2026年中考一轮突破复习讲义 专题07一元二次方程及其应用(全国通用)

专题07一元二次方程及其应用复习讲义 【模块一 一元二次方程的相关概念】................................4 【题型01 一元二次方程的定义】....................................4 【题型02 一元二次方程的一般形式】................................4 【题型03 一元二次方程的解】......................................5 【题型04 一元二次方程的根的估算】................................5 【模块二 解一元二次方程】.......................................6 【题型05 基础解法:直接开平法+配方法】............................6 【题型06 常用解法:公式法+因式分解法】............................6 【题型07 技巧解法:换元法】.......................................6 【题型08 配方法的应用】.........................................7 【模块三 一元二次方程根的判别式】...............................8 【题型09 判别式的个数问题 】....................................8 【题型10 已知根的情况求参数】...................................8 【模块四 根与系数的关系】.......................................8 【题型11 构造一元二次方程】.....................................8 【题型12 利用根与系数关系求参数取值范围】.......................9 【模块五 高频核心题型(中考大考必考)】...........................9 【题型13 一元二次方程应用:增长率问题】..........................9 【题型14 一元二次方程应用:营销问题】.............................10 【题型15 一元二次方程应用:与图形有关问题】.......................11 【模块六 基础常考题型】..........................................11 【题型16 一元二次方程应用:传播问题】.............................12 【题型17 一元二次方程应用:数字问题】.............................13 【题型18 一元二次方程应用:握手循环赛问题】.........................13 分值比重：一元二次方程及其应用在中考数学中为高频核心考点，分值占比6–10 分，题型覆盖选择、填空、解答（基础 + 中档），是基础得分与中档稳定得分板块。 考查重点：一元二次方程的定义、解法（代入消元法、加减消元法）、一元二次方程解法、根的判别式、根与系数关系；一元二次方程的实际应用；基础运算与实际应用并重，规范书写。 命题难度：以基础题、中档题为主，题型固定、易得分，重本质、轻技巧，侧重运算能力与基本方法应用，难度偏低、稳定性强。 命题趋势：基础题型固定，以解方程、化简易求值、简单实际应用为主，侧重基础扎实、运算规范、方法熟练，难度稳定、区分度低。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 一元二次方程定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。标准形式：ax2+bx+c=0(a0) a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 相关概念 二次项：ax2 一次项：bx 常数项：c 知识点02:一元二次方程的解法（必考） 1. 直接开平方法 适用：形如 x2=p 或 (x+m)2=p 若 p≥0，方程有实数根 若 p<0，无实数根 2. 配方法 步骤： (1)移项：把常数项移到右边 (2)化 1：二次项系数化为 1 (3)配方：两边加 ()2 (4)开方：写成 (x+m)2=n 3. 公式法（万能） 求根公式： 使用前提：先算判别式 Δ=b2−4ac 4. 因式分解法 适用：方程右边为 0，左边易分解 步骤： (1)移项，右边 = 0 (2)左边分解：(x−x1)(x−x2)=0 (3)得根：x=x1​, x=x2​ 知识点03:根的判别式（Δ） Δ=b2−4ac Δ>0：两个不相等实数根 Δ=0：两个相等实数根（一个根） Δ<0：无实数根 用途：判断根的情况、求参数范围、证明根的性质。 知识点04:根与系数关系（韦达定理） 前提：Δ≥0 x1+x2=−,x1x2=​ 常用变形： 知识点05:实际应用（中考高频） 1. 增长率 / 降低率问题 公式：a(1±x)n=b a：初始量 x：增长率 / 降低率 n：增长 / 降低次数 b：最终量 2. 利润问题 总利润 = 单件利润 × 销售量 单价变化 → 销量反向变化 3. 图形面积问题 矩形面积 = 长 × 宽 边框 / 道路问题：用大面积−小面积或直接表示内部面积列方程 4. 传播 / 分支问题 第一轮：1 第二轮：1+x 总量：1+x+x2=总数 5. 握手 / 循环赛问题 模型：单循环（每两人之间只一次） 人数 / 队数：x 每人与其他人握手 / 比赛：x−1 次 总次数 / 场数：不重复计数=总次数/总场数 直接记结论： 握手总次数：​ 单循环赛场次：​ 6. 数字问题 两位数 = 10×十位 + 个位 利用 “两数积 / 和” 列方程 【模块一 一元二次方程的相关概念】 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 【跟踪专练1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【跟踪专练3】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【题型2.一元二次方程的一般形式】 【典例】把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 【跟踪专练1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【跟踪专练3】若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【题型3.一元二次方程的解】 【典例】已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【跟踪专练1】已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【跟踪专练2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【跟踪专练3】若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【题型4.一元二次方程的根的估算】 【典例】已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ________________ ．（填一个即可） 【跟踪专练1】已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【跟踪专练3】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【模块二 解一元二次方程】 【题型5.基础解法:直接开平法+配方法】 【典例】一元二次方程的解是____________． 【跟踪专练1】将一元二次方程化成的形式，则等于（    ） A．40 B．13 C．7 D．4 【跟踪专练2】已知关于的一元二次方程的两个实数根的差为，则的值为_______． 【跟踪专练3】将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型6.常用解法:公式法+因式分解法】 【典例】已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【跟踪专练1】二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【跟踪专练3】定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型7.技巧解法:换元法】 【典例】已知，则的值是________． 【跟踪专练1】已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】用换元法解方程时，设，可以把原方程化为关于y的整式方程是__________． 【跟踪专练3】已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【题型8.配方法的应用】 【典例】若定义：，则代数式的最小值为______． 【跟踪专练1】已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【跟踪专练2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【跟踪专练3】式子中、满足条件，取时，式子取得最小值．且，则满足条件的所有整数的积为（   ） A．0 B．36 C． D．4 【模块三 一元二次方程根的判别式】 【题型9.判别跟的个数问题】 【典例】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【跟踪专练2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【跟踪专练3】若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 【题型10.已知根的情况求参数】 【典例】关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的值为_____． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【跟踪专练3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【模块四 根与系数的关系】 【题型11.构造一元二次方程】 【典例】若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】任意写出一个两根之积为负数的一元二次方程：________． 【跟踪专练2】已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为_____． 【跟踪专练3】嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型12.利用根与系数的关系求参数取值范围】 【典例】已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【跟踪专练1】已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于_____． 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 【跟踪专练3】已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．或 B．或 C． D． 【模块五 高频核心题型(中考大考必考)】 【题型13.一元二次方程的应用:增长率问题】 【典例】近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 【跟踪专练1】2025年暑期档电影《浪浪山小妖怪》深受观众喜爱，上映后第一周票房收入约4.5亿，且第二周、第三周票房均呈上升趋势，前三周票房总收入约15亿．若设第二、三周的周增长率均为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【跟踪专练3】亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【题型14.一元二次方程的应用:营销问题】 【典例】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 【跟踪专练1】某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我市沁州黄小米享有“天下米王”的美誉，富含蛋白质、矿物质与膳食纤维等营养物质，口感软糯香甜，养胃健脾，深受消费者青睐．某电商平台销售精品包装的沁州黄小米，已知每盒小米的进价为30元．当售价定为每盒45元时，每月可售出1200盒．为提升销量，平台开展促销活动，调研发现：售价每降低2元，每月的销售量就增加100盒．电商平台把销售单价降低多少元时，每月所获利润为15400元． 【跟踪专练3】某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 【题型15.一元二次方程的应用:与图形有关问题】 【典例】有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【跟踪专练1】在一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的，则金色纸边的宽度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 【跟踪专练3】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【模块六 基础常考题型】 【题型16.一元二次方程的应用:传播问题】 【典例】某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给x个好友，收到链接的每个好友又转发给x个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为__________． 【跟踪专练1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【跟踪专练3】有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)若不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？ 【题型17.一元二次方程的应用:数字问题】 【典例】小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程___________． 【跟踪专练1】一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【跟踪专练2】读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑） 【跟踪专练3】按要求完成下列各小题． (1)一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)现有一面积为的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为 xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 【题型18.一元二次方程的应用:握手循环赛问题】 【典例】在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【跟踪专练1】班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 【跟踪专练2】2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【跟踪专练3】某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一元二次方程及其应用复习讲义 【模块一 一元二次方程的相关概念】................................4 【题型01 一元二次方程的定义】....................................4 【题型02 一元二次方程的一般形式】................................6 【题型03 一元二次方程的解】......................................7 【题型04 一元二次方程的根的估算】................................9 【模块二 解一元二次方程】.......................................11 【题型05 基础解法:直接开平法+配方法】............................11 【题型06 常用解法:公式法+因式分解法】............................13 【题型07 技巧解法:换元法】.......................................15 【题型08 配方法的应用】.........................................18 【模块三 一元二次方程根的判别式】...............................21 【题型09 判别式的个数问题 】....................................21 【题型10 已知根的情况求参数】...................................23 【模块四 根与系数的关系】.......................................25 【题型11 构造一元二次方程】.....................................25 【题型12 利用根与系数关系求参数取值范围】.......................27 【模块五 高频核心题型(中考大考必考)】...........................29 【题型13 一元二次方程应用:增长率问题】..........................29 【题型14 一元二次方程应用:营销问题】.............................31 【题型15 一元二次方程应用:与图形有关问题】.......................34 【模块六 基础常考题型】..........................................37 【题型16 一元二次方程应用:传播问题】.............................37 【题型17 一元二次方程应用:数字问题】.............................39 【题型18 一元二次方程应用:握手循环赛问题】.........................41 分值比重：一元二次方程及其应用在中考数学中为高频核心考点，分值占比6–10 分，题型覆盖选择、填空、解答（基础 + 中档），是基础得分与中档稳定得分板块。 考查重点：一元二次方程的定义、解法（代入消元法、加减消元法）、一元二次方程解法、根的判别式、根与系数关系；一元二次方程的实际应用；基础运算与实际应用并重，规范书写。 命题难度：以基础题、中档题为主，题型固定、易得分，重本质、轻技巧，侧重运算能力与基本方法应用，难度偏低、稳定性强。 命题趋势：基础题型固定，以解方程、化简易求值、简单实际应用为主，侧重基础扎实、运算规范、方法熟练，难度稳定、区分度低。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 一元二次方程定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。标准形式：ax2+bx+c=0(a0) a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 相关概念 二次项：ax2 一次项：bx 常数项：c 知识点02:一元二次方程的解法（必考） 1. 直接开平方法 适用：形如 x2=p 或 (x+m)2=p 若 p≥0，方程有实数根 若 p<0，无实数根 2. 配方法 步骤： (1)移项：把常数项移到右边 (2)化 1：二次项系数化为 1 (3)配方：两边加 ()2 (4)开方：写成 (x+m)2=n (5)求解 3. 公式法（万能） 求根公式： 使用前提：先算判别式 Δ=b2−4ac 4. 因式分解法 适用：方程右边为 0，左边易分解 步骤： (1)移项，右边 = 0 (2)左边分解：(x−x1)(x−x2)=0 (3)得根：x=x1​, x=x2​ 知识点03:根的判别式（Δ） Δ=b2−4ac Δ>0：两个不相等实数根 Δ=0：两个相等实数根（一个根） Δ<0：无实数根 用途：判断根的情况、求参数范围、证明根的性质。 知识点04:根与系数关系（韦达定理） 前提：Δ≥0 x1+x2=−,x1x2=​ 常用变形： 知识点05:实际应用（中考高频） 1. 增长率 / 降低率问题 公式：a(1±x)n=b a：初始量 x：增长率 / 降低率 n：增长 / 降低次数 b：最终量 2. 利润问题 总利润 = 单件利润 × 销售量 单价变化 → 销量反向变化 3. 图形面积问题 矩形面积 = 长 × 宽 边框 / 道路问题：用大面积−小面积或直接表示内部面积列方程 4. 传播 / 分支问题 第一轮：1 第二轮：1+x 总量：1+x+x2=总数 5. 握手 / 循环赛问题 模型：单循环（每两人之间只一次） 人数 / 队数：x 每人与其他人握手 / 比赛：x−1 次 总次数 / 场数：不重复计数=总次数/总场数 直接记结论： 握手总次数：​ 单循环赛场次：​ 6. 数字问题 两位数 = 10×十位 + 个位 利用 “两数积 / 和” 列方程 【模块一 一元二次方程的相关概念】 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握这两个知识点是关键；根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， ∴且． 【跟踪专练1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A. ，时不是一元二次方程，故此选项错误；     B. ，含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误； C. ，化简后方程为，是一元二次方程，此选项正确； D. ，化简后方程为，是一元一次方程，故此选项错误． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查非负数的性质、一元二次方程的根的判别式的应用．关键是先利用非负数的性质求出、的值，再根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式，进而联立求解的取值范围． 【详解】：解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴关于的一元二次方程为， ∵该方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 【跟踪专练3】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的新定义，理解题意是解题的关键．根据“和谐”方程和“美好”方程的定义，分别列出关于m和n的方程，联立求解得出m和n的值，进而计算． 【详解】由方程是“和谐”方程，，得， 由方程是“美好”方程，，得 得：，解得， 将代入①得：，解得， ， 故选：D． 【题型2.一元二次方程的一般形式】 【典例】把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项，再求它们的和． 【详解】解：方程 移项得 ， 则 ，，， ∴ ， 故答案为：0． 【跟踪专练1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 【跟踪专练2】方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般式． 一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为3，，， 故选：B． 【跟踪专练3】若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据题意得出，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， ∴m且． 故选：D． 【题型3.一元二次方程的解】 【典例】已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值．根据题意有，即有，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练3】若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【题型4.一元二次方程的根的估算】 【典例】已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ________________ ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：依题意， 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：B． 【跟踪专练2】设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 【跟踪专练3】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【模块二 解一元二次方程】 【题型5.基础解法:直接开平法+配方法】 【典例】一元二次方程的解是____________． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程．用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 故答案为：，． 【跟踪专练1】将一元二次方程化成的形式，则等于（    ） A．40 B．13 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解决一元二次方程化为完全平方形式的关键方法；通过配方法将方程化为完全平方形式，比较得出k的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于的一元二次方程的两个实数根的差为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根与系数的关系、完全平方公式的应用、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，再由题意得，根据根与系数的关系可得，，结合完全平方公式推得，解方程后即可得解． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、， 依题得：，即， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，注意配方时添加常数项． 通过配方法将方程化为标准形式，先使二次项系数为1，再配方． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边除以2：， ∴ 移项：， ∴ 配方：，即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 故选：B． 【题型6.常用解法:公式法+因式分解法】 【典例】已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数与x轴交点是对应方程的解，即解方程，通过因式分解求解即可得到答案. 【详解】解：∵与x轴交点即， ∴ 解方程， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∴ 交点的横坐标为，. 故选：B. 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 【跟踪专练3】定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 【题型7.技巧解法:换元法】 【典例】已知，则的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，设，将原方程化为关于 的方程求解，再根据平方的非负性确定取值； 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 解得 或 ， ∵， ∴ ， 故答案为：3． 【跟踪专练1】已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 【跟踪专练2】用换元法解方程时，设，可以把原方程化为关于y的整式方程是__________． 【答案】 【分析】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是正确解答的关键． 原方程变为，将代入得，再去分母化为整式方程，即可解答． 【详解】解：， 即， ∵， ∴原方程化为， 即． ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 【题型8.配方法的应用】 【典例】若定义：，则代数式的最小值为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】2024 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中“同族二次方程”的定义是解题关键．利用“同族二次方程”定义可得，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程求解，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，， 解得：，， 将，代入，得， ，且 代数式的最小值是2024， 故答案为：2024． 【跟踪专练3】式子中、满足条件，取时，式子取得最小值．且，则满足条件的所有整数的积为（   ） A．0 B．36 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法的应用及不等式的性质，正确的配方是本题解题的关键，将已知的式子展开后配方，从而求得的表达式，然后用a表示出b，代入的表达式，再根据的取值求解的取值范围，从而得到a的整数解，即可解答． 【详解】解： ； ∵取时，式子取得最小值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为， ∴满足条件的所有整数的积为． 故选：D． 【模块三 一元二次方程根的判别式】 【题型9.判别跟的个数问题】 【典例】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴，只有A选项的满足． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 【跟踪专练2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，需同时满足二次项系数不为0和判别式非负来确定k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴判别式， 其中，，， ∴， 解不等式， 得， 综上，k的取值范围是且， 故选：B 【跟踪专练3】若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于的一元二次方程有实数根，得出其根的判别式大于等于0，列不等式求解即可，特别注意二次项系数不为零． 根据一元二次方程的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，特别注意二次项系数不为零，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 即，解得且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【题型10.已知根的情况求参数】 【典例】关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由方程有两个不相等的实数根，可知判别式大于，据此建立不等式求出的取值范围，进而确定可取的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴可取的值为． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 【跟踪专练3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根的条件为． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ，解得且， ∴实数a的最小整数值为2． 【点睛】注意考虑二次项系数． 【模块四 根与系数的关系】 【题型11.构造一元二次方程】 【典例】若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根为， 则对于一元二次方程， ， 即， ∴关于的一元二次方程为． 故选：C． 【跟踪专练1】任意写出一个两根之积为负数的一元二次方程：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题关键． 根据根与系数的关系，一元二次方程 的两根之积为，要使两根之积为负数，需，即和异号． 【详解】解：设一元二次方程为， 其中，，则两根之积为，满足条件． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为_____． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质，设出对角线长，利用菱形面积公式和勾股定理得到关于对角线长的两个等式，再结合根与系数的关系确定一元二次方程． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，． ∵菱形面积等于对角线乘积的一半，且面积为 ∴，即 又∵菱形对角线互相垂直平分，边长为，根据勾股定理，，化简得 由完全平方公式，把，代入，可得， ∴（因为对角线长为正，舍去负根） ∵，是一元二次方程的两根，根据韦达定理，两根之和，两根之积 ∴，即； ∴这个一元二次方程为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、完全平方公式以及根与系数的关系，熟练掌握菱形性质和根与系数的关系是解题的关键． 【跟踪专练3】嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据嘉嘉及琪琪的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和， ∴两根之和， ∴当时，； ∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和6， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：B． 【题型12.利用根与系数的关系求参数取值范围】 【典例】已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 【跟踪专练1】已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】先根据方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解，最后取交集得到的最终取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根． ∴． 解得 ． 由根与系数的关系可得：，． 将其代入得： ． 解得 ． ∴的取值范围为． 【跟踪专练3】已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围，再利用根与系数的关系表示出与，已知等式变形后代入计算即可求出的值． 此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解本题的关键． 【详解】解：、是关于的方程的两个不相等的实数根， ，，， 解得：， 代入得：， 即， 分解因式得：， 解得：不符合题意或， 则的值为． 故选：C． 【模块五 高频核心题型(中考大考必考)】 【题型13.一元二次方程的应用:增长率问题】 【典例】近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，十二月份的件数为，然后列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为． 根据题意可列方程为． 【点睛】增长率问题可用公式列方程求解． 【跟踪专练1】2025年暑期档电影《浪浪山小妖怪》深受观众喜爱，上映后第一周票房收入约4.5亿，且第二周、第三周票房均呈上升趋势，前三周票房总收入约15亿．若设第二、三周的周增长率均为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设第二、三周的周增长率均为，依题意列出方程即可，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设第二、三周的周增长率均为，依题意可得： ， 故选：B． 【跟踪专练2】某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【答案】(1) (2)500件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用该商品三月份的销售量=该商品一月份的销售量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据（1）中的增长率，列算式求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：（件）， 答：四月份的销售量是500件． 【跟踪专练3】亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低30元 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意得，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 依题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低30元． 【题型14.一元二次方程的应用:营销问题】 【典例】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可知，销售量为个，每个商品的利润为元，再根据总利润等于每个商品的利润乘以销售量可列出方程． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【跟踪专练1】某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 【详解】解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为， 故选：C． 【跟踪专练2】我市沁州黄小米享有“天下米王”的美誉，富含蛋白质、矿物质与膳食纤维等营养物质，口感软糯香甜，养胃健脾，深受消费者青睐．某电商平台销售精品包装的沁州黄小米，已知每盒小米的进价为30元．当售价定为每盒45元时，每月可售出1200盒．为提升销量，平台开展促销活动，调研发现：售价每降低2元，每月的销售量就增加100盒．电商平台把销售单价降低多少元时，每月所获利润为15400元． 【答案】降低4元 【详解】解：设电商平台把销售单价降低x元， 根据题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）， 答：电商平台把销售单价降低4元，每月所获利润为15400元． 【跟踪专练3】某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 【答案】(1)①；②， (2)应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元二次方程根的判断式、列代数式， （1）①根据总利润等于一件的利润乘以总销售量列代数式即可；②若，利用线下销售总利润等于一件的利润减去赠送礼品的成本，再乘以销售总量列式即可；若，总利润为前400件的利润与超出400件部分的利润之和，再减去广告成本，即可； （2）设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件，分两种情况：当时或当，根据总销售利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：①线上销售的a件产品的利润为：元， 故答案为：； ②由题意得，若，则线下销售的b件产品的利润为：元， 若，则线下销售的b件产品的利润为：元； 故答案为：；； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时，， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根， 当，即时，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件，使得销售总利润为46200元． 【题型15.一元二次方程的应用:与图形有关问题】 【典例】有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 【跟踪专练1】在一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的，则金色纸边的宽度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题关键．设金色纸边宽度为，则挂画的长和宽分别为和，根据年画面积占挂画面积列方程求解，即可得答案． 【详解】解：设金色纸边宽度为， ∵一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画， ∴年画面积为，挂画面积为， ∵年画面积占挂画面积， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴金色纸边宽度为． 故选：B． 【跟踪专练2】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)能围成一个面积为384的矩形花园，的长为8或12 【分析】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先用x分别表示出、、、，再根据矩形面积公式求得函数表达式； （2）转化为二次方程求根，并注意验证解的合理性（边长必须为正）． 【详解】（1）解：设边为x，， ∵四边形是矩形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）能围成一个面积为384的矩形花园． 令，则， 即， ∴，， ∴的长为8或12． 【跟踪专练3】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由见解析 【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为，根据“长方形盒子的底面积为”列方程求解； （2）设剪掉的正方形的边长为，根据“侧面积为”列方程求解 （3）列出侧面积S关于正方形的边长y的二次函数，根据二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或（不符合题意，舍去） ∴剪掉的正方形的边长为； （2）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或 ∴剪掉的正方形的边长为或； （3）解：侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由如下： 由（2）可得， 长方形盒子的侧面积， ∴当时，为最大值， ∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为． 【模块六 基础常考题型】 【题型16.一元二次方程的应用:传播问题】 【典例】某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给x个好友，收到链接的每个好友又转发给x个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用－传播问题．个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染后总患者为人；第二轮传染时，这些患者每人传染x人，故新增患者为人，两轮后总患者为人，故可得方程． 【详解】∵ 初始患者为1人， 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为． 故选：B． 【跟踪专练2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有个人会患流感 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 【跟踪专练3】有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)若不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)第三轮又将有人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮后患病人数表示为，第二轮后患病人数表示为，即可列出方程求解； （2）两轮传染后共有300人患流感，每人可传染9人列式计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 由题意得， 解得或（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：由题意得（人）， 答：第三轮又将有人被传染． 【题型17.一元二次方程的应用:数字问题】 【典例】小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，年龄可表示为，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，年龄为，由条件，个位数字的平方等于年龄，即； 故答案为． 【跟踪专练1】一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为或． 故选：C． 【跟踪专练2】读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑） 【答案】周瑜去世时是36岁． 【分析】设周瑜去世时年龄的个位数是，则十位数是，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数是，则十位数是． 根据题意可知， 解得或，∴或． ∵三十而立，四十而不惑， ∴不合题意，舍去， 综上，周瑜去世时是36岁． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【跟踪专练3】按要求完成下列各小题． (1)一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)现有一面积为的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为 xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 【答案】(1) (2)，常数项是10 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及多项式的常数项． （1）根据两位数的表示方法，结合已知条件列出方程，再化为一般形式． （2）先根据长方形和正方形的边长关系表示出长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出关系式，最后确定常数项． 【详解】（1）解：设个位数为，则十位数为， 又个位数字的平方恰好是这个两位数， 所以， 即 （2）解：由题意得 常数项是10． 【题型18.一元二次方程的应用:握手循环赛问题】 【典例】在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 【跟踪专练1】班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 【跟踪专练2】2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 【跟踪专练3】某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 【答案】(1)有8支队参加比赛 (2)每个正方形的边长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，算术平方根的意义； （1）设有支队参加比赛，根据采用单循环赛制，共安排了28场比赛列方程求解即可； （2）先求出每个正方形的面积，再根据算术平方根的意义求出每个正方形的边长． 【详解】（1）解：设有支队参加比赛， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：有8支队参加比赛； （2）每个正方形的面积是平方米， 则每个正方形的边长为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $