精品解析：内蒙古包头市2026届高三第一次模拟考试数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试 （第一次模拟考试） 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 4. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 5. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 8. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 10. 设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取最大值 C. D. 数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 11. 在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的外接球的表面积为 C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 13. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______. 14. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 16. 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. （1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； （2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 17. 如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）记为正四面体内切球的球心. （ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）； （ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值. 18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 19. 已知函数，，. （1）当时，若的图像与轴相切，求的值； （2）当时，若在有一个零点，求的取值范围； （3）设数列满足，.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 2026年普通高等学校招生全国统一考试 (第一次模拟考试) 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域。本试 卷满分150分，考试时间120分钟. 2。做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若i为虚数单位，则1+)+i)=() A.2 B.0 C.2+2i D.2-2i 【答案】B 【解析】 2=-1 【分析】利用 化简原式，计算求解. 【详解】--1 第1页/共30页 命学科网命组卷网 ∴=-i,i=i42=(-1)2(-1)=-1 (1+i)1+i)=(1-i0(1-1)=0 2.设全集U=R,集合A={1<x<4号，B={xy=血(x-2},则An(GB)=（) A.（-∞，4) B.(（1,2] c.（-1,+∞) D.(2,4) 【答案】B 【解析】 【分标】先求出集合8及B 再根据交集的定义运算即可得解 【详解】要使函数'=血(-2)有意义，须满足真数x-2>0,解得x>2, 所以B={x>2头，所以GB={x≤2. 又因为4={1<x<4号，所以An(GB)={x-1<x≤2 故选：B 3.若a,万为非零向量，则“a/6”是a+6-d+~的() A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线用元表示出la+,+月，应用向量数量积的运算律得ā-6=a, 结合充分、必 要性的定义判断推出关系，即可得。 【详解】由0，b为非零向量且5知，存在实数入，使ā=5 则a+6=5+6=+6.1同+6=6+6=(2+)b, 当2<0时，a+6≠同+6， 故充分性不成立， 第2页/共30页 6学科网6组卷网 由la+6=l+6l,则la+=(d+6例2， 故ar+2a-i+6=la+26+5,所以a-6=d6. 即ld6cos(a,b）=→cos(a,b）=l,故a.6=0, 所以a,b同向共线，必要性成立， 所以“a6”是a+=d+5~的必要不充分条件 4记S为正项等比数列{a,}的前n项和，已知4S,=5(a+a,）,则该数列的公比为() A.4 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为94>0)，首先判断91，再由等比数列求和公式及通项公式得到方程，解得即可 【详解】设公比为9(9>0) 若9=1，则由4S,=5(a+a）,可得4×4a=5(a+a),解得4=0，不符合题意，所以9+1， 4a-g-5a(+）,显然a≠0 由4S,=5(a,+a4）:则1-g 所以4-9）=5(9+9)1-9），即41-92)1+92）=59(1-92). 即41+g)=5q,解得9=2（负值己舍去）。 故选：D 5.边长为2的等边三角形18C的外心为0，则O1B=（) A.-2 B.2 c.25 D.-V5 【答案】A 第3页/共30页 6学科网 命组卷网 【解析】 【分析】取BC边的中点D,连接AD,可得 o--(B+c) 利用向量的数量积的运算法则计算可 求得OA·AB 【详解】取BC边的中点D,连接AD, 因为0为边长为2的等边三角形的外心， m40-号-*a0+4d.oi=-i+4c 所0A.=-+4C)B=+4C 2+2x2m}-2 故选：A. D 6.已知直线 3x+4y-2=0与圆G+少-2x-2y-2=0相交于B两点，则劣弧AB的长为( 8死 4π 2π A.3 B.3 C.2π D.3 【答案】B 【解析】 【分析】由弧长公式进行求解. 第4页/共30页 学科网命组卷网 【详解】圆C:x+少-2x-2y-2=0化为标准方程为：(x-+(0y-=4, 圆，心C0 ,半径r=2 如图所示： B 则点C到直线13x+4y-2=0的距离为： 3+4-=1 5 而BC=2,CH⊥AB, 得∠1CB=2∠BCH=2x-2红 33, 2mx2=1 4π 则劣弧AB的长为：3 3 故选：B -x2+4x,x≤4 1已知通数)g.-到4若关于的方程间=有个安限名'名'与名 x<<<x4),则下列结论正确的是(） A.6+6=9 B.0<t≤4 ch克年5- x4-4 D.x+名+2x+2的最小值为16 【答案】D 第5页/共30页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】作出函数()的图象，根据题意得到0<，<2<<4<污<5<<20，+名=4，利用 不等式性质别断A,数形结合求解判断B,利用对数性质可行。一4十4，再利用装本不等式求解最 +4 小值判断D,构造函数8(=x-2hxxe(0, ）,利用导数法求得8（冈<0，即可判断C 【详解】作出函数()的图象，如图所示： V y=f(x) =4 y=t 45 由图象知： 0<<2<<4<6<5<,所以+<9 ，故选项A错误； 由二次函数的对称性可得+名=4 hsK-4-4=204-g 所以0<<2<<4<<5<x<20,5,>20 因为方程（四）=‘有四个实根，所以0<1<4，故选项B错误： 又log2(s-4=log,(x-4八，则1og,(s-4)=logz(x,-4), n,名s氏-4到=0,6-4飞到=1.商5'司 +4 第6页/共30页 6学科网6组卷网 +2+2=44 21 21 当且仅当，-42：-4 ,即x=6时，等号成立，故选项D正确： 由4<5<5<x<20得a=考-4∈(0,1，b=x-4∈(1，+o） h5-4 -In4-In4-2Ina 由上面推导可知6=1所以名4 b a 5-x=(s-4)-(-4)=a-b=a-1 _a, a-2eani-1r是0 所以&因=x2血在Q)上年酒造.所烈8（天g0=0, 所以8(a)<0,所以a- <2na.所以巧-6<h5二4 a x4-4,故选项C错误 故答案选D. 8.袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每 次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为X,则P(X=5)=() 1 3 13 4 A.63 B.64 C.63 D.63 【答案】C 【解析】 第7页/共30页 命学科网命组卷网 【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式， 即可求解。 详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，P=A。一A4C A 4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，￡=(A7~A)C A3 4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，B-4;C A 13 P=++= 所以 63 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知函数f(x)=3tam 2x- 4 ,则() A图=4 B.∫(x)的最小正周期为π D.不等式f(x)≤4的解集为x28 【答案】AD 【解析】 第8页/共30页 学科网命组卷网 【详解1对于A. 3tan 4,故A正确： T== 对于B,最小正周期02，故B错误； 对FC由2-骨经得*= kππ 4十3，kE2,测7四的对称中心为+e☑ 对D,白-32-}1s42x-引s1.则a<2x-+ -π<x<匹+五 解得28 24,k∈Z,故D正确 10.设等差数列a}的前n项和为S,公差为d,首项为4，若S>S,S1<0,则下列结论正确的是 () A.4<0 B.当n=5时 Sn取最大值 c.lasl<lad S D.数列n」为等差数列并且与数列{an}具有相同的单调性 【答案】ABD 【解析】 S 【分析】利用等差数列的性质，以及前n项和的性质，可判断ABC,利用前n项和公式来求n的通项 公式可判断D. 【详解1因为8>S,所以S,-S=a+a+a,+a+a,+a>0, 即%+4>0 第9页/共30页 命学科网命组卷网 因为4+4=a+a,所以4+a,>0: 因为91<0，又因为S1=11a,所以4，<0， 又因为4+a。> 0.所以4>0，a,<0,则d<0,赦A正确： 且当n=5时，S取最大值，且a>a,放B正疏，c错误 因为d<0,所以数列a,}单调递减： 因为Sn=na n-少d,所yn S 所以数列nJ 也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确。 故选：ABD 在长方体BCD=4BCD中，B=BC=，E,点E为CC的中点，点P为￥面 的一个动点（含边界），则() ABE∥平面ABD E-BB DD B.四棱锥 的外接球的表面积为8π 5 C.平面ABE⊥平面ABE D.若PE⊥AC,则点P的运动轨迹长度为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意以D为坐标原点，分别以 A,DC,DD 所在直线为心少2轴，写出相应的点坐标，利用 ABD 向量法求出平面 的法向量，利用向量法判断即可得出选项A，根据己知条件分析得出四棱锥 E-BB DD 的外接球球心位置，画出图形分析，建立方程解出球体的半径，再利用球体表面积公式求解 第10页/共30页 6学科网6组卷网 即可得出选顶巴，利用坐标系求出平面ABB与平面4B,5的法向量，利用法向量数量积结果来判断选项 C,设P(0,2）,0≤≤1,0≤2，≤2，根据PE上4C得出P的轨迹，然后根据轨迹分析得出选项 D 【详解】在长方体1BCD-4BCD中， 以D为坐标原点，分别DA,DC,DD所在直线为，2辅。 建立如图所示的空间直角坐标系： D B D P 白48=8c-号4=司】 则D(0,00A(0,0),B(11,0),4(1,0,2,B(,12),E(0,11） 可得BE=(-1,0,-),DA=(1,0,2),DB=(1,0) 设平面4BD的一个法向量为万=(x,八2）， DAn=0∫x+2z=0 由DBn=0x+y=0' 令2=1，则 x=-2,y=2 所以i=(-2,2,)】 第11页/共30页 命学科网命组卷网 因为B,En=(-)×(-2)+0x2+(-1)x1=1≠0 所以BE与平面4BD不平行，故A选项不正确 在长方体1BCD-4BGD中， 连接 C,AC,DE,D,E,BE,BD,如图所示： P。 在长方体 BCD-4BCD中，点E为CC的中点， 且46=c-5M=司 所以DE=BE=DE=B,E=B,D=BD=V2 且四边据BDD为矩形，所以点E的技影为师形B品DD的中心O, 即OE⊥平面BBDD E-BB DD 则四棱锥 的外接球的球心在E0上， ①设四棱锥 E-BB,D,D的外接球的球心在EO的延长线上且为C 球的半径为R,如图所示， 第12页/供30页 6学科网6组卷网 01 在长方体ABCD-ABCD,中，BD=BD=VP+1P+2=V6 0-550a中-ns-0m-,阿-（图-9 则有E0,=R,→00=R-OE=R-2 , 在直角三角形00D中，QD2=002+0D2, 解得： R= 此时四棱锥 E-BBDD 外接球的表面积为： S=4xR2=4xx(2)-8m, ②设四棱锥 E-BB DD 0 的外接球的球心在E0上且为 球的半径为R,如图所示， B B 第13页/共30页 6学科网列组卷网 在长方体ABCD-ABCD中，BD=BD=VP+P+2=6 所三0n中，-as-0m-小j--9 所以0D=v6 则有B0=R→00=OE-R=2-R 2 在直角三角形00D中，QD=002+0D2 解得：R=2 因为R=9E=V2>OB=2 ，不满足题意， 故四棱锥 E-BB DD 外接球的表面积为8π， 故B选项正确； 由A中，D(00,0)4(,00,B(11,0,41,0,2),B,12),E(0,11） 则4B=(0,10),AE=(-11,),4B=(0,1,0),4E=(1,1-) 设平面ABE的法向量为%=(：，，乙) MBm=0==0 由4Em=01-x+%+名=0 令=1，则名=1，所以%=（山0，） 设平面4BE的法向量为=(：，少，2)， ABn2=0∫2=0 由 4En2=0-x3+y2-22=0: 第14页/供30页 命学科网命组卷网 令为=1，则2=1，所以%=(1,0，-)， 因为%%=1×1+0x0+1×(-1)=0 所以平面ABE上平面4BE 故选项C正确， 设P(x0,).0≤x≤1,0≤≤2 则PE=（x1,1-),AC=(11,2). 因为PE1AC→PEAC=0 即（-)×(-)+1×1+(1-2)x2=0→。-22+3=0 因为点P为平面1DD4内的一个动点《含边界)， 所以点P的轨迹为一条线段， 令6=0今，=2，令6=1→6=2， 所以线段的端点为 0.0,2)和1,02). 所以克p的运动道长位为-0旷+0-0+2--9 故D选项正确： 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. a 12.已知函数1 f(x)=2Inx- x2的图象在x=1处的切线与直线x-4y-2=0垂直，则a= 【答案】-3 【解析】 第15页/供30页 命学科网命组卷网 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得， f(x)=2Inx-a 2.2a 【详解】由 f'(x)= 2求导可得 xx,则f'()=2+2a x-4y-2=0 因为该切线与直线 垂直， 则(2+2a)x=-1 1 4 ,解得a=-3 故答案为：-3 13.某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为 8V5 【答案】3 【解析】 【分析】 结合圆锥的立体图和平面展开图先求出圆锥底面半径和高，再联立体积公式即可求解 【详解】 可设圆锥底面半径为”，则圆锥底面圆周长为2”，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由 =la知2r=4r， r=2,由几何关系可知圆锥的高h=V④-2=2V5,故圆锥体积为 写rh-xx4x25-8 83 故答案为：3π 第16页/共30页 学科网命组卷网 【点睛】本题考查圆锥体积的求解，能熟练对圆锥立体图和展开图进行有效转化是解题关键，属于中档题 x2.y2 =1 .x2y2 14已知椭C:+=1和双曲线:存=1(a>0,b>0)有公共焦点R,乃(为左焦点). G与S在第三象限交于点M,直线M交'轴于点N且FN平分∠M5,则C的离心率为 5 【答案】2 【解析】 【分析】利用椭圆方程求出C,利用椭圆和双曲线定义求出MM,设点M,利用角平分线定理、 两点间距离公式结合椭圆方程求出a,进而求出离心率. 【详解】 锅9：子 -=1 43=中G=4,b=3,故c2=4-3=1,G=1, …F(-1,0),E(1,0) 由题意可知C=9= ,且c2=a2+b2 由椭圆定义可得M+M=2a=4D. 由双曲线定义可得M-M=2a@. 联立O2得M=2-a,ME=2+a 第17页/共30页 6学科网6组卷网 MN MF2-a 由角平分线定理可知，NFEE2, MN 设M(x,),N在直线ME上，由分点比例得WF 2-a 则七 -2 2,解得= 2, a-2)2 草-1w-毛-e0g） M 4 3 MF =2-a .V(x+1)+y哈=2-a, 由古 2得+1-号 2 ((--aF.weoi(-ap 16 .a+6>0,2-a>0 :a+6=2-a 2 4 a=- ,解得5， ∴e=c=15 a22 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15数列{a}的前项和S.=nn+),数列么，}满足6h,=29,n∈N. 第18页/共30页 6学科网命组卷网 4)求数列a,},}的通项公式， (2)将数列{a,}和数列《-”b,}各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{d,},其中重复的数只 取一次，求数列d,}的前100项和 【答案】(1)0，=2n.b,=2” (2) 250+-4) 【解析】 【分析】（1)利用a,与S,的关系可求数列{a,}的通项公式，当n≥2时，由已知可得4，…b,1=2学 两式相除可求数引仙，}的道项公式： (2)结合（)，利用分组求和法可求数列a,}的前100项和。 【小问1详解】 令n=1,则4=8=2.么=2 当n≥2时，a,=S,-S=n(n+)-(n-)n=2n,4=2也符合上式，a,=2n: 当n≥2时，由0…6，=2”，可行…61=2学 两式相除可存4、2兴 2受2”，4=2迪符合上式“6=2 【小问2详解】 4=2,4=4,4=6,,4m=20 (-ヅ'6=-2，（16，=22，（-1'6=-2，，（-1)o=2w 第19页/供30页 6学科网命组卷网 将数列{a,}和数列(-少”b,各取前10项，按从小到大排成一个新的数列{d,},其中重复的数只取一次， 则4=(-)”=-2”，d=(-1)”b,=-27 … d0=(-l'h=-2,d1=a=2,d2=a=4,,dw=a0=100 :Tw=-(2+2+…+2）+(2+4+…+10) 2x0-4）42+10050-250+-4）. 1-4 2 16.随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛某AI科技公司发明了一套人机交互软 件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答·大量试验统计表明，如果输入的问题 没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%. 已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率： (2)在某次试验中，用户输入n(≥8)个问题，记其中软件生成正确答案的个数为X,事件X=k (k=0,12,”)的概率为P(X=个).当n取何值时，P(X=8)的值最大？ 0.8 【答案】(1) (2)n=9或n=10 【解析】 【分析】(1)根据全概率公式计算求解即可； (2)结合(1)得X-B(n,0.8) 再结合二项分布的概率公式计算求解即可· 【小问1详解】 解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件A, “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件B, 由题意可得P(4)=0.9,P(A=0.1,P(BA)=0.85,P(BA=0.35, 第20页/共30页 命学科网命组卷网 P(B)=P(40(BA)+P(A)P(BA=0.9x0.85+0.1x0.35=0.8 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. 【小问2详解】 解：由(1)知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则X-B(n,0.8).P(X=-8)=C0.8x0.2 令a,=C0.88×0.2m-8 0=C8×0.8×0.2-7 .n+1 则a.=Cx0.8×0,2ns5n-7刀， n+1>1 n+1 <1 n+1 =1 令5(n-7),则n<9:令5(n-7),则n>9:令5(n-7),则n=9: 所以n=9或n=10时，P(X=8)取最大值 17.如图，在棱长为6N6的正四面体A-BCD中，E为棱BC的中点 EB、 (1)证明：BC⊥平面AED: (2)记O为正四面体A-BCD内切球的球心. ()求内切球O的半径r;(写出推导过程，直接写结果不给分)； (i)设P是球O的球面上一点，且OPL平面BCD,当∠ADP最小时，求二面角A-PD-B的正弦值 BCD,△ABC 【答案】(1)因为 均为等边三角形，且E为楼BC的中点， 第21页/共30页 6学科网命组卷网 BC⊥AE,BC⊥DE 所以 又4EnDE=B,ME,DEC平面ABD 所以BC⊥平面AED (2)(i)3,推导过程如下： 设点H是底面正△BCD的中心，连接AH, 则AH为正四面体的高， 由题知，在△BCD中，ED=9√，EH=3V2,DH=62 在Rt△MHD中，由勾股定理可得AH=√AD2-DH=12, 由等体积法得，V4D=4,-D,则3 mAH=4×35m 3 ,=4H=3 即 4 ,则内切球的半径为3 2 (ii)2 【解析】 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明即可： (2)()根据正四面体的性质，确定内切球球心位置，利用等体积法求半径即可（ⅱ）建立空间直角坐标 系，利用向量法求二面角的余弦值，再转化为正弦值即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 (i)略 (i)因为OP⊥平面BCD,所以点P在AH上，且在球面上， 第22页/供30页 学科网命组卷网 所以，当∠ADP最小时，则AP=6, 以H为坐标原点，过H作BC平行线为x轴，以HD为y轴，AH为z轴，建立如图所示空间直角坐标系 H-xyz D 则H00,0,P0,0,6,D(0,62,0),B(-3W6,-32,0 所以PB=(36,-32,6),PD=(0,62,-6). 设平面PMD的法向量为”，则i=(,00）, 设平面PBD的法向量m=(c,水2). m.PD=6v2y-6z=0 则m-PB=-3N6x-32y-62=0'令y=1则m=（5,12) 设二面角A-PD-B的大小为B, mv2 则o=osa列同m是，所以如0=-os0=号 2 即二面角A-PD-B的正弦值为2· 18已知平面直角坐标系x0上一动点e满足№E-F=22,E-V5,0）,F(V5,0) (1)求点Q的轨迹曲线C的方程： 第23页/共30页 6学科网6组卷网 (2)斜率为1的直线与曲线C交于A,B两点，点P(2,1) ①求直线AP,BP的斜率之和： ②△PAB的外接圆圆心M是否在某定直线上？说明理由. 【答案】(1)2 女-y=1(x>0) (2)①0； ©欧的%生-引皆到 做的2空-药梦) y-+1=--2x-+2 2 片-1( 2 联立直线方程得： 2 -2_x2-2. 消y得-1-1 6-2m-1-x-2m-x=--), 于是 (m-1-x)(m-1-x2) 所B-mx=引x5+(m--(m-+】 代入得仔-mr=3-mjm+) 3 ,x=（m+1) 当m=3时，点P在直线AB上，不符合题意，故2 第24页/共30页 6学科网命组卷网 0-0y-3-刂=(2-xx 2-x +4(+2)=x 又消得： 推出2y+ 3 03-y-32-=(2-x)x 2-x2 (+2)=x 推出： 2-x2-x21 .-4儿+4-2(6+月-[m-12-)-(m1-02-y 得.子6-儿4+2m+2-8]-(6-m5-y 又≠龙，则2 m-3)(m-)=(3-m)y 又m≠3，所=-m) P4并e,3(a+小0- x=. m+1) 3 0-m)消去海 令】 3 mx+y-3=0 +y-3=0 必在直线 上 【解析】 【分析】(1)设(x),由题意列方程，化简即可求出答案 (2)①直线AB的方程为y=-x+m,A(,乃），B(,乃），将直线方程与双曲线方程联立得到 X+,,用斜率公式列出直线AP,BP的斜率之和，代入即可求出答案：②求出直线AP,BP 第25页/供30页 6学科网命组卷网 的中垂线，联立求出点M的坐标 消去m即可求出答案 【小问1详解】 由题意知， OE-OF=22<EF=2V3 所以动点的轨迹为双曲线的右支，2a=2V2,2c=2V3 即a=2,c=5,所以b=ve2-a=l, 厨点0的迹曲线C的方程为，-y=1(x>0) 【小问2详解】 O设直线AB的方程为y=-x+m,A(:,少），B(:,乃），直线AP和BP的斜率分别为k,k, -y=1 联立 得， y=-x+mx2-4mx+2m2+2=0 16m2-4(2m2+2）>0 由题意得 2m>V2 ,解得 2-4W2m+2m2+2≥0 m>1 于是+=4m5=2m2+2 第26页/共30页 6学科网6组卷网 所以4+6=5=)s-20%-+(5-20⅓-习 x1-2x2-2 (x-2)(x2-2) _（x-2(m-1-x)+(-2(m-1-为）_(m+(x+)-2x-4(m- (x-2)(x2-2) (x-2)(x2-2） _a+m-22m+40m-》-0,4+k=0 (x-2(x2-2) ②略 19.已知函数f()=(x-)e-br2+a,a,heR (1)当b=0时，若()的图像与x轴相切，求a的值： （2)当a=1时，若f(四在(0，+切)有一个零点，求b的取值范国： 8)设数列满足大=1，=1-e证明：名，+++2>)n2 2 【答案】(1)a=1 a2 3)由于=1>0，则1=1-e=1- e>0 由1)ex-1≥0，即e>1+x,则e7+ 所以1=1-e5>、七。 1+xn’ 1<1+=1+1<1+2<1+3<< -+n 所以xnl七nXn Xn n-2 第27页/供30页 命学科网命组卷网 >行，所以>k≥) 1 则t*ta22…202 a8=h4-.期-中2'间=0，有x=0 则x∈(-，0)时，8()>0，则函数单调递增， x∈(0，+∞）时，8'()<0，则函数单调递减， 所以当x=0时，函数取得最大值为0， 则8()≤0，所以h(x+)x(x>0), k, 11 +…+1 >InI+I2++ 2n 所以nn+12n-1nn+1 2n-1 =lnn+1.n+2.2n,=n2 nn+12n-1 所以，+2++无n2> 2 【解析】 【分析】(4)设()的图像与x轴相切于点P(,0）,根据导数的几何意义得 f(xo)=(xo-a)e"+a=0 f(x)=e+(G-a)e=(6-a+1)e=0,可得a=e,和e-。-1=0:设y=e-x-1' 第28页/共30页 命学科网命组卷网 可得方程的--1=0只有一解，即七=0得解， (2)求出导数，当°2时，所以函数f(x)在(0，+)单调递增，且f(x)>f(0)=0,所以f(x)在 b> (0,+o)上无零点；当6>2时，令f'()=0,则x=山2b,根据单调性可得解 8)报据e>1+,则1+元，所议七=1-e> ex< 1 1±x,从而x之n,所以 ≥，长he<0.期h:动- k+1 “k，利用对数运算性质可证 【小问1详解】 当b=0时，函数f(x)=(x-a)e+a 则f'()=e+(x-a)e=(x-a+1)e, 设（)的图像与x轴相切于点P(,0), Jf(xo)=(xo-a)e+a=0 则f(x)=e+(x-a)e=(x。-a+l)e=0: J(xo-a)e*=-a 即1e+(-a)e=0,可得a=es,从而e-x-1=0 设y=c-x-,则y=e-,令y=0,得x=0, 则x∈（0,0)时，广<0，则函数单调递减， x∈(0，+0）时，y>0,则函数单调递增， 所以当x=0时，函数取得最小值为0， 第29页/共30页 6学科网列组卷网 所以方程-名-1=0只有解，即=0， 所以a=e°=1 【小问2详解】 当a=1时，f()=(x-)e-bx2+1 则f'(x)=xe-2hx=x(e-2b)】 当s分，r20,商a改内注0o)4远.时>0=0： 所（冈在(0，+切）上无零点 b>2.r-0,=h2), 当xe(0,h(2b》时，f()<0,则西数f()在Q,n(2》单调避减。 x∈（血(2b),+o)时，f()>0,则函数f()在（血(2b),+o)单调递增， 由于fo)=0,所以f(血2b)<0, 且当x趋于+o时，f(趋于0， 所以（✉）在(0，+)有一个零点，符合题意， 综上所述， 【小问3详解】 略 第30页/共30页