，P为中点，过P点作直线分别交射线、于点M、N（分别不与点A、B重合），设． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）直接根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据题意，分，，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解： 为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：①若，则； ②若，则； 的度数或． 21．如图，是中边上的高，点E在边上．    (1)若是的角平分线，，，求的度数； (2)若是的中线，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据三角形的内角和、角平分线和垂直的定义，易求，，计算即可求解． （2）设，则，，根据勾股定理，可列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是中边上的高， ， ， ； （2）解：设， 是的中线， ， ， ，， 是中边上的高， ， 在中，，则，即， 在中，，则，， ， 解得， 则的长为． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，垂直的定义，勾股定理，列方程等知识点，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 22．如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见详解；②，理由见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、三角形的分类、三角形的外角的定义及性质 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解． （2）①根据，得出，结合，即可得，得证； ②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 23．综合与实践 问题情境：如图，，为含有角的直角三角板，，，连接，，延长交直线于点N，直线交于点M． 特例探究： （1）如图1，当A，E，C在同一直线上时，_________°． （2）如图2，当点E在，之间，且与A，C不在同一直线上，点C在直线上时，，，求证：平分． 一般发现： （3）当直角三角板在平行线，之间绕点E转动，直线交，于点P，Q，（转动过程中，三角板的任意一个顶点都在平行线之间）可发现与之间有确定的数量关系，直接写出此数量关系． 【答案】（1）60；（2）见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等，计算即可得出结果； （2）过点作 ，交于点，由题意并结合平行线的性质求出，即可得证； （3）分两种情况，分别画出图形，结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作，交于点， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）如图，当点在点的左侧时， , ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学第一章第一节《三角形的内角和定理》同步练习2025~2026北师大版八下解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和判断出凸四边形、凸五边形和凸六边形直角的最多个数，从而确定出四边形中直角最多，再求剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形的边数，然后根据剩余的边数情况解答即可． 【详解】解：凸四边形最多有四个直角，凸五边形和凸六边形最多有三个直角， 剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形共有15条边，最多有个直角， 剩下条边， 由于要直角尽可能多， 则都是凸四边形，且凸四边形四个角都是直角时，直角最多， 64条边组成16个凸四边形，共有64个直角， 所以直角的个数最多是． 3．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 4．已知与全等，其中，，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】先利用三角形内角和定理求出，得到，再根据全等三角形的性质，对应角所对的边是对应边，对应边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵与全等，的对边为，的对边为，， ∴． 5．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【知识点】正多边形概念辨析、多边形的概念与分类 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 6．一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 7．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题、正多边形的外角问题、多边形的概念与分类、多边形对角线的条数问题 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 8．如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 9．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 10．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题 【分析】①利用直角三角形两锐角和为，结合角平分线定义，得，由三角形外角或内角和定理，推出．②由折叠性质得，故，，计算得，即．③在的基础上，利用同角的余角相等得，结合、，由证得．④延长交于，先由证得，再证得，最终得． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； ∵沿着折叠与重合，交于点H， ∴，， ∴， ∴， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故④正确． 二、填空题 11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 【答案】六/6 【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设多边形的边数为n，利用内角和公式和外角和定理建立方程，求解n的值. 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意，内角和是外角和的2倍，得， 解得． 故答案为：六. 13．如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】/62度 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】在上截取，连接，证明，得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】通过线段的转化及垂线段最短是解决此类问题常用的方法． 14．如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 15．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的周长为_____． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了含角直角三角形的性质，正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半． 由题意得，，则，那么，即可求解小正六边形的周长． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴， ∴小正六边形的周长为， 故答案为：． 16．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则____． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、折叠问题、求一个角的补角 【分析】本题考查四边形内角和，长方形的性质，周角、平角的定义，先求出，由折叠的性质得，再根据周角、平角的定义计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题 17．如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求各内角的度数． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的外角的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，平行线的性质求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ． ，交于点， ， ， ． 18．如图，在正五边形中完成下列问题 (1)请画出过顶点A的所有对角线，此时，图中有________个三角形； (2)求正五边形的一个内角的度数． 【答案】(1)图见解析， (2) 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形内角和问题，正多边形对角线分三角形个数问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画出过顶点A的所有对角线，再结合图形数出三角形个数即可； （2）根据正多边形的内角和公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：画出过顶点A的所有对角线如图所示： ， 由图形可得，此时，图中有个三角形，分别为、、； 故答案为：3； （2）解：正五边形的一个内角的度数为． 19．如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 20．如图，，P为中点，过P点作直线分别交射线、于点M、N（分别不与点A、B重合），设． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）直接根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据题意，分，，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解： 为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：①若，则； ②若，则； 的度数或． 21．如图，是中边上的高，点E在边上．    (1)若是的角平分线，，，求的度数； (2)若是的中线，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据三角形的内角和、角平分线和垂直的定义，易求，，计算即可求解． （2）设，则，，根据勾股定理，可列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是中边上的高， ， ， ； （2）解：设， 是的中线， ， ， ，， 是中边上的高， ， 在中，，则，即， 在中，，则，， ， 解得， 则的长为． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，垂直的定义，勾股定理，列方程等知识点，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 22．如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见详解；②，理由见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、三角形的分类、三角形的外角的定义及性质 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解． （2）①根据，得出，结合，即可得，得证； ②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 23．综合与实践 问题情境：如图，，为含有角的直角三角板，，，连接，，延长交直线于点N，直线交于点M． 特例探究： （1）如图1，当A，E，C在同一直线上时，_________°． （2）如图2，当点E在，之间，且与A，C不在同一直线上，点C在直线上时，，，求证：平分． 一般发现： （3）当直角三角板在平行线，之间绕点E转动，直线交，于点P，Q，（转动过程中，三角板的任意一个顶点都在平行线之间）可发现与之间有确定的数量关系，直接写出此数量关系． 【答案】（1）60；（2）见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等，计算即可得出结果； （2）过点作 ，交于点，由题意并结合平行线的性质求出，即可得证； （3）分两种情况，分别画出图形，结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作，交于点， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）如图，当点在点的左侧时， , ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $