第11讲 空间向量在立体几何中的应用（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（沪教版选择性必修第一册）

第11讲 空间向量在立体几何中的应用 知识清单 知识点01：平面的法向量 知识点02：平行与垂直的向量表示 知识点03：两点间的距离的求法 知识点04：点线距离的求法 知识点05：点面距离的求法 知识点06：两异面直线距离的求法 知识点07：求异面直线所成的角 知识点08：求直线和平面所成的角 知识点09：求平面和平面所成的角（锐二面角） 题型讲解 （举三反三） 题型1：点到平面距离的向量求法 题型2：点到直线距离的向量求法 题型3：异面直线夹角的向量求法 题型4：线面角的向量求法 题型5：面面角的向量求法 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 知识点02平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： ，； ； ； ，； ，； 。 知识点03两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 知识点04点线距离的求法 如图1，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 图1 图2 图3 知识点05点面距离的求法 如图2，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 知识点06 两异面直线距离的求法 如图3，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 知识点07 求异面直线所成的角 如图1，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 图1 图2 图3 知识点08求直线和平面所成的角 如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 知识点9求平面和平面所成的角（锐二面角） 如图3，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提示：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则 题型1：点到平面距离的向量求法 【例1-1】（25-26高二上·上海金山·期末）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧．若顶点到平面的距离分别为，则该正方体的棱长为 ． 【例1-2】（25-26高二上·上海·月考）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 】 【例1-3】（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4． (1)求该三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【变式1-1】（25-26高二上·上海闵行·期末）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是 . 【变式1-2】（25-26高二上·上海·月考）正方体中，O为底面正方形ABCD的中心，设，则点到平面的距离为 ． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 题型2：点到直线距离的向量求法 【例2-1】已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 【例2-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆⊙上的动点，则面积的最大值为 ． 【例2-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【变式2-1】空间中到正方体棱，，所在的直线距离相等的点有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）点，，，则点到直线的距离为 . 【变式2-3】已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 题型3：异面直线夹角的向量求法 【例3-1】（25-26高二上·上海普陀·月考）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且,则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D．无法确定 【例3-2】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 【例3-3】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，给出下列两个命题： ①若，则异面直线和所成的角的余弦值为 ②若，则点到平面的距离为 则下列选项正确的是（    ） A．①真②假 B．①②全真 C．①假②真 D．①②全假 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线和直线所成角的大小为 . 【变式3-3】（25-26高二上·上海·月考）如图，在平面四边形中，，，现将绕直线旋转至，求： (1)直线和直线所成角的范围． (2)直线和直线所成角的范围． 题型4：线面角的向量求法 【例4-1】（25-26高二上·上海青浦·月考）已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成的角的大小为 【例4-2】（24-25高二上·上海松江·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则直线与平面所成角的大小为 （用反三角表示） 【例4-3】（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为，点分别在边上，且，．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的大小是 . 【变式4-3】（25-26高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，为中点，面，，，，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型5：面面角的向量求法 【例5-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，则平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为 ． 【例5-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 【例5-3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .    【变式5-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 【变式5-3】（25-26高二上·上海·月考）如图，在正方体中，棱长为2，M是棱的中点，是DM的中点，. (1)证明：平面ABCD； (2)求二面角的正弦值. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 3．（25-26高二上·上海·月考）如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是 .    4．（25-26高二上·上海普陀·期中）在长方体中，，则直线与所成角的 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 6．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则与平面的位置是 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点为的中点，则异面直线，所成的角的大小为 . 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 11．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为 ．(结果用反余弦表示) 12．（25-26高二上·上海浦东新·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 二、单选题 13．（23-24高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 14．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．（24-25高二上·上海黄浦·月考）如图1，小同同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（    ）    A． B．点到平面的距离为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成锐二面角为 16．（24-25高二下·上海闵行·月考）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·月考）已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成的角； (2)求直线到平面的距离. 18．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 19．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 . (1)求证: ； (2)求点到平面的距离 ； (3)求平面与平面所成的二面角大小； 20．（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 21．如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，平面为内的动点(含边界). (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第11讲空间向量在立体几何中的应用 内容预览 知识清单 知识点01：平面的法向量 知识点02：平行与垂直的向量表示 知识点03：两点间的离的求法 知识点04：点线距离的求法 知识点05：点面距离的求法 知识点06：两异面直线距离的求法 知识点07：求异面直线所成的角 知识点08：求直线和平面所成的角 知识点09：求平面和平面所成的角（锐二面 角) 题型1：点到平面距离的向量求法 题型2：点到直线距离的向量求法 题型讲解 题型3：异面直线夹角的向量求法 题型4：线面角的向量求法 (举三反三) 题型5：面面角的向量求法 强化训练 填空题（12) 二、单选题(4) 三、解答题(5) 知识清单 知识点01平面的法向量 (1)定义：如图，直线La,取直线1的方向向量(，则向量0叫做平面&的法向量。给定一点A和一 1 个向量(，那么过点A,以向量（为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为二X,y,2: 1 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 ②找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标ā=x1,y1,21) b=x2,y2,23: ③根据法向量的定义建立关于、 的方程组 ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最 简单的作为平面的法向量。 知识点02平行与垂直的向量表示 设直线1、m的方向向量分别为(、，平面a、阝的法向量分别为1、立，则由直线、平面 的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： 1∥m )⊙a=k-b,keR: 1Lm台alb。d:b=0: Ia ali a:i=0: ILa all a=ki,kER aWB台i/i台 i=k,k∈R; a⊥B台l7÷iv=0。 知识点03两点间的距离的求法 A、B两点间的距离为 IABI=ABI=VAB 知识点04点线距离的求法 如图1，在直线1上任取一点B,取直线1的一个方向向量￠，则点A到1的距离为： ABsin<AB,e>td。 B D 12 图1 图2 图3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 知识点O5点面距离的求法 B剂 如图2，设+是平面的一个法向量， 是平面的一条斜线，则点到平面的距离为 力 C AB B 知识点06两异面直线距离的求法 如图3，设1、13是两异面直线，1是1与2公垂线AB的方向向量，又C、D分别是1、 上的任意两点，则，、， 的距高是d=市d 知识点07求异面直线所成的角 如图1，已知a、b两异面直线，A、C与B、D分别是a、b上的任意两点，异面直线Q、 所成的角为。，则c0s=cos<AC,BD>= AC·BD b ACHBDI 特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为市、ⅱ，在求出市、ⅱ的夹 角，设两异面直线的夹角9，利用C0s0=C0S<,>求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹 角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 图1 图2 图3 知识点O8求直线和平面所成的角 如图2，设直线1的方向向量为0，平面《的法向量为1，直线1与平面a所成的角为0,0与 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味司 au 所成的角为 。，则直线方向向量。在平面法向量1方向上的投影的长度 团 与直线方向向量：的模 au au 之此 aa 就是线面夹角的正弦值，即有sin0=c0s中= a卧 知识点9求平面和平面所成的角（锐二面角） 如图3，若PA⊥Q于A,PB⊥B于B,平面PAB交I于E,则LAEB为二面角Q-I-B的平 面角，LAEB+LAPB=180°。若元、元2分别为面&、B的法向量，LAEB=<元，>66或 1-沉，>(，即二面角0等于它的两个面的法向量的夹角（或夹角的补角）。 (1)当法向量元与，的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量元、元，的夹角 元i 话，i6,于是cos9=cos<元，成 (②)当法向量广与，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角9等于法向量广、元的夹角的补角 nn2 1-沉，i6,于是cos0=osn-6抗，=- 特别提示：对二面角Q--B的大小问题，先求出平面。、阝的法向量元、元，再求出元、元的夹 角，在a内取一点A，在阝内取一点B,设二面角Q-1-B大小为日，若元死与万AB同号， 则0=<i,心，若元AB与iAB异号，则0=-i,◇心 888 题型讲解 题型1：点到平面距离的向量求法 4 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【例1-1】(25-26高二上·上海金山期末)如图，某正方体的顶点A在平面a内，三条棱AB,AC,AD都在平面a 的同侧.若顶点B、C、D到平面α的距离分别为223而，则该正方体的棱长为一· 【答案】3√5 【分析】取AB,AC,AD,作为空间向量的一组基底，设n=xAB+yAC+zAD为平面a向上的一个单位向量，再设正 方体的棱长为a,由题意，AB,AC,AD在n上的投影长度分别为2√23、√10，用a表示出x,y,z,由同=1可求出a即 可 【详解】设正方体的棱长为a,取AB,AC,AD作为空间向量的一组基底， 设单位向量是平面α的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,, 使得n=xAB+yAC+zAD 由题意：AB在n上的投影长度为2√2， 所以B=2N2xB+yAC+AD AB=2V2a=2522 3 同理：y= a2. 所以网=a+ya2+2云=信+a+ 8,9,103V5 又=1，所以a=3W3 故答案为：3W3 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【例1-2】(25-26高二上·上海·月考)棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，设点P为底面A1BCD1内（含边界） 的动点，则点A,C到平面PBD距离之和的最小值为 【答案】 2W3 【分析】建立空间直角坐标系，设P(a,b,2),0≤a≤2,0≤b≤2，求出平面PBD的一个法向量m=(2,-2,b-4),然后利 1 =2 用距离的向量公式并换元化简得 8 24 ,最后利用二次函数性质求解最值即可. d,+d2 (4+)(4+ 【详解】在正方体ABCD-AB,CD中，DA,DC,DD,两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示： ZA D C B D B 设P(a,b,2),0≤a≤2,0≤b≤2， 所以DB=(2,2,0),DP=(a,b,2),设平面PBD的法向量为m=(c,y,z), m.DB=2x+2y=0 则 m-DP=a+r+22=0'令. x=2 则=-2,2=0-0于是m=2-26-a 。’ 4+2(a-bj 则点到平面 距离之和为4+4=园-D历DC A.C mm PBD V8+(a-B)2 V8+(a-b)2 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 4 4+2t8+2t -b=则1e-2,24+4 设 4+t)2 -b=1 V8+t2V8+2V8+t2 V8+t2 4+t)2 =2 1 2 4+1-8(4+)+24 1- 8+24, (4+)(4+t2 因为，2所以+26，所以女店 4n,则ne 令、1 6,故函数y=1-8m+24r为开口向上，对称轴为n=2的二次函数，在n 117 62 上单调递增， 6 1 4+d2-2 1 24取到最小值为4+4，=2 2V5 所以当1时，即11时， 8 1 1-8 +24×1 3 n= 2 t+42 (4+0(4+2 2 4 故答案为： 25 【例1-3】(24-25高二上·上海·期中)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，长度分别为 2,2,4. (1)求该三棱锥的体积； (2)求点P到平面ABC的距离. 8 【答案】() 03 【分析】(1)构造长方体求得三棱锥体积即可； (2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可. 7 宋老数学 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 【详解】(1) F G E A P B 如图：因为三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直， 以线段PA、PB、PC分别为长宽高构造长方体APBE-DCGF, mPC写2x2x4 (2) D y B 如图：以A为坐标原点，以AP,AE,AD分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系A-3z,则P2,0,0),A0,0,0,B2,2,0),C(2,0,4, PA=（-2,0,0),AB=(2,2,0),AC=(2,0,4, 设平面ABC的一个法向量为万=(x,y,z), 8 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 i·AB=0 则 [2x+2y=0 n.4C=0' ,令 2x+4z=0 x=2 则i=(2,-2,-l),设点p到平面ABC的距离为d, 则d= PA_4 3 【变式1-1】(25-26高二上·上海闵行·期末)在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中，E、F分别为线段DD、BD 的中点，则点D到平面AEF的距离是一 D B D 【答案】 66 3 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点D到平面AEF的距离. 【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， ZA D E B D B 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 则A2,0,0)、D(0,0,0)、E0,0,1、F11,0), AE=(-2,0,1,AF=(-11,0, 设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z, m·AE=-2x+z=0 mF-+y=0,令=1可得m=L12 则 x=1 又因为D1=200,所以点，到平面Er的距离为d DA.m 26 D AEF 3 故答案为： 6 【变式1-2】(25-26高二上·上海·月考)正方体ABCD-ABCD中，0为底面正方形ABCD的中心，设A4=a,则 点B,到平面ACD,的距离为一 【答案】 2V3a 【分析】本题可构造空间直角坐标系，求平面ACD的法向量，然后根据点到平面的距离公式求出结果. 【详解】如图所示，以D为原点、DA为x轴、DC为y轴、DD,为z轴建立空间直角坐标系， ZA D A 3 则Aa,0,0),C0,a,0),B(a,a,a,D(0,0,a, 10