2.4露在外面的面（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

本小学数学讲义聚焦露在外面的面、表面涂色的正方体、组合体的表面积三大核心知识点，构建从观察不同角度面的数量，到探究涂色小正方体位置规律，再到组合体表面积两种计算方法的递进式学习支架。 资料通过基础巩固、能力提升、思维拓展三层题目设计，培养学生空间观念（数学眼光）、推理意识（数学思维）与应用意识（数学语言）。如基础题探究n个小正方体露在外面的面的规律，能力题分析挖去小正方体后的表面积变化，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺强化空间想象与运算能力。

2.4露在外面的面 重点知识点 知识点一:露在外面的面 露在外面的面主要研究堆放在墙角或桌面上的正方体组合,核心是通过不同角度(正面、上面、侧面)观察并数出能够直接看到的小正方形面的总数。计算时需注意与地面或墙面接触的面以及被遮挡的面都不计入,通常采用逐个方向观察后相加的方法来求解。 知识点二:表面涂色的正方体 表面涂色的正方体研究的是将一个由若干个小正方体组成的大正方体表面涂色后再切割,探究不同位置小正方体的涂色规律。其中,三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处,永远有8个;两面涂色的位于棱上(不包括顶点);一面涂色的位于每个面的中心部分;而完全包裹在内部的小正方体则没有被涂色。 知识点三:组合体的表面积 组合体的表面积是指计算由多个小正方体或长方体拼搭而成的立体图形的外表总面积。求解时通常有两种思路:一是通过从不同方向看到的视图面积相加再乘以2;二是先算出所有单个立体图形的表面积之和,再减去因拼接而重叠(被遮挡)的面的面积。计算时需要特别注意内部贴合的面不应计入表面积。 基础巩固 1.如图,把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处,有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 2.把一个小正方体如图摆放,1个小正方体有( )个面露在外面,3个小正方体有( )个面露在外面,n个小正方体有( )个面露在外面。 3.把3个棱长2分米的正方体纸箱放在墙角(如图),有( )个面露在外面,露在外面的面是( )平方分米。 4.有4个棱长为2厘米的正方体放在墙角(如图),有( )个面露在外面,露在外面的面积是( )平方厘米。 5.奇思将5个棱长为1cm的小正方体一个挨一个排成一行放在桌面上,有( )个面露在外面,露在外面的面积是( )cm2。 6.有8个棱长为1米的正方体纸箱,要将这些纸箱堆放在仓库里,仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式(如下图)。 (1)占地面积最大的是第( )种摆法,占地面积是( )。 (2)露在外面的面积最小的是第( )种摆法,这种摆法露在外面的面积是( )。 7.4个小正方体堆放在墙角处(如图),露在外面的面有8个。( ) 8.如图,从正方体的上面挖去一个小正方体之后,表面积会减少。( ) 9.如图所示的是堆放在地面上的小正方体,共有( )个面露在外面。能力提升 A.14 B.18 C.21 D.23 10.如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体,从中取出一块小正方体,要使剩下的图形表面积最大,应该( )。 A.取走①号 B.取走②号 C.取走③号 D.取走④号 11.文文和明明分别用7个相同的小正方体搭成两个立体图形,他俩搭的立体图形露在外面的面( )。 A.文文的比较多 B.明明的比较多 C.一样多 D.无法比较 12.用12个相同大小的正方体摆成一个长方体(如图①)。如果各拿走1个正方体变成图②和图③的子,与图①相比,图②的表面积( ),图③的表面积( )。 A.变大;不变 B.变小;不变 C.不变;变大 D. 不变;变小 13.用小正方体搭成如下图的大正方体,从中拿出一个小正方体,要使剩下图形的表面积最大,应该拿走( )号。(剩余小正方体不会移动) A.① B.② C.③ D.④ 14.求下图的表面积。(单位:cm) 15.用5个正方体搭成一个立体图形,如图。 (1)分别画出从正面、右面、上面看到的立体图形的形状。 (2) 将这个立体图形的表面涂上红色,其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个,四个面涂上红色的正方体有( )个,五面涂上红色的正方体有( )个。 16.3个棱长为100厘米的正方体纸箱放在墙角(如图)。 (1)有几个面露在外面? (2)露在外面的面积是多少平方厘米? 17.将4个棱长为6厘米的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积与原来的4个正方体的表面积之和相比,会发生变化吗?变化了多少? 思维拓展 18.如下图在墙角处放有三个棱长为60厘米的正方体饮料箱,请你算一算,露在外面的面积是多少平方米? 19. 将一个长、宽、高分别为6 分米,5 分米,4 分米的长方体纸箱放在地上,若要使它占地面积最小,则它露在外面的面积是多少? 20.航模组的同学在特长活动的时候制作模型,把一个长方体的6个面都涂上蓝色,然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米,那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个? 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 1. 11 176 【分析】观察图形可知,从正面看到4个面,从上面看到3个面,从右面看到4个面,则露在外面的面一共有(4+3+4)个;根据正方体的特征可知,每个面是边长为4厘米的正方形,根据正方形的面积=边长 边长,求出一个面的面积,再乘露在外面的面的个数,即可求出露在外面的面积。 【详解】4+3+4=11(个) 4 4 11 =16 11 =176(平方厘米) 有11个面露在外面,露在外面的面积是176平方厘米。 2. 5 13 4n+1/1+4n 【分析】正方体有6个面,看图可知,1个小正方体有5个面露在外面,5=1 4+1;3个小正方体有13个面露在外面,13=3 4+1……由此可知,露在外面的面的数量=几个小正方体就用几 4+1。 【详解】1 4+1 =4+1 =5(个) 3 4+1 =12+1 =13(个) n 4+1=(4n+1)个 1个小正方体有5个面露在外面,3个小正方体有13个面露在外面,n个小正方体有(4n+1)个面露在外面。 3. 7 28 【分析】从正面看有3个面露在外面,从上面看有2个面露在外面,从右侧看有2个面露在外面,一共有(3+2+2)个面露在外面;再根据正方形面积=边长 边长,据此求出一个面的面积,再乘露在外面的面的个数,即可解答。 【详解】3+2+2 =5+2 =7(个) 2 2 7 =4 7 =28(平方分米) 把3个棱长2分米的正方体纸箱放在墙角,有7个面露在外面,露在外面的面是28平方分米。 4. 9 36 【分析】观察图可知,从正面看,有3个面露在外面;从上面看,有3个面露在外面;从右面看,有3个面露在外面。所以露在外面的面一共有3+3+3=9个。已知正方体的棱长是2厘米,根据正方形面积公式S=a a(a为边长,即正方体棱长),可得一个面的面积是2 2=4平方厘米。露在外面的面有9个,每个面的面积是4平方厘米,所以用4乘9即可得出露在外面的面积。 【详解】从正面看,有3个面露在外面;从上面看,有3个面露在外面;从右面看,有3个面露在外面。 3+3+3=9(个) 2 2=4(平方厘米) 4 9=36(平方厘米) 有9个面露在外面,露在外面的面积是36平方厘米。 5. 17 17 【分析】5个棱长为1cm的小正方体一个挨一个排成一行放在桌面上,此时前面和后面各有5个面,共5 2=10个面;上面有5个面;左面和右面各有1个面,共1 2=2个面。所以露在外面的面的总数为10+5+2=17个。棱长为1cm的小正方体,那么每个面的面积是1 1=1cm2,露在外面的面有17个,所以露在外面的面积是1 17=17cm2。 【详解】排成一行,前面和后面各有5个面,上面有5个面;左面和右面各有1个面。 5 2+5+1 2 =10+5+2 =15+2 =17(个) 1 1=1(cm2) 1 17=17(cm2) 有17个面露在外面,露在外面的面积是17cm2。 6.(1) 一 8 (2) 三 12 【分析】(1)占地面积即为底面积,边长为1米的正方形的面积为1平方米,第一种摆法的底面为8个正方形 ,那么占地面积为8平方米;第二种摆法的底面为4个正方形 ,那么占地面积为4平方米;第三种摆法的底面为4个正方形 ,那么占地面积为4平方米;第四种摆法的底面为6个正方形 ,那么占地面积为6平方米;据此解答。 (2)因为边长为1米的正方形的面积为1平方米,第一种摆法把它整体看成一个大长方体,上面有8个面露在外面,前面有8个面露在外面,右面有1个面露在外面,即2 8+1=17(平方米);第二种摆法:把它整体看成一个大长方体,上面有4个正方形露在外面,前面有8个正方形露在外面,右面有2个正方形露在外面,即4+8+2=14(平方米);第三种摆法:把它整体看成一个大正方体,上面、前面、右面各有4个面露在外面,即3 4=12(平方米);第四种摆法:这个图形上面有6个正方形露在外面,前面有5个正方形露在外面,右面有5个正方形露在外面,即5 2+6=16(平方米);再比较大小即可求解。 【详解】(1)8 1=8(平方米) 4 1=4(平方米) 4 1=4(平方米) 6 1=6(平方米) 因为8>6>4,所以占地面积最大的是第一种摆法,占地面积是8。 (2)2 8+1 =16+1 =17(平方米) 4+8+2 =12+2 =14(平方米) 3 4=12(平方米) 5 2+6 =10+6 =16(平方米) 因为12<14<16<17,所以露在外面的面积最小的是第三种摆法,这种摆法露在外面的面积是12。 【点睛】本题考查正方体露在外面的面的面积计算,学生需熟练掌握。 7. 【分析】因为该组合体可以从前、后、上、左、右几个方位观察。通过对该组合体的观察,该组合体从前面看,有3个小正方形,从上面看,有3个小正方形,从右面看,有3个小正方形,从左面看,有1个小正方形,从后面看,有2个小正方形,把这几个方位能看见的小正方形数量加起来即可。 【详解】由分析可得: 露在外面的面有: 3+3+3+1+2 =6+3+1+2 =9+1+2 =10+2 =12(个) 综上所述:该物体露在外面的面有12个。 故答案为: 8. 【分析】大正方体挖去一个小正方体,仔细观察,凹下去图形是4个面的面积,而原来缺失的是2个面的面积,所以大正方体的表面积和以前相比,多了2个面的面积,据此解答。 【详解】根据分析,这个组合体的表面积与之前相比,表面积增加了。所以原题的说法是错误的。 故答案为: 【点睛】从一个立体图形中挖去部分后,再观察这个立体图形的表面积有什么变化,这种题有一定的难度,需要同学们仔细看图、认真分析,培养空间观察和想象能力。 9.C 【分析】分别数出不同方向看到露在外面的面的数量,再相加得到露在外面的面的总数,据此解答。 【详解】如图所示:从前面看,有5个面露在外面; 从后面看,有5个面露在外面; 从左面看,有3个面露在外面; 从右面看,有3个面露在外面; 从上面看,有5个面露在外面; 露在外面的面的总数为个。 故答案为:C 【点睛】理解题中“露在外面的面”即是立体图形前面、左面、右面、后面和上面露在外面的面,再数出这些方向露在外面的面的个数再相加,是解题的关键。 10.A 【分析】观察取出一块小正方体后增加小正方体面的个数,增加面的个数最多时,增加的表面积最大。由此判断。 【详解】A.取走①号后减少了小正方体1个面的面积,增加了上下左右后5个小正方体面的面积,相当于增加了4个小正方体面的面积。 B.取走②号后减少了小正方体3个面的面积,增加了上右后3个小正方体面的面积,相当于没变。 C.取走③号后减少了小正方体2个面的面积,增加了上左右后4个小正方体面的面积,相当于增加了2个小正方体面的面积。 D.取走④号后减少了小正方体3个面的面积,增加了上下左右后3个小正方体面的面积,相当于没变。 所以取走①号后剩下的表面积最大。 故答案为:A 11.B 【分析】与地面接触的部分不是露在外面的面。文文搭的图形上面、左右面、前后面露在外面的都是4个面;明明搭的图形前后面分别露在外面6个;左右面分别露在外面4个,上面露在外面4个;由此分别判断露在外面面的个数,再比较即可。 【详解】文文:4 5=20(个) 明明:6 2+4 2+4 =12+8+4 =20+4 =24(个) 20<24 所以明明的比较多。 故答案为:B 12.A 【分析】拿走不同位置的小正方体对原来面积的减少不一样,新增加的面积也各不相同,相互抵消判断表面积的具体增减。 【详解】图②比原来的表面积减少2个面,新增加了4个面,表面积变大。图③比原来的表面积减少3个面,新增加了3个面,表面积不变。所以与图①相比,图②的表面积变大,图③的表面积不变。 故答案为:A 【点睛】本题考查长方体的表面积,解答本题的关键是理解每一个图形的表面积变化情况,再进行判断。 13.A 【分析】分析从大正方体的不同位置拿走一个小正方体后,剩下图形表面积的变化情况;从图中可看出拿走不同位置的小正方体时减少了几个面,又露出了几个面,如果露出的面与减少的面个数相等,则表面积不变;如果露出的面比减少的面个数多,则剩下图形的表面积比原来的大;找出增加的面最多的,则剩下图形的表面积最大。 【详解】A.若拿走①号小正方体,减少了1个面,又露出了5个面,比原来的表面积增加了4个面; B.若拿走②号小正方体,减少了3个面,又露出了3个面,表面积不变; C.若拿走③号小正方体,减少了2个面,又露出了4个面,比原来的表面积增加了2个面; D.若拿走④号小正方体,减少了3个面,又露出了3个面,表面积不变。 所以,要使剩下图形的表面积最大,应该拿走①号。 故答案为:A 14.252平方厘米 【分析】观察图形可知,这个立体图形的表面积比长方体和正方体的表面积之和少了2个小正方形的面积。长方体的表面积=(长 宽+长 高+宽 高) 2,正方体的表面积=棱长 棱长 6,据此解答。 【详解】(10 6+6 3+10 3) 2+3 3 (6-2) =(60+18+30) 2+3 3 4 =108 2+36 =216+36 =252(平方厘米) 则这个图形的表面积是252平方厘米。 15.(1)见详解 (2)1;1;3 【分析】(1)从不同的方向观察立体图形,从正面可以看到上下两行,第一行三个小正方体,第二行一个小正方体,左对齐;从右面可以看到上下两行,第一行两个小正方体,第二行一个小正方体,右对齐;从上面可以看到上下两行,第一行一个小正方体,第二行三个小正方体,左对齐;据此作图; (2)把这个立体图形表面涂上红色,就是把上下左右前后的面涂上红色,再观察立体图形中每个小正方体几个面是露在外面的,由此即可解答。 【详解】(1)由分析可作图: (2)可以给每个正方体标上序号⑤号是④号下方被挡住的正方体。 只有三个面涂上红色的正方体是⑤,四个面涂上红色的正方体有②,五个面涂上红色的正方体有①、③、④。 所以,将这个立体图形的表面涂上红色,其中只有三个面涂上红色的正方体有1个,四个面涂上红色的正方体有1个,五面涂上红色的正方体有3个。 16.(1)7个 (2)70000平方厘米 【分析】(1)观察图形可知,从正面看到3个面,从上面看到1个面,从右面看到3个面,则露在外面的面一共有(3+1+3)个。 (2)根据正方体的特征可知,每个面是边长为100厘米的正方形,根据正方形的面积=边长 边长,求出一个面的面积,再乘露在外面的面的个数,即可求出露在外面的面积。 【详解】(1)3+1+3=7(个) 答:有7个面露在外面。 (2)100 100 7=70000(平方厘米) 答:露在外面的面积是70000平方厘米。 17.会;216平方厘米 【分析】根据题意,将4个棱长为6厘米的正方体拼成如图所示一字排开的长方体,有6个面会重合,所以长方体的表面积比原来4个正方体的表面积之和减少了6个面的面积; 由正方体的特征可知,正方体的每个面都是边长6厘米的正方形,根据正方形的面积=边长 边长,求出一个面的面积,再乘6即是减少的表面积。 【详解】6 6 6 =36 6 =216(平方厘米) 答:长方体的表面积与原来的4个正方体的表面积之和相比,会发生变化,减少了216平方厘米。 18.2.52平方米 【详解】60 60 7=25200(平方厘米)=2.52(平方米) 19.128平方分米 【详解】6 5 2 +6 4 2 +5 4 =128(平方分米) 答:纸箱露在外面面积为128平方分米. 20.3面涂色的有8个;2面涂色的有60个;1面涂色的有136个。 【分析】3面涂色的小正方体在长方体的顶点位置,共8个;2面涂色的小正方体在每条棱的中间,即在每条棱除顶点处的两个小正方体外的中间位置,共有(10-2) 4+(6-2) 4+(5-2) 4=60(个);1面涂色的小正方体在每个面上除棱上的小正方体外的中间位置,在长10厘米、宽6厘米的面上,一面涂色的小正方形组成一个长10-2=8(厘米)、宽6-2=4(厘米)的长方形,这个长方形中共有8 4 (1 1)=32(个)小正方形,同理可求出在长10厘米、宽5厘米的面上和长6厘米、宽5厘米的面上涂色的小正方形的个数。小正方形的个数即小正方体的个数,所以1面涂色的小正方体有(10-2) (6-2) 2+(10-2) (5-2) 2+(6-2) (5-2) 2=136(个)。 【详解】(10-2) 4+(6-2) 4+(5-2) 4 =8 4+4 4+3 4 =32+16+12 =48+12 =60(个) (10-2) (6-2) 2+(10-2) (5-2) 2+(6-2) (5-2) 2 =8 4 2+8 3 2+4 3 2 =32 2+24 2+12 2 =64+48+24 =112+24 =136(个) 答:3面涂色的有8个,2面涂色的有60个,1面涂色的有136个。 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $