第12讲 复数及其四则运算（知识清单+8题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学（沪教版必修第二册）重难点讲义与测试

第12讲 复数及其四则运算 知识清单 知识点01：数系的扩充和复数的概念 知识点02： 知识点03： 知识点04： 题型讲解 （举一反三） 题型1：虚数单位i及其性质 题型2：求复数的实部与虚部 题型3：复数加减法的代数运算 题型4：复数代数形式的乘法运算 题型5：复数的乘方 题型6：复数范围内方程的根 题型7：复数的除法运算 题型8：共轭复数的概念及计算 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①加法运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ②减法运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 题型1：虚数单位i及其性质 【例1-1】（24-25高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【变式1-1】若且，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-2】计算______．（为虚数单位) 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（n为整数）有怎样的规律？ 题型2：求复数的实部与虚部 【例2-1】（24-25高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【变式2-1】（24-25高一下·上海·月考）已知复数满足，则的虚部为______． 【变式2-2】（24-25高一下·上海浦东新·月考）复数的虚部是_____. 【变式2-3】已知，复数的虚部减去其实部等于，求复数. 题型3：复数加减法的代数运算 【例3-1】(2+i)-(1+2i)=  （    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一·上海·随堂练习）________． 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1）______________； （2）_____________. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 题型4：复数代数形式的乘法运算 【例4-1】若关于x的方程的一个根为，则的值是（    ） A．-30 B．30 C．-150 D．150 【变式4-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：_____________. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1）______________； （2）______________； （3）______________. 【变式4-3】已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证： (1)； (2)； (3)． 题型5：复数的乘方 【例5-1】（    ） A．1 B． C．i D．0 【变式5-1】（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，则________． 【变式5-2】（24-25高一·上海·随堂练习）先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 题型6：复数范围内方程的根 【例6-1】已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·上海宝山·月考）在复数范围内，的所有平方根为_____． 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【变式6-3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 题型7：复数的除法运算 【例7-1】若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若（为虚数单位），则______． 【变式7-2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____ 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求复数. 题型8：共轭复数的概念及计算 【例8-1】（24-25高一下·上海·期末）复数（为虚数单位）的共轭复数________． 【变式8-1】（24-25高一下·上海松江·月考）已知，则的共轭复数是_____． 【变式8-2】如果复数z满足，求． 【变式8-3】已知复数及，且复数z满足．求z． 一、填空题 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若，则_________． 2．（24-25高一下·上海·期中）已知，则复数为_______． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数，则实数___________. 4．（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 5．（24-25高一上·上海·单元测试）设，则__________. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）_____________. 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，则M与N的大小关系为____________. 8．（24-25高一下·上海·期末）已知a是实数，并且是实数，则______． 9．（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1）______________； （2）______________. 10．（24-25高一下·上海·期末）已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，则____________. 12．（24-25高一上·上海·单元测试）若非零复数x、y满足，则的值是__________. 二、单选题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024高一下·全国·专题练习）已知，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．若，则至少有一个是虚数是是虚数的（   ） A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 16．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 19．已知是一个实常数，而关于的一元二次方程有两个虚根．求的取值范围． 20．已知复数和复数满足，．求． 21．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 复数及其四则运算 知识清单 知识点01：数系的扩充和复数的概念 知识点02： 知识点03： 知识点04： 题型讲解 （举一反三） 题型1：虚数单位i及其性质 题型2：求复数的实部与虚部 题型3：复数加减法的代数运算 题型4：复数代数形式的乘法运算 题型5：复数的乘方 题型6：复数范围内方程的根 题型7：复数的除法运算 题型8：共轭复数的概念及计算 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①加法运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ②减法运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 题型1：虚数单位i及其性质 【例1-1】（24-25高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【答案】A 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 【变式1-1】若且，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先化简，结合可得选项. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以； 故选：B. 【变式1-2】计算______．（为虚数单位) 【答案】 【分析】根据虚数单位的幂运算的周期性进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（n为整数）有怎样的规律？ 【答案】答案见解析 【分析】根据的性质可得答案. 【详解】，，，. 题型2：求复数的实部与虚部 【例2-1】（24-25高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【答案】-1 【分析】根据复数的概念可知. 【详解】由题可知：的虚部是-1. 故答案为：-1 【变式2-1】（24-25高一下·上海·月考）已知复数满足，则的虚部为______． 【答案】 【分析】对于复数的三角形式，其虚部为，我们可以根据这个概念来求出给定复数的虚部. 【详解】对展开得：则就是虚部， 因为，所以. 故答案为：1 【变式2-2】（24-25高一下·上海浦东新·月考）复数的虚部是_____. 【答案】 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】复数的虚部是. 故答案为：. 【变式2-3】已知，复数的虚部减去其实部等于，求复数. 【答案】或 【分析】根据给定条件建立一元二次方程，求解此方程即可作答. 【详解】因，复数的实部为，虚部为， 于是有，即，解得或， 时，时， 所以或. 题型3：复数加减法的代数运算 【例3-1】(2+i)-(1+2i)=  （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用复数减法法则计算即可. 【详解】(2+i)-(1+2i)= (2-1)+(1-2) i = 故选：A 【变式3-1】（24-25高一·上海·随堂练习）________． 【答案】 【分析】直接由复数的加减法即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1）______________； （2）_____________. 【答案】 【分析】（1）利用复数的加法法则运算可求解； （2）利用复数的加法法则运算可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解即可. （2）利用复数的四则运算法则求解即可. （3）利用复数的四则运算法则求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） . 题型4：复数代数形式的乘法运算 【例4-1】若关于x的方程的一个根为，则的值是（    ） A．-30 B．30 C．-150 D．150 【答案】C 【分析】由实系数方程虚根成对原理得到方程的另一个根，然后利用韦达定理求解的值，由此可求出答案． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴由实系数方程虚根成对原理得到该方程的另一个根为， 由韦达定理可得，解得， ∴， 故选：C． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：_____________. 【答案】10 【分析】利用平方差公式结合复数的四则运算法则计算即可. 【详解】原式. 故答案为：10 【变式4-2】（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1）______________； （2）______________； （3）______________. 【答案】 【分析】根据平方差公式，利用复数代数形式的乘法运算及虚数单位的运算性质化简求值即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 故答案为：①，②，③. 【变式4-3】已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)详见解析 【分析】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3） 【详解】（1）， ， 则. （2） ， ， 则. （3） ， ， 则. 题型5：复数的乘方 【例5-1】（    ） A．1 B． C．i D．0 【答案】C 【分析】利用复数乘方运算的周期性计算即可 【详解】因为，， 所以， 故选：C 【变式5-1】（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由虚数的性质，可得， 可得. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一·上海·随堂练习）先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值． 【答案】1， 【分析】由的性质即可求解. 【详解】，，，，，，，． 则可注意到规律：从第一项起，每连续的四项之和为0，而， 前2024项之和为0． 则． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的乘法运算可得答案； （5）根据的性质、复数的乘方运算可得答案；. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） . 题型6：复数范围内方程的根 【例6-1】已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 【变式6-1】（24-25高一下·上海宝山·月考）在复数范围内，的所有平方根为_____． 【答案】 【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 由可得，. 由可得，或. 当时，有，解得，； 当时，有，显然不成立.   综上所述，. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【答案】 【分析】设，，代入，根据复数相等计算得，再利用韦达定理计算即可. 【详解】因为，是实系数一元二次方程的两个虚根， 故设，， 因为，满足：， 所以， 化简得， 所以 所以，， 所以，. 【变式6-3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意可知即可； （2）分两种情况讨论： 以及，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）方程有虚数根， 解得 （2）① 时，; ② 时，8; 综上， 的值为 或 题型7：复数的除法运算 【例7-1】若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而根据复数的除法运算即可求解. 【详解】因为，故即， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若（为虚数单位），则______． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法运算计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____ 【答案】 【分析】由条件可得，结合复数运算可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求复数. 【答案】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解. 【详解】因为， 所以. 题型8：共轭复数的概念及计算 【例8-1】（24-25高一下·上海·期末）复数（为虚数单位）的共轭复数________． 【答案】 【分析】根据共轭复数定义求解即可. 【详解】复数（为虚数单位）的共轭复数． 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一下·上海松江·月考）已知，则的共轭复数是_____． 【答案】 【分析】利用复数除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】由可得：， 所以的共轭复数是， 故答案为： 【变式8-2】如果复数z满足，求． 【答案】 【分析】由题意，利用两个复数代数形式的乘除法法则，共轭复数的定义，先求出，可得的值． 【详解】复数满足， ， ． 【变式8-3】已知复数及，且复数z满足．求z． 【答案】 【分析】由，，计算出，，再代入，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出． 【详解】由，， ，， 得 ． 一、填空题 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若，则_________． 【答案】 【分析】利用共轭复数的定义与复数的乘法法则即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·期中）已知，则复数为_______． 【答案】/ 【分析】利用复数代数形式的乘法运算及共轭复数的意义求解. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数，则实数___________. 【答案】–1 【分析】利用复数相等的条件可得结果. 【详解】由题意可得， 解得，所以实数. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【答案】17 【分析】由方程在复数域中根的问题，再利用韦达定理可解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 则，解得， . 故答案为：17. 5．（24-25高一上·上海·单元测试）设，则__________. 【答案】–3 【分析】对复数化简后可求出其虚部 【详解】因为， 所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）_____________. 【答案】 【分析】利用复数的四则运算法则求解即可. 【详解】原式. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，则M与N的大小关系为____________. 【答案】 【分析】利用的性质求出可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 则. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·期末）已知a是实数，并且是实数，则______． 【答案】 【分析】利用复数除法计算，再利用复数类型列式求解. 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1）______________； （2）______________. 【答案】 【分析】（1）根据复数的运算法则可得结果；（2）根据复数的运算法则可得结果. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， ， 所以 ， 故答案为：；. 10．（24-25高一下·上海·期末）已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【分析】将复数代入到方程中，得到复数等式，结合复数的模求解即可. 【详解】将复数代入到方程中,所以 化简整理得： 所以 解得： 所以 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，则____________. 【答案】 【分析】利用复数相等的性质建立方程求解参数，再求所求复数即可. 【详解】因为，所以， 所以，故，解得， 可得，故. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·单元测试）若非零复数x、y满足，则的值是__________. 【答案】–1 【分析】由已知可得，则，同理，化简变形得，然后利用周期性可求得答案. 【详解】解析：由题设有，解得，且， ∴，即， 同理有，n为正整数， ∵，. 又， ∴， ∵，∴， ∴， ∴. 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 14．（2024高一下·全国·专题练习）已知，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限． 故选：C 15．若，则至少有一个是虚数是是虚数的（   ） A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】充分性举反例，必要性用反证法证明； 【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立. 故选：D 16．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【答案】C 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A： 设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B： 设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ： 设，,则， 若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D： 设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求. 【答案】 【分析】根据的性质、复数乘方运算可得答案. 【详解】， 所以. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用复数的除法运算可得答案； （2）利用复数的除法运算可得答案； （3）利用复数的除法运算、乘方运算可得答案；. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 19．已知是一个实常数，而关于的一元二次方程有两个虚根．求的取值范围． 【答案】 【分析】由，求解不等式即可得答案. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个虚根和， 所以，解得， 所以k的取值范围为. 20．已知复数和复数满足，．求． 【答案】 【分析】设复数，根据，计算，然后代入即可. 【详解】设复数， 则， 因为， 所以， ， 所以， 解得. 所以 . 21．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是实系数一元二次方程的一个根，则是另一个根，利用韦达定理即可求解； （2）根据题意得方程的一个实数根为，代入得，进而求解. 【详解】（1）若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的另一个根， 根据韦达定理得， 解得； （2）由有， 所以，所以， 所以， 当时，原方程有一个实根为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $