精品解析：内蒙古包头市2026届高三第一次模拟考试数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试 （第一次模拟考试） 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】， ， ． 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合及，再根据交集的定义运算即可得解. 【详解】要使函数有意义，须满足真数，解得， 所以，所以. 又因为，所以. 故选：B 3. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，首先判断，再由等比数列求和公式及通项公式得到方程，解得即可. 【详解】设公比为， 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即， 即，解得（负值已舍去）. 故选：D 5. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A. 6. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由弧长公式进行求解． 【详解】圆化为标准方程为：， 圆心，半径， 如图所示： 则点到直线的距离为：， 而，， 得， 则劣弧的长为：， 故选：B 7. 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，利用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得，再利用基本不等式求解最小值判断D，构造函数，利用导数法求得，即可判断C. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，所以，故选项A错误； 由二次函数的对称性可得， 令或， 所以， 因为方程有四个实根，所以，故选项B错误； 又，则， 即，则，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确； 由得， 由上面推导可知，所以， ， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以，故选项C错误. 故答案选D. 8. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，； 前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，； 前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，. 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，最小正周期，故B错误； 对于C，由得，，则的对称中心为，故C错误； 对于D，由得，则， 解得，，故D正确. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取最大值 C. D. 数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和的性质，可判断ABC，利用前项和公式来求的通项公式可判断D. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以； 因为，又因为，所以， 又因为，所以，则，故A正确； 且当时，取最大值，且，故B正确，C错误； 因为，所以数列单调递减； 因为，所以， 所以数列也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确． 故选:ABD． 11. 在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的外接球的表面积为 C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴，写出相应的点坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法判断即可得出选项A，根据已知条件分析得出四棱锥的外接球球心位置，画出图形分析，建立方程解出球体的半径，再利用球体表面积公式求解即可得出选项B，利用坐标系求出平面与平面的法向量，利用法向量数量积结果来判断选项C，设，，根据得出的轨迹，然后根据轨迹分析得出选项D. 【详解】在长方体中， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 由， 则， 可得， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则， 所以， 因为， 所以与平面不平行，故A选项不正确； 在长方体中， 连接，如图所示： 在长方体中，点为的中点， 且， 所以， 且四边形为矩形，所以点的投影为矩形的中心， 即平面，则四棱锥的外接球的球心在上， ①设四棱锥的外接球的球心在的延长线上且为， 球的半径为，如图所示， 在长方体中, ， 所以，所以在直角三角形中，， 则有， 在直角三角形中，， 即，解得：， 此时四棱锥外接球的表面积为： ， ②设四棱锥的外接球的球心在上且为， 球的半径为，如图所示， 在长方体中, ， 所以，所以在直角三角形中，， 则有， 在直角三角形中，， 即，解得：， 因为，不满足题意， 故四棱锥外接球的表面积为， 故B选项正确； 由A中，， 则， 设平面的法向量为， 由， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 由， 令，则，所以， 因为， 所以平面平面，故选项C正确， 设，， 则，， 因为， 即， 因为点为平面内的一个动点（含边界）， 所以点的轨迹为一条线段， 令，令， 所以线段的端点为和， 所以点的运动轨迹长度为， 故D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 13. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 结合圆锥的立体图和平面展开图先求出圆锥底面半径和高，再联立体积公式即可求解 【详解】 可设圆锥底面半径为，则圆锥底面圆周长为，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由知，，由几何关系可知圆锥的高，故圆锥体积为 故答案为： 【点睛】本题考查圆锥体积的求解，能熟练对圆锥立体图和展开图进行有效转化是解题关键，属于中档题 14. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程求出，利用椭圆和双曲线定义求出，设点，利用角平分线定理、两点间距离公式结合椭圆方程求出，进而求出离心率． 【详解】 椭圆中，故，， ， 由题意可知，且， 由椭圆定义可得①， 由双曲线定义可得②， 联立①②得， 由角平分线定理可知，， 设，在直线上，由分点比例得， 则，解得， 在椭圆上，则，解得， ， ， 由得， ，化简得， ， ，解得， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系可求数列的通项公式，当时，由已知可得，两式相除可求数列的通项公式； （2）结合（1），利用分组求和法可求数列的前100项和． 【小问1详解】 令，则，， 当时，，也符合上式，∴； 当时，由，可得， 两式相除可得，也符合上式，∴． 【小问2详解】 ，，，…，， ，，，…，， 将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次， 则，，…， ，，，…，， ∴ ． 16. 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. （1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； （2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【小问1详解】 解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. 【小问2详解】 解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 17. 如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）记为正四面体内切球的球心. （ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）； （ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）因为均为等边三角形，且为棱的中点， 所以, 又,平面， 所以平面. （2）（ⅰ）3，推导过程如下： 设点是底面正的中心，连接, 则为正四面体的高， 由题知，在中，， 在中，由勾股定理可得， 由等体积法得，，则， 即，则内切球的半径为3. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）（ⅰ）根据正四面体的性质，确定内切球球心位置，利用等体积法求半径即可（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，再转化为正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为平面，所以点在上，且在球面上, 所以，当最小时，则, 以为坐标原点，过作平行线为轴，以为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则； 设平面的法向量， 则，令，则， 设二面角的大小为， 则，所以. 即二面角的正弦值为. 18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②直线的中垂线为， 直线的中垂线为， 联立直线方程得：， 消得， 于是， 所以， 代入得， 当时，点在直线上，不符合题意，故， 又消得：，推出， 推出：， 得：， 得：， 又，则， 又，所以， 故外接圆圆心， 令，消去得， 故必在直线上. 【解析】 【分析】（1）设，由题意列方程，化简即可求出答案. （2）①直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立得到，，用斜率公式列出直线，的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直线，的中垂线，联立求出点的坐标，消去即可求出答案. 【小问1详解】 由题意知，， 所以动点的轨迹为双曲线的右支，，， 即，，所以， 所以点的轨迹曲线的方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，， 联立得，， 由题意得，解得， 于是，， 所以 ，所以． ②略 19. 已知函数，，. （1）当时，若的图像与轴相切，求的值； （2）当时，若在有一个零点，求的取值范围； （3）设数列满足，.证明：. 【答案】（1） （2） （3）由于，则， 由（1） ，即，则， 所以， 所以， 则，所以， 则， 设，则，令 ，得， 则时， ，则函数单调递增， 时，，则函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值为， 则，所以， 则， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）设的图像与轴相切于点，根据导数的几何意义得，可得，和，设，可得方程只有一解，即 得解； （2）求出导数，当时，所以函数在单调递增，且 ，所以在上无零点；当时，令，则，根据单调性可得解； （3）根据，则，所以，从而，所以，再根据，所以，利用对数运算性质可证. 【小问1详解】 当时，函数， 则 设的图像与轴相切于点， 则， 即，可得，从而， 设，则，令，得， 则时，，则函数单调递减， 时，，则函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值为， 所以方程只有一解，即 ， 所以； 【小问2详解】 当时，， 则， 当时， ，所以函数在单调递增，此时 ； 所以在上无零点； 当时，令，则， 当时，，则函数在单调递减， 时，，则函数在单调递增， 由于，所以， 且当趋于 时，趋于 ， 所以在有一个零点，符合题意， 综上所述，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 （第一次模拟考试） 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 4. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 5. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 8. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 10. 设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取最大值 C. D. 数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 11. 在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的外接球的表面积为 C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 13. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______. 14. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 16. 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. （1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； （2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 17. 如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）记为正四面体内切球的球心. （ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）； （ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值. 18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 19. 已知函数，，. （1）当时，若的图像与轴相切，求的值； （2）当时，若在有一个零点，求的取值范围； （3）设数列满足，.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $