2026年中考数学一轮复习学案 2.整式与因式分解

中考数学一轮复习学案 2.整式与因式分解 ■考点一　代数式的相关概念► 1.代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 代数式 。 2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。 ■考点二　整式的相关概念► 1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做 单项式 ，所有字母指数的和叫做单项式的 次数 ，数字因数叫做单项式的 系数 。 2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做 多项式 ，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的 次数 ，其中不含字母的项叫做 常数项 。 3．整式：单项式和多项式统称为 整式 。 ■考点三　整式的运算► 1．同类项：多项式中所含 字母 相同并且相同字母的 指数 也相同的项，叫做 同类项 。 2．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 3．幂的运算：am·an= am+n ；（am）n= amn ；（ab）n= anbn ；am÷an= 。 4．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）= ma+mb+mc 。 （3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）= ma+mb+na+nb 。 5．乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。 6．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 7.整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面。 8.探究与表达规律常见类型： 1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。 5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 ■考点四　因式分解► 1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫因式分解 ，因式分解与整式乘法是互逆 运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。 （2）运用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。 （3）十字相乘：；（4）分组分解。 3．分解因式的一般步骤： （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 以上步骤可以概括为“一 提 二 套 三 检查 ”。 ■易错提示► 1.规范书写格式：列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． 2.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9。 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式。 4.因式分解分解对象是多项式，分解结果必是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可。 一、单选题 1．某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共40台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为2.5万元/台和1.5万元/台，若购买甲品牌电子白板费用为万元，则购买乙品牌电子白板费用为（　　） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2．若．则的值是（　　） A． B． C．5 D． 3．下列说法中正确的是（　　） A．的系数是-2 B．的次数是6次 C．的常数项是1 D．是多项式 4．若单项式与是同类项，则的值为（　　） A． B．8 C．6 D．9 5．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 7．如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是(　　) A．48 B．50 C．52 D．54 8．如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　） A． B． C． D． 9．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7 10．如图，将个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积之和是（　　） A． B． C． D． 11．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中因式分解正确的（　　） A．①③ B．③④ C．④⑤ D．②④ 二、填空题 12．中性笔每支元，铅笔每支元，买5支中性笔和3支铅笔共需　 　元.（用含x、y的代数式表示） 13． 单项式的系数是，次数是，则　 　． 14．化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为　 　． 15．计算： 　 　 ； 　 　 16．已知a+b=6，a-b=2，则a2-b2=　 　 17．因式分解： =　 　. 18．按一定规律排列的多项式：2a+b，4a+b3，6a+b5，8a+b7，10a+b9，…，其中第 n个多项式是　 　. 19．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为　 　． 20．若多项式因式分解后结果是，则的值是　 　． 21．我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）的展开式中的一次项系数是　 　； （2）的展开的多项式中各项系数之和为　 　． 22．已知代数式可以写成的形式，则　 　． 23．若，则　 　． 三、计算题 24．先化简，再求值： 其中a=-2，b=3. 25．原创 先化简，再求值：3）+3（a-4），其中 四、阅读理解 26． （1）如图1，将边长为的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是　 　；（填序号） ①；② ③；④ （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②如图2，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积． 27．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9进行因式分解的过程. 解：设x2-4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2-4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵甲品牌电子白板的单价分别为2.5万元/台，且购买甲品牌电子白板费用为万元， ∴购买甲品牌电子白板台， ∴购买乙品牌电子白板的数量为台， ∴购买乙品牌电子白板费用为万元. 故答案为：A. 【分析】先求出乙品牌电子白板的数量，再利用“总费用=乙品牌的单价×数量”列出代数式即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得， ∴， ∴， 故答案为：A 【分析】先根据题意得到，进而代入求值即可求解。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、的系数是，A错误； B、的次数是4次，B错误； C、的常数项是-1，C错误； D、是多项式，D正确. 故答案为：D. 【分析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数. 由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项， ∴且， ∴，， ∴， 故答案为：B． 【分析】利用同类项的定义可得：且，求出m、n的值，再将其代入计算即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用积的乘方、幂的乘方、合并通同类项、单项式乘单项式及完全平方公式的计算方法逐项判断即可。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2，故A不符合题意； B、x2·x3=x5，故B不符合题意； C、x6÷x3=x3，故C符合题意； D、(x2)3=x6，故D不符合题意； 故答案为：C . 【分析】利用同底数幂的除法的，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可. 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∴k＝﹣4，b＝3， 则k+b＝﹣4+3＝﹣1. 故答案为：A. 【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出所求. 10．【答案】B 【解析】【解答】根据局题意可得：一个阴影部分面积等于正方形面积的，即×4=1， 5个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×4， ∴n个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×（n-1）=n-1， 故答案为：B. 【分析】先求出一个阴影部分面积等于正方形面积的，即×4=1，再求出n个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×（n-1）=n-1即可. 11．【答案】B 12．【答案】 【解析】【解答】∵中性笔每支元，铅笔每支元， ∴买5支中性笔和3支铅笔共需的费用为：， 故答案为：. 【分析】利用“总价=单价×数量”分别求出5支中性笔和3支铅笔的费用，再相加即可. 13．【答案】1 【解析】【解答】解：根据题意可知单项式的系数为-2，次数为3， ∴m=-2，n=3， ∴m+n=1， 故答案为：1. 【分析】 首先明确系数是单项式中的数字部分，次数是所有字母的指数之和，然后得到m，n的值，然后计算m+n即可. 14．【答案】1 【解析】【解答】解：根据题意，得， 解得， ∴是三次二项式， 所以． 故答案为：1． 【分析】根据同类项的定义和三次单项式的定义，可得m=n+1，m+n=3，解方程组求出m，n的值，解题． 15．【答案】； 【解析】【解答】解：；， 故答案为：；. 【分析】利用单项式除以单项式的计算方法及多项式除以单项式的计算方法分析求解即可. 16．【答案】12 【解析】【解答】 【分析】分解因式代入已知值求值即可. 17．【答案】 【解析】【解答】解：4x2-16=4（x-2）（x+2）. 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解。 18．【答案】2na+b2n-1 【解析】【解答】解： 2a+b=1×2a+b2×1-1，4a+b3=2×2a+b2×2-1，6a+b5=3×2a+b2×3-1，8a+b7=4×2a+b2×4-1，10a+b9=5×2a+b2×5-1，…， ∴ 第 n个多项式是2na+b2n-1， 故答案为：2na+b2n-1. 【分析】根据多项式的各部分的变化情况得到规律2na+b2n-1解答即可. 19．【答案】6 【解析】【解答】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是方程，即的两个根， ∴，， ∴ . 故答案为：6． 【分析】根据方程根的定义可得m与n是方程x2-2x=1即x2-2x-1=0的两个根，然后由一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)根与系数的关系，可求出m+n与mn的值，进而根据完全平方公式的恒等变形，由m2+n2=(m+n)2-2mn可求出答案. 20．【答案】 【解析】【解答】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 【分析】根据多项式乘多项式将括号展开，再根据对应项相等建立方程，解方程即可求出答案. 21．【答案】80； 【解析】【解答】解：（1）根据题中规律可得， 令， 则， ∴的展开式中的一次项系数是， 故答案为：80． （2）∵，系数之和是； ，系数之和是； ，系数之和是； ……， ，展开各项系数之和是． ∴展开各项的系数之和为． 故答案为：． 【分析】（1）根据前4个的展开式，总结规律，即可求出答案. （2）根据（1）中规律即可求出答案. 22．【答案】或 【解析】【解答】解：∵代数式可以写成的形式， ∴， 解得，或， 故答案为：10或． 【分析】根据完全平方式即可求出答案. 23．【答案】 24．【答案】解：原式= 当a=-2，b=3时，原式=-432. 【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值. 25．【答案】解：原式= = ， ， ∴原式=4. 【解析】【分析】利用完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项，最后整体代入即可得出答案. 26．【答案】（1）① （2）解：①∵， ∴， ∴ 又∵， ∴． ②设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由于，两正方形的面积和， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴阴影部分的面积为， 即的面积为． 27．【答案】（1）C （2）（x-2）4 （3）解：设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $