专题04 相交线 平行线 增强篇（阶段复习，十大题型）-2025-2026学年 沪教版（五四制 )七年级数学下册期中期末专项练

专题04 相交线 平行线 增强篇（阶段复习，十大题型） 题型1：概念辨析、填空 1．用反证法证明“若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 2．用反证法证明“两条直线相交，有且只有一个交点”应假设（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两条直线相交，没有交点 C．两条直线相交不止一个交点 D．两条直线相交，没有交点或不止一个交点 3．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 4．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法中：真命题的个数为（   ） ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：平行线的性质的应用 6．如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么______ 7．如图；直线分别与直线相交于点G、H，已知，平分，交直线于点M，则的大小为______． 8．如图，，平分，平分，如果，那么________． 9．如图所示，，且平分，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 题型3：平行线的判定与性质综合辨析 10．如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 11．如图，若，则下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 12．如图，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道，则能得到 D．若连接，则一定平行于 题型4：分类讨论 13．已知的两边与的两边分别垂直，且比的4倍少30°，则_____°． 14．已知的两边与的两边分别平行，且，则_______． 题型5：三角板问题 15．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 16．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是_____°． 17．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是_____．    18．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论： ①如果，则； ②； ③如果，则； ④如果，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6：其他应用 19．在数学活动课上，老师要求同学们通过折纸的方式过直线外一点作已知直线的平行线（如图1）．小明的折纸步骤如下： 步骤1：如图2，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线． 步骤2：如图3，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线． 在折纸的过程中蕴含的依据是（　　） ①平角的定义；②垂线段最短；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等． A．②④ B．①⑤ C．①③⑤ D．①③④ 20．如图，，，则图中与相等的角（不包括）共有________个． 21．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 22．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为______． 题型7：平行线中常见的作辅助线 23．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 24．如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ） A． B． C． D． 25．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 题型8：规律题 26．在同一平面内，现有2025条直线，，，，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是______． 27．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    题型9：折叠问题 28．如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 29．已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 30．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为_______． 题型10：解答题 31．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线的距离是线段_________的长． 32．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 33．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 34．已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，． 求证：． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线，使． （_______）． ，且直线经过点O， ∴过点O存在两条直线，与直线平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 35．如图，点在射线上，，， 求证： 请你补全下面的证明过程： 证明： （已知） ________（   ） ________（   ） （已知） ________（等量代换） ________（   ） 又（已知） （   ） 36．已知：如图，，，垂足分别为、，且． (1)求证：； (2)若是的角平分线，则 ． 37．如图，在中，过点E作直线，C为边上一点，过点C作交于点H，交于点G，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 38．如图，在中，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 39．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 40．如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相交线 平行线 增强篇（阶段复习，十大题型） 题型1：概念辨析、填空 1．用反证法证明“若 ，则 ”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明：“若 ，则 ”，应先假设 ． 故答案为：C． 2．用反证法证明“两条直线相交，有且只有一个交点”应假设（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两条直线相交，没有交点 C．两条直线相交不止一个交点 D．两条直线相交，没有交点或不止一个交点 【答案】D 【分析】本题考查了反证法； 反证法需假设原命题的否定，原命题为“两条直线相交，有且只有一个交点”，其否定应覆盖所有不成立的情况，即没有交点或不止一个交点． 【详解】解：反证法要求假设原命题的否定， 原命题为：两条直线相交，有且只有一个交点， 其否定为：两条直线相交，没有交点或不止一个交点， 故选：D． 3．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 4．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，根据平行线的性质与判定定理可判断①③④，由垂线的定义可判断②． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题是真命题． ∴真命题有1个， 故选：A． 5．下列说法中：真命题的个数为（   ） ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点 向直线 作垂线段，这条垂线段就是点 到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质． 根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可． 【详解】①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故①是假命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故②是假命题； ③过直线外一点 向直线 作垂线段，这条垂线段的长度就是点 到直线的距离，故③是假命题； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是真命题． 故选：A． 题型2：平行线的性质的应用 6．如图，已知直线 、 被直线 所截， ，且 ， ，那么 ______ 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质，关键根据两直线平行，同旁内角互补解答． 根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 【详解】解： ， ， 即 ， 解得： ， ， 故答案为： ． 7．如图；直线 分别与直线 相交于点G、H，已知 ， 平分 ，交直线 于点M，则 的大小为______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，先由同位角相等，两直线平行得到 ，再由平行线的性质得到 ，据此求出 的度数，再由角平分线的定义求出 的度数即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 8．如图， ， 平分 ， 平分 ，如果 ，那么 ________ ． 【答案】155 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出 的度数，由 ，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出 的度数，结合角平分线的定义，可求出 的度数，再利用邻补角互补，即可求出 的度数． 【详解】解：∵ 和 互补， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ 和 互补， ∴ ． 故答案为：155． 9．如图所示， ，且 平分 ，若 ，则 的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义．熟悉平行线的性质：两直线平行，内错角相等，角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角，是解题的关键． 根据平行线的性质，得到角之间的等量关系，再结合角平分线的定义求出 的度数． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选： ． 题型3：平行线的判定与性质综合辨析 10．如图，已知 ，以下4个结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得 ，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长 ，根据“两直线平行内错角相等”得 ，再根据 ，解答④即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，则①正确； ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，则②正确； ∵ ∴ ， 即 ，则③正确； 延长 ， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，则④不正确． 正确的为①②③． 11．如图，若 ，则下列条件中，不能判定 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的是（    ） A． B． C． 和 互余且 和 互余 D． 平分 ，且 平分 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据 ，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ；故A不符合题意； ∵ ， ， ∴ 不一定相等， ∴不能得到 ；故B符合题意； ∵ ． 和 互余且 和 互余， ∴ ， ∴ ， ∴ ；故C不符合题意； ∵ ， 平分 ，且 平分 ， ∴ ， ∴ ；故D不符合题意； 故选：B 12．如图，已知 ， ，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道 ，则能得到 D．若连接 ，则 一定平行于 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得 ，则可证明 得到 ，据此可判断A、B；若 ，则可推出 ，得到 ，根据现有条件无法得到 平行于 ，据此可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ，故A说法正确，不符合题意； ∴ ，故B说法正确，不符合题意； 若 ，则 ， ∴ ， ∴ ，故C说法正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到 平行于 ，故D说法错误，符合题意． 题型4：分类讨论 13．已知 的两边与 的两边分别垂直，且 比 的4倍少30°，则 _____°． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了垂线，列一元一次方程解决实际问题等知识，解题的关键是考虑全面两个角的数量关系． 画出图形，分两角相等和互补两种情况，分别求出角的度数即可． 【详解】解：设 的度数是 ，则 的度数为 ，根据题意得： ①     如图，当 时， ， 解得， ， ∴ 的度数为 ； ②     如图，当 时， 解得， ∴ 的度数为 ． 故答案为： 或 ． 14．已知 的两边与 的两边分别平行，且 ，则 _______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． 的两边与 的两边分别平行，得到 或 ，即可得到答案． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 的两边与 的两边分别平行， ①如图： ， ， ； ②如图： ， ， ； EMBED Equation.DSMT4 或 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， 解得 ； 当 时， ， 解得 ； 故答案为： 或 ． 题型5：三角板问题 15．如图，直线 ，将三角板的直角顶点放在直线 上，如果 ，那么 的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，则 ，然后通过 即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 16．已知直线 ，将一块含 角的直角三角板 按如图所示方式放置（ ），并且顶点 ， 分别落在直线 ， 上，若 ，则 的度数是_____°． 【答案】38 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，两直线平行，内错角相等．作 ，根据平行线的性质求得 ， ，再结合三角板的角的度数即可求得答案． 【详解】解：作 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：38． 17．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 的度数是_____．    【答案】 /15度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟知平行线的性质与常规三角板套装中三角板的特点是解答此题的关键．过点E作 ，根据平行公理得出 ，根据平行线的性质得出 ，求出 ，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：如图所示，过点E作 ，    ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 18．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论： ①如果 ，则 ； ② ； ③如果 ，则 ； ④如果 ，则 ．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，角的和差关系，结合三角板中的角度，得到 ，判断①，角的和差关系判断②，平行线的性质结合角的和差关系求出 的度数，判断③，根据三角板中的角度，结合角的和差关系求出 的度数，判断④即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故①正确； ∵ ， ∴ ，故②正确； ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故③错误； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故④正确； 所以其中正确的结论有①②④，共3个． 故选：C． 题型6：其他应用 19．在数学活动课上，老师要求同学们通过折纸的方式过直线外一点 作已知直线 的平行线（如图1）．小明的折纸步骤如下： 步骤1：如图2，折叠纸张，使直线 与自身重合，且折痕过点 ，得到直线 ． 步骤2：如图3，折叠纸张，使直线 与自身重合，且折痕过点 ，得到直线 ，则直线 即为直线 的平行线． 在折纸的过程中蕴含的依据是（　　） ①平角的定义；②垂线段最短；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等． A．②④ B．①⑤ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行线，翻折变换（折叠问题），熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平角定义，角平分线的定义，平行线的判定，逐一分析即可求解. 【详解】解：①∵折叠纸张，使直线 与自身重合， ∴两个角加起来是 ， ②∵使直线 与自身重合，且折痕过点 ，得到直线 ， ∴没有体现线段最短， ③使直线 与自身重合，且折痕过点 ，得到直线 ， ∴ ，平分平角 ④折叠纸张，使直线 与自身重合，且折痕过点 ，得到直线 ，则直线 即为直线 的平行线， ∴ ，同旁内角互补，两直线平行， ⑤∵直线c上方没有线段，故没有体现两直线平行，同位角相等. 故选：D. 20．如图， ， ，则图中与 相等的角（不包括 ）共有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质，得到相等的角，再等量代换即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴与 相等的角有 、 、 、 、 共5个． 故答案为：5． 21．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐 ，第二次向右拐 B．第一次向左拐 ，第二次向右拐 C．第一次向左拐 ，第二次再向左拐 D．第一次向左拐 ，第二次再向左拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据平行线的性质分别判断得出即可． 【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此选项符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此选项不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 22．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中 ， 是直线 上的两个激光灯， ，现激光 绕点 以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光 绕点 以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为 秒 ，当 时， 的值为______． 【答案】12或48或84 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据 时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键．分四种情况： ， ， ， ，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：设旋转时间为t秒后， ， 如图1， ， ∴ ， ， 解得： ． 如图2， ， 由图得： 解得： 如图3， ， ∴ 解得： 如图4， ， ∴ 解得： (舍去）； 综上所述：12或48或84． 故答案为：12或48或84． 题型7：平行线中常见的作辅助线 23．如图，已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作 ，根据平行线的性质可得 ， ，然后由 整理后可得答案． 【详解】解：如图，作 ，    ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 24．如图，已知直线 ，则 、 、 之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找到角之间的关系． 【详解】解：过 向左作射线 ， 则 ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：D． 25．如图， ，射线 平分 ，点F为 的反向延长线上的一点，连接 ，且满足 ，若 ， ，则 与 满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点 作 ，根据平行线的性质分别表示出 、 ，根据 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 ∵ ， ∴ ∵ ， ， ∴ ， ∵ ∴ 又∵射线 平分 ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 题型8：规律题 26．在同一平面内，现有2025条直线 ， ， ， ， ，且有 ， ， ， ，…，则直线 与 的位置关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究，平行线的判定与性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．通过分析直线间位置的交替规律， 与 的位置关系以4为周期循环，然后即可作答． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 依此类推， ， ， ， ，… 可以发现， 与 的位置关系以4为周期循环， ∵ ，余数为0， ∴ ． 故答案为： ． 27．如图， ，点 位于两平行线之间且在点 、 的右侧，分别作 和 的平分线交于点 ，再分别作 和 的平分线交于点 设 的度数是 ，则 的度数用 表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点 作 ，利用平行线性质得到 ，进而得到 ，同理可得 ，…依此类推得到 ，即可解答． 【详解】解：如图，过点 作 ，    ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 和 的平分线交于点 ， ∴同理可得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 同理， ， …… 依此类推， ． ∴ 的度数用 表示为 ． 故答案为： ． 题型9：折叠问题 28．如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，由折叠的性质可得，，再由平行的性质得，再利用平角的性质得，则求得，再根据可得答案． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．已知四边形 为长方形．如图 ，点 在线段 上，将其沿 折叠得到图 ， 分别交 于 ，再将 沿 折叠得到图 ，点 恰好落在线段 上．若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是长方形与折叠的问题，平行线的性质，由折叠性质得到角相等是关键．先利用长方形的直角与对边平行性质，结合第一次折叠得到等角关系推出 ，再由平行线性质得到 ；接着结合第二次折叠的等角关系，算出 ，最后通过平角定义推出 ，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形 是长方形， ∴ ， ， 由折叠得： ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由折叠 得 ，且 在 上， ∴ ， ∴ ∴ ， 故选：B． 30．如图①，已知长方形纸带 ， ， ， ，点 、 分别在边 ， 上， ，如图②，将纸带先沿直线 折叠后，点 、 分别落在 、 的位置，如图③，将纸带再沿 折叠一次，使点 落在线段 上点 的位置，那么 的度数为_______． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键． 由折叠性质和平行可得 ，从而求得 ，再由 即可求解． 【详解】解：由折叠可得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 三、解答题 31．按下列要求画图并填空： 如图，直线 和 相交于点O，M是 上的一点， (1)过点M画出直线 的垂线，交直线 于点N； (2)过点M画出直线 的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线 的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线 的距离是线段_________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据平行线的定义画出图形即可； （4）根据点到点的距离的定义，判断即可． （5）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线 即为所求； （2）解：如上图所示，直线 即为所求； （3）解：如上图所示，直线 即为所求； （4）解：点M到点N之间的距离是线段 的长； 故答案为： ， （5）解：点O到直线 的距离是线段 的长， 故答案为： ． 32．如图，在同一平面内，已知 直线 于点 与直线 相交（且不垂直）于点 ．求证： 与 必相交． 证明：假设 与 不相交，则___________ ___________． 这与 与直线 不垂直相矛盾． 假设 与 不相交___________． 与 ___________． 【答案】 ， ，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【详解】证明假设 与 不相交，则 ． 这与 与直线 不垂直相矛盾． 假设 与 不相交不成立． 与 必相交． 33．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果 ， ，那么 ． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设 与 不平行，那么它们相交于一点 ． ， ， 过点 的两条直线 ， 都与直线 垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 34．已知：如图1，直线 ，直线 分别与 、 交于点 ， ． 求证： ． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线 ，使 ． （_______）． ，且直线 经过点O， ∴过点O存在两条直线 ， 与直线 平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 【答案】 ；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】解：（1）证明：假设 ． 如图2，过点 作直线 ，使 ． （同位角相等，两直线平行）， 又 ，且直线 经过点 ， 过点 存在两条直线 、 与直线 平行， 这与基本事实过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立， ． 故答案为： ；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 35．如图，点 在射线 上， ， ， 求证： 请你补全下面的证明过程： 证明： （已知） EMBED Equation.DSMT4 ________（   ） ________ （   ） （已知） ________ （等量代换） ________ EMBED Equation.DSMT4 （   ） 又 （已知） （   ） 【答案】 ；内错角相等，两直线平行； ；两直线平行，同位角相等； ； ；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明 ，则可推出 ，据此可证明 ，进而可证明结论． 【详解】证明： （已知） （内错角相等，两直线平行） EMBED Equation.DSMT4 （两直线平行，同位角相等） （已知） EMBED Equation.DSMT4 （等量代换） EMBED Equation.DSMT4 （同旁内角互补，两直线平行） 又 （已知） （平行于同一直线的两直线平行） 36．已知：如图， ， ，垂足分别为 、 ，且 ． (1)求证： ； (2)若 是 的角平分线，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到 ，证明出 ，得到 ，等量代换得到 ，即可判定 ； （2）首先由垂直得到 ，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ∵ 是 的角平分线， ∴ ． 37．如图，在 中，过点E作直线 ，C为边 上一点，过点C作 交 于点H，交 于点G，且 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理． （1）根据 得到 ，结合 ，得到 即可； （2）由平行线的性质得到 ， ，然后得到 ，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ∵ ∴ ∴ ， ． 38．如图，在 中， 平分 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)25° 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义， （1）先根据“两直线平行，同位角相等”得 ，再结合已知条件得 ，然后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； （2）根据“两直线平行，同位角相等”求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据“两直线平行，同位角相等”求出答案． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ . ∵ 平分 ， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即∠2的度数为 ． 39．如图：已知， ， ． (1)求证： ； (2)若 平分 ， 于 ， ，求 的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 的度数为 ． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由 得 ，进而得 ；结合 ，得 ，即可证得结论； （2）由 得 ，由 平分 ，可得 ，由 ，可得 ；由 且 ，可得 ，可得 ，即可得 的度数． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ， ∴由 得 ． ∵ 于点F， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． ∴ 的度数为 ． 40．如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点 在直线 上，且 ， 与 相交于点 ，其中 ， ， ， ， ． (1)求此时 的度数； (2)如图2，若三角板 绕点 按顺时针方向旋转，当 时，求此时 的度数； (3)在（2）的前提下，三角板 绕 点按逆时针方向以每秒 的速度旋转，设旋转的时间为 秒，当三角板 第一次回到图 的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板 的某一条边与 平行的情况 若存在，请求出所有满足题意的 值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 秒或 秒或 秒或 秒或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过 作 ，由平行线的性质得出 ， ，再由 计算即可得出答案； （2）过F作 ．由平行线的性质得出 ， ，再由 计算即可得出答案； （3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过 作 ． ∴ ， ， ∴ ． ∴ ， ， ∴ ． （2）解：如图2，过F作 ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ， ∴ ． （3）解：如图3，当 时， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， 解得： ． 如图4，当 时， ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， 解得： ． 如图5，当 时，过 作 ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ． ∴ ， 解得： ． 如图6，当 时， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ， 解得： ． 如图7，当 时， ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， 解得： ． 综上， 值为 秒或 秒或 秒或 秒或 秒时，存在三角板的某一条边与 平行的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $