第11讲 向量的应用（知识清单+5题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第11讲 向量的应用 知识清单 知识点01：平面几何中的向量方法 知识点02：向量在物理中的应用举例 题型讲解 （举三反三） 题型1：用向量解决夹角问题 题型2：用向量解决线段的长度问题 题型3：向量与几何最值 题型4：向量在几何中的其他应用 题型5：力的合成 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点02 向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 题型1：用向量解决夹角问题 【例1-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的图象（随着的增大）（    ） A．先上升后下降 B．先下降后上升 C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降 【答案】A 【分析】化简函数得出几何意义，通过求解两个向量的夹角变化即可得出结论. 【详解】由题意， 在中， 函数可改写为：， 其中为向量与的夹角。 下面对变化进行分析： 1.向量方向变化： 向量的分量随增大线性增长，在区间内从1下降到-1，整体方向趋近于轴正方向。 向量的方向角为 2.夹角的变化： 当从增加时，向量的方向角逐渐减小。 初始时，夹角逐渐减小，增大。 当时，达到最大值1； 此后，夹角增大，减小。 ∴函数的图象先上升后下降， 故选：A. 【变式1-1】若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据向量的夹角列式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，向量与的夹角为钝角， 所以，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1-2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 【答案】 【分析】设出等腰直角三角形的直角边长，以直角顶点为坐标原点，两直角边所在的直线分别为轴建立直角坐标系，得出两直角边中线坐标，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】 如图所示等腰直角三角形，设， 分别为边中点，以直角顶点为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立直角坐标系， 则， ， 设夹角为， 则， 所以中线所成的钝角余弦值为. 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，通过建立直角坐标系，将几何问题代数化，利用向量夹角公式解决了几何中求角的问题. 【变式1-3】已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量． （1）求的值； （2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）1；（2），或且. 【解析】（1）由数量积的定义计算； （2）由数量积的运算法则计算出，解不等式，并去除掉向量共线的取值即可得． 【详解】（1）； （2） ， 因为与的夹角为锐角， 所以，即， 解得或. 又由和共线，解得， 所以实数的取值范围是或且.、 【点睛】本题考查向量的数量积．向量夹角为锐角是的充分不必要条件，夹角为0（即同向时）也有，同样向量夹角为钝角是的充分不必要条件． 题型2：用向量解决线段的长度问题 【例2-1】若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 【答案】C 【解析】由题意可知，且，而对角线，由此可知四边形为等腰梯形． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题 【变式2-1】已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为__________. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算律可求出结果. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，， 所以， 所以 . 故答案为： 【变式2-2】（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 【变式2-3】已知坐标平面上三个点、与，求的面积． 【答案】 【分析】先求出，，再求出其夹角的正弦值，然后由三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为、与， 所以，， 所以，， ，所以， 所以. 题型3：向量与几何最值 【例3-1】平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解. 【详解】解：由题意得： 如图所示： 设，则点在线段OB上运动 故 设 ，即 作关于的对称点，设 ，即 在中，，， 由余弦定理可得：，解得： 故选：C 【变式3-1】（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可. 【详解】由题可知：A、、是单位圆上的三个点，且，不妨设， 所以，则， 当，即时，有最大值为1，所以. 故答案为： 【变式3-2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 题型4：向量在几何中的其他应用 【例4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据向量相等得到四边形为平行四边形，再由得到，即可得解. 【详解】四边形中，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以，即，所以平行四边形为矩形. 故选：C 【变式4-1】已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________. 【答案】 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以向量、、分别看作以为起点，以为终点， 且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，    又因为， 所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点， 因为，当时，的值为， 故答案为：. 【变式4-2】在四边形中，若，且，则四边形的形状是______________. 【答案】矩形 【分析】由，得到，又由，得到四边形为平行四边形，即可得到答案. 【详解】由，可得，即， 又由，可得且， 所以四边形为矩形. 故答案为：矩形 【变式4-3】已知平面上不共线的三点、与，求证：的面积． 【答案】证明见解析 【分析】由题得出，，根据向量夹角公式得出，进而得出，从而得出，代入向量坐标化简即可． 【详解】证明：，， 则，， 所以的面积 ． 题型5：力的合成 【例5-1】体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，）（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设两只胳膊的拉力分别为，结合，即可求解. 【详解】设两只胳膊的拉力分别为，且， 则， 所以学生体重. 故选：A. 【变式5-1】高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为___________. 【答案】 【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案. 【详解】设N，N， 则， 可得. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【答案】合力的大小为，与所成角的大小为. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】如图，以质点为坐标原点，向量所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，，， 于是合力，，，， 所以合力的大小为，与所成角的大小为. 【变式5-3】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【答案】(1)约1.41N (2)不能 【分析】（1）根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果； （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，由题意知，代入数据即可求得结果. 【详解】（1）如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以，所以， 所以． （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，当时，， 解得：． 因为超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 一、填空题 1．如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______. 【答案】1 【分析】根据力的平衡，可得向量的和为 ，由向量的模长即可求解力的大小. 【详解】，，三个力处于平衡状态，即 则 故答案为：1 2.若向量分别表示两个力，则______. 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的几何意义即可求解. 【详解】由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是__________． 【答案】70 【分析】根据题意得到，然后两边平方求解. 【详解】解：由题意得， 所以， 两边同时平方得， 所以， 故答案为：70 4．设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________． 【答案】3 【分析】由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案 【详解】解：因为， 所以， 令，则， 所以，所以为上靠近的三等分点， 因为，所以∥, 所以， 所以， 故答案为：3 5．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围. 【详解】因为是的中线，所以， 故， 因为，设，则， 所以， 故当时，取得最小值，最小值为， 当或3时，. 故答案为：. 6．已知是平面内两两互不平行的向量（为正整数），满足，，则的最大值为______. 【答案】6 【分析】根据给定条件，令，再结合已知画出图形，由圆的公共点个数即可得解. 【详解】设，，，则， 由知，或，，因此点在以为圆心，以1或2为半径的圆上， 作出以点为圆心，1或2为半径的4个圆，如图， 观察图形知，这4个圆两两的公共点有，共6个， 4个圆上到点和到点距离为1或2的点最多有6个， 所以的最大值为6. 故答案为：6 7．点是三角形内一点，若，则______. 【答案】 【分析】设为的中点，由题意知为的重心，可得，同理，进而得出的值. 【详解】设为的中点，由题意知为的重心，则 ,所以， 同理.而， 故. 故答案为： 8．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取的中点可得，易得，即可求得的最小值为. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·月考）已知在中，点O是的外心，若，，，则的面积为________ 【答案】 【分析】取的中点分别为，得到和，根据题意，求得，再由，求得，得到，利用面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点分别为，连接， 因为为的外心，可得， 则，可得，同理可得 又由，可得，即 又因为，所以，可得， 因为，可得，解得，所以， 所以的面积为. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______． 【答案】 【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论t＝0、t＞0、t＜0时的最小值情况，据此即可求出． 【详解】当t＝0时，不满足题意； 当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE， 则t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意； 当t＜0时，设t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB， 由图可知，， ∵的最小值为2， ∴＝2，∴． 故答案为：． 11．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于， 所以且，其中, ， 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为； 的取值范围是． 故答案为：． 12．（24-25高一下·上海·月考）已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】设，，，结合数量积公式与三角恒等变换公式计算可得的最小值，再利用数形结合可得其范围. 【详解】不妨设，，， 则 ， 令，则， 则， 取，时，等号成立， 当为直径时，点趋向于时，， 故的取值范围为. 故答案为：. 二、单选题 13．已知平面内作用于点的三个力，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形法则判断即可. 【详解】因为，所以与的合力与方向相反，长度相等，则由平行四边形法则 可知，只有D项满足. 故选：D 14．（24-25高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【分析】由动点满足，且，得到三点共线，进而得到答案. 【详解】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 15．已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 16．中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 三、解答题 17．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 18．试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，，得出，然后根据三角形的边的关系可得出，最后得出原不等式成立； （2）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，得出，然后根据三角形的边的关系得出原不等式成立． 【详解】（1）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，，则，如下图所示：    由图看出， 综上得，； （2）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，则，如下图所示：    由图看出，， 综上得，． 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体（如图）.如果绳子的最大拉力为，物体受到的重力为，用向量的知识分析绳子受到的拉力的大小与两绳之间夹角的关系.    【答案】答案见解析 【分析】为了确切描述这一问题，应先把物理问题转化为数学问题，由向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的有关知识即可求解． 【详解】    由题意可知，其中，. 由于在上严格减函数，且. ∴在上严格增函数， 所以随着的变大，拉力也必须随之增大，才能拉住物体 又因为绳子的最大拉力为， 即， 当时，则有；当时，. 因此，拉力的大小与两绳夹角的关系是，. 如果两绳子之间的夹角大于，则此绳子无法承受此物体. 20．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【答案】该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里. 【分析】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向，利用坐标运算，根据和列方程组求出点坐标，然后利用坐标运算求模和夹角可得. 【详解】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向， 易知A、B、C的坐标分别为，，. 设点D的坐标为，则，， ，. 由已知，且，得 解得 ∴，∴， ∴， 因为，所以. 即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.    21．如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解. 【详解】（1）， （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； （3）， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 向量的应用 知识清单 知识点01：平面几何中的向量方法 知识点02：向量在物理中的应用举例 题型讲解 （举一反三） 题型1：用向量解决夹角问题 题型2：用向量解决线段的长度问题 题型3：向量与几何最值 题型4：向量在几何中的其他应用 题型5：力的合成 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点02 向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 题型1：用向量解决夹角问题 【例1-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的图象（随着的增大）（    ） A．先上升后下降 B．先下降后上升 C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降 【变式1-1】若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______． 【变式1-2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 【变式1-3】已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量． （1）求的值； （2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 题型2：用向量解决线段的长度问题 【例2-1】若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 【变式2-1】已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为__________. 【变式2-2】（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 【变式2-3】已知坐标平面上三个点、与，求的面积． 题型3：向量与几何最值 【例3-1】平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【变式3-2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________. 【变式3-3】（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 题型4：向量在几何中的其他应用 【例4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式4-1】已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________. 【变式4-2】在四边形中，若，且，则四边形的形状是______________. 【变式4-3】已知平面上不共线的三点、与，求证：的面积． 题型5：力的合成 【例5-1】体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，）（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为___________. 【变式5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【变式5-3】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 一、填空题 1．如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______. 2.若向量分别表示两个力，则______. 3．（24-25高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是__________． 4．设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________． 5．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____． 6．已知是平面内两两互不平行的向量（为正整数），满足，，则的最大值为______. 7．点是三角形内一点，若，则______. 8．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 9．（24-25高一下·上海·月考）已知在中，点O是的外心，若，，，则的面积为________ 10．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______． 11．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 12．（24-25高一下·上海·月考）已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为________． 二、单选题 13．已知平面内作用于点的三个力，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 15．已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 16．中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 18．试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体（如图）.如果绳子的最大拉力为，物体受到的重力为，用向量的知识分析绳子受到的拉力的大小与两绳之间夹角的关系.    20．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 21．如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $