精品解析：甘肃兰州市2026届高三第一次模拟数学试卷

2026年兰州市高三模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 为等差数列的前项和.若，则公差（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 8. 已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 艺术社的学生人数有120人 B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C. 从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D. 调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 10. 在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 当时， C. 当时， D. 的取值可能是2 11. 已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D. 若，则在区间上的零点之和为0 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________. 13. 正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，数列的前项和为，求证：. 16. 已知三棱锥中，，平面平面，为垂足. （1）求的长； （2）求平面与平面所成的锐角的余弦值. 17. 已知. （1）若曲线在处的切线的一个方向向量为，求实数的值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. （1）求椭圆的标准方程； （2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 19. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）. （1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率； （2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：） （3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年兰州市高三模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 2. 已知函数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知，， 所以. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性、单调性的定义和初等函数单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对A，设，其定义域为R，因为，， 所以，则不是奇函数，故A错误； 对B，设的定义域为，关于原点对称，，满足奇函数的定义， 所以是奇函数，任取，，且， 则 ， 由于，有，且，所以，即. 所以，所以， 所以在区间上单调递减，故B错误； 对C，设，其定义域为，关于原点对称， 因为，所以是偶函数，故C错误； 对D，设，其定义域为，关于原点对称， 且，则其为奇函数， 又因为均在上单调递增，则函数在上单调递增，故D正确. 4. 为等差数列的前项和.若，则公差（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，由， 则，解得：. 5. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 6. 已知直线，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系结合面面平行判定定理和线面平行性质定理逐项判断. 【详解】选项A：若，，则或，故A错误； 选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线，，则， 由于直线不一定相交，故命题不一定成立，故B错误； 选项C：若，，则，或，故C错误； 选项D：若，则垂直于平面内所有直线； 又，由线面平行性质定理可知：存在直线，使得， 又，所以，D正确. 7. 为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】从4名同学中选1名抽到自己心仪国家立场，则有种， 设剩下3名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为， 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到； 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到，共2种情况， 仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有种. 8. 已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 艺术社的学生人数有120人 B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C. 从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D. 调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为文学社有60人占比为，所以五类社团总人数为人， 辩论社有90人，占比应为，所以体育社和艺术社共占比为， 又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为， 可知艺术社的学生人数有人，即A正确； 对于B，文学社和辩论社共人，分层抽样比为， 因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有人，即B正确； 对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为，又因为是科创社成员的概率为， 因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误； 对于D，依题意可知社团活动总体满意率为，即D正确. 10. 在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 当时， C. 当时， D. 的取值可能是2 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据题意条件，结合边角互换求出角B的大小，再代入到向量内积等式中求出的值，最后逐个分析选项。对于A，利用正弦定理面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理求出a、c的大小，判断可构成三角形，再利用正弦定理求出R的大小即可；对于C，用余弦定理，并结合等边对等角判断即可；对于D，根据余弦定理求出的范围并据此判断即可． 【详解】由题意可得，又， 所以， 代入前式可得， 展开化简得，在中，，且，解得， 又，所以， 解得， 对于A，的面积为，故A错误； 对于B，当时，由余弦定理可得， 化简可得，所以， 即，同理可得，所以或， 易知可构成三角形，又由正弦定理可知，解得，故B正确； 对于C，当时，进一步可得， 由余弦定理可知，则，此时， 由等边对等角可知，故C正确； 对于D，由余弦定理，则可得， 所以，当且仅当即时取等号， 又时，，故D正确． 11. 已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D. 若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，可得，而， 所以双曲线的渐近线方程为. 13. 正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析平面的位置，确定外接球球心到平面的距离，再计算出截面圆的半径求解. 【详解】正四面体的外接球半径为：， 对棱和互相垂直且距离为：， 平面过且平行于，故平面与的距离等于与的距离为， 球心在正四面体的中心，所以球心到平面的距离， 则截面圆的半径， 所以截面的面积为：. 14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出向量的坐标，并由已知判断出分别与的夹角范围，从而求解. 【详解】因为，所以，故. 由，得， 所以有，即，. 由题不妨可设，，， 由，知, 由可得， 同理可得，可得，所以， 所以， 而，所以，即. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由二项式定理写出数列的通项公式； （2）应用裂项相消法求，结合单调性证明结论. 【小问1详解】 由题意，时为的展开式第3项的二项式系数， 所以，且，故； 【小问2详解】 由（1）， 当时，， 因为满足上式，所以对恒成立， 易知在上单调递增， ，，所以. 16. 已知三棱锥中，，平面平面，为垂足. （1）求的长； （2）求平面与平面所成的锐角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等可证明，再利用面面垂直性质定理可证明平面，再利用勾股定理可求得； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用面面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 因为在和中，， 所以，可得， 平面平面，平面平面，， 所以平面，平面， 可得，所以为直角三角形， 又，，因此, 可得. 【小问2详解】 由（1）中结论可知，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可知， 即； 设平面的一个法向量为， 可得，令，可知， 即； 设平面与平面所成的锐角为， 所以， 因此平面与平面所成的锐角的余弦值为. 17. 已知. （1）若曲线在处的切线的一个方向向量为，求实数的值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导确定切线斜率，由方向向量确定切线斜率，列出等式求解即可； （2）将问题转换成对任意恒成立，构造函数，通过二次求导，分析函数单调性，即可求解. 【小问1详解】 由，求导得：  ， 则曲线在处的切线斜率， 又曲线在处的切线的一个方向向量为，故切线斜率， 所以，解得； 【小问2详解】 由对任意恒成立， 可得对任意恒成立， 令，则， 令，则， 由于在恒成立， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 则，即， 当时，即，， 在上单调递增，则满足条件， 当时，，则必存在，使得时，， 此时在上单调递减，则有，不满足条件， 综上可知：当时，对任意恒成立， 即实数的取值范围是. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. （1）求椭圆的标准方程； （2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标和离心率，可得、，进而求出值，即可得到椭圆方程. （2）（i）设出直线，方程，结合点在椭圆得，然后让直线与椭圆方程联立求出，同理，进而求得为定值； （ii）先求得，则，结合，利用基本不等式法求出最大值. 【小问1详解】 因为在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设直线，的斜率分别为，故直线的方程为， 直线的方程为， 设，则，所以， 由得， 设点的坐标分别为，则，． 所以， 同理，所以 ，为定值； （ii）因为四边形的面积为， 所以，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为. 19. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）. （1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率； （2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：） （3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证：. 【答案】（1） （2）7 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率公式计算即可； （2）由题意可知，，利用等比数列的求和公式计算，进而可得出结果； （3），将转化为按单点概率分组的线性形式并化简，最后减去得到目标结论. 【小问1详解】 设事件为：“向区域中发射3个粒子，恰有2个落在中”. 则事件的概率为 【小问2详解】 由题意可知，. 则， ， 若，则，所以，解得：， 所以的最小值为7. 【小问3详解】 由题意可知，可得 ， 因为，且. 所以 .， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $