一题多解高考真题巧思妙解 下－数学（北京、上海、天津、江苏）：2016年高考数学上海卷文、理试卷一题多解

1【2016年上海理科数学第12题】在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_________ 【答案】 【知识点】直线方程、曲线方程、向量的数量积、函数的值域 【解析】 解法一：坐标法 由是曲线上一个动点，可设， 即 又由于，得 从而可得 解法二、换元法[来源:学+科+网] 由P是曲线上一个动点，不妨设，即， 即 令， 得 [来源:学*科*网] 又由于，得 从而有 解法三、向量法 不妨设，由P是曲线上一个动点，得 由 [来源:学。科。网Z。X。X。K] 又由于，得╮ 从而可得 解法四、线性规划法 由P是曲线上一个动点，不妨设， 得 令，得 要求的取值范围， 只要求与圆弧相交的平行线束的y轴截距的取值范围即可。 如图可知，（1）、当过点时， 此时平行线束y轴的截距最小，即最小， （2）、当与单位上半圆 相切于点C时， 此时平行线束y轴的截距最大，即最大。 故由圆心O到直线的距离等于半径， 得， 求得或（舍）， 即 综上所得 解法五、几何法[来源:学科网] 由 得要求的取值范围，只要求的取值范围即可 过点P作BA的垂线PC，交BA的延长线于点C 由，得，即 设： 如图，（1）、当直线PC过点D时，最小 由，得：[来源:Z|xx|k.Com] 又由直线:，联立直线的方程， 得此时的C，即 （2）、当直线PC与圆弧相切于点P（第一象限）时，最大 即圆心到直线PC的距离，求得或（舍） 即此时的直线PC： 联立方程，得 即此时 综上所得， 从而有 $$