精品解析：陕西省镇安中学2026届高三下学期二模数学试题

数学试题 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（ ） A. 45米 B. 46米 C. 69米 D. 70米 7. 已知双曲线，圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则（ ） A 2 B. 1 C. -1 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 数据2，3，4，6，8，10的中位数小于平均数 B. 若事件A、B是互斥事件，则 C. 若随机变量，则 D. 若数据的方差为2，则数据的方差为8 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象关于点中心对称 B. 若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C. 若，则单调递增 D. 若在上恰有三个零点，则 11. 已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 为一条对称轴 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点为抛物线的焦点，则关于准线对称点的坐标为______． 13. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 14. 祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若平面和夹角的余弦值为，求的长． 17. 汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产．一根藤，牵起千年的记忆，也编织出乡村振兴的新图景．汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道，藤编产品销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年藤编产品的销量数据如下表： 年份年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万件 6 7 10 12 15 （1）统计表明销量与年份代码有较强线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊2026年藤编产品的销量； （2）已知该工坊2025年售出的藤编产品中，有9万件通过线上售出，用频率估计概率，现从2025年售出的藤编产品中随机抽取4件，求其中线上售出数量的分布列及数学期望． 附：为回归直线方程，其中． 18. 在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站，用于追踪探测器，探测器沿椭圆轨道运行，到两站距离和为4．设过点的波束中心直线（斜率不为0）与椭圆轨道交于两点，以为直径形成通信圆．研究发现，若通信圆恒过近地点时，视为通信状态最佳． （1）求椭圆轨道的方程； （2）请判断通信圆是否能达到通信状态最佳？并说明理由． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，所以，B项正确． 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的乘除运算进行计算，进而确定其虚部. 【详解】，故的虚部为. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出，根据充分条件和必要条件的概念即可求出答案. 【详解】由，即，则， 所以或， 解得， 则“”是“”的充分不必要条件． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，可得．又， 所以，所以． 所以． 6. 某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（ ） A. 45米 B. 46米 C. 69米 D. 70米 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. 7. 已知双曲线，圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题，圆，竖直上移个单位或水平右移个单位后， 分别得到圆，， 若圆，圆均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线， 有，即，解得， 所以双曲线的离心率. 8. 已知正实数满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】， 由基本不等式得，，即， 又因为恒成立，所以， 故即， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 数据2，3，4，6，8，10的中位数小于平均数 B. 若事件A、B互斥事件，则 C. 若随机变量，则 D. 若数据的方差为2，则数据的方差为8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据中位数和平均数公式计算，即可判断A；根据互斥事件和对立事件的概率公式判断B；利用正态分布的性质求概率，判断C；利用方差的性质判断D. 【详解】对于选项A，易知该组数据的中位数为， 平均数为，故选项A正确； 对于选项B，互斥事件不一定是对立事件，故选项B错误； 对于选项， ，故选项C错误； 对于选项D，易知的方差为，故选项D正确． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象关于点中心对称 B. 若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C. 若，则在单调递增 D. 若在上恰有三个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据整体法，结合正弦函数性质即可判断ACD，根据函数图像平移的性质即可判断B. 【详解】对于A,，令， 当，对称中心为,A选项正确． 对于B，将的图象向左移动个单位得到， 若的图像关于轴对称，则． 又因为，则的最小值为B选项正确． 对于C．， 令，， 即的单调递增区间为， 当时，，又因为C选项错误． 对于D．，因为在上恰有三个零点， 所以D选项正确． 11. 已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据关于点对称，可得，将代入即可判断A；根据，利用累加法可判断B；通过证明即可判断C；根据得，可得函数周期为，即可判断D. 【详解】因为关于点对称， 则， 取，则，故A错误； 因为，， 所以，，，， 累加可得， 所以，故B正确； 由得， 两端求导得，即， 所以图象关于直线对称，即为一条对称轴，故C正确； 由得， 所以函数的周期为， 故，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点为抛物线的焦点，则关于准线对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程， 所以点关于准线的对称点的坐标为． 13. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择景点不同”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 14. 祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】在深度处作水平截面，根据条件可得截面面积为，再由祖暅原理，即可求解. 【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为处作水平截面，半球壳的截面为圆环， 则圆环外半径为，内半径为， 则浸入水中部分的截面面积为，与无关， 发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为，底面半径为的圆柱的截面面积相同， 又浸入水中部分的深度为，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解； （2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 即解得 所以 【小问2详解】 因为数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 . 16. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若平面和夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）记为中点，连接，易知是平行四边形，则，利用线面平行的判定即可证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 记为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以平面平面，则平面； 【小问2详解】 由平面平面，所以， 又，所以建立如图所示空间直角坐标系， 设，又， 则 显然平面的一个法向量为，且 设平面的法向量为，则， 令，则， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 所以，所以 17. 汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产．一根藤，牵起千年的记忆，也编织出乡村振兴的新图景．汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道，藤编产品销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年藤编产品的销量数据如下表： 年份年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万件 6 7 10 12 15 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊2026年藤编产品的销量； （2）已知该工坊2025年售出的藤编产品中，有9万件通过线上售出，用频率估计概率，现从2025年售出的藤编产品中随机抽取4件，求其中线上售出数量的分布列及数学期望． 附：为回归直线方程，其中． 【答案】（1）；16.9万件 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）首先计算，再根据参考公式求和，最后求得回归直线方程后，代入，预测2026年藤编产品的销量； （2）首先根据数据可得每件藤编产品卖出的概率，确定，根据二项分布求概率和分布列，最后代入期望公式. 【小问1详解】 ， ， 所以， ， 所以关于的线性回归方程为； 当2026年时，即时，， 所以预测该工坊2026年的藤编产品的销量约为16.9万件． 【小问2详解】 该工坊2025年售出的藤编产品中，有9万件通过线上售出，用频率估计概率， 所以2025年售出藤编产品中，通过线上售出的概率为， 由题意可知：， 所以， ，， ， 所以其中线上售出数量的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 18. 在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站，用于追踪探测器，探测器沿椭圆轨道运行，到两站距离和为4．设过点的波束中心直线（斜率不为0）与椭圆轨道交于两点，以为直径形成通信圆．研究发现，若通信圆恒过近地点时，视为通信状态最佳． （1）求椭圆轨道的方程； （2）请判断通信圆是否能达到通信状态最佳？并说明理由． 【答案】（1）； （2）可以达到通信状态最佳，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由条件根据焦点坐标性质和椭圆的定义确定，利用求，由此可得结论； （2）设直线的方程为，，联立方程组利用根与系数关系求，证明，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意，设椭圆的焦点为，，且探测器到两站距离和为4， 则， 故椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 欲判断通信圆是否达到通信状态最佳，验证通信圆恒过点即可． 设直线的方程为， 联立，可得， 方程的判别式， 设，则， 由，得， 将代入可得 化简可得， 则，即以为直径的圆经过点， 故通信圆可以达到通信状态最佳 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【小问1详解】 当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $